下载文档原格式
算法学习笔记——最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最近短暂告别⼤数据，开始进⼊到了算法学习的领域，这时才真的意识到学海⽆涯啊，数学领域充满了⽆限的魅⼒和乐趣，可以说更甚于计算机带给本⼈的乐趣，由于最近正好看到线性代数，因此，今天我们就来好好整理⼀下机器学习领域中的⼀个⾮常重要的算法——最⼩⼆乘法，那么，废话不多说，我们直接开始吧 !1. 最⼩⼆乘法介绍1.1 举例现实⽣活中，我们经常会观察到这样⼀类现象，⽐如说某个男的，情商很⾼，⾝⾼180，家⾥很有钱，有房，有车，是个现充，结果就是他有好⼏个⼥朋友，那么从⼀个观测者的⾓度来看，该男性具备好多个特征(⽐如EQ值较⾼，⾝⾼较⾼，有钱对应的布尔值是True等等)，输出结果就是⼥友的个数；这只是⼀条记录，那么，当我们将观测的样本数扩⼤到很多个时，每个个体作为输⼊，⽽输出就是每个个体的⼥朋友数量；于是在冥冥之中，我们就能感觉到⼀个男性拥有的⼥友数量应该和上述特征之间存在着某种必然的联系。
然后可以这样理解，决定⼀个男性可以交到⼥友数量的因素有很多，那么，在那么多的因素之中，肯定有⼏项因素⽐较重要，有⼏项相对不那么重要，我们暂时将每个因素的重要程度⽤⼀个数值来表⽰，可以近似理解为权重，然后将每个权重和因素的数值相乘相加，最后再加上⼀个常数项，那么这个式⼦就可以理解为⼀个回归⽅程。
1.2 SSE,SST和SSR有了上述的基础，我们就可以做这样⼀件事，预先设定好⼀个⽅程(先简单⼀点，假设该⽅程只有⼀个⾃变量)：y = ax + b，a和b是我们要求出来的；那么，我们可不可以这样理解，每输⼊⼀个x，即能通过这个计算式输出⼀个结果y，如果输出的y和真实的y偏差是最⼩的，那么不就能说明这个⽅程拟合的是最佳的了吗？顺着这个思路，原问题就可以演变成⼀个求解当a和b各为多少时能使得这个偏差值最⼩的求最优化问题了，或者说我们的⽬标就是求使得SSE最⼩的a和b的值。
高中数学：最小二乘法与线性回归方程1、怎样的拟合直线最好？——与所有点都近，即与所有点的距离之和最小。
最小二乘法可以帮助我们在进行线性拟合时，如何选择“最好”的直线。
要注意的是，利用实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果，从理论上说，数据越多，效果越好，即所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。
一般地，我们可以先作出样本点的散点图，确认线性相关性，然后再根据回归直线系数的计算公式进行计算。
2、刻画样本点与直线y=a+bx之间的“距离”——思考：①这个“距离”与点到直线的距离有什么关系？很显然，这个式值越小，则样本点与直线间的距离越小。
②为什么不直接利用点到直线的距离来刻画样本点与直线之间的距离关系？3、最小二乘法如果有n个点：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），……，（x n，y n），我们用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度：。
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求解的直线，这种方法称为最小二乘法。
4、线性回归方程，其中这个直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数（回归系数）。
例1、推导2个样本点的线性回归方程设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。
解：由最小二乘法，设，则样本点到该直线的“距离之和”为从而可知：当时，b有最小值。
将代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知：此时直线方程为：设AB中点为M，则上述线性回归方程为可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。
这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。
用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。
实际上，由线性回归系数计算公式：可得到线性回归方程为设AB中点为M，则上述线性回归方程为。
用最小二乘估计求出回归方程用最小二乘估计求出回归方程作为统计学中最为常用的方法之一，最小二乘估计被广泛应用于生产与研究当中。
其目的是为了寻找因变量y和自变量x之间的关系，进而实现对未来等相关事项进行预测和应对。
下面将为大家介绍如何用最小二乘估计求出回归方程。
步骤一：收集数据要用最小二乘估计求出回归方程，首先要进行大量数据的收集，然后进行初步整理和处理。
我假设已经收集到足够的数据，就以x和y 为自变量和因变量作为案例展示。
步骤二：确定自变量和因变量之间关系的形式在已经获得自变量和因变量的数据之后，就需要考虑它们之间的函数关系的形式。
他们可以是线性关系、二次函数关系、指数函数关系等等。
在此，我们假设它们是线性关系，表示为y = ax + b。
其中a为斜率，b为截距。
步骤三：确定最小二乘估计用最小二乘估计的基本思想是通过最小化误差平方和来求解回归方程的变量。
通过计算余差平方和，得出的a和b就是最小化误差的结果。
其具体公式为：y = a * x + b, e = y - (a * x + b)其中e为余差，旨在衡量实际值与估计值之间的差异。
步骤四：计算最小二乘估计的a和b通过计算反向求解Least Mean Square(最小平方和)可以得到最小二乘估计的a和b变量值。
其计算公式为：a = [(N*Σxy - Σx*Σy) / (N*Σx^2 - (Σx)^2)]b = [(Σy / N) - a(Σx / N)]其中N表示有数据对的数量，Σx和Σy分别为自变量和因变量的总和，而Σxy则是自变量和因变量的乘积总和。
