备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.1椭圆试题文(含解析)

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

椭圆一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可设，，，令，代入椭圆方程可得，可得，设直线AE的方程为，令，可得，令，可得，设OE的中点为H，可得，由B，H，M三点共线，可得，即为，化简可得，即为，可得．故选：A．由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，分别令，，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.（正确答案）A解：的周长为，的周长，，，离心率为，，，，椭圆C 的方程为．故选：A．利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3. 曲线的方程为，若直线l与曲线有公共点，则k的取值范围是A. B.C.D.（正确答案）A试题分析：方程表示的是动点到点，的距离之和为2，即有P 的轨迹为线段，直线l 为恒过定点的直线，，，直线l 与曲线有公共点，等价为，即为．第!异常的公式结尾页，共16页24. 若椭圆C ：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）C解：依题意可知，而椭圆的离心率．故选：C．先根据题意可知，进而求得a和c的关系，离心率可得．本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题．Array5. 已知中，A、B 的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是A. B.C. D.（正确答案）B解：，三角形的周长为10，，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，且，，，故椭圆的方程为，故选：B．根据三角形的周长及，可得，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．6. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B ，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P 满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）A解：依题意，作图如下，，，，3直线AB 的方程为：，整理得：，设直线AB 上的点则，，，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，椭圆的离心率为．故选A．第!异常的公式结尾页，共16页4由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB 的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为A. B. C. D.（正确答案）C解：椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为：，可得：，，解得，，所求的椭圆方程为：．故选：C．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线不与x 轴垂直与椭圆交于A，B 两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为5A. B. C. D.（正确答案）C解：可设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，，由椭圆的定义可得的周长为4a，即有，即，，则，在中，，直线AB 的斜率为，故选：C．假设构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得，，则直线AB 的斜率为．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．9. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A. B. C. D.（正确答案）D解：椭圆的焦点坐标，离心率为：，双曲线的焦点，，双曲线的离心率为2．第!异常的公式结尾页，共16页6可知，则，双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为：．故选：D．求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为A. B. C. 3 D. 6（正确答案）A解：椭圆，P为椭圆上一点，设，，，到直线的距离：，当且仅当时取得最小值．点P 到直线的距离的最小值为．故选：A．设，，，求出P 到直线的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A、B两点，若是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为A. B. C. D.（正确答案）D Array解：如图，设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，7第!异常的公式结尾页，共16页8则，，由椭圆的定义可得的周长为4a ，即有，即，则，在直角三角形中，，即，，则，．故选：D ．设，，若构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则，，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，求得，开方得答案．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．12. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P 满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）D解：依题意，作图如下：由，，，，可得直线AB 的方程为：，整理得：，设直线AB 上的点，则，，由，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，可得，故选：D．由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB 的方程，由，得，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C 两点，且，则该椭圆的离心率是______．9（正确答案）【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，设右焦点，将代入椭圆方程求得B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式，计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求属于中档题．【解答】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，由，可得，即有，化简为，由，即有，由，可得，可得，另解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，，，，则十，因为，代入得，第!异常的公式结尾页，共16页10由，可得，可得．故答案为．