浙教版因式分解 闯关大计算

因式分解大题专练1．（2022春•上虞区期末）分解因式（1）a2﹣6ab+9b2；（2）a2b﹣16b．【分析】（1）用完全平方公式分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：（1）原式＝a2﹣6ab+（3b）2＝（a﹣3b）2；（2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）．2．（2021春•余杭区期末）因式分解：（1）a2﹣2ab+b2；（2）8﹣2x2．【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）2；（2）8﹣2x2＝2（4﹣x2）＝2（2﹣x）（2+x）．3．（2022春•泗阳县期中）分解因式：（1）x2﹣9．（2）2x2y﹣4xy+2y．【分析】（1）根据平方差公式直接分解因式即可；（2）先提取公因式2y，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．（2）2x2y﹣4xy+2y＝2y(x2﹣2x+1)＝2y(x﹣1)2．4．（2021春•奉化区校级期末）分解因式：（1）9x2﹣1．（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．【分析】（1）根据平方差公式的结构特征进行因式分解即可；（2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：（1）9x2﹣1＝（3x+1）（3x﹣1），（2）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．5．（2021春•奉化区校级期末）因式分解：（1）3x2﹣6xy+3y2；（2）（a﹣b）2﹣a+b．【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）直接提取公因式（a﹣b）即可求解．【解答】解：（1）3x2﹣6xy+3y2＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2；（2）（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．6．（2020春•衢江区校级期末）分解因式：（1）3a3﹣12a；（2）﹣x2+4xy﹣4y2．【分析】（1）先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案；（2）先提取公因式﹣1，利用完全平方公式进行因式分解；【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣4）＝3a（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2．7．（2020春•宁波期末）因式分解：（1）4m2﹣1；（2）9ab2﹣6ab+a．【分析】（1）根据平方差公式分解因式；（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）4m2﹣1＝（2m﹣1）（2m+1）；（2）9ab2﹣6ab+a＝a（9b2﹣6b+1）＝a（3b﹣1）2．8．（2020春•杭州期中）因式分解：（1）2x3﹣8xy2；（2）（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16．【分析】（1）直接提取2x，进而利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝2x（x2﹣4y2）＝2x（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式＝（m2﹣4m+4）2＝（m﹣2）4．9．（2022秋•黄陂区校级期末）因式分解．（1）3a2y2﹣12a3y+12a4；（2）8ay2﹣18ax2．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝3a2（y2﹣4ay+4a2）＝3a2（y﹣2a）2；（2）原式＝2a（4y2﹣9x2）＝2a（2y+3x）（2y﹣3x）．10．（2022秋•南关区校级期末）分解因式．（1）x3﹣25x；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）＝x（x+5）（x﹣5）；（2）原式＝x2﹣4x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．11．（2021秋•罗城县期末）因式分解：（1）x2﹣25；（2）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣25＝x2﹣52＝（x+5）（x﹣5）；（2）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9＝（x﹣y）2+2×3（x﹣y）+32＝（x﹣y+3）2．12．（2022春•工业园区期末）分解因式：（1）2a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）4a2﹣16a+16．【分析】（1）原式变形后，提取公因式（x﹣y）即可；（2）原式提取公因式4，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝2a（x﹣y）﹣b（x﹣y）＝（x﹣y）（2a﹣b）；（2）原式＝4（a2﹣4a+4）＝4（a﹣2）2．13．（2022春•东台市期中）分解因式：（1）﹣2ax2+16axy﹣32ay2；（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（3）（m2﹣6）2﹣10（6﹣m2）+25．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣2a（x2﹣8xy+16y2）＝﹣2a（x﹣4y）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；（3）原式＝（m2﹣6）2+10（m2﹣6）+25＝（m2﹣6+5）2＝（m2﹣1）2＝（m+1）2（m﹣1）2．14．（2022春•射阳县校级月考）把下列各式分解因式：（1）3x2﹣6xy+x；（2）4mn2﹣4m2n﹣n3．【分析】（1）利用提公因式法进行分解因式即可；（2）先提公因式﹣n，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：（1）3x2﹣6xy+x＝x（3x﹣6y+1）；（2）4mn2﹣4m2n﹣n3＝﹣n（4m2﹣4mn+n2）＝﹣n（2m﹣n）2．15．（2022春•深圳期中）因式分解：（1）x3﹣4x2+4x；（2）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2；（2）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）．16．（2022秋•文登区期中）因式分解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）64x2y2﹣（x2+16y2）2；（4）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；（4）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（2）原式＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（5x+4y）（x+8y）；（3）原式＝（8xy+x2+16y2）（8xy﹣x2﹣16y2）＝﹣（x+4y）2（x﹣4y）2；（4）原式＝（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x﹣6）＝（x﹣2）（x+1）（x﹣3）（x+2）．17．（2022秋•湖北期末）分解因式：（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；（2）原式＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．18．