启发联想 促进创造——培养学生数学联想能力的探索

63科技资讯科技资讯S I N &T NOLOGY I NFORM TI ON 2008N O.13SCI ENC E &TEC HNO LO GY I N FO RM A TI ON 科教平台数学教学的实质就是学生在教师指导下,通过数学思维活动,学习数学家思维活动的成果,并发展数学思维,使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

对数学思维的研究,是数学教学研究的核心。

新课标强调:“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。

”因此,在数学教学中如何发展学生的数学思维,培养学生的数学思维能力是一个永恒的命题。

联想能力是重要的数学思维能力,也是创造性思维的的核心内容。

我近年来积极探索培养学生的数学联想能力,取得了显著效果。

1以培养联想能力为重点促进学生创造性思维的培养联想就是对某一事物的思维引起对另一与其相关联的事物的思维过程。

其实质就是根据一定的意识导向对表像进行再现、加工、改造和组合。

许多中学生解题时之所以“卡壳”并非相关知识掌握得不好,而是在当时情境下联想不到可以使问题迎刃而解的公式、定理、与此相关的例题、习题,可以借鉴的处理方法等。

因此,启迪学生展开丰富的联想的关键在于教师在教学过程中,要通过巧妙点拨、新奇设问、精心为学生创设联想情境,从而使学生插上联想的翅膀,自由驰骋,调动起存储于脑海中的相关知识、相关背景与所解问题发生前后、左右、上下的多路联系,使信手拈来、呼之欲出的知识化为解题的绝招,实现由此及彼,由表及里的认识飞跃,从而“探索”到解题的新途径。

因此,在数学教学中培养学生的联想能力可以大大促进学生创造性思维的培养。

解数学题是数学学习的主要形式之一,就解题其本质而论,就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系,整个解题的思维推理过程,实质就是一系列的广泛联想过程。

所以积极的、广泛的由此及彼、由表及里的联想,能沟通条件与结论的联系,为解题思路起开路搭桥的作用,从而能简捷准确地获得解题途径。

因此,要使学生的联想能力得到加强的最好办法是在教师的精心引导下,让学生积极参与探索的过程中得到提高。

对例题、习题深钻挖潜,精心加工、精心组合、精心剖析、精心提炼,让解题教学重分析、重过程、重规律、重联想,重创造,更具创意。

2培养联想能力要以扎实的基础知识和基本技能为前提解数学题一定要有雄厚的基础知识作为保证。

因为知识量越大,则联想的领域也就越广,从而产生出新思想、新思路也就越多。

例1．已知函数f(x)=a x 3+bx 2+cx+d 的图像,如图1所示,则图1(A)b ∈(-∞,0)(B)b ∈(0,1)(C)b ∈(1,2)(D )b ∈(2,+∞)分析:观察函数f (x)的图象,有零点出现。

可联想到二次函数零点式:y=a (x-x 1)(x-x 2),于是,类似地可设出三次函数的零点式为:f(x)=a x 3+bx 2+cx+d=a x(x-1)(x-2)=a x 3-3ax 2+2ax 。

从而比较变形前后x 2项的系数,得b=-3a 。

观察f(x)的图象知f(3)＞0,而f(3)=3a (3-1)(3-2)=6a ＞0,∴a ＞0,即有b=-3a ＜0,故选(A)。

如果你没有挖掘出二次函数的零点表示式,是否本题就无法解答了吗?回答是否定的。

盯住函数f (x)的图象,抓住f(x)的值为零的“三个点”这一要害,联想待定系数法求函数解析式的解法模式,将图形语言转化为数学符号语言,有f(0)=d=0f(1)=a+b+c+d=0f(2)=8a+4b+2c+d=0视b 、C 、d 为主元,a 为常数,解这个关于b 、c 、d 的三元方程组,得b =-3a ,接下来,不就是殊途同归了吗?可见,解题突破口的选择取决于基础知识和基本解题方法的掌握程度,解法的巧与拙完全因人而异。

你联想越丰富,获得的就越多。

3数学教学培养学生联想能力的有效途径3.1复习相关知识,启迪相似联想相似联想就是指因事物的外部特征和性质类似可由一种事物联想到另一种事物思维过程。

在学习中运用相似联想是提高学习效率的一种重要方法,也是联想的常见形式。

例2．a 、b 、c 、d ∈R ,证明:ac ＋bd≤×说明:这道题证法诸多,综合法、分析法、比较法、反证法等基本方法学生做起来思路自然,游刃有余;而要求用构造复数的方法来证,有些学生就显得力不从心了。

而不等式与复数是学生所学过的知识,虽因各自不同的属性特征,彼此分离,但也因有某种共性互相联系,怎么样使学生发现这些共性,联想到彼此的关系呢?联想的基础是对相关知识的熟练掌握。

因此,为了使学生由等式联想到复数,我们复习复数a+bi 的模的概念;复数(a ＋bi )(c －di )的乘法运算;复数模的性质|(a ＋bi )(c —di )|＝|a ＋bi ||c －di |。

这种有的放矢的复习所创设的情境。

自然而然地引起学生对所证问题的联想,根据不等式右端的特征联想到复数(a+bi )、(c —di )的模,由不等式左端的特征联想到复数(a ＋bi )和(c —di )的积,(a c ＋bd)+(a d ＋bc )i ;由复数模的性质联想到不等式的证法。

证:设复数a ＋bi ,c —di ,则|a ＋bi ||c —di |＝|(a ＋bi )(c —di )|＝|(ac ＋bd)+(ad —bc )i |＝≥ac ＋bd这样水到渠成般地启迪学生由相关知识所产生的相似联想,从而发现了不等式的证法。

