ACM动态规划算法

ACM暑期集训报告院系：专业：年级：学号：姓名：日期：西南交通大学目录目录 (1)第1章动态规划（dp） (2)1.1 简介 (2)1.2 教师内容 (5)1.3 基本dp——背包问题 (6)1.4若干经典dp及常见优化 (9)1.5类似题目 (10)参考文献 (31)附录1 暑期集训心得体会 (31)第1章动态规划（dp）（标题采用2号黑体居中，下空1行）1.1 简介（标题采用四号黑体，正文内容采用小四号字体，1.5倍行距）在解决问题的时候我们经常遇到这种问题：在多种方式的操作下我们如何得到一个最优的方式让我们得到满意的结果。

这时候我们大多人的思想就是贪心。

不错贪心确实是一个不错的算法，首先他简单容易想到，我们在操作起来也比较容易。

现在我推荐几道我们oj上的贪心算法的题：soj1562药品运输soj1585 Climbing mountain。

为了引入动归算法我先拿药品运输这道题简单说一下贪心算法。

示例1：药品运输（题目采用小四号Times New Roman字体）Description5.12大地震后，某灾区急需一批药品，现在有N种药品需要运往灾区，而我们的运输能力有限，现在仅有M辆运输车用来运输这批药品，已知不同的药品对灾区具有不同的作用（“作用”用一个整数表示其大小），不同的药品需要的运输力（必要的车辆运载力）不同，而不同的车辆也具有不同的运输力。

同时，我们希望不同的药品用不同的车辆来运输（避免发生混淆）。

现在请你帮忙设计一方案，来使得运往灾区的药品对灾区的作用最大。

Input第一行包含一个整数T，表示需要处理的测试数据组数。

每一组第一行包括两个整数N,M，分别表示药品总数，及车辆总数。

接着第二行包含N个整数（pi<=10000），分别表示每种药品的作用。

接着第三行包含N个整数，分别表示每种药品必须得运载力(wi<=1000)。

接着第四行包含M个整数，表示每辆车的运输力(c<=1000)；（T<=10; N,M<=1000）Output输出包括T行，每行仅一个整数，表示最大的作用值。

动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。

由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。

不存在一种万能的动态规划算法。

但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。

多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。

【例题1】最短路径问题。

图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。

现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。

用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。

具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有：F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min {9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。

