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数学运算概率公式数学运算是数学中的基本概念之一，它涉及到加法、减法、乘法、除法等操作。
在概率论中，概率公式是用来计算事件发生的可能性的数学公式。
常见的概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
首先，加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的并集的概率可以用加法法则表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
其次，乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率可以用乘法法则表示为P(A∩B) = P(A) P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式是一个重要的概率公式，用于计算一个事件的概率。
如果B1, B2, ..., Bn是一个样本空间的一个划分，即它们互不相交且并集为整个样本空间，那么事件A的概率可以用全概率公式表示为P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
最后，贝叶斯定理是用于计算在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理可以表示为P(B|A) = (P(A|B) P(B)) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
综上所述，数学运算涉及到基本的加减乘除等操作，而概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理，它们在概率论中被广泛应用于计算事件发生的可能性。
希望这些信息能够帮助你更好地理解数学运算和概率公式。
4.1.2 乘法公式与全概率公式学习目标 1.会应用乘法公式计算概率.2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．知识点一 乘法公式1．公式：P (BA )＝P (A )P (B |A )．2．意义：根据事件A 发生的概率，以及已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，可以求出事件A 与B 同时发生的概率． 知识点二 全概率公式1．全概率公式：一般地，如果样本空间为Ω，A ，B 为事件，则BA 与B A 是互斥的，且B ＝BΩ＝B (A ＋A )＝BA ＋B A ，从而P (B )＝P (BA ＋B A )＝P (BA )＋P (B A )，当P (A )>0且P (A )>0时，有P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )．2．定理1：若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足： (1)任意两个事件互斥，即A i A j ＝∅，i ≠j ，i ，j ＝1,2，…，n ； (2)A 1＋A 2＋…＋A n ＝Ω； (3)P (A i )＞0 ，i ＝1,2，…，n .则对Ω中的任意事件B ，都有B ＝BA 1＋BA 2＋…＋BA n ， 且P (B )＝∑i ＝1nP (BA i )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．思考 在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？ 答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式． 知识点三 贝叶斯公式一般地，当1>P (A )>0且P (B )>0时，有P (A |B )＝P (A )P (B |A )P (B )＝P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A ).1．P (AB )＝P (A )P (A |B )．( × )2．全概率公式中样本空间Ω中的事件A i 需满足的条件为∑i ＝1nA i ＝Ω.( × )3．贝叶斯公式是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率．( √ )一、乘法公式例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 答案 0.4解析 记“射中第一个目标”为事件A ，“射中第二个目标”为事件B ， 则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.5.所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 反思感悟 应用乘法公式的关注点(1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式．(2)用途：已知事件A 发生的概率和事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，求事件A 与B 同时发生的概率．(3)拓广：设A ，B ，C 为三个事件，且P (AB )＞0，则有P (ABC )＝P (C |AB )P (AB )＝P (C |AB )P (B |A )·P (A )．跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为________． 答案111解析 设A i (i ＝1,2)为第i 次抽到合格品的事件，则有 P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝10100×9099＝111. 二、全概率公式命题角度1 两个事件的全概率问题例2 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解 如果用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω， 由题意可知，P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，且P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12.(学生)反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A 1，A 2(或A 与A )． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．跟踪训练2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为350，乙厂每箱装120个，废品率为120，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解 记事件A ，B 分别为甲、乙两厂的产品，事件C 为废品，则Ω＝A ∪B ，且A ，B 互斥， (1)由题意，得P (A )＝3050＝35，P (B )＝2050＝25，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝7125. (2)P (A )＝30×10030×100＋20×120＝59，P (B )＝20×12030×100＋20×120＝49，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝59×350＋49×120＝118.