（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：（1）xy2﹣4x；（2）3x2﹣18xy+27y2；（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）；（2）原式＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2；（3）原式＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．19．（2022春•光明区校级期中）分解因式：（1）a（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）x2y﹣9y；（3）﹣x2+4xy﹣4y2．【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）（a﹣16）；（2）原式＝y（x2﹣9）＝y（x+3）（x﹣3）；（3）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2．20．（2021秋•鲤城区期末）因式分解：（1）4x2y﹣4xy2+y3．（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝y（4x2﹣4xy+y2）＝y（2x﹣y）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．21．（2022秋•青山区期末）分解因式：（1）x2﹣9；（2）5x2﹣10xy+5y2．【分析】（1）直接利用平方差公式即可；（2）先公因式，再利用完全平方公式进行原式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝5（x2﹣2xy+y2）＝5（x﹣y）2．22．（2021秋•莱州市期末）分解因式：（1）a2b﹣2ab2+b3．（2）（x2+9）2﹣36x2．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）a2b﹣2ab2+b3＝b（a2﹣2ab+b2）＝b（a﹣b）2；（2）（x2+9）2﹣36x2．＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2．23．（2021秋•太康县期末）分解因式：（1）a2b﹣16b；（2）5x3﹣20x2y+20xy2．【分析】（1）先提公因式，再应用平方差公式；（2）先提公因式，再应用完全平方公式．【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）；（2）原式＝5x（x2﹣4xy+4y2）＝5x（x﹣2y）2．24．（2022秋•平昌县期末）分解因式：（1）4a3b﹣2a2b2；（2）x2﹣4x+4；（3）2m2﹣18；（4）a2+7a﹣18．【分析】（1）提公因式2a2b即可；（2）利用完全平方公式分解因式；（3）先提2，然后利用平方差公式分解因式；（4）利用十字相乘法分解因式．【解答】解：（1）原式＝2a2b（2a﹣b）；（2）原式＝（x﹣2）2；（3）原式＝2（m2﹣9）＝2（m+3）（m﹣3）；（4）原式＝（a+9）（a﹣2）．25．（2021秋•临高县期末）分解因式：（1）﹣m3+2m2n﹣mn2；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）；（3）a2+3a﹣10．【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；（2）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可；（3）利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）﹣m3+2m2n﹣mn2＝﹣m（m2﹣2mn+n2）＝﹣m（m﹣n）2；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣4）＝（x﹣2）（x﹣2）（x+2）＝（x﹣2）2（x+2）；（3）a2+3a﹣10＝（a+5）（a﹣2）．26．（2022春•鼓楼区校级月考）因式分解：（1）ax2﹣4ax+4a；（2）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（3）（x+2）（x+4）﹣3；（4）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）先根据多项式乘多项式进行计算后，再利用十字相乘法进行因式分解即可；（4）先利用平方差公式，再提公因式即可．【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣4x+4）＝a（x﹣2）2；（2）原式＝x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（3）原式＝x2+6x+8﹣3＝x2+6x+5＝（x+1）（x+5）；（4）原式＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b]＝（4a+2b）（2a+4b）＝4（2a+b）（a+2b）．27．（2021秋•和平区校级期末）把下列各式分解因式：（1）x2+3x﹣4；（2）a3b﹣ab；（3）3ax2﹣6axy+3ay2．【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可；（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；（3）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）；（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2；28．（2022秋•莱西市期中）分解因式（1）x4﹣8x2y2+16y4；（2）x2（x+4）﹣4x（x+1）；（3）（x2+1）2﹣4x2；（4）x2﹣7x+12．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可；（2）先提公因式x，再根据平方差公式因式分解即可；（3）先利用平方差公式因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可；（4）利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：（1）x4﹣8x2y2+16y4＝（x2﹣4y2）2＝（x﹣2y）2（x+2y）2；（2）x2（x+4）﹣4x（x+1）＝x（x2+4x﹣4x﹣4）＝x（x2﹣4）；＝x（x﹣2）（x+2）；（3）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1﹣2x）（x2+1+2x）＝（x﹣1）2（x+1）2；（4）x2﹣7x+12＝x2+（﹣4﹣3）x+（﹣4）×（﹣3）＝（x﹣4）（x﹣3）．29．（2021秋•平昌县期末）把下列多项式分解因式：（1）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）；（2）4a2﹣12ab+9b2；（3）x2﹣2x﹣15；（4）﹣3x3+12x．【分析】（1）利用提公因式法分解即可；（2）利用完全平方公式分解即可；（3）利用十字相乘法分解即可；（4）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．【解答】解：（1）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝（a﹣2）（2x+y）；（2）4a2﹣12ab+9b2＝（2a﹣3b）2；（3）x2﹣2x﹣15＝（x﹣5）（x+3）；（4）﹣3x3+12x＝﹣3x（x2﹣4）＝﹣3x（x+2）（x﹣2）．30．（2022秋•海淀区校级期末）分解因式：（1）8a3b2+28ab3c；（2）a4﹣64；（3）x2+（2a+3）x+（a2+3a）；（4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8．【分析】（1）直接提公因式即可进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解即可；（3）利用十字相乘法进行因式分解即可；（4）利用完全平方公式和十字相乘法检测原式分解即可．【解答】解：（1）原式＝4ab2（2a2+7bc）；（2）原式＝（x2+8）（x2﹣8）＝（x2+8）（x+2√2）（x﹣2√2）；（3）原式＝（x+a）（x+a+3）；（4）原式＝（4x2+4xy+y2）+（12x+6y）+8＝（2x+y）2+6（2x+y）+8＝（2x+y+2）（2x+y+4）．。

