第十课时 等比数列前n 项和的性质及应用
【知识与技能】掌握等比数列前n 项和公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． 【重点难点】
重点：等比数列前n 项和及性质的应用． 难点：等比数列前n 项和及性质的灵活应用． 【教学过程】 一、问题与探究
1.在等差数列{a n }中，我们知道其前n 项和S n 满足这样的性质，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列；等比数列的前n 项和S n 是否也满足这一性质呢？试证明之． 等比数列前n 项和的性质
在等比数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ， ，…成等比数列，其公比是 .
2．等比数列前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)，是否可以写成S n ＝A (q n －1)(Aq ≠0且q ≠1)
的形式？若可以，A 等于什么？ 提示：可以，A ＝－
a 1
1－q
. 3．等比数列前n 项和公式S n ＝a 1－a n q
1－q (q ≠1)．是否可以写成S n ＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)的
形式？
提示：可以，A ＝－q 1－q ，B ＝a 1
1－q .
等比数列前n 项和与指数函数的性质
当公比q≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝
a 11－q
n
1－q
，它可以变形为S n
＝ ，设A ＝ ，上式可写成S n ＝－Aq n
＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个 与一个 的和构成的，而指数式的系数与常数项 ．当q≠1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是函数y ＝－Aq x
＋A 图象上的一些 ． 二、合作与探究
类型1 等比数列前n 项和的性质及应用
【例1】(1)已知等比数列{a n }中，前10项和S 10＝10，前20项和S 20＝30，求S 30.
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
小结：1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n 项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．2．等比数列前n 项和的常用性质：(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q.①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q
1＋q (q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数
列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m
的等比数列．
【练习】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，求S 9
S 6的值．
类型2 由递推公式求通项公式
【例2】根据下面各个数列{a n }的首项和递推关系，求其通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n(n ∈N *
)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *
)；
(3)a 1＝1，a n ＋1＝12
a n ＋1(n ∈N *
)；
(4)数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋1
2n a n ＝2n ＋5，求数列{a n }的通项公式．
小结：1．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推式，可用叠加法求通项公式．2．形如a n ＋1＝f (n )a n 的递推式，可用叠乘法求通项公式.3.形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)的递推式，可变形为a n
＋1
＋λ＝k (a n ＋λ)构造等比数列求解，其中λ可用待定系数法确定．4．由和式求通项公式，
可把和式看做一个数列的前n 项和，然后根据a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 1
n ＝1S n －S n －1 n ≥2
来求解．
【练习】(1)已知数列{a n }中，a 1＝23，a n ＋1＝12a n ＋1
2，求数列{a n }的通项公式；
(2)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且S n ＋S n －2＝2S n －1＋2n －1(n ≥3)，求数列{a n }的通项公式．
类型3 等差、等比数列的综合应用
【例3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到万元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)
小结：1．解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型．2．等差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．3．将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求a n还是求S n，特别是要准确确定项数n；③递推关系的发现是数列建模的关键．4．解数列应用题的思路方法如图所示．
【练习】某市2012年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
(1.084≈1.36,1.085≈1.47，1.086≈1.59)
