近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教师用书 文 北师大版(

(2)判断f(－x)与±f(x)是否具有等量关系．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】 若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均
为R，则
( )．
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
意．故选A.
答案 A
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．(2013·皖南八校联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且
为奇函数，则f(1)的值
( )．
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负
解析 由题意知f(1)>f(0)＝0.
答案 A
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．(2012·广州调研)函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．(2011·上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋
∞)上单调递减的函数为
( )．
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
D．y＝x13
解析 函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除掉B，D.C选
项中y＝x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题
1＋x 1－x.
[审题视点] 先确定函数的定义域，再由奇偶函数的定义判
断．
解 (1)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3 －2x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
抓住2个考点

• (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
• 1．对任意实数x，下列函数中为奇函数的是( )
• A．y＝2x－3
B．y＝－3x3
• C．y＝5xD．y＝来自|x|cos x• 答案： B
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的
－x2＋2x＋1x＞0， (3)f(x)＝x2＋2x－1x＜0； (4)f(x)＝|x＋43－|－x23.
• 解析： (1)此函数的定义域为R. • ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． • (2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称， • 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． • (3)函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称， • 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， • 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即函数是奇函数．
2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区 间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．
(1)设a＞0，f(x)＝eax＋eax是R上的偶函数，求实数a的值； (2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求 满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x)＝－x2－x1－1＋12 ＝－x1－2x2x＋12＝x2x2－x 1－12 ＝x2x－1 1＋12 ＝f(x) ∴f(x)是偶函数．

4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_(_－__1_,0_)_∪__(_1_，__＋__∞__)____。
解 析 画 草 图 ， 由 f(x) 为 奇 函 数 知 ： f(x)>0 的 x 的 取 值 范 围 为 ( － 1,0)∪(1，＋∞)。
③由 x＋ x2＋1>x＋|x|≥0 知 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为 R，
又 f(－x)＝ln(－x＋ －x2＋1)
＝ln x＋ 1x2＋1＝－ln(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
则 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)为奇函数；
④由11－ ＋xx>0，得－1<x<1，即 f(x)＝ln 11－ ＋xx的定义域为(－1,1)，
得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故
f(x)为非奇非偶函数。
②f(x)＝|lxg－1－ 2|－x22 ； 【解】 由1|x－－x22|>≠0，2 得，定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称。 ∴x－2<0。∴|x－2|－2＝－x。∴f(x)＝lg1－－xx2。 又∵f(－x)＝lg [1－x－x2]＝－lg1－－xx2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数。
22xx＋ －1a，即 1－a·2x＝－2x＋a，化简得 a·(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1，f(x)
＝22xx＋ －11。由 f(x)>3 得 0<x<1。故选 C。
【答案】 C
(4)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(x)的解
x2－x－1 x>0，
变式训练2 (1)(2016·九江模拟)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

23/39
[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝ f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
第二章 函数、导数及其应用
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•第3讲 函数奇偶性与周期性
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◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.结合具体函数，了解函数奇偶 性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究 函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期 的含义，会判断、应用简单函数 的周期性.
多以选择、填空题形式出 现，且奇偶性多与单调性 相结合，周期性多与抽象 函数相结合，或结合奇偶 性求函数值为主，占4～5 分，中档题为主.
[答案] D
30/39
考向二 周期性与奇偶性结合
2．(2016·山东理)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－
1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞
1 2
时，f
x＋12
＝f
x－12
.则
f(6)＝( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
31/39
[解析] 当x＞12时，fx＋12＝fx－12， 所以当x＞12时，函数f(x)是周期为1的周期函数， 所以f(6)＝f(1)，又因为函数f(x)是奇函数， 所以f(1)＝－f(－1)＝－－13－1＝2， 故选D. [答案] D

[三基自测]
1．(必修1·习题1.3A组改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)
＝x2＋1x，则f(－1)等于(
)
A．－2
B.0
C．1
D.2
答案：A
2．(必修1·第一章复习参考题改编)函数f(x)＝11－ ＋xx是(
)
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案：D
3．(必修1·第一章复习参考题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函 数，那么a＋b的值是( )
A．－13
B.13
1 C.2
D.－12
答案：B
4．(必修1·习题1.3A组改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－ 4x，那么不等式f(x＋2)＜5的解集是____________． 答案：{x|－7＜x＜3}
第三节 函数的奇偶性与周期性
栏目 导航
教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含 义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的 奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含 义，会判断、应用简单函数的周期性.
函数的奇偶性与周期性是高考 重要考点，常将奇偶性、周期性与 单调性综合在一起交汇命题． 题型多以选择题、填空题形式出 现，一般为容易题，但有时难度也 会很大.
由函数周期性可得 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016) ＝1， 而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.