命题角度2 定理1的应用例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级射手7人．一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率．解 设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”． 设事件B i 表示“射手是第i 级射手”(i ＝1,2,3)， 显然，Ω＝B 1＋B 2＋B 3.且P (B 1)＝520＝14，P (B 2)＝820＝25，P (B 3)＝720，P (A |B 1)＝0.9，P (A |B 2)＝0.7， P (A |B 3)＝0.5.由全概率公式得到P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3)．＝0.9×14＋0.7×25＋0.5×720＝0.68.反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P (B )＝ i ＝13P (A i )P (B |A i )．(2)已知事件B 的发生有各种可能的情形A i (i ＝1,2，…，n )，事件B 发生的可能性，就是各种可能情形A i 发生的可能性与已知在A i 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解 (1)从甲箱中任取2个产品的样本点有C 28＝8×72＝28(个)， 这2个产品都是次品的样本点有C 23＝3(个)， ∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝23，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，∴P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)·P (A |B 3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.三、贝叶斯公式的应用例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解 记事件A 1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A 2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A 3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B ＝“该产品是次品”．则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3两两互斥，由题设，知P (A 1)＝45%，P (A 2)＝35%，P (A 3)＝20%，P (B |A 1)＝4%，P (B |A 2)＝2%，P (B |A 3)＝5%. (1)由全概率公式得P (B )＝∑i ＝13P (A i )P (B |A i )＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )＝1835. 反思感悟 条件概率的内含(1)公式P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )反映了P (A 1B )，P (A 1)，P (B )，P (A 1|B )，P (B |A 1)之间的互化关系．(2)P (A 1)称为先验概率，P (A 1|B )称为后验概率，其反映了事情A 1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解 设事件A 表示取到的产品为正品，B 1，B 2，B 3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥， 由已知P (B 1)＝0.2，P (B 2)＝0.3，P (B 3)＝0.5， P (A |B 1)＝0.95，P (A |B 2)＝0.9，P (A |B 3)＝0.8.(1)由全概率公式得P (A )＝∑i ＝13P (B i )P (A |B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得 P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝0.2×0.950.86＝1986，P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )＝0.3×0.90.86＝2786，P (B 3|A )＝P (B 3)P (A |B 3)P (A )＝0.5×0.80.86＝4086＝2043.由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．1．第一个袋中有黑、白球各2只， 第二个袋中有黑、白球各 3 只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一、二次均取到白球的概率为( )A.17B.27C.12D.47 答案 B2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( ) A.275 B.7300 C.7375 D.9731 000 答案 C解析 设A i ＝“任意取出一个零件是第i 台机床生产的”，i ＝1,2，B ＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，∴P (B )＝ i ＝12P (A i )P (B |A i )＝23(1－0.03)＋13(1－0.02)＝292300＝7375.3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )A ．0.013B ．0.04C ．0.002D ．0.003 答案 A解析 设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1,2,3，则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥，易知P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2，P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01， P (A |B 3)＝0.01.∴P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)·P (B 3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________． 答案1325解析 设A ＝“从乙袋中取出的是白球”，B i ＝“从甲袋中取出的两球恰有i 个白球”，i ＝0,1,2.由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＝C 22C 25·410＋C 13C 12C 25·12＋C 23C 25·610＝1325.5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案 (1)1.47% (2)95294解析 A ＝“呈阳性反应”，B ＝“患有此种病”． (1)P (A )＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.5%×95%1.47%＝95294.1．知识清单： (1)乘法公式及应用． (2)全概率公式及应用． (3)贝叶斯公式及应用．2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．。
