高等量子力学 Feynman路径积分公式

量子力学的路径积分与费曼图理论量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而路径积分与费曼图理论是量子力学中一种重要的计算工具。

本文将详细介绍量子力学的路径积分与费曼图理论，以及它们在研究微观粒子行为中的应用。

路径积分理论最早由费曼提出，它是一种计算量子力学问题的方法。

传统的量子力学使用波函数描述粒子的运动状态，而路径积分理论则从粒子的轨迹出发，通过积分求和的方式计算出系统的行为。

路径积分理论的基本思想是将粒子的运动轨迹划分为许多小段，然后对每一段轨迹进行积分求和。

最终，通过对所有可能的轨迹进行求和，得到系统的行为。

路径积分理论的核心是费曼路径积分，它描述了粒子在不同时间点之间所有可能的轨迹。

具体而言，费曼路径积分可以表示为：\[\int \exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x(t)]\right) \mathcal{D}x(t)\]其中，S[x(t)]是作用量，x(t)是粒子在不同时间点的位置，$\mathcal{D}x(t)$表示对所有可能的轨迹进行积分。

通过对费曼路径积分进行计算，可以得到系统的物理量，如能量、动量等。

费曼图理论是路径积分理论的一种图形表示方法。

它通过图形化的方式表示粒子之间的相互作用。

每个费曼图由线和顶点组成，线表示粒子的传播，顶点表示粒子之间的相互作用。

通过对不同的费曼图进行求和，可以得到系统的物理量。

在费曼图理论中，线的类型对应着不同的粒子，如电子、光子等。

而顶点表示粒子之间的相互作用，如电子和光子之间的散射。

通过将不同的线和顶点组合在一起，可以构建出各种不同的费曼图，从而描述系统的行为。

路径积分与费曼图理论在量子力学中有广泛的应用。

首先，它们可以用来计算系统的物理量。

通过对路径积分进行计算，可以得到系统的能谱、散射截面等物理量。

其次，路径积分与费曼图理论可以用来研究量子场论。

量子场论是描述粒子与场相互作用的理论，路径积分与费曼图理论提供了一种计算量子场论问题的方法。

N →∞
(
N −1 h
1 ˙2 ¯j) ¯ − V (x ¯ j, t mx 2 j
) i
(25)
也可以将此式看作路径积分的精确定义式,我们以后的计算都是基于此.
3 几个例子
下面我们讨论几个具体计算的例子.为简单起见,我们暂时使用自然单位制.
3.1 自由粒子的运动
˙ 2 /2,因此 自由粒子的Lagrange函数为L =x
+∞
(27) (28)
这里a和b是保证积分收敛的任意复数,最终上述积分式的结果为 其中 容易算出
bN − 1 =
q
h i −π ab exp (ζ − η)2 a+b a+b
(−π)(N −1)/2(a1a2…aN −1)−1/2exp{bN −1(ξN − ξ0)2} a1 = 2, a2 = b1 + 1, …, aN −1 = bN −2 + 1, b1 = 1/2, b2 = b1 /(b1 + 1), …, bN −1 = bN −2 /(bN −2 + 1) 1 1 , a a ⋯a = +1 N 1 2 N −1 1
(29) (30)
因此得到
K(b, a) = lim
1 1 (2πiϵ)N /2 2 π iNϵ N →∞ AN ϵ



1 1 +1 ⋯ +1 =N 2 N−1
1/2

exp
n
1 (ξ − ξa)2 N b

(31) (32)
o
4
节3
要保证上式在N → ∞以及ϵ → 0时有极限,我们取
Aϵ = (2πiϵ)1/2 (33)

讨 论
●传播子满足的方程
K(rt,r't')实 上 态 数 质 是 函
ℏ2 2 ∂ iℏ K(rt,r't') = − ∇ +V(r,t)K(rt,r't') ∂t 2m (t >t')
∂ ℏ2 2 iℏ∂t + 2m∇ −V(r,t)K(rt,r't') =0 (t >t')
路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系 † 矩阵力学 泊松括号→对易子 矩阵力学—泊松括号→ 泊松括号 † 波动力学 H-J方程→薛定谔方程 波动力学—H 方程→ ♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分 源于经典力学的拉格朗日形式 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 ♥ 便于考察量子力学与经典力学之关系
→K(r"t",r't') ~ e
i Scl (r"t",r 't') ℏ
讨 论
●传播子的组合规则
K(r"t",r't') = ∫ d x1K(r"t",rt1)K(rt1,r't') 1 1
3
推 →t0 =t',t1,t2,⋯tN−1tN =t" 广 ,
坐 ： ',r ,r ,⋯rN−1,rN = r" 标 r 1 2 ,
第九章 路径积分
２００５年１月
§9.0 引 言
２００５年１月
路径积分方法的由来
●Feynman于1940年代提出 于 年代提出 † 原始思想←狄拉克1933年一篇文章 原始思想←狄拉克 年一篇文章 † 费曼加以发展 ●理论核心：传播子 (propagator) 理论核心： † 包含了量子体系的全部物理信息 † 与经典力学中的作用量相联系

2
V
x


t
Hale Waihona Puke m 2 xn


xn1 2
t

V

xn
xn1 2

对自由粒子， xn tn xn1tn1 已知。由于W(Δ t)与V(x)
无关，用自由粒子情况算出：
x t x t w 1t e | n n n1 n1 tn tn1
经典运动： 量子力学：
重力诱导的量子干涉
仅与几何有关 与h/m有关 可产生量子效应
实验结果
引力不是纯几何性的 量子力学适用于万有引 力作用体系
三、电磁场的规范变换
电动力学里 在
变换下不变(规范不变)
为简便,只讨论不含时情形： 经典H：
量子H
1. 力学动量
由海森堡运动方程：
一、常数势的效应
V(x) 牛顿力学的力不变，量子力学呢？


取t0时两态同相位， 则t时两态有相位差：
对于整个系统，观察量随时间的变化： <B>
只与能级差有关，V0无影响。 但量子力学可观测经典所没有的效应：量子干涉
经典对应于h0的结果
二、量子力学中的重力场
N 2 i t
dxN 1dxN 2
D xN x1

x
t

exp
i

tN t1
dt
L x, x

N
dx2 eiSn,n1/ n2
lim 其中
xN x1
D
x
t

m N 1/ 2