一■分式知识要点回顾1.因式分解几中常用方法①提取公因式法。

②乘法公式法：a2-b2二a b a-b ；a2_2ab b2二a_b 2。

③分组分解法：ma mb na nb = m a b n a b j i：a b m n。

④十字相乘法：x2・a・bx・ab=x・ax・b。

2.分式的有关概念A A .C A A 十C(1 )分式的基本性质：一=——C或—= --------- (C M0),其中A , B, C均为整式。

B B *C B B + C(2)分式的约分分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幕，约去分子和分母系数的最大公约数。

(3)分式的通分把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。

(4)分式的运算①分式乘法法则： a c•—=ac - 。

b d bd②分式除法法则： a c / d : _ adb d bc bca c a 二c③分式的加减法：(1)同分母分式相加减：；(2)异分母分式相加减:b b ba c ad bc ad 二bc———= 十 = -------------- 。

b 一d bd bd bd3.分式方程(1)定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)解分式方程。

温馨提示：(1)在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；(2)验根是必要步骤。

二•巩固练习1.解下列分式方程‘ 2 小x 1 -x 2x (2)x_2 x -5x 6 x_3 2 -x , 11 -x -3 3 - x2.因式分解2 2a -6ab 12b 9b -4a x2_ 2xy「xz yz y2x2 -7x 6 x2 4x - 523x -11x 10 2x -11x 242 2x y 「3xy 2 2y -12y-282 2 2 x 4 -16xx 2「4xy _1 4y 2o12a b x-y -4ab y-x3.分式的混合运算(a 2-5a 21) 且-b . a? -a+2b‘ a 2+4ab+4 b 2a 1 a 1a —1 a -2a 1 a亠 a 2 -42 2xr. E y _ 2y打如* x2+6xy+9y £ 时卩2x-6 ,4-4x x 2(x 3)x 2 x -6 3—x其中a=1.4. 化简求值2x 2x -8/ X -2 x 4、—2十(x 3 2x xx x 1a 2「5a 6 a 2 -5a 4 a 「3 T—2 2a —16 a -4 a 41 —x 3 (2)x^ g 厂2)，其中1 x= . 25•计算2 2x -x_2x x-6X2_X_6 X2X_2的结果是6.当m为非负数时，求代数式———3有最大值还是最小值，并求出此最值。