乘法原理的意思。
摘要：
一、乘法原理的概念
二、乘法原理的公式表示
三、乘法原理的应用举例
四、乘法原理在实际生活中的意义和作用
正文：
乘法原理，是概率论中一个重要的基本原理。
它是指，如果一个事件可以分为若干个互斥且独立的子事件，那么这些子事件发生的概率之积等于事件发生的概率。
用数学公式表示，即：P(A) = P(A1) × P(A2) × ...× P(An)。
为了更好地理解乘法原理，我们可以通过一些具体的例子来进行说明。
比如，抛一枚硬币两次，求两次都是正面的概率。
假设每次抛硬币正面的概率是1/2，那么根据乘法原理，两次都是正面的概率就是1/2 × 1/2 = 1/4。
乘法原理在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
比如，我们购买保险就是一种典型的乘法原理的运用。
保险公司会根据各种风险发生的概率来制定保费，每个人可能面临的风险越多，保费也就越高。
这就是把每个风险看作是一个独立的子事件，然后把这些子事件的概率相乘，得到总的风险概率，从而确定保费。
概率论乘法公式
概率论乘法公式是概率论中常用的一条基本公式，它也被称作“马尔可夫公式”，“乘积公式”或“不完全性定理”。
概率论乘法公式是一个统计学概念，用于表达在相互独立或者不相互独立的一组事件发生情况下，满足所有事件发生的条件概率。
具体地说，概率论乘法公式又称为贝叶斯乘积公式，它的本质是说明了一些事
件的发生是由其它几个事件相互作用而最终发生的。
也就是说，概率论乘法公式可以准确地表达一个发生的概率是由一系列的独立事件的发生的概率的乘积得到的。
例如，可以用概率论乘法公式来推导今天的天气是什么，这种现象是由昨天的气候情况和今天的大气环境状况共同影响所导致的。
概率论乘法公式非常重要，它不仅描述了概率的乘积，而且涵盖了概率的概念，它可以用来解释单个事件的发生概率，也可以用来解释多个事件之间的组合发生概率。
在处理统计学中的问题时，概率论乘法公式是非常有用的，可以帮助它准确地记录和预测不同类型的数据之间的关系。
概率论乘法公式还可以用来计算条件概率，这是一种比较复杂的概率计算方法，其原理是它可以准确地表达一系列条件的发生概率，这些条件之间可能存在关联，也可能不存在关联。
它能够估算出不同的事件发生机率，以及不同条件组合的概率，进而作出相应的结论和分析。
总之，概率论乘法公式是概率论中不可缺少的一条基础公式，它提供了一种灵
活精准的方法来表达概率间的相互关系，可以将概率理论应用于多种实际情况，对于研究概率论有特别的重要性。
概率的加法定理与乘法定理概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性。
在概率的研究中，加法定理和乘法定理是两个基本的规则，它们可以帮助我们计算复杂事件的概率。
本文将详细介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式及其应用。
一、概率的加法定理概率的加法定理是指当事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 或 B)表示事件A或事件B发生的概率。
应用概率的加法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
举例来说，假设某班级有30个男生和20个女生，如果从班级中随机选出一个学生，那么选中的学生是男生或女生的概率如何计算呢？解答：由于男生和女生是互斥的，即一个学生不可能既是男生又是女生，因此可以使用概率的加法定理来计算。
设事件A为选中的学生是男生，事件B为选中的学生是女生。
根据题目给出的信息，我们可以得到P(A) = 30/50，P(B) = 20/50。
根据概率的加法定理，我们有P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 30/50 +20/50 = 50/50 = 1。
所以，选中的学生是男生或女生的概率为1，即100%。
二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指当事件A和事件B是独立事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然）时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 且 B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 且 B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
应用概率的乘法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然；事件A和事件B同时发生的可能性大于零，即事件A和事件B不能同时为不可能事件。
条件概率与乘法定理
在概率论中，条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算方法可以由乘法定理来表示。
乘法定理是概率论中的基本定理之一，它表明两个事件共同发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以在该事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率；P(A∩B)表示A事件与B事件同时发生的概率；P(B)表示B事件发生的概率。
乘法定理可以表示为：
P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
这意味着事件A与事件B同时发生的概率等于已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率乘以B事件发生的概率。
条件概率与乘法定理在实际应用中具有重要的意义。
例如，在医疗诊断中，通过已知某种疾病的患病率以及某种诊断方法的准确率，可以计算出在进行该诊断方法的情况下，某人患病的概率。
在金融风险评估中，可以通过已知某种投资品的风险以及市场情况的变化，来计算在特定市场条件下的投资风险。
此外，条件概率与乘法定理也在统计学中被广泛应用。
在贝叶斯定理中，条件概率是重要的基础，用于根据先验概率和观察到的证据来更新概率分布。
总结起来，条件概率与乘法定理是概率论中重要的概念和工具，它们能够帮助我们计算两个事件共同发生的概率。
在实际应用中，我们可以利用条件概率和乘法定理来进行各种概率计算和预测，从而帮助我们做出更加明智的决策。
乘法原理的意思。
（原创版）目录1.乘法原理的定义2.乘法原理的公式表示3.乘法原理的实际应用4.乘法原理与加法原理的区别正文乘法原理，又称为分布律，是一种概率论中的基本原理。
