数值分析第四章

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《数值分析》第四章答案

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

数值分析第四章课件

xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f (xk)的符号
+ + + -
14
f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根的初始近似。
4

例1：考察方程 f ( x) x3 x 1 0 注意到f (0)< 0, f (+)>0，知f (x)至少有一个正的实根。设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号，我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。
第四章方程求根
§4.1 二分法 §4.2 迭代法 §4.3牛顿法 §4.4弦截法
1
我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。例如超越方程

tgx x 0 0.25 tgx 4.8889 sin x 0

9
由于
1 xk x (bk a k ) bk 1 a k 1 2
*
（1）
只要有根区间[ak+1, bk+1]的长度小于预先给定的误差，那么就可以取
xk 1 1 ( ak bk ) 2
作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为： 1 * x xk 1 k 1 ( b a ) 2 综上所述，设f (x)在[a, b]上存在一阶导数且不变号，如果f (a)f (b)＜0，则由（1）所知，当k时， x* - xk0，即xkx*。

数值分析答案第四章

令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。（4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b

数值分析第4章4-5节

16
龙贝格公式是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法。
高斯求积公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以用于计算奇异积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。
A0
x
2 0

A0
x03

A1 x12 A1 x13

2
3 0
A0 A1 1
x0
3 3
x1
3 3
1
f ( x)dx f (
3) f(
3)
1
3
3
可以验证，上式是具有3次代数精度的插值型求积公式。这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型
求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。
显然，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1 次的代数精度。可证明高斯求积公式不仅稳定而且收敛。
13
4.5.2 常用的高斯求积公式（1）高斯－勒让德求积公式
高斯点为勒让德多项式Pn+1(x)的零点时，得到的高斯求积公式称为高斯－勒让德求积公式，其节点和系数见教材P145。
1
n
试用二点、三点微分公式计算x 2.7处的一阶、二阶导数值
10.(1)试推导四点数值微分公式
1
h3
f '(x0 ) 6h [11 f0 18 f1 9 f2 2 f3] 4

清华第五版数值分析第4章课件

3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx

F ( x)
b a

F (b)

F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1

数值分析-第四章学习小结

数值分析-第四章学习小结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。

我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。

我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。

首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。

最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。

算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。

运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。

我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。

在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法简单迭代法及其收敛性简单迭代法的基本思想)(0)(x x x f ϕ=⇔=迭代法的基本思想是将隐式方程)(x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式)(1k k x x ϕ=+一般形式： ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ收敛条件：a 、非局部收敛定理b 、局部收敛定理简单迭代法的收敛速度线性收敛的条件m 阶收敛的条件迭代过程的加速加权法迭代：)(1k k x x ϕ=+ 改进：k k k x LL x L x ---=++11111 埃特金(Aitken)加速法设序列}{k x 线性收敛到s112212)(++++=+---≈k kk k k k k x x x x x x x s Newton 法（切线法）基本思想:(1)构造法:0)(='s ϕ(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor 展开 ))((')()(k k k x x x f x f x f -+≈迭代函数：)(')()(x f x f x x -=ϕ 迭代公式： ,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k 几何意义收敛性（1）局部收敛定理（2）非局部收敛定理牛顿下山法)(')(1k k k k x f x f x x -=+)(')(1k k k k x f x f x x λ-=+ k k k x x x )1(11λλ-+=++ 其中10≤<λ称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值)(k x f 能单调下降。

数值分析第四版第四章数值积分与数值微分精品PPT课件

b
n
b
R( f ) f (x)dx a
在a,b内存在一点 ,使得
b
I ( f ) f (x)dx (b a) f ( )
a
f ?
称 f 为 f x 在区间 a,b上的平均高度.
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：Biblioteka nAk b ak 0
n
k 0
Ak xk
1 2
b2 a2
n
k 0
Ak
xk m
1 m 1
bm1 am1
§2 插值型求积公式
一、定义
在积分区间 a,b上，取 n 1个节点 xi , i 0,1, 2,..., n
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
2 式（两点求积公式）
I f f a f b b a
2
y
f b
f a Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
ab 2
并令 f
f
a4 f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 x 2 2x 2 3 3 x 2x 2 3 9 ln( 2 x 2x 2 3 )

《数值分析》第四章答案

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

数值分析课件第4章

数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题，而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法，可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据，每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效果。

第4章数值分析共79页文档

1 6
b
a
f
x
dx
b a f a 4 f c
6
f b为
Simpson 公式
3 当n 4时
同理可计算C04
，C14，C
4
2
，C34
，C44，得到公式
b
a
f
x
dx
ba 90
7
f
x0
32
f
x1
12
f
x2
32
f
x3
7
f
称为 Cotes 公式
*以上介绍的梯形公式，Simpson 公式，Newton-Cotes 公
hn i! 1 ni n i!
Ai
b
a
x
wn1 x xi wn 1
xi
dx
x
a
th
n 0
ht
hn1tt 1 t n i hn i! 1ni n
i !hdt
1 ni i!n
h
i !
n
0
t
t
1 t
t i
ndt
b
a
n
1ni i!n
i
!
n
0
t
t
1 t
t i
ndt
b aCin Cin称作 Newton-Cotes 系数，它不依赖于 f x和
引言
一、数值求解的基本思想二、代数精度的概念三、求积公式的误差估计四、复化公式及其误差估计五、复化求积的收敛性
一、数值求解的基本思想
在实际问题中常常需要计算积分，对于这样的积分：
I
b
a
f
x dx
由高数中我们所熟知的微分基本定理，只要找到被积函