这样,在解题教学中,根据题意的要求,充分注意命题的结构、条件与结论的特点及图形性质,以命题的不同求解方向,进行联想,有的可以联想有关定义,公理、定理和法则:有的可以联想已经证过的命题;有的可以联想常用的解题方法和技巧。

一般来说,通过相似联想往往能较顺利地获得解题途径。

3.2善于思考几何意义,引起数形联想数形结合思想反映了客观事物深层次的内在联系,数形结合能启迪联想,进而产生灵感,使问题转化或者找到数学模型,或者因到基本概念,使问题变成我们已熟悉的类型,这种数形结合的思想,集中了数量分析与图形的直观。

利用数和形的各自优势,往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题的过程。

因此,数形结合是联想的有效方法。

解本题应用的数学思想方法主要有换元法、形数结合以及关于理论的范围性。

其中若只从解析式x=x 或y=x +x+入手分析去寻求最小值,这是一个非常抽象启发联想促进创造——培养学生数学联想能力的探索吴小君(浙江省三门县三门中学浙江台州317100)摘要:在数学教学过程中切实有效地培养学生的联想能力,是发展学生的数学思维的重要举措,也是培养学生创造性思维的基本途径。

本文结合教学实际从多个角度探讨了培养学生联想能力,发展学生数学思维的途径和方法。

关键词:数学思维创造思维联想能力培养途径中图分类号:G420文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2008)05(a)-0163-021C E CE ECH A sin -216科技资讯科技资讯S I N &T NOLOGY I NFORM TI O N2008N O .13SC I ENC E &TEC HN OLO GY I NFO RM ATI O N科教平台的难题,但是,如果把数和形结合起来,画出相应的图象,而从几何直观入手,则可立刻看出当x=时,函数取最小值。

3.3突出“过程”教学,诱发类比联想类比联想是从特殊到特殊的思维方法,运用类比联想的思维方法指导数学教学,是培养学生联想解题能力的主要途径。

正如G ．波利亚所说:“不论是在初等数学、高等数学中的发现,恐怕都不能没有这些思考过程,特别是不能没有类比”。

在中学数学教学中,教师要不失时机地针对两类特殊的数学对象、抓住其某方面的类似之处,分类进行比较,引申和拓展,这对学生的思路,揭示知识间的内在联系,逐步使学生形成独立思考能力有很大的帮助。

同时通过类比能得到新的猜想,能促进学生积极的思维。

例3．设a 、b 、C ∈(O,2],求证:4a +b 2+c 2+a bc ≥2bc +2ca +2a b 并说明何时取等号。

分析1:式中a 、b 、C 并不对称,b 、C 最高次数为2,而a 最高次数仅为1,观察到的这个特征使我们联想到一次函数,从而出现把上式全都移到左边,然后把左边的式子看作关于a 的一次函数,结合图象来证明问题的方法。

(证法1略)分析2:如果我们注意到b(或C)是二次的特征,联想到二次函数及其图象,则可有如下证法。

证法2:令f (b )=b 2+(a c -2c -2a )b+4a+c 2-2a c,这是关于b 的二次函数,其判别式为:△＝(a c-2c-2a)2-4(4a+c 2-2a c),展开并分解因式得△＝a (a-4)(c-2)2≤0,∴f (b)≥0,故当a 、b 、c ∈(0,2]时,原不等式成立。

分析3:不等式左端b 2+c 2与右端的2b c 使我们联想到b 2+c 2≥2bc ,因此只要证明:4a ＋abc ≥2ac ＋2ab 即可,即只要证明4+bc ≥2c +2b 即可,它的结构又使我们联想到因式分解,所以只要证明(b-2)(c -2)≥0,这是显然的,由分析法知,原不等式成立。

必须指出,由类比联想所得到的结论具有偶然性,它的正确性必须经过证明之后才得到确认,例如,多边形内角和与边数有关,于是展开类比联想:多边形外角和与边数有关,显然这是错误的。

3.4一题多联,培养学生思维的广阔性从一道普通的题目,通过广泛联想,引导学生从多角度思考问题,认识问题,寻求新关系,新解法,探索新结论,培养学生思维的多发性与广阔性。

例如:例4．命题“a 2+b 2+c 2+d 2=4,那么a ＝b ＝c ＝d ”若对这一普通的命题进行由此及彼的思考,改变命题的条件和结论,并将代数命题改为几何命题,就可以得到许多有用的命题。

命题1．如果四边形的边a 、c 、b 、d 满足条件:a 2+b 2+c 2+d 2=4,那么这个四边形是菱形。

证明:a 2+b 2+c 2+d 2=4a 2+b 2+c 2+d 2=-4＝0将上式变形为a 2-2a b+b 2+c 2-2ab+d 2+2(-)＝0(a-b)2+(c-d)2+(-)2=0∴→从而这个四边形是菱形。

命题中的a 、b 、c 、d 可作为四边形的边长,而四边平方之和是一个面积,联想到是双圆四边形(即此四边形是某圆的内接四边形,同时又是另一圆的外切四边形)的面积。

从而得到:命题2如果双圆四边形各边平方的和等于四边形面积的4倍。

那么这个四边形是正方形。

证明:设a 、b 、c 、d 、P 和S 分别表示双圆四边形的边、半周长和面积。

Q 四边形是圆外切四边形,∴p =a +c =b+d又Q 四边形是圆内接四边形,依题意得:a 2+b 2+c 2+d 2=4命题1已证,由上式可推出a =b =c =d ∴这个四边形是正方形。