14. 已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，，成等差数列，则C的离心率为______ ．（正确答案）解：，，成等差数列，，即，．故答案为：．根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率．本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题．15. 椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，右顶点为A，直线与交于点若，则C的离心率等于______ ．（正确答案）解：如图所示，设，由，得：，根据三角形相似得：，求得：，又直线的方程为将点代入，得：，．故答案为：．由，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．16. 已知椭圆经过点，且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率 ______ ．（正确答案）解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则，即，又由椭圆经过点，则有，又由，解可得，则，则该椭圆的离心率；故答案为：．根据题意，由椭圆的定义分析可得，将点A的坐标代入椭圆方程可得，由a的值解可得b的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式计算可得答案．本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知椭圆E：的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，．Ⅰ当，时，求的面积；Ⅱ当时，求k的取值范围．（正确答案）解：Ⅰ方法一、时，椭圆E的方程为，，直线AM的方程为，代入椭圆方程，整理可得，解得或，则，由，可得，由，，可得，整理可得，由无实根，可得，即有的面积为；方法二、由，可得M，N关于x轴对称，由可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，，，则的面积为；Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，，由，可得，整理得，由椭圆的焦点在x轴上，则，即有，即有，可得，即k的取值范围是．Ⅰ方法一、求出时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，求得交点M，可得，，再由，求得t，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．求椭圆的方程和抛物线的方程；设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．（正确答案）Ⅰ解：设F的坐标为．依题意可得，解得，，，于是．所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．Ⅱ解：直线l的方程为，设直线AP的方程为，联立方程组，解得点，故联立方程组，消去x，整理得，解得，或．直线BQ的方程为，令，解得，故D．．又的面积为，，整理得，解得，．直线AP的方程为，或．根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；设AP方程为，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19. 已知椭圆E：的离心率为，右焦点为．求椭圆的方程；设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若，求直线l的方程．（正确答案）解：依题意得，，；分解得，；椭圆E的标准方程为；分设，，当MN垂直于x轴时，MN的方程为，不符题意；分当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为；分由得：，分，；分；又，；，解得，分直线l的方程为：分根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．。

解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。

数学椭圆试题答案及解析1.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C 上的点到右焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：原点O到直线AB的距离为定值；②求AB的最小值．【答案】（1）（2）①见解析②【解析】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e．于是．设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以． 3分因为所以椭圆方程为 5分（2）①设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知．当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是． 7分当直线的斜率存在且不为时，则，解得同理 9分在Rt△OAB中，，则，所以．综上，原点到直线的距离为定值． 11分②因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值．，令，则，于是， 14分因为，所以，当且仅当，即，取得最小值，因而所以的最小值为． 16分2.（本小题满分12分）已知在椭圆中，分别为椭圆的左右焦点，直线过椭圆右焦点，且与椭圆的交点为（点在第一象限），若．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与轴分别交于两点A、B，且满足，延长，分别交椭圆于两点，判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由已知得，在中，，在中，,所以，故． 2分令，得……①，又在中，……②，联立之，得，故椭圆的方程为．……4分（Ⅱ）由已知直线斜率互为相反数，设直线的方程为联立，消去得，， 6分由是直线和椭圆一交点，则，得， 8分设直线的方程为同理可得，， 10分∴． 12分【考点】本题考查椭圆的标准方程、向量数量积运算、直线方程等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想、转化与化归思想以及综合分析问题解决问题的能力以及运算能力．3.（本小题满分12分）已知在椭圆中，分别为椭圆的左右焦点，直线过椭圆右焦点，且与椭圆的交点为（点在第一象限），若．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）以为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长，分别交椭圆于两点，判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由已知得，在中，，在中，,所以，故． 2分令，得①，又在中，②，联立之，得，故椭圆的方程为． 4分（Ⅱ）由已知直线斜率互为相反数，设直线的方程为联立，消去得，， 6分由是直线和椭圆一交点，则，得， 8分设直线的方程为同理可得，， 10分∴． 12分【考点】本题考查椭圆的标准方程、向量数量积运算、直线方程等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想、转化与化归思想以及综合分析问题解决问题的能力以及运算能力．