解析
由题意知 f( － 2) ＝ f(2) ＝ 0 ，当 x ∈ ( － 2,0] 时，
f(x)<f( － 2) ＝ 0 ，由对称性知， x ∈ [0,2) 时， f(x) 为增函数， f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2,2)时，f(x)<0，故选 B.
x 4．若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( 2x＋1x－a 1 A.2 2 B.3 3 C.4 D．1
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) 2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件．( √ )
3．函数 y＝ 数．( × )
1 －x ＋
x－1 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函
解析
) B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)＝f(1)
∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)，又∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)>f(－2)，故选 B.
3．[2017· 福建模拟] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 在(－∞，0]上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的 取值范围是( ) B．(－2,2) D．(2，＋∞) A．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
第2章 函数、导数及其应用
第3讲 函数的奇偶性与周期性
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 函数的奇偶性
考点 2
函数的周期性
1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x f(x＋T)＝f(x) 取定义域内的任何值时， 都有 ， 那么就称 函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的 正数，那么这个

板块二 典例探究·考向突破
考向 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]； (2)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)； (3)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， . 解 (1)由于 f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是 关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(2)定义域是 R，关于原点对称， 且 f(－x)＝log2(－x＋ x2＋1) ＝log2x＋ 1x2＋1＝－log2(x＋ x2＋1) ＝－f(x)，故 f(x)是奇函数． (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原 点对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－ x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
命题角度 2 利用奇偶性求参数值 例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)为 偶函数，则 a＝___1_____. 解析 解法一：由题意得 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)＝f(－x) ＝－xln( a＋x2－x)，所以 a＋x2＋x＝ a＋1x2－x，解得 a ＝1. 解法二：由 f(x)为偶函数有 ln (x＋ a＋x2)为奇函数， 令 g(x)＝ln (x＋ a＋x2)，有 g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
命题角度 3 利用奇偶性求解析式 例 4 f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2 ＋3x＋1，求 f(x)的解析式．
解 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋ 1＝－2x2－3x＋1.

2
－log2a，所以 f(log2a)＋f(log1 a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)≤
2
2f(1)，即 f(log2a)≤f(1)，因为函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以 f(|log2a|)≤f(1)，即|log2a|≤1，所以－1≤log2a≤1，解得 12≤a≤2，即 a 的取值范围是21，2.故选 C.
(2)一些重要类型的奇偶函数 ①函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数.
ax－a－x a2x－1 ②函数 f(x)＝ax＋a－x＝a2x＋1(a>0 且 a≠1)为奇函数.
b－x ③函数 f(x)＝logab＋x为奇函数. ④函数 f(x)＝loga( x2＋1±x)为奇函数.
设 F(x)＝gf((xx))，则 F(－x)＝gf((－－xx))＝－g(fx(x))＝－F(x)，所以 F(x)
为奇函数，C 错误； 设函数 H(x)＝|f(x)g(x)|， H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以
H(x)为 R 上的偶函数，D 正确.故选 D. 答案：D
第三讲 函数的奇偶性与周期性
课标要求
考情分析
1.结合具体函数，了解函数 1.本讲以理解函数的奇偶性、会用函数 奇偶性的概念和几何意义. 的奇偶性为主，常与函数的单调性、 2.了解函数周期性、最小正 周期性交汇命题，加强函数与方程思 周期的含义，会判断和应 想、转化与化归思想的应用意识.
用简单函数的周期性
【变式训练】 1.若函数 f(x)＝1k＋－k2·2x x在定义域上为奇函数，则实数 k＝_____. 解析：因为 f(x)在定义域上为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，即 1k＋－k2·2－－x x＝12＋x－k·k2x，所以k2·2x＋x－k1＝k2·2x－x＋k1，整理得(k2－1)22x＝1－ k2，根据等式恒成立，则 k2－1＝0，解得 k＝±1.

D 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因 为 f(－x)≠－f(x)，且 f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．
答案：D
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
第三节 函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）；
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，x，
x＜0， x＞0.
解：(1)由3x－2－x32≥≥00得 x2＝3，所以 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)，
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋sin x
解析：A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函 数，故不符合题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符 合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数， 故不符合题意；
C．{x|x＜0，或 x＞4} D．{x|0＜x＜4}
解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.

1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( √ )
(3) 定 义 域 关 于 原 点 对 称 是 函 数 具 有 奇 偶 性 的 一 个 必 要 条
件．( √ )
(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周
期．( √ )
解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0) ＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．
(2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－ x)，可知 x＝a 为对称轴．
1 2
.
解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所
以 f(－x)＝f(x)，即(－x)3(2－x1－1＋a)＝x3(2x－1 1＋a)，所以 2a＝
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解 得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12，则 f(6)等于( D )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：当 x>12时，fx＋12＝fx－12，即周期为 1，则 f(6)＝ f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，

1＋2a＝0，∴a＝13．又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13．
答案：B
2．下列函数中，为奇函数的是
()
A．y＝3x＋31x
B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sin x
1，x<0， D．y＝0，x＝0，
－1，x>0
解析：由函数奇偶性定义易知函数 y＝3x＋31x和 y＝x·sin x 都是
(2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； 解：(2)∵函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为32， 不关于坐标原点对称， ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为 R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1． 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝ f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．
[小题体验]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ x
B．y＝cos x
C．y＝ex
D．y＝ln |x|
答案：D
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)
＝x2＋1x，则f(－1)＝________． 答案：－2
3．若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，