步骤五：画出回归直线在确定出a和b值之后，就可以用回归方程y = ax + b，画出回归直线，并对样本数据进行拟合。
通过观察回归直线与样本数据的位置关系，判断它在多大程度上可以成功预测未来的事项。
最后，在使用最小二乘估计求出回归方程过程中，需要注意的是数据样本的完整性和真实性。
如果数据样本量不足或者收集的数据不精确真实，则最小二乘估计的结果也不能够准确地反映出变量之间的关系。
最小二乘法确定直线回归方程的原则1. 直线回归方程的基本概念嘿，大家好！今天我们来聊聊一个数学上的小神奇——最小二乘法。
你可能会觉得数学这个词听起来有点儿吓人，但别担心，我们会用简单的语言来搞明白它的意思。
最小二乘法其实就是一种帮我们找出最合适直线来描述数据的方法。
想象一下，你有一堆点，最小二乘法就是要找到那条线，让这条线跟点们的距离加起来最小。
1.1 直线回归的基本原理直线回归方程，其实就是找一条直线，让它尽量贴近一组数据点。
这条直线的方程一般长这个样子：[ y = mx + b ]。
其中，(m)是斜率，表示直线的倾斜程度；而(b)是截距，也就是直线在y轴上的位置。
我们的目标就是找出最合适的(m)和(b)的值，让直线尽量接近所有的数据点。
1.2 最小二乘法的基本思路说到最小二乘法，它的名字听起来挺拗口，其实意思简单明了。
最小二乘法的核心思想就是找一条直线，使得每个数据点到这条直线的垂直距离的平方和最小。
这个距离的平方和，咱们就叫做“误差平方和”。
简单点说，最小二乘法就是用来“最小化”这些误差的总和。
2. 最小二乘法的应用步骤明白了基本原理后，我们来看一下怎么一步步应用最小二乘法来确定回归方程。
2.1 收集数据首先，我们得有数据。
这些数据点可以来自你做的实验、收集的调查结果，或者其他任何数据来源。
比如，你想研究一个城市的房价跟房子的面积之间的关系，你就需要收集房子的面积和价格数据。
2.2 计算直线参数接下来，我们要计算出最适合这些数据的直线。
这里就得用到最小二乘法的具体步骤了。
大致来说，我们需要计算每个数据点的“预测值”和实际值之间的差异，然后将这些差异的平方加起来，找出使这个总和最小的直线参数。
具体的数学公式可能看起来有点复杂，但不必担心，实际应用时，很多计算软件都会帮你搞定这些公式。
最重要的是，了解了这些背后的原理，你就能更好地理解结果了。
3. 最小二乘法的实际应用了解了原理和步骤后，我们来看看最小二乘法实际中的一些应用场景。
回归直线方程b尖的公式推导
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，它的目标是找到最小化误差平方和的回归直线。
首先，我们定义误差e_i为观测值y_i和回归预测值\hat{y_i}之间的差异，即e_i = y_i - \hat{y_i}。
1.求解斜率m：
斜率m可以通过计算协方差cov(X, Y)除以X的方差var(X)来得到，即m = cov(X, Y) / var(X)。
其中，X和Y分别是自变量和因变量，
cov(X, Y)是X和Y的协方差，var(X)是X的方差。
2.求解截距b：
截距b可以通过计算Y的平均值减去斜率m乘以X的平均值来得到，即b = mean(Y) - m 某 mean(X)。
其中，mean(Y)是Y的平均值，mean(X)是X的平均值。
通过以上两个方程，我们可以得到回归直线方程y=m某+b的斜率m
和截距b。
这样就完成了回归直线方程b的公式推导。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常会使用统计软件或计算工具来进行回归分析和参数估计。
这些工具会自动计算回归直线方程的斜率和截距，从而避免了手动推导的繁琐过程。
总结起来，回归直线方程b的公式可以通过最小二乘法计算得到。
我们先计算回归直线的斜率m，然后利用斜率m、自变量X的平均值和因变
量Y的平均值来计算截距b。
这样就得到了回归直线方程y=m某+b中的斜率m和截距b。
“最小二乘法求线性回归方程”教学设计一．内容和内容解析本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在“经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好的理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解“最小二乘法思想”，比较各种“估算方法”，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。
“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现。
而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
二．目标和目标解析本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想：1．能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；2．通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过合情推理，使学生接受最小二乘法的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；3．能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程；4．通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；5．利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想；三．教学目标分析在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然。