4.已知是椭圆上两点，点M的坐标为.当两点关于轴对称，且为等边三角形时，这的长为（）A．B．C．或D．无法确定【答案】C【解析】设,，因为为等边三角形，所以. 又点在椭圆上，所以消去，得到，解得或，当时，；当时，.【考点】椭圆的几何性质5.（本小题满分12分）已知点是椭圆：上一点，分别为的左右焦点，，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线和椭圆交于两点，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由已知得，，又，故，从而，故椭圆的方程为． 4分（Ⅱ）等价于，则，设，，故，则①， 6分设直线的方程为，由，消并整理得， 8分则②，③，由①②③解得，因此存在直线：使得△与△的面积比值为． 12分【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、三角形面积公式、椭圆的简单几何性质、向量的坐标运算等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想、转化与化归思想以及综合分析问题解决问题的能力以及运算能力．6.（本题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，求证：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．【答案】(I) (Ⅱ)见解析【解析】(1) 由题意知，，所以．因为所以，所以．所以椭圆的方程为． 4分（II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.又，两点在椭圆上，所以，．所以点到直线的距离． 6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得． 8分由已知．得：设，．则：所以，．因为所以．所以．即． 10分所以．整理得，满足成立．所以点到直线的距离为定值． ·14分【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查考生的运算能力，逻辑思维能力以及综合运用数学知识解决问题的能力．7.安徽理）（设椭圆的焦点在轴上（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。

椭圆经典精讲1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、题面：集合}12|),{(}4|),{(2222=+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）.A.A B A =IB.A B ⊆C.B A ⊆D.A ∩B = Ø 答案：D.变式一题面：设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解：若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．变式二题面：若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个答案：B. 详解：由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．题2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。

若容器底面与桌面成角为60o，则这个椭圆的离心率是 。

答案：解题步骤： 由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ，即：2,,a r b r c ===，2e =.变式一题面：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14答案：B. 详解：由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.变式二题面：60o4r2r(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45答案：C. 详解：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.题3、题面：椭圆22143x y +=与圆 22(1)1x y -+=的公共点个数是 。

第01讲椭圆(重点题型方法与技巧)题型一:椭圆的定义及辨析1设P 为椭圆C :x 216+y 212=1上的点，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且PF 1 -PF 2 =83，则PF 1 PF 2 =( )A.32B.2C.56D.32已知F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 23=1的两个焦点，点M 在椭圆C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为( )A.13B.12C.9D.63椭圆x 2m 2+1+y 2m2=1m >0 的焦点为F 1，F 2，与y 轴的一个交点为A ，若∠F 1AF 2=π3，则m =( )A.1B.2C.3D.24若椭圆C :x 2m +y 29=1(m >0)上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =( )A.1B.3C.6D.1或3题型二:椭圆的标准方程1已知椭圆的两个焦点为F 1(-5,0)，F 2(5,0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，MF 1 ⋅MF 2 =8，则该椭圆的方程是( )A.x 27+y 22=1 B.x 22+y 27=1C.x 29+y 24=1D.x 24+y 29=12若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为( )A.x 212+y 29=1 B.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1C.x 29+y 212=1 D.x 23+y 29=13已知F 1-1,0 ，F 21,0 是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =3，则椭圆C 的标准方程为( )A.y 24+x 23=1 B.x 24+y 23=1C.y 24+x 2=1D.x 24+y 2=14已知椭圆C 的焦点为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点F 2与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且∠AF 1B =120°，S △F 1AB =233，则此椭圆的标准方程为___________.5焦点在y 轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为( )A.x 2100+y 264=1B.y 2100+x 264=1C.x 225+y 216=1D.x 216+y 225=16(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( )A.x 2100+y 284=1 B.x 225+y 29=1C.y 2100+x 284=1D.y 225+x 29=17以椭圆x 225+y 216=1的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为______．