因式分解压轴题汇总(2019秋﹒乐清市期末）如果x 和y 是非零实数，使得|x |＋y ＝3和|x |y ＋x 3＝0，那么x ＋y 的值是（ ） A ．3B ．13C ．1－132D ．4－13【分析】根据题意，结合2个式子可得|x |(3－|x |)＋x 3＝0，分x ≥0与x ＜0两种情况讨论，求出x 的值，由y ＝3－|x |,求出y 的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意,|x |＋y ＝3则y ＝3－|x |, 又由|x |y ＋x 3＝0，则有|x |(3－|x |)＋x 3＝0， 分2种情况讨论：①当x ≥0时，由|x |(3－|x |)＋x 3＝0得到：x (3－x )＋x 3＝0， 变形可得：x 2－x ＋3＝0，无解；②当x ＜0时，由|x |(3－|x |)＋x 3＝0得到(－x )[3－(－x )]＋x 3＝0， 变形可得：x 2－x －3＝0， 解可得：x ＝1－132或x=1+√132(舍）综合可得：x ＝1－132,则y ＝3－|x |＝3＋x ,x ＋y ＝3＋2x ＝4－13; 故选：D ．【点评】本题考查因式分解的应用，绝对值的化简计算，注意分类讨论|x |的值．下面是某同学对多项式()x 2－4x ＋2()x 2－4x ＋6＋4进行因式分解的过程解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2)(y ＋6)＋4 （第一步） ＝y 2＋8y ＋16 （第二步）＝(y ＋4)2(第三步）＝(x 2－4x ＋4)2(第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C （填序号）． A ．提取公因式 B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否否．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果(x －2)4(x －2)4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()x 2－2x ()x 2－2x ＋2＋1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可； （3）将()x 2－2x 看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选：C ；（2）这个结果没有分解到最后， 原式＝()x 2－4x ＋42＝(x －2)4;故答案为：否,(x －2)4;(3)()x 2－2x ()x 2－2x ＋2＋1＝()x 2－2x 2＋2()x 2－2x ＋1＝()x 2－2x ＋12＝(x －1)4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．(2019﹒重庆模拟）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x 2-2xy+y 2-16,我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x 2-2xy+y 2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4)这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)9a 2+4b 2-25m 2-n 2+12ab+10mn;（2）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三边的长且2a 2+b 2+c 2-2a(b+c)=0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．因式分解．（1）、认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解． （2）、等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用两式各自等于0的时候求出a 、b 、c 的关系即可．【解答】（1）解：9a 2+4b 2-25m 2-n 2+12ab+10mn =()9a 2+12ab+4b 2-()25m 2-10mn+n 2 =(3a+2b)2-(5m-n)2=(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)（2）解：由2a 2+b 2+c 2-2a(b+c)=0可分解得： 2a 2+b 2+c 2-2ab-2ac=0利用拆项得：()a 2-2ab+b 2+()a 2-2ac+c 2=0 (a-b)2+(a-c)2=0根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是 a-b=0,a-c=0所以可以得到a=b=c即：△ABC 的形状是等边三角形．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．(2018﹒徐汇区校级自主招生）已知x2＋ax－12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式,－12可以分解成－1×12,1×(－12),－2×6,2×(－6),－3×4,3×(－4),a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵－1×12,1×(－12),－2×6,2×(－6),－3×4,3×(－4),∴a＝－1＋12＝11,1＋(－12)＝－11,－2＋6＝4,2＋(－6)＝－4,－3＋4＝1,3＋(－4)＝－1，即a＝±11,±4,±1共6个．故选：D．【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解－12是解题的关键．(2019秋﹒文登区期中）如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（）A．20B．30C．35D．40【分析】先把把257转化成514,再提取公因式513,最后把513化成512×5,即可求出答案．【解答】解：257＋513＝514＋513＝513×(5＋1)＝513×6＝512×30,则n的值可能是30；故选：B．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把257转化成514,再提取公因式进行因式分解即可．(2019﹒湖北）已知a,b,c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2,则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2b2－c22＝0，根据非负数的性质2a2－c22＋()【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到()得到2a2－c2＝0,2b2－c2＝0，则a＝b，且a2＋b2＝c2．