第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任01f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周何值时，都有□期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□02最小的正数，那么这个03最小正数就叫做f(x)的最小正周期．□1．概念辨析(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( )(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)下列函数中为奇函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x答案 A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则( )A．f(2)>0>f(4)B．f(2)<0<f(4)C．f(2)>f(4)>0D．f(2)<f(4)<0答案 A解析因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．答案 5解析由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案 6解析因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.题型一函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝－x2|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)由1＋x1－x ≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)， 所以函数f (x )是非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg [1－－x2]x＝－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )； 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．角度2 奇函数、偶函数性质的应用2．(1)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________；(2)已知f (x )＝2x＋24x －1，若f (ln (a 2＋1＋a ))＝1，则f (ln (a 2＋1－a ))＝________；(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)－x 3－x ＋1 (2)－3 (3)1或－1解析 (1)当x <0时，－x >0.因为f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1. (2)f (x )＋f (－x )＝2x ＋24x －1＋2－x ＋24－x －1＝2－2·4x4x －1＝－2，而ln (a 2＋1＋a )＋ln (a 2＋1－a )＝ln 1＝0， 因此f (ln (a 2＋1＋a ))＋f (ln (a 2＋1－a ))＝－2，f (ln (a 2＋1－a ))＝－2－1＝－3.(3)令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1， 根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数， 可知u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1.1．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法(2)图象法2．函数奇偶性的应用(1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例说明2(1)．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．如举例说明2(3)．注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝( )A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2答案 C解析由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错误；对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错误；对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确；对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)为偶函数，D错误．3．(2018·安徽合肥月考)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )A．3 B．0 C．－1 D．－2答案 B解析设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.题型二函数的周期性1．(2019·陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则( )A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋1)是奇函数D．函数f(x＋2)是偶函数答案 B解析根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，则f(2018)＝________.答案 1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝1f x ＋＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝1f＝10＋e0＝1.条件探究1 举例说明2中的“f(x＋2)＝1f x ”改为“f(x＋1)＝1＋f x1－f x”，其他条件不变，求f(2019)．解 因为f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f x＝1－f x ＋1＋f x 1－f x －＋f x＝－1f x，所以f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )．故函数f (x )的周期为4.所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝－1f＝－1e ＋1.条件探究2 举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值．解 因为函数f (x )的周期为4，且f (1)＝1＋2＝3，f (2)＝1f＝120＝1，f (3)＝1f＝13，f (4)＝1f＝1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝504×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＋1＋3＋1＝2692.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．(2019·温州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的最小正周期等于T ，则下列函数的最小正周期一定等于T2的是( )A ．f (2x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2C ．2f (x )D ．f (x 2) 答案 A解析 由已知得f (x ＋T )＝f (x )，所以f (2x ＋T )＝f (2x )，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以函数f (2x )的周期是T 2；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，即f ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋2T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的周期是2T ；2f (x ＋T )＝2f (x )，所以函数2f (x )的周期是T .函数f (x 2)不一定是周期函数．2．若f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.答案 14解析 因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.3．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个． 题型 三 函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13得f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|2x －1|<13，所以－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.角度2 周期性与奇偶性结合2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f (1－(x ＋3))＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f (1－(x ＋1))＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)， 因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，故选C.角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3．(2019·哈尔滨六中模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0 答案 D解析 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12 (1－x )且f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12 (1＋x )，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上是增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，1＋x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以log 12 (1＋x )∈(0,1]，－log 12(1＋x )∈[－1,0)．因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以函数f (x )的周期是32，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，32上的图象与在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上的图象相同，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是增函数且f (x )<0.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．如举例说明3.1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f (－25)<f (80)<f (11)．3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n ，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案 3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )． ∴f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－－x ＝－f (－x )＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵数列{a n }满足a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n ， ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1， 则a n ＝2a n －2a n －1＋1， 即a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则a n－1＝－2·2n－1＝－2n，∴a n＝1－2n.上式对n＝1也成立．∴a5＝－31，a6＝－63.∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【变式训练】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=-������(1������),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=
.
2.5 【解析】由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-������(������1+2) = − -������1(1������)=f(x),故函数 f(x)的周期为 4,则
13
【变式训练】
1.判断函数 f(x)=
������ ������
2-2������ 2 + 2������
(������ ≥ (������
<0)0, )的奇偶性.
1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x<0时,-x>0,
第三节 函数的奇偶性与周期性
1
考纲概述
考查热点
考查频 备考指导
次
(1)了解函数奇偶性的含义,并能 奇偶性的含义与
运用奇偶性的含义判断一些简单 判断
★★★★
函数的奇偶性; (2)掌握奇函数与偶函数的图象 对称关系,并能熟练地利用对称
利用周期性含义 ★★
求函数值
函数的奇偶性与周期性在高考中占有重要的地位,在命题时主要 是与函数的概念、图象、性质等综合在一起考查.题型以选择题与
性解决函数的综合问题;
函数的奇偶性、对
填空题为主,数形结合是解决此类问题的重要工具.
(3)了解函数周期性的含义,能根 称性及周期性的 ★★★★ 据函数的周期性将给定自变量转 综合应用