它主要用于计算多个事件同时发生的概率。
乘法原理的意思是：如果事件 A 可以分解为若干个互不相交的子事件，事件 B 也可以分解为若干个互不相交的子事件，那么，事件 A 和事件 B 同时发生的概率就等于各子事件概率的乘积。
乘法原理的公式表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A) 或者 P(A∩B) = P(B) * P(A|B)。
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
乘法原理在实际应用中非常广泛。
例如，在统计学中，我们常常用乘法原理计算多个因素同时影响的概率。
例如，假设有一个袋子里有 3 个红球和 2 个绿球，我们先后两次随机从袋子里抽出一个球，抽出后不放回。
那么，抽到两次都是红球的概率就是 3/5 * 2/4 = 3/10。
乘法原理与加法原理是概率论中另外两个基本的原理。
乘法原理描述的是多个事件同时发生的概率，而加法原理描述的是多个事件中至少发生一个的概率。
例如，假设有一个袋子里有 3 个红球和 2 个绿球，我们先后两次随机从袋子里抽出一个球，抽出后不放回。
那么，抽到两次都是红球的概率就是乘法原理；而抽到至少有一次是红球的概率就是加法原理，即 1 - P(两次都是绿球) = 1 - 2/5 * 1/4 = 9/10。
总的来说，乘法原理是一种计算多个事件同时发生概率的基本方法，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
1.5概率的乘法公式1.5.1条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由 3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到 奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用 Y ”表示，没有抽到的用 Y ”表示，用n (A )表示事件A 中基本 事件的个数，那么所有可能抽取情况为 门二｛YYY ，丫YY ,YYY ｝，用B 表示最后一名同学抽到 中奖奖券的事件，则B =｛YY Y ｝，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率 又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为A =｛Y Y Y ,YY Y ｝，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 旦二丄，不妨n ( A ) 2记为 P (B | A ).显然，知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A 的发生，会影响事件B 发生的概率， 从而导致了 P (B 厂P (B | A ). 【问题3】对于上面的事件A 和B ，计算P (B | A )的一般想法是什么？既然已经知道了事件 A 的必然发生，所以只需局限在 A 发生的范围内考虑问题，在事 件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生，对于古p ( B )=n ( B )n (「典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为精品资料P ( B | A)=迪为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形:m ( AB )/ n (」) P (AB ) m (A )/ n (「)一 P (A )因此有这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义般地，设A ，B 为两个事件，且p (A ) 0，称P ( AB ) P ( A )为在事件A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率(conditional probability). 般地，把P (B | A )读作A 发生的条件下B 的概率 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即如果B 和C 是两个互斥事件，则例1 .在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取 (1) 第1次抽到理科题的概率；(2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。
【答案】设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ， 2次都抽到理科题为事件AB.(1) 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为n ( AB ) P (B | A )=P ( AB ) P (A )2道题，求:则第1次和第n （l |） = A 20.根据分步乘法计数原理，n （A ）二A ； A ； =12，于是(2) 因为 n (AB ) = A =6，所以n ( AB )⑶ 解法1由（1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为解法2因为n （ AB ）= 6，n （ A ）= 12，所以提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。
例2. 一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女 孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝，｛第一个是男孩，第 二个是女孩｝，｛第一个是女孩，第二个是男孩｝ , ｛两个都是女孩｝。
由题目假定可知这 4 个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为门，A=其中一个是女孩”,B=其 中一个是男孩”。
贝U'■1 =｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝ A=｛（男，女），（女，男），（女，女）｝ B=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝问题是求在A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P （B | A ）. 法一：由上面分析可知n （ A ）二3，n （A 「B ）= 2.精品资料n ( A ) n(⑴12 3 205n (')20 10P (B I A)=P ( AB ) P ( A )1 - 2-3一103一n ( AB ) n ( A )12由公式①可得P( B I A)二2因此所求的条件概率为法二：由上面分析可知P( A) = 3，P( A - B)二-.由公式②可得P( B | A)=刍=34因此所求的条件概率为例3.已知有10只产品，其中6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次(1) 已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；(2) 已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；(3) 二次都抽到正品的概率；⑷已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；【答案】根据题意得：设正品编号为乙忆：上彳么彳么厶上点，次品编号为G,C2,C3,C4，基本事件空间是乙乙，III川1"1丨川I川川,乙Ci,乙C2,乙C3, Z C4,，其中共有90个基本事件，设事件A(i =1,2)表示第i次抽到正品，事件B i(i=1,2)表示第i 次抽到次品，则⑶…八冷3；例4. 一张储蓄卡的密码共有6为数字，每位数字都可以从 0~9中任选一个。