然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断．【解答】解：∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2,∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0，2b2－c22＝0，∴()2a2－c22＋()∴2a2－c2＝0,2b2－c2＝0，∴c＝2a,c＝2b,∴a＝b，且a2＋b2＝c2．∴△ABC为等腰直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键．(2018春﹒甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若m 2＋2mn ＋2n 2－6n ＋9＝0，求m 和n 的值． 解：∵m 2＋2mn ＋2n 2－6n ＋9＝0 ∴m 2＋2mn ＋n 2＋n 2－6n ＋9＝0 ∴(m ＋n )2＋(n －3)2＝0 ∴m ＋n ＝0,n －3＝0 ∴m ＝－3,n ＝3 问题：（1）若x 2＋2y 2－2xy ＋4y ＋4＝0，求x y的值．（2）已知△ABC 的三边长a ,b ,c 都是正整数，且满足a 2＋b 2－6a －6b ＋18＋|3－c |＝0，请问△ABC 是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x 2＋2y 2－2xy ＋4y ＋4＝0，配方得到(x －y )2＋(y ＋2)2＝0，再根据非负数的性质得到x ＝y ＝－2，代入求得数值即可；（2）先把a 2＋b 2－6a －6b ＋18＋|3－c |＝0，配方得到(a －3)2＋(b －3)2＋|3－c |＝0，根据非负数的性质得到a ＝b ＝c ＝3，得出三角形的形状即可． 【解答】解：（1）∵x 2＋2y 2－2xy ＋4y ＋4＝0 ∴x 2＋y 2－2xy ＋y 2＋4y ＋4＝0， ∴(x －y )2＋(y ＋2)2＝0 ∴x ＝y ＝－2 ∴x y＝(－2)－2＝14; （2）∵a 2＋b 2－6a －6b ＋18＋|3－c |＝0， ∴a 2－6a ＋9＋b 2－6b ＋9＋|3－c |＝0， ∴(a -3)2+(b -3)2+|3-c|＝0∴a ＝b ＝c ＝3∴三角形ABC 是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．(2019秋﹒斗门区期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n,则可以把x2＋px＋q因式分解成(x＋m)(x＋n)(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)(2)x2－4x－12＝(x－6)(x＋2)材料2、因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1解：将"x＋y"看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2再将“A”还原，得：原式＝(x＋y＋1)2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2－6x＋8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：(x－y)2＋4(x－y)＋3;m2＋2m－2－3．②分解因式：m(m＋2)()【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对(x－y)2＋4(x－y)＋3分解因式；m2＋2m－2－3分解因式．【解答】解：(1)x2－6x＋8②根据材料1和材料2可以对m(m＋2)()＝(x－2)(x－4);（2）①令A＝x－y,则原式＝A2＋4A＋3＝(A＋1)(A＋3),所以(x－y)2＋4(x－y)＋3＝(x－y＋1)(x－y＋3);②令B＝m2＋2m,则原式＝B(B－2)－3＝B2－2B－3＝(B＋1)(B－3),m2＋2m－3所以原式＝()m2＋2m＋1()＝(m＋1)2(m－1)(m＋3)．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．(2019秋﹒洛阳期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)(m＋2n)(2m＋n);（2）若每块小矩形的面积为10cm2,四个正方形的面积和为58cm2,试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2,得出等式求出m＋n,进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【解答】解：(1)2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n);故答案为：(m＋2n)(2m＋n);（2）依题意得,2m2＋2n2＝58,mn＝10，∴m2＋n2＝29，∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2,∴(m＋n)2＝29＋20＝49，∵m＋n＞0,∴m＋n＝7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m＋6n＝6(m＋n)＝42cm．【点评】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．(2019﹒江北区模拟）已知a ,b ,c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判定△ABC 的形状．【考点】因式分解的应用．【专题】几何图形．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC 的形状．【解答】解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4, ∴a 4－b 4－a 2c 2＋b 2c 2＝0， ∴()a 4－b 4－()a 2c 2－b 2c 2＝0，∴()a 2＋b2()a 2－b 2－c 2()a 2－b 2＝0，∴()a 2＋b 2－c2()a 2－b 2＝0得：a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ，或者a 2＋b 2=c 2且a=b ，即△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识．。