ACM/OI中的Useful算法和Useless算法ACM/OI是一个以算法为核心的竞赛，算法的重要性不言而喻。

有些算法在ACM/OI 中非常有用，而有些算法则几乎没有用处。

我们将探讨ACM/OI中的Useful算法和Useless算法，并分析它们的特点和应用。

Useful算法1.贪心算法贪心算法是一种通过选择局部最优解来构建全局最优解的算法。

它的特点是简单、高效、易于实现。

在ACM/OI中，贪心算法常用于解决优化问题，如最小生成树、最短路径、背包问题等。

贪心算法的优点是速度快，缺点是可能得到次优解。

2.动态规划动态规划是一种通过拆分问题、定义状态、设计状态转移方程来解决问题的算法。

它的特点是可以避免重复计算，节省时间和空间复杂度。

在ACM/OI中，动态规划常用于解决最优化问题，如最长上升子序列、最大子段和、背包问题等。

动态规划的优点是可以得到全局最优解，缺点是实现复杂。

3.分治算法分治算法是一种把问题分解成子问题、解决子问题、合并子问题结果的算法。

它的特点是可以处理复杂问题，提高算法效率。

在ACM/OI中，分治算法常用于解决递归、排序、查找等问题。

分治算法的优点是可以处理大规模数据，缺点是实现复杂。

4.搜索算法搜索算法是一种通过遍历问题的所有可能解来寻找最优解的算法。

它的特点是可以处理复杂问题，但时间复杂度较高。

在ACM/OI中，搜索算法常用于解决NP问题，如八皇后、旅行商问题等。

搜索算法的优点是可以得到全局最优解，缺点是时间复杂度高。

Useless算法1.暴力枚举暴力枚举是一种通过枚举所有可能解来寻找最优解的算法。

它的特点是简单、容易实现，但时间复杂度很高。

在ACM/OI中，暴力枚举几乎没有用处，因为它无法处理大规模数据和复杂问题。

2.朴素算法朴素算法是一种通过暴力枚举或简单的逻辑判断来解决问题的算法。

它的特点是简单、易于实现，但时间复杂度很高。

在ACM/OI中，朴素算法几乎没有用处，因为它无法处理复杂问题和大规模数据。

动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。

它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。

即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。

2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。

3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。

5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。

动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。

总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。

动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。

ACM竞赛知识点简介ACM竞赛是指由国际大学生程序设计竞赛（ACM-ICPC）组织的一系列编程比赛。

ACM竞赛旨在培养学生的计算机科学和编程能力，提高解决实际问题的能力和团队合作精神。

本文将介绍ACM竞赛的基本知识点和技巧，帮助读者更好地了解和参与这一竞赛。

知识点1. 数据结构在ACM竞赛中，数据结构是解决问题的关键。

以下是一些常用的数据结构：•数组：用于存储一组相同类型的数据。

•链表：用于存储和操作具有相同数据类型的元素。

•栈：一种后进先出（LIFO）的数据结构。

•队列：一种先进先出（FIFO）的数据结构。

•树：一种非线性的数据结构，由节点和边组成。

•图：一种由节点和边组成的数据结构，用于表示各种关系。

2. 算法ACM竞赛中常用的算法包括：•排序算法：如快速排序、归并排序、堆排序等，用于将数据按照一定的规则进行排序。

•查找算法：如二分查找、哈希表等，用于在数据中查找指定的元素。

•图算法：如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法等，用于解决图相关的问题。

•动态规划：一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，用于解决多阶段决策问题。

•贪心算法：一种每一步都选择当前最优解的方法，用于解决优化问题。

3. 数学数学在ACM竞赛中扮演着重要的角色。

以下是一些常用的数学知识点：•组合数学：包括排列组合、二项式定理、卡特兰数等，用于计算对象的排列和组合方式。

•数论：包括素数、最大公约数、最小公倍数等，用于解决与整数相关的问题。

•概率与统计：包括概率分布、统计推断等，用于分析和预测事件发生的概率。

•矩阵与线性代数：用于解决与矩阵和线性方程组相关的问题。

4. 字符串处理在ACM竞赛中，字符串处理是常见的问题之一。

以下是一些常用的字符串处理技巧：•字符串匹配：如KMP算法、Boyer-Moore算法等，用于在一个字符串中查找另一个字符串。

•字符串排序：如字典序排序、后缀数组等，用于对字符串进行排序。

动态规划算法的表达技巧分析[摘要]动态规划算法是计算机领域中一种非常有效的算法，而对于很多要掌握它的学生而言，往往会表现出很大的困惑性，本文介绍了动态规划算法的三种表达技巧，并详细阐述了较难掌握的部分存储的动态规划算法。

[关键词]子问题辅助存储单元全部存储部分存储一、引言动态规划算法是一种以空间换取时间的算法，这里的空间即指计算过程中所用到的辅助存储单元。

经过我们多次分析发现，动态规划算法通常有三种表示形式，并且它们具有相同的时间复杂度和可供选择的空间复杂度。

选择不同的空间复杂度，即选择了不同数量级的内存分配。

对于一个算法而言，通常考虑较多是的其时间复杂度，而动态规划算法，其空间复杂度却非常值得深入考虑，能否减少辅助存储单元，并在它的前提下尽可能让算法时间复杂度得到优化，是一个值得分析的问题。

本论文首先介绍动态规划算法的三种写法，然后对其中的一种写法进行深入分析，介绍如何减小空间复杂度的方法，并结合acm 竞赛问题，介绍了一种利用指针技巧减少运算量的方法，使得算法在减少内存的同时仅仅增加了微不足道的运算量。

二、动态规划算法的三种常用写法能够运用动态规划算法求解的问题都可以用一个递推关系式来表达，此递推关系的基本原理即是：将所要求解的原始问题分解成规模较小的子问题来做，而子问题可以依据同样的分解原理分解成更小的子问题，直到不能分解为止，不能继续分解的问题称为最小规模的子问题，它的结果是已知的，按照分解的逆过程，由小规模子问题的结果可以推算出较大规模子问题的结果，直至最终推算出原始问题的结果。

这个递推关系式其实就是一种递归描述，并且递归描述中用来表示子问题的部分必然是是重复出现的。

动态规划算法的本质就是用一些辅助存储单元将这些重复出现的子问题结果保存起来，在每一个子问题第一次被计算出来后存储在其相应单元中，如果在后续计算过程中，一个已经有结果的子问题被要求再次计算时，动态规划算法就直接取用已经存储的结果，而不是像原始递归一样去重复计算，这样就保证了一个子问题只计算一次，从而大大减少了运算量。