高三数学 教案 三阶行列式的计算公式技巧

计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。

但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。

以便计算。

计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换） （3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。

线性代数三阶行列式计算方法
线性代数里的三阶行列式(3×3 Determinants)指定义在$R^3$空间里的不可推广的格拉姆积分(Gram integral).
现在，让我们来介绍三阶行列式的计算方法。

先来说一下一阶行列式的计算方法，一阶行列式由一行或一列（或一维）的一个数构成，而该数就是行列式的值。

接下来我们来看看如何计算二阶行列式。

二阶行列式由一行或一列（二维）的两个数构成，可以采用两个数的积来计算它的值。

接下来介绍三阶行列式的计算方法，三阶行列式由一行或一列（三维）的三个数构成，可以采用三个数的积作为行列式的值。

更具体的，可以分为以下几步：
1）将三阶行列式的三个数分别拆分为两个二阶矩阵，这可以分两种情况：一是将该行或该列分割成两个二阶行列式，即将每行或每列分为两个部分，每个部分为一个二阶行列式；二是将该行或该列分割成三个一阶行列式，即将每行或每列分为三个部分，每个部分为一个一阶行列式。

2）求每个二阶行列式或三个一阶行列式的值。

3）根据符号法，将所有的值相乘，然后再加上或减去模式，便可得出三阶行列式的值。

以上就是三阶行列式计算方法的具体介绍，希望能对读者有所帮助。

3阶行列式求解方程标题：3阶行列式求解方程文章简介：本文将介绍如何使用3阶行列式来解决方程，并提供详细的步骤和示例来帮助读者理解。

正文：方程求解是数学中常见的问题。

在解决方程时，我们有时候会遇到复杂的情况，这时候使用行列式的方法可以简化计算过程。

本文将介绍如何使用3阶行列式来求解方程的方法。

首先，我们来看一个具体的方程：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3我们可以将上述方程写成矩阵的形式：a1b1c1x d1a3b3c3z d3为了求解方程，我们需要计算行列式的值。

行列式的值可以通过展开式或者其他方法来计算。

这里我们以展开式来说明。

行列式的展开式可以表示为：a1b1c1a3b3c3展开式的计算方法是将第一行的元素与它们的代数余子式相乘，并将结果相加。

代数余子式是指将元素所在行和列划去后，剩下元素构成的子行列式的值乘以(-1)的幂。

根据上述展开式的计算方法，我们可以得到行列式的值为：D=a1(b2c3-b3c2)-b1(a2c3-a3c2)+c1(a2b3-a3b2)利用上述计算得到的行列式的值，我们可以进一步求解方程。

方程的解可以表示为：x=Dx/Dy=Dy/Dz=Dz/D其中，Dx,Dy,Dz分别代表将矩阵的第一列（x所在的列）、第二列（y所在的列）、第三列（z所在的列）替换成右侧向量后，计算得到的行列式的值。

下面我们通过一个具体的例子来演示求解方程的过程。

例子：考虑以下方程：2x+3y-z=1x-y+2z=33x+4y+z=2我们可以得到方程对应的矩阵：23-1341根据之前介绍的方法，我们可以计算行列式的值：D=2(-1*4-2*4)-3(1*4-3*1)-(-1)(1*3-3*1)=-8-9-6=-23接下来，我们可以计算Dx,Dy,Dz的值：Dx=1(1*4-2*4)-3(3*1-2*1)-(-1)(3*3-2*1) =4-9-7=-12Dy=2(-1*4-2*4)-3(1*4-3*1)-(-1)(3*3-2*1) =-8-9-6=-23Dz=2(-1*1-2*3)-3(1*1-3*2)-(-1)(3*1-2*2) =-2-9+1=-10最后，我们可以得到方程的解：x=-12/-23y=-23/-23z=-10/-23将上述结果化简，我们可以得到最终的解：x≈0.522y≈1z≈0.435通过以上步骤，我们成功地使用了3阶行列式的方法解决了给定的方程。

高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。

它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。

在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。

本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。

一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。

通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。

行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。

而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。

行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。

以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。

下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。

二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。

线性代数行列式求解的技巧行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。

行列式的计算通常使用展开法、性质法等多种方法，以下是一些行列式求解的技巧。

1. 展开法展开法是求解行列式的一种常用方法，其基本思想是通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。

行列式的展开可以按照某一行或某一列进行展开，通常选择具有最多零元素的行或列进行展开可以减少计算的复杂度。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|我们可以选择第一行或者第一列进行展开，以第一列为例：A = a11|a22 a23| - a21|a12 a13| + a31|a12 a13||a32 a33| |a32 a33| |a22 a23|展开后的每一项都是一个2阶子行列式，可以通过直接计算或继续展开来求解。

展开法的优点是较为直观，但当行列式阶数较高时计算量巨大，不适合大规模行列式的计算。

2. 元素对应法则行列式的元素对应法则指的是对于一个n阶行列式，其每一项的元素都来自于不同行不同列的n个元素的乘积。

在计算中，可以通过指定元素的位置来构造行列式。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其中，a11来自于A的第一行第一列，a22来自于A 的第二行第二列，a33来自于A的第三行第三列。

通过这种方法，可以方便地构造行列式并进行计算。

3. 行变换法行变换法是求解行列式的一种简化计算的方法，通过对行进行一系列变换，将行列式化为三角形式或对角形式，从而简化计算。

常用的行变换包括行列式的行交换、行乘法、行加法等。

行交换可以通过直接交换行的位置得到，行乘法可以将某一行的元素乘以一个常数，行加法可以将某一行的元素乘以一个常数后加到另一行，行变换不改变行列式的值。

通过行变换后，可以使行列式的某些元素为零，使得计算行列式的展开或使用性质更加方便。

求解三阶行列式的方法可以使用Sarrus法则或展开法。

1. Sarrus法则:三阶行列式的Sarrus法则是一种通过计算交叉相乘的方式求解行列式的方法。

具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 从左上角的元素开始，将每个元素与其右下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相加：a * e * i +b * f * g +c *d * h(2) 从右上角的元素开始，将每个元素与其左下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相减：c * e * g + a * f * h + b *d * i(3) 将上述两个结果相减，即可得到行列式的值。