题型三:椭圆中的焦点三角形问题1角度：焦点三角形的边长或周长问题1已知F 1,F 2分别为椭圆x 225+y 29=1的左右焦点，倾斜角为π3的直线l 经过F 1，且与椭圆交于A ,B 两点，则△F 2AB 的周长为___．2已知椭圆C ：x 2a2+y 216=1a >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，△PF 1F 2的周长为16，则a =___________.3已知椭圆x 225+y 29=1的右焦点为F ，上顶点为B ，A 是椭圆上一点，则△ABF 的周长最大值为( )A.14B.16C.18D.204已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 23+y 22=1的左右焦点，直线x -2y +1=0 与椭圆交于P ，Q 两点，则△PQF 2的周长为.5已知椭圆C :x 29+y 25=1的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点A 0,23 ，则△APF 的周长最大值为()A.9+21B.7+23+5C.14D.15+32角度：焦点三角形的面积1已知点P 在椭圆x 216+y 24=1上，F 1与F 2分别为左、右焦点，若∠F 1PF 2=2π3，则△F 1PF 2的面积为()A.43B.63C.83D.1332设F1,F2是椭圆x212+y224=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且cos∠F1PF2=13.则△PF1F2的面积为()A.6B.62C.8D.823已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2为C的左、右焦点，P(m,n)(m>0,n>0)为C上一点，且△PF1F2的内切圆半径为1，若△PF1F2的面积为2b，则n的值为() A.35 B.43 C.83 D.34已知F1、F2为椭圆Γ:x24+y2=1的左、右焦点，M为Γ上的点，则△MF1F2面积的最大值为()A.3B.2C.23D.45(多选)双曲线C:x212-y24=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在C上.若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为()A.833B.433C.4D.26若椭圆x225+y29=1的焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为．7已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的两个焦点，P为椭圆C上一点，且S△PF1F2=3，则∠F1PF2=()A.π6B.π3C.π2D.2π3 3角度：焦点三角形的其他问题1已知F1，F2是椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2=120°，点O为坐标原点，则OD=()A.1B.52C.62D.322如图，己知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点，M，N为椭圆上两点，满足F1M⎳F2N，且F2N:F2M:F1M=1:2:3，则∠F1MF2的余弦值为.3已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为.题型四:椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值1已知F是椭圆C:x216+y215=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(4,4)，则|PQ|+|PF|的最大值为()A.41B.13C.3D.52已知点A(1,1)，且F是椭圆x24+y23=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，则PF+PA的最小值是()A.6B.5C.4D.33已知椭圆x24+y23=1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则PA+PF的最小值为()A.3B.10C.5+12D.5+14已知F为椭圆x225+y29=1的左焦点，B(2,2)是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF+MB的最大值为，最小值为.5已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2,4)，则|PA|-|PF|的最小值为()A.1B.-1C.17D.-176已知F1是椭圆9x2+25y2=225的左焦点，P是此椭圆上的动点，A1,2是一定点，则PA+PF1的最大值为．7已知点A4,0，B2,2是椭圆x225+y29=1内的两个点，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值为．题型五:与椭圆有关的轨迹问题1如果点M (x ,y )在运动过程中，总满足关系式x 2+y +3 2+x 2+y -3 2=43，那么点M 的轨迹是．2已知动点P 与平面上两定点A -2,0 ，B 2,0 连线的斜率的积为定值-12．则动点P 的轨迹方程为3如图，两个定圆⊙C 1和⊙C 2内切，且半径分别为r 1=1，r 2=3，动圆M 与⊙C 1外切且与⊙C 2内切，那么动圆圆心M 的轨迹是什么？并说明理由．C 1C 2M4已知点A ，B 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-34，求点M 的轨迹方程．5已知圆C 1：x +1 2+y 2=1和圆C 2：x -1 2+y 2=25，动圆M 同时与圆C 1外切和圆C 2内切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为．6一个动圆Q 与圆Q 1:x +3 2+y 2=1外切，与圆Q 2:x -3 2+y 2=81内切，试判断圆心Q 的轨迹，并说明理由．7已知点M 到定点F 1,0 的距离和它到定直线l :x =4的距离的比是常数12，设点M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程，并说明轨迹是什么图形．8设动点M 到定点F (2,0)的距离与它到直线l :x =92的距离之比为23，求点M 的轨迹方程．题型六:椭圆的离心率问题1角度：求椭圆的离心率或离心率取值范围1已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若PF 1 ⋅PF 2=0，且S △F 1PF 2=c 2，则E 的离心率为()A.255B.63C.22D.322设P 是椭圆C ：x 2a2+y 26=1(a >6)上任意一点，F 为C 的右焦点，PF 的最小值为2，则椭圆C 的离心率为．