某人在 银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。
求(1) 任意按最后一位数字，不超过 2次就按对的概率；(2) 如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过 2次就按对的概率；【答案】设第i 次按对密码为事件A (i =1,2)，则A 二A - ( A1A > )表示不超过2次就按 对密码.(1)因为事件A 与事件AA 互斥，由概率的加法公式得P (A )二 P (A) P (AA )19 1 1 --- ----- r ---------------------- —10 10 95(2)用B 表示最后一位按偶数的事件，则P ( A | B ) = P ( A 1 | B ) P (AA | B )14 12 - -- "t - ----- -- - 5 5 4 5 '【习题1.5.1 (A)】1.下列式子成立的是( )A. P ( A | B ) = P ( B | A )C. P (AB ) = P (A ) *P (B | A ) 【答案】CP (A 21 A )=P ( A < A )30 / 90 30 5一 54 / 90 一 54一 9P ((A _ A 2 )1( A — A 2))p ( A l - A ) p ( A l - A )30 / 90 78 / 90 3078 513B. 0 - P (B | A ) ：1 D. P (A B | A )二 P (B )2.在10个形状大小均相同的球中有 6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率为（ ）1 2 1，P (A ) = 2，贝U P (AB )等于(35【答案】A概率是（）【答案】A子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是B.-4【答案】C【答案】0.5，贝贝问题由乙答对的概率为 ______ . 【答案】-108. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品, 则第2次抽出正品的概率为 _______ . 【答案】9599【答案】593.已知 P （B |A ）A.B.-10C.-15D.丄154.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之和大于20的A.B.C.D.5. 一个盒子里有 20个大小形状相同的小球，其中 5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒C.-3D.6•根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 9 1130，下雨的概率为30，既吹东风又下雨的概率为 A. 211—，则在吹东风的条件下下雨的概率为30B.—11C.-5D.7. 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲打错，由乙答，答对的概率为31.已知P (B | A 厂10A.B. 1 …P ( A )，贝U P (AB )=(53C. 223D.3 509.从1~100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于 50的数，则它是2或3的倍数的概率为 ________ . 【答案】335010•把一枚硬币任意掷两次，事件 A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现正面”，求P ( B | A ).【答案】1211. 盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球， 已知它不是黑球，试求它是黄球的概率. 【答案】1312. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号 箱中取出一球放入2号箱，然后从二号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱取出的是红球的条件下，从 2号箱取出红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少?13. 某校高三(1)班有学生40 人，其中共青团员15 人，全班分成4个小组，第一组有学生 10人，共青团员4人。
从该班任选一个作学生代表 (1)求选到的是第一组的学生的概率; (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 【答案】【习题1.5.1 (B)】【答案】 (1)8 30【答案】D2. 由0”、 1 ”组成的三维数码组中，若用 A 表示 第二位数字为0”的事件，用B 表示第 一位数字为0”的事件，贝U P (A | B )=()【答案】A【答案】C率是()【答案】C一 个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 __________【答案】127. 一个口袋内装有2个白球，3个黑球，贝(1)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？ (2)先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？ 【答案】(1) 2(2) 15431A.B.-C.-D.3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是1概率为—，则在下雨天里，刮风的概率为(10 -，刮三级风的概率为-，即刮风又下雨的1515)A.8 225B.-C.D.4. 一个口袋中装有 2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回,在摸出一个白球的概A.B.C.D.5.把一枚骰子连续掷两次, 已知在第一次抛出是偶数点的情况下, 第二次抛出的也是偶数点的概率为()1 A. 1B. 12【答案】BC. D.6.设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。
现有8. 某种元件用满6000小时未坏的概率是3,用满10000小时未坏的概率是—，现有一个4 2此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率.【答案】239. 某个班级共有学生40人，其中团员15人，全班分成四个小组，第一组有学生10人, 其中团员4人。
