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什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解理解动态规划动态规划中递推式的求解⽅法不是动态规划的本质。
我曾经给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划，我试着讲⼀下我理解的动态规划，争取深⼊浅出。
希望你看了我的答案，能够喜欢上动态规划。
0. 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移⽅程的定义。
引⾃维基百科dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的⽅式去解决。
本题下的其他答案，⼤多都是在说递推的求解⽅法，但如何拆分问题，才是动态规划的核⼼。
⽽拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移⽅程的定义。
1. 什么是状态的定义？⾸先想说⼤家千万不要被下⾯的数学式吓到，这⾥只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看⼀个动态规划的教学必备题：给定⼀个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）⼦数列（LIS）的长度.以 1 7 2 8 3 4 为例。
这个数列的最长递增⼦数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3，包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题，我们⾸先要定义这个问题和这个问题的⼦问题。
有⼈可能会问了，题⽬都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字⾯上看，找不出⼦问题，⽽没有⼦问题，这个题⽬就没办法解决。
所以我们来重新定义这个问题：给定⼀个数列，长度为N，设为：以数列中第k项结尾的最长递增⼦序列的长度.求中的最⼤值.显然，这个新问题与原问题等价。
⽽对于来讲，都是的⼦问题：因为以第k项结尾的最长递增⼦序列（下称LIS），包含着以第中某项结尾的LIS。
上述的新问题也可以叫做状态，定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。
不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。
动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。
因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。
基本模型多阶段决策过程的最优化问题。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
动态规划问题动态规划（Dynamic Programming）是一种通过拆分问题为较小子问题来解决复杂问题的算法思想。
在计算机科学中，动态规划经常被用于最优化问题。
动态规划的基本思想动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
重叠子问题意味着问题可以被分解为多个重叠子问题，而最优子结构意味着问题的最优解可以通过子问题的最优解来计算。
动态规划的基本思想是将大问题分解为小问题，并依次求解小问题的最优解，然后将这些最优解组合起来得到大问题的最优解。
在动态规划的过程中，通常会使用表格或数组来保存子问题的计算结果，以便在下一次遇到相同子问题时直接查表得出最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于诸如优化、序列匹配、最短路径等领域。
以下是一些典型应用场景：•背包问题：给定一个背包容量和一组物品，每个物品有自己的价值和重量，求解如何在不超过背包容量的情况下使得装入背包的物品价值最大化。
•最长公共子序列：给定两个序列，求解这两个序列最长的公共子序列的长度。
•最短路径问题：求解两点之间的最短路径，例如Dijkstra算法和Floyd算法都是动态规划的应用。
•最长递增子序列：给定一个序列，求解其中一个递增子序列的最大长度。
•编辑距离问题：求解将一个字符串转换成另一个字符串的最小操作次数，包括删除、插入、替换操作。
•区间调度问题：给定一组活动的起止时间，求解在不重叠的情况下能参加的最多活动数量。
动态规划的问题特征动态规划问题通常具有以下特征：1.最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来递推求解。
2.重叠子问题：问题可以被分解为多个重叠的子问题，这些子问题可以共享相同的解。
3.状态转移方程：问题可以通过状态之间的转移关系来描述，通常采用递推式或递归的方式定义状态转移方程。
4.基本案例：问题需要定义基本情况，也称为递归的终止条件。
动态规划的解题步骤解决动态规划问题通常需要遵循以下步骤：1.定义状态：明确问题的状态，通常需要定义一个状态数组或矩阵来表示问题的状态。
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
动态规划问题动态规划(Dynamic Programming)是一种将复杂问题分解成更小的子问题并逐步解决的算法思想。
它通常用于解决涉及重叠子问题和最优子结构性质的问题，通过将问题分解成更小的子问题，并将解保存在一个表格中，以便后续的计算可以直接使用。
动态规划算法的核心思想是，通过维护一个辅助的状态表格来存储子问题的解，以便在需要用到子问题的解时，可以直接查表获取，避免重复计算。
在解决问题的过程中，我们通常会先从最小的子问题开始解决，并将解保存在表格中。
然后，根据较大规模子问题的解来逐步解决较小规模的子问题，最终得到整个问题的解。
动态规划算法的关键步骤可以描述如下：1. 定义子问题：将问题分解成更小规模的子问题，描述子问题的解与原问题解的关系；2. 定义状态：定义子问题的解与状态之间的对应关系，用于将子问题的解存储在状态表格中；3. 定义状态转移方程：描述较大规模子问题的解与较小规模子问题的解之间的关系，用于从表格中获取已计算的解；4. 初始化状态表格：将表格中所有的状态初始化为无效值，以便在获取解时可以判断是否已计算；5. 根据状态转移方程计算状态表格中的所有解；6. 根据问题的要求从状态表格中获取最优解。
动态规划算法可以用于解决各种问题，如最长递增子序列、最短路径、背包问题等。
通过分解问题、定义状态和状态转移方程，动态规划算法可以高效地求解复杂的问题，并避免重复计算。
在实际应用中，通过合理设计状态转移方程和思考问题的最优子结构性质，可以使动态规划算法更加高效和准确。
总之，动态规划是一种将问题分解成更小子问题的算法思想，通过保存子问题的解并使用状态转移方程，可以高效地求解复杂问题。
通过合理设计状态和思考最优子结构性质，可以使动态规划算法更加高效。
动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用价值，在算法设计和问题求解过程中发挥着重要的作用。