3已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆左右焦点，过F 1、F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M 、N 、P 、Q 四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M 、N 、P 、Q 所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为.4已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)与圆C 2:x 2+y 2=4b 25，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,2105B.0,64C.2105,1D.64,1 5设F 1，F 2为椭圆C 的两个焦点，M 为椭圆C 上一点，MF 1 =12，MF 2 =16，sin ∠MF 2F 1=35，则椭圆C 的离心率e =.6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使k AP ⋅k BP ∈-13,0 ，则椭圆的离心率e 的取值范围是．7设F 1，F 2同时为椭圆C 1：x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2：x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的左右焦点，设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，O 为坐标原点．若F 1F 2 =4MF 2 ，则e 1e 2的取值范围是()A.0,23B.23,32C.23,2D.23,+∞8已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，对于C 上的任意一点P ，圆O :x 2+y 2=b 2上均存在点M ，N 使得∠MPN =60°，则C 的离心率的取值范围是()A.0,32B.32,1) C.0,12D.12,12角度：由椭圆的离心率求参数的取值范围1已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b >0)的离心率为1010，则b 等于()A.3 B.13C.910D.310102(多选)椭圆x 29+y 24+k=1的离心率为45，则k 的值为( )．A.-21 B.-1925 C.1925 D.213已知椭圆x 2+my 2=1的离心率e ∈12,1，则实数m 的取值范围是．4已知椭圆x 29+y 24-k=1的离心率为13，则k 的值为()A.-4B.4C.-4或-498D.4或-4985焦点在x 轴上的椭圆x 29+y 24+k=1的离心率为23，则实数k 的值为.6椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，斜率为1的直线l 过左焦点F 1，交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的内切圆的面积是π，若椭圆C 的离心率的取值范围为24,22，则线段AB 的长度的取值范围是()A.24,22B.1,2C.4,8D.42,82题型七:椭圆上点到直线距离最值1已知椭圆C :x 22+y 2=1，直线l :y =x +3，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为()A.3-32B.2+32C.3+32D.22椭圆x 24+y 23=1上的点P 到直线l ：x +y +3=0的距离的最小值为()A.3-72B.3+72C.32-142D.32+1423已知点P x ,y 在椭圆x 24+y 23=1上运动，则x +2y 的最大值是；点P 到直线l ：x-2y -10=0的最小距离是.4设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为()A.52B.6C.5D.25已知点P 是椭圆x 24+y 23=1上任一点，那点P 到直线l ：x +2y -12=0的距离的最小值为()A.455B.855C.1255D.1655题型八:椭圆中的弦长问题1角度：求椭圆中的弦长1一条过原点的直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的一个交点为3,6 ，则它被椭圆截得的弦长等于()A.3B.6C.23D.262椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点0,1 且长轴长为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 1,0 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .3已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1-3,0 ，F 23,0 ，且长轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)直线y =x +1与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长AB .4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的离心率为22，左右焦点分别为F 1-1,0 ，F 21,0 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1作斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，过原点作AB 的垂线，垂足为D .若点D 恰好是F 1与A 的中点，求线段AB 的长度.5已知P 为椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任意一点，F 1,F 2为左､右焦点，M 为PF 1中点.如图所示：若OM +12PF 1 =2，离心率e =32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线l 经过-1,12且斜率为12与椭圆交于A ,B 两点，求弦长AB 的值.6已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2．(1)求椭圆M 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P 2,0 ，直线PC 的斜率为12，求线段CD 的长度．2角度：根据弦长求参数1已知斜率为2的直线l 与椭圆2x 2+3y 2=6交于A 、B 两点且AB =2107，求直线l 的方程．2椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与圆x 2+y 2=b 2(x >0)相切，与椭圆交于M ,N 两点，且|MN |=3，求直线l 的方程．3已知椭圆E 经过点2,33和点-1,63.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆C :x 2+y 2=1，直线l 与圆C 相切于P x 0,y 0 ,x 0<0，与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |=3，求直线l 的方程.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，点A 3,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l :y =k x -3 k ≠0 与椭圆C 交于P ，Q 两点，点M 是线段PQ 的中点，直线l 过点M ，且与直线l 垂直.记直线l 与y 轴的交点为N ，是否存在非零实数k ，使得MN =1227？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.5已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ,B ，已知点A 的坐标为(-a ,0)，若AB =425，求直线l 的方程．