第四章因式分解章节同步练习2022年·浙教版初中数学七年级下册知识点习题·定向攻克·含答案及详细解析浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解专项攻克（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A.2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.2222()a ab b a b ++=+C.1()1am bm m a b +-=+-D.22()()a b a b a b +-=- 2、下列因式分解正确的是（ ）A.3p 2-3q 2=（3p +3q ）（p -q ）B.m 4-1=（m 2+1）（m 2-1） C.2p +2q +1=2（p +q ）+1 D.m 2-4m +4=（m -2）2 3、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A.2x x x =⋅B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+C.()()2224a a a +-=-D.()222241221x y xy xy x y +-=+-4、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.ab +bc +b ＝b （a +c ）+bB.a 2﹣9＝（a +3）（a ﹣3） C.（a ﹣1）2+（a ﹣1）＝a 2﹣a D.a （a ﹣1）＝a 2﹣a 5、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）.A.()()2212+-=+-x x x xB.()2111x x x x ++=++C.()2a ab ac a a b c ---=-++D.()2222a b a b ab +=+-6、下列多项式中有因式x ﹣1的是（ ）①x 2+x ﹣2；②x 2+3x +2；③x 2﹣x ﹣2；④x 2﹣3x +2A.①②B.②③C.②④D.①④7、下列分解因式正确的是（ ）A.222()m n m n +=+B.22164(4)(4)m n m n m n -=-+C.3223(3)a a a a a a -+=-D.22244(2)a ab b a b -+=-8、对于有理数a ，b ，c ，有（a +100）b ＝（a +100）c ，下列说法正确的是（）A.若a ≠﹣100，则b ﹣c ＝0B.若a ≠﹣100，则bc ＝1C.若b ≠c ，则a +b ≠cD.若a ＝﹣100，则ab ＝c9、多项式3254812x y x y -的公因式是（ ）A.x 2y 3B.x 4y 5C.4x 4y 5D.4x 2y 310、下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（ ）A.a 2﹣a ﹣1＝a （a ﹣1﹣1a ）B.（a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2C.m 2﹣m ﹣1＝m （m ﹣1）﹣1D.m （a ﹣b ）+n （b ﹣a ）＝（m ﹣n ）（a ﹣b ）11、若()()223x x x a x b --=-+，则-a b 的值为（ ）A.3B.3-C.2D.2-12、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A.6x ＋9y ＋3＝3（2x ＋3y ）B.x 2－1＝（x －1）2C.（x ＋y ）2＝x 2＋2xy ＋y 2D.2x 2－2＝2（x －1）（x ＋1） 13、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A.﹣a 2﹣ab ﹣ac =﹣a （a +b +c ）B.x 2+x +1=（x +1）2﹣xC.（x +2）（x ﹣1）=x 2+x ﹣2D.a 2+b 2=（a +b ）2﹣2ab 14、下列因式分解正确的是（ ）A.x 2﹣4＝（x +4）（x ﹣4）B.4a 2﹣8a ＝a （4a ﹣8） C.a 2+2a +2＝（a +1）2+1 D.x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2 15、下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A.222a ab b ++B.22a b --C.22a b +D.22a b -二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a ＋b ）（a 2﹣ab ＋b 2）＝a 3﹣a 2b ＋ab 2＋a 2b ﹣ab 2＋b 3＝a 3＋b 3即：（a ＋b ）（a 2﹣ab ＋b 2）＝a 3＋b 3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a ﹣b ）（a 2＋ab ＋b 2）＝a 3﹣b 3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x 3＋y 3＝___．2、分解因式：﹣9a 2+b 2＝___．3、因式分解：x 2﹣6x ＝_________；（3m ﹣n ）2﹣3m +n ＝_________．4、因式分解：2233x y -=________．5、若m 2＝n ＋2021，n 2＝m ＋2021（m ≠n ），那么代数式m 3－2mn ＋n 3的值 _________．6、已知8a b -=，160ab +≤，则2+a b 的值为______．7、分解因式：32327a ab -=__．8、若实数a 、b 满足：a +b ＝6，a ﹣b ＝10，则2a 2﹣2b 2＝______．9、将多项式因式分解39x x -=______．10、因式分解：4224100x x y -=________．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：()()()()()()22226276992736363693x x x x x x x x x +-=++--=+-=+++-=+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：2267x xy y +-．