1-1.2.1第2课时排列与排列数公式解析

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【习练·破】
1.已知
A
m n
=11×10×9×8×…×5,则m+n为______.
【解析】因为
A
m n
=11×10×9×8×…×5,所以n=11,m=(11-
5)+1=7,m+n=18.
答案:18
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2.计算:
A
6 7

A56
A54
=________.
【解析】A
3
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【素养·探】
在根据排列数的公式解决与其有关问题的过程中,经常
用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择
合适的公式,再将其转化为整式方程求解.
将本例2中的“
3A3x

2A
2 x1

6A2x”改为“ 3A2x

2A
2 x1

A32”,
则结果如何?
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6

8！ ，
10 x！
化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12,①
又
x x

8，所以2≤x≤8,②
2 0，
由①②及x∈N*,得x=8.
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【内化·悟】 当含排列数的方程和不等式问题中m的值较小时,适合 排列数公式的哪种形式? 提示:排列数公式的乘积式.
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【类题·通】 解决与排列数有关的方程、不等式问题的注意问题
利用排列数公式展开即得到关于x的方程(或不等式), 但由于x存在于排列数中,故应考虑排列数对x的制约, 避免出现增根.

2、对于m≤n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
化简：（1）54！，（ 1）5！
（3）425！，
(3 )7
（4）（n m)(n m1)!
(5) 1 1 1 n! (n1)! (n1)!
（2）（54）！ ( 2 ) 2 0 !
(4)(nm)!
n2 2n (5)
(n 1)!
类型2：简单的排列问题 例：某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要 与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?
乙
甲
丙
甲
乙
丙
甲
丙
乙
甲乙 甲丙 乙甲 乙丙
丙甲
丙乙
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活 动，有多少种不同的选法？
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题1就可以 叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺 序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
当m＝n时，A n nn (n 1 )(n 2 ) 321
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n ! 表示。
n个不同元素的全排列公式：A
n n
n!
(2)排列数公式②：Anm
(n
n! m)!
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：0 ! 1
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
问题2可以叙述为：
从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺 序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc，abd，acb，acd，adb，adc； bac，bad，bca，bcd，bda，bdc； cab，cad，cba，cbd，cda，cdb； dab，dac，dba，dbc，dca，dcb。

捆绑法
解三：个将女三孩个之女间孩有看A作33种一排人法与，四所个以男共孩有排：队A，55有 AA3355种7排2法0(，种而).
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (2)若三个女孩要站在一起,四个男孩也要站在一起, 则有多 少种不同的排法?
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方 法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是
5×5×5＝125
例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：这道题不能完全用排列数 A130来解,因为数字0不能在首位.
从不同的角度来考虑问题,就能设计出不同的解决方案．
解法一:
A91 A92 9 9 8 648
解法二:
A3 9

A2 9

A2 9
648
解法三:
A3 10
A92

648
答：一共可以组成648个没有重复数字的三位数.
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的 计算方法：
（l）直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个
1．4辆不同公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位 司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？
A44A44 576
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的 正整数？
A61 A62 A63 A64 A65 A66 1956
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (1)若三个女孩要站在一起,则有多少种不同的排法?

栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
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Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
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第一章 计算原理
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(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
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第一章 计算原理
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第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
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2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1