6已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两焦点为F 1-1,0 和F 21,0 ，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且△F 1AB 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)若△F 1AB 的面积为1227，求直线AB 的方程.7已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且经过点(2，1)，直线l 经过P 0，1 ，且与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当AB =3，求此时直线l 的方程；8已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，上顶点为A 0,1 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 0,3 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，且MN =827，求k 的值．9椭圆C ：x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点.(1)当P 为椭圆C 的上顶点时，求∠F 1PF 2的余弦值；(2)直线y =k x -2 与椭圆C 交于A ，B ，若AB =465，求k .题型九:椭圆中三角形(四边形)面积问题1定值(最值)问题1已知椭圆x 225+y 29=1的焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.3B.9C.33D.932椭圆x225+y29=1的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为.3已知直线l：x+y=3与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在椭圆x22+y2=1上运动，则ΔPAB面积的最大值为A.6B.33+22 C.33-32 D.33+324已知椭圆的中心在原点，焦点F2,0，且经过点0,2．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有一点P，另一焦点F1，求△FPF1的面积的最大值．5已知动点M到定点F1(-3,0)和F2(3,0)的距离之和为4(1)求动点M轨迹E的方程；(2)若直线l:x-y-1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积6点N x0,y0是曲线Γ:ax2+by2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x0,y0处的切线方程为ax0x+by0y=1．如图，点P是椭圆C:x22+y2=1上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆O:x2 +y2=4于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求△OPM面积的最大值．7已知椭圆W：x24m+y2m=1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1,0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)求四边形ACBD面积的最大值；8已知椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|=3，则△F1PF2的面积为．9已知曲线C:ax2+by2=1过点1,2 2和-12,-144．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x -y -2=0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积(其中O 是坐标原点)．10已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为F (-3,0).(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右焦点，过点F 且斜率为1的直线交椭圆E 于M ,N 两点，求△AMN 的面积.11椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为22，O 为原点.椭圆E 上任意一点到F 1，F 2距离之和为23.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P (0，2)的斜率为2的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点，求△OAB 的面积.12已知：椭圆C :x 22+y 2=1，直线l :y =kx +2，直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点.(1)若MN 的中点的横坐标为1，求k 的值；(2)求△OMN 面积的最大值.13已知①如图，长为23，宽为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆M :x 2a2+y 2b 2=1恰好过CD 两点O xyA B CD ②设圆(x +3)2+y 2=16的圆心为S ，直线l 过点T (3,0)，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否椭圆(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；(2)根据(1)所得椭圆M 的标准方程，若直线l :y =kx +2与椭圆相交于P ､Q 两点，求S △POQ 的最值.14已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)题型十:椭圆中的中点弦问题1角度：点差法1斜率为14的直线l 与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 相交于A ，B 两点，且l 过C 的左焦点，线段AB 的中点为M -2,1 ，C 的右焦点为F ，则△AFB 的周长为.2已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，AB 的中点坐标为-23,13.求椭圆C 的标准方程；3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，短轴顶点分别为M 、N ，四边形MF 1NF 2的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为-2,1 ，求直线l 的方程.4已知椭圆的焦点F 1-1,0 ，F 21,0 ，P 是椭圆上一点，且满足PF 1 +PF 2 =4，(1)求椭圆的标准方程.(2)若直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M 1,12 ，求直线l 的方程.5已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 3,1 在E 上，且MF 1 +MF 2 =43．(1)求E 的标准方程；(2)若直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 中点为P -2,1 ，求直线l 的方程．