（2）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．2、下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，则原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步） ()2244x x =-+（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()22661881x x x x --++进行因式分解．3、因式分解（1）﹣3a 3+6a 2b ﹣3ab 2；（2）4a 2（x ﹣y ）+9b 2（y ﹣x ）；（3）a 4﹣8a 2b 2+16b 4．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可.【详解】解：A 、2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意； B 、2222()a ab b a b ++=+，是因式分解，符合题意；C 、1()1am bm m a b +-=+-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D 、22()()a b a b a b +-=-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键.2、D【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案.【详解】解：选项A ：3p 2−3q 2＝3（p 2−q 2）＝3（p ＋q ）（p −q ），不符合题意； 选项B ：m 4−1＝（m 2＋1）（m 2−1）＝m 4−1＝（m 2＋1）（m ＋1）（m −1），不符合题意； 选项C ：2p ＋2q ＋1不能进行因式分解，不符合题意；选项D ：m 2−4m ＋4＝（m −2）2，符合题意. 故选：D .【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.3、B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据定义即可进行判断.【详解】解：A.2x x x =⋅，单项式不能因式分解，故此选项不符合题意；B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+，是因式分解，故此选项符合题意；C.()()2224a a a +-=-，是整式计算，故此选项不符合题意；D.()222241221x y xy xy x y +-=+-，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算.4、B【分析】根据因式分解的定义逐项排查即可.【详解】解：根据因式分解的定义可知：A、C、D都不属于因式分解，只有B属于因式分解.故选B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解.5、C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案.【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合；B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B不符合；C、把一个多项式转化成几个整式积，故C符合；D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D不符合；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积.6、D【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断.【详解】解：①x 2+x ﹣2＝()()21x x +-； ②x 2+3x +2＝()()21x x ++； ③x 2﹣x ﹣2＝()()12x x +-； ④x 2﹣3x +2＝()()21x x --. ∴有因式x ﹣1的是①④.故选：D.【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++.7、D【分析】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出解答.【详解】A. m 2+n 2，不能因式分解；B.16m 2−4n 2=4(4m −2n )(4m +2n )，原因式分解错误；C. a 3−3a 2+a =a （a 2−3a +1），原因式分解错误； D.4a 2−4ab +b 2=(2a −b )2，原因式分解正确. 故选：D.【点睛】此题考查了运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解本题的关键.8、A【分析】将等式移项，然后提取公因式化简，根据乘法等式的性质，求解即可得.【详解】解：()()100100a b a c +=+，()()1001000a b a c +-+=，()()1000a b c +-=，∴1000a +=或0b c -=，即：100a =-或b c =，A 选项中，若100a ≠-，则0b c -=正确；其他三个选项均不能得出，故选：A.【点睛】题目主要考查利用因式分解化简等式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.9、D【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可.【详解】解：因为32542322328124243x y x y x y y x y x -=⋅-⋅，所以3254812x y x y -的公因式为234x y ，故选：D.【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式.10、D【分析】把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫因式分解，根据定义对各选项进行一一分析判断即可.