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ab
f
( x)dx
n1 xi1
i0 xi
f
( x)dx
nf
( xi 1 )]
h[ 2
f
(a)
n1
2 f
i1
(xi )
f
(b)].
记为
Tn
n1h [
i02
f
(xi )
f
(xi1)]
h[ 2
f
(a)
n1
2 f
i0
(xi )
f
(b)].
复化梯形公式Tn的余项
R
I
若f (4) (x)在[a,b]上连续, 则辛普森公式的余项为
R2[
f
]
I
S
ab
f
(x)dx b a[ 6
f
(a) 4
f
(a b) 2
f
(b)]
ba 180
b
2
a 4
f
(4) (),
[a,b].
(2.7)
3. 柯特斯公式的余项
若f (6) (x)在[a,b]上连续, 则柯特斯公式的余项为
f
( xi
)]
I
,
n
.
二、复化辛普森公式
记[
xi
,
xi
1]的中点为xi
1，在每个小区间上应用辛普森公式,
2
则得复化辛普森公式
I
ab
f
( x)dx
n1h [
i06
f
(xi ) 4
f
(xi12 )
f
( xi 1)],
即
Sn
h[ 6
f
(a)
n1
4 f
i0
(
xi
1 2
)
n1
2 f
i1
(xi )
f
(b)].
将求积区间[a,b]做n等分，步长h b a ,在等距节点
xk
a
kh上的插值型求积公式
ab
f
(
x)dx
(b
a)
n
C(kn)
n
ab
fk ,
n
f (x)dx k fk
wk ablkk(x0)dx(2.1)
k 0
称为Newton- Cotes公式，C(kn)称为Cotes系数.
作变换x a th，则有
)
n1
n1
n1
32
i0
f
(
xi
3 4
)
12
i0
f
(
xi
1 2
)
14
i1
f
(
xi
)
7
f
(b)].
余项 .
例1 根据数据表利用复合求积公式求I 01sinx x dx 的值.
xi
0 1/8
1/4
3/8 1/2
5/8
f (xi) 1 0.9973978 … … … … … … …
3/4 7/8
1
C(kn)
h b
a
0n
nt
j0k
j dt j
(1)nk nk!(n k
)!0n
n
(t
j0
j)dt.
jk
jk
(2.2)
当n 1时, 得到梯形公式
ab
f
( x)dx
T
b a[ 2
f
(a)
f
(b)],
当n 2时, 得到抛物线公式, 也称为辛普森(Simpson)公式
ab
f
( x)dx
S
b
6
a
2 a).
.
(1.1) (1.2)
一般地, 求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk ,
(1.3)
k 0
通常称为机械求积公式.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 一般方法？ .
T
n
n1
[
1
i0 12
h3
f
(i
)],
i
[ xi
,
xi1],
若f (x)在[a,b]上连续，则
R n h3 f () b a h2 f (), [a,b].
12
12
此时复化梯形公式为O(h2)阶，是收敛的. 其实, f C[a,b]
Tn
1 [b 2
n
a
n1
i0
f
( xi
)
b
n
a
n
i1
余项
R
I
S
n
h 180
h 2
4
n1
i0
f
(4) (i
),
i
(xi ,
xi1),
当f C4[a,b]时,
R
I
S
n
ba 180
h 2
4
f
(4)
(
)
ba 2880
h4
f
(4)
( ),
(a,b).
复合柯特斯求积公式
Cn
h [7 90
f
(a)
n1
32
i0
f
(
xi
1 4
)
n1
12
i0
f
(
xi
1 2
fk ,
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
它的余项为
R[
f
]
ab
f
(x)
Ln
(x)dx
ab
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
x
j
)dx.
(1.7)
定理1
求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
它是插值型求积公式.
一、Newton-Cotes公式的导出
f
(3)] 4
f
(1)
0.9460832
C2
1 2 90
7
f
(0) 32[
f
(1) 8
R4[
f
]
I
C
2(b a) 945
b
4
a 6
f
(6) (),
[a,b].
(2.8)
问题的提出和解决办法. 一、复化梯形公式
把区间[a,b]n等分为n个小区间[xi , xi1],其中
xi
a ih,
(h
b a,i n
0,1,
,n 1),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复化梯形公式
I
… … 0.8414709
T8
1[ 8
f (0) 2
f
(1) 8
f
(1) 4
f
(3) 8
f
(1) 2
f
(5) 8
f
(3) 4
f
(7) 8
f (1)] 2
0.9456909.
S4
4
1 6
f
(0) 4[
f
(1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
f
(7 )] 8
2[
f
(1) 4
f
(1) 2
a[
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)]，
(2.3)
当n 4时,得到柯特斯(cotes)公式
C
b a[7 90
f
( x0
)
32
f
(
x1)
12
f
(
x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4
)],
其中xk
a kh,h
b a. 4
( 2.4)
二、 Newton-Cotes公式的代数精度
由定理1知,n阶N C公式至少n次代数精度.
第4章数值积分和数值微分
一、数值求积的基本思想
问题的提出和解决办法:
I ab f (x)dx. ab f (x)dx F (b) F (a).
ab f (x)dx f ( )(b a).
梯形公式 ab
中矩形公式
f (x)dx
ab f (x)dx
[f
(a) f (a
2
f (b)]b b)(b
三、插值型求积公式
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1, , fn，就有拉格朗日插值多项式
得到
n
Ln (x) lk (x) fk
k 0
ab f (x)dx abLn (x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab f (x)dx
n
wk
考察辛普森公式
S b a[ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项若f (x)在[a,b]上连续,则梯形公式的余项为
R1[
f
]
I
T
(b a)3 12
f
( ),
[a,b].
(2.5)
2. 辛普森公式的余项

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