2. 展开法:三阶行列式的展开法是一种将行列式按照某一行（或列）展开成若干个二阶行列式的方法。

具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 选择一行（或列）进行展开，例如选择第一行展开。

(2) 将展开的行（或列）的元素与其对应的代数余子式相乘，然后交替相加或相减：a * A11 -b * A12 +c * A13其中A11，A12，A13 分别是对应元素的代数余子式。

代数余子式的计算方法为，将包含对应元素的行和列划去，然后计算剩下的二阶行列式的值。

例如，A11 是划去第一行和第一列后剩余二阶行列式的值。

(3) 将上述结果相加或相减，即可得到行列式的值。

通过Sarrus法则或展开法，可以求解任意三阶行列式的值。

请注意，这些方法可以扩展到更高阶的行列式。

行列式三阶计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，在数学中被广泛地应用。

在矩阵理论中，行列式是一个非常有用的工具，可以用来求解多种数学问题。

行列式的概念最早起源于19世纪，而则是其中的一种特殊情况。

行列式三阶计算方法是指在一个3x3的矩阵中计算行列式的方法。

在实际应用中，行列式三阶计算方法可以帮助我们解决各种实际问题，比如解线性方程组、求解几何中的问题等。

行列式三阶计算方法在数学中占据着重要的地位，因为它不仅可以帮助我们求解问题，还可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和规律。

在三阶行列式的计算过程中，我们需要按照特定的规则和步骤进行操作，以确保最终计算结果的正确性。

在这篇文章中，我们将深入探讨行列式三阶计算方法的相关知识，希望能够给读者带来一些启发和帮助。

首先，我们需要了解什么是行列式。

在矩阵理论中，行列式是一个与矩阵相关的标量值，它可以用来描述矩阵的性质和特征。

行列式的计算方法与矩阵的大小密切相关，其中三阶行列式是其中的一种特殊情况。

在三阶行列式中，我们需要找出一个3x3的矩阵各元素的排列组合，然后进行加减乘除等运算，最终得出一个标量值作为该矩阵的行列式。

在行列式三阶计算方法中，我们首先需要确定矩阵中各元素的排列情况。

根据排列的不同，我们可以将矩阵分为正排列和逆排列两种情况。

在正排列中，矩阵各元素的排列顺序符合矩阵的顺序，而在逆排列中，矩阵各元素的排列顺序与矩阵的顺序不同。

根据这些排列情况，我们可以得出不同的计算方法和规则，以求得矩阵的行列式。

在三阶行列式的计算过程中，我们需要按照特定的步骤和规则进行操作。

首先，我们需要确定各元素的排列情况，然后按照排列的顺序进行计算。

在计算过程中，我们需要注意各元素的符号和位置，以确保计算的准确性。

在完成所有计算后，我们可以得出最终的行列式值，从而得知矩阵的性质和特征。

梳理一下本文的重点，我们可以发现，行列式三阶计算方法是线性代数中一个很重要的内容，能够帮助我们更好地理解矩阵的性质和规律，同时也能够应用到解决实际问题中。

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三阶行列式
三阶行列式是由三行三列构成的，其中角标有两个，第一个表示行序数，第二个表示列序数。

三阶行列式是除了二阶以外最好记的行列式。

三阶行列式计算公式：是行列式结果=a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、向量分析和微分几何等领域有广泛的应用。

在实际问题中，计算三阶行列式是一种常见的操作。

本文将介绍三阶行列式的计算技巧。

一、三阶行列式的定义ABCDEFGHI根据定义，三阶行列式的计算可以按照如下步骤进行：1.将行列式按行展开。

选择一个行号i，取第i行的元素a[i1]、a[i2]、a[i3]，其中i1、i2、i3是列号。

2.对于每一个选择，计算正负号。

一般的规则是：对于选择右上方元素的情况，取正号；对于选择左下方元素的情况，取负号。

3.将每一个选择的元素相乘，再将所有选择的结果相加。

得到的和就是行列式的值。

例如，对于三阶行列式，123，可以按照如下方式计算：123456789选择第1行，第1列的元素为1，选择右上方元素，取正号。

得到1*(5*9-6*8)=3选择第1行，第2列的元素为2，选择右上方元素，取正号。

得到2*(4*9-6*7)=-6选择第1行，第3列的元素为3，选择右上方元素，取正号。

得到3*(4*8-5*7)=3将三个结果相加，得到3+(-6)+3=0。

因此，该三阶行列式的值为0。

二、三阶行列式的性质1.换行性质：交换行列式的两行，结果变号。

考虑一个三阶行列式，ABC，如果交换第1行和第2行，行列式变为，DEF。

根据定义，交换行后的行列式为-(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。

2.倍增性质：其中一行乘以k倍，行列式的值也乘以k。

考虑一个三阶行列式，ABC，如果将第1行乘以k，行列式变为，kAkBkC。

根据定义，乘以k后的行列式为k^3*(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。

在实际计算中，为了简化计算和减少错误，可以使用一些技巧。

1.判断行列式是否等于0如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于0。

这是因为在展开计算时，相同的元素相乘得到的结果为0。

2.利用换行性质简化计算根据换行性质，交换行列式两行可以改变计算的顺序或者改变符号。