【详解】A. a 2﹣a ﹣1＝a （a ﹣1﹣1a ）∵从左往右的变形是乘积形式，但（a ﹣1﹣1a ）不是整式，故选项A 不是因式分解；B. （a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2，从左往右的变形是多项式的乘法，故选项B 不是因式分解；C. m 2﹣m ﹣1＝m （m ﹣1）﹣1，从左往右的变形不是整体的积的形式，故选项C 不是因式分解；D.根据因式分解的定义可知 m （a ﹣b ）+n （b ﹣a ）＝（m ﹣n ）（a ﹣b ）是因式分解，故选项D 从左往右的变形是因式分解.故选D.【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的特征从左往右的变形后各因式乘积，各因式必须为整式，各因式之间不有加减号是解题关键.11、C【分析】根据十字相乘法可直接进行求解a 、b 的值，然后问题可求解.【详解】解：()()22331x x x x --=-+，∴3,1a b ==，∴2a b -=；故选C.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.12、D【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解.【详解】解：A 、6x +9y +3=3（2x +3y +1），故此选项错误；B 、x 2-1=（x +1）（x -1），故此选项错误；C 、（x +y ）2=x 2+2xy +y 2，是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；D 、2x 2-2=2（x -1）（x +1），属于因式分解，故此选项正确.故选：D.【点睛】本题考查的是因式分解的意义，正确掌握因式分解的定义是解题关键.13、A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案；【详解】解：A、把一个多项式转化成了几个整式的积，故A符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B不符合题意；C、是整式的乘法，故C不符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积.14、D【分析】各式分解得到结果，即可作出判断.【详解】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；B、原式＝4a（a﹣2），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（x﹣1）2，符合题意.故选：D.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 15、D【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：A 、a 2＋2ab ＋b 2是三项，不能用平方差公式进行因式分解. B 、−a 2−b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C 、a 2＋b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D 、a 2−b 2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；故选：D .【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键.平方差公式：a 2−b 2＝（a ＋b ）（a −b ）.二、填空题1、()()224416y x y xy x -++【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可.【详解】﹣64x 3＋y 3()334y x =- ()()224416y x y xy x =-++故答案为：()()224416y x y xy x -++【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键.2、 (b +3a )(b -3a )【分析】原式利用平方差公式分解即可.解：-9a 2+b 2= b 2-9a 2=(b +3a )(b -3a ).故答案为：(b +3a )(b -3a )【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.3、x （x ﹣6） （3m ﹣n ）（3m ﹣n ﹣1）【分析】把x 2﹣6x 中x 提取出来即可，给（3m ﹣n ）2﹣3m +n 先加括号，然后再运用提取公因式法分解因式即可.【详解】解：x 2﹣6x ＝x （x ﹣6）；（3m ﹣n ）2﹣3m +n ＝（3m ﹣n ）2﹣（3m ﹣n ）＝（3m ﹣n ）（3m ﹣n ﹣1）.故答案为：x （x ﹣6），（3m ﹣n ）（3m ﹣n ﹣1）.【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确添加括号成为解答本题的关键.4、3()()x y x y +-【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【详解】=3（x2-y2）=3（x+y）（x-y）.故答案为：3（x+y）（x-y）.【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.5、-2021【分析】将两式m2=n+2021，n2=m+2021相减得出m+n=-1，将m2=n+2021两边乘以m，n2=m+2021两边乘以n再相加便可得出.【详解】解：将两式m2=n+2021，n2=m+2021相减，得m2-n2=n-m，（m+n）（m-n）=n-m，（因为m≠n，所以m-n≠0），m+n=-1，将m2=n+2021两边乘以m，得m³=mn+2021m①，将n2=m+2021两边乘以n，得n³=mn+2021n②，由①+②得：m³+n³=2mn+2021（m+n），m³+n³-2mn=2021（m+n），m³+n³-2mn=2021×（-1）=-2021.故答案为-2021.【点睛】本题考查因式分解的应用，代数式m 3-2mn +n 3的降次处理是解题关键.6、-4【分析】由a −b ＝8，得到a ＝8＋b ，代入ab ＋