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ,B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5，求椭圆C 的标准方程；7已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 )，O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为-12．求椭圆C 的离心率；8椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，A ，B 为其左右顶点，G 点坐标为c ,1 ，c 为椭圆的半焦距，且有AG ⋅BG =0，椭圆E 的离心率e =22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，M ，N 为椭圆上不重合两点，且M ，N 的中点H 在直线y =12x 上，求△MNO 面积的最大值.9已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，短轴顶点分别为M ，N ，四边形MF 1NF 2的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为-4,2 ，求直线l 的方程.2角度：韦达定理法1已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线x +2y -2=0交于A 、B 两点，|AB |=5，且AB 中点的坐标为m ,12，则此椭圆的方程为．2已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与直线x +2y -2=0交于A 、B 两点，AB =5，且AB 的中点的坐标为m ,12 ，求此椭圆的方程．题型十一:椭圆中定点问题1已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的一个顶点为D 0,-1 ，离心率为22.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为k k ≠0 的直线m 与椭圆相交于两点A ，B ，与y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP (其中O 为原点)，证明直线l 过定点.2设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M (2,2)，N (6,1)两点，O 为坐标原点(1)求椭圆E 的方程;(2)设E 的右顶点为D ，若直线l :y =kx +m 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)且满足DA +DB =DA -DB ，证明:直线l 过定点，并求该定点坐标.3已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =63，上顶点是P ，左､右焦点分别是F 1，F 2，若椭圆经过点2,33.(1)求椭圆的方程；(2)点A 和B 是椭圆上的两个动点，点A ，B ，P 不共线，直线PA 和PB 的斜率分别是k 1和k 2，若k 1k 2=23，求证直线AB 经过定点，并求出该定点的坐标.4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为23，离心率为12.(1)求椭圆的方程；(2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；(3)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．题型十二:椭圆中定值问题1在平面直角坐标系中，动点P 到点F 2,0 的距离和它到直线l :x =92的距离之比为23.动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么图形；(2)已知曲线C 与x 轴的交点分别为A ,B ，点M 是曲线C 上异于A ,B 的一点，直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.2在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，其离心率e =223，且椭圆C 经过点M (32,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作两条不同的直线与椭圆C 分别交于点A ,B (均异于点M ).若∠AMB 的角平分线与y 轴平行，试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为e =12，上顶点P 0,3 ，M 、N 为椭圆上异于点P 且关于原点对称的两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证k PM ⋅k PN 为定值．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，并且经过点P -1,32 ，(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 关于坐标原点O 的对称点为Q ，点M (x 0,y 0)(x 0≠±1)为椭圆C 上任意一点，直线PM ,QM 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1⋅k 2为定值．题型十三:椭圆中定直线问题1已知点M -1,m m >0 ，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1相交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：y 2-y 1x 2-x 1>12；(2)设C 的左焦点为F ,若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为23，求l 的方程.2已知B -1,0 ,C 1,0 为△ABC 的两个顶点，P 为△ABC 的重心，边AC ,AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点N -3,0 ,E -2,0 ,F 2,0 ，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.题型十四:椭圆中向量问题1在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)斜率为2的直线l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点P -3,0 ，求PA ⋅PB 的值．2已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为M 、N ，点M 的坐标为M (0,2)，在下列两个条件中任选一个：①离心率e =22；②四边形F 1MF 2N 的面积为4，解答下列各题.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l :x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A 、B 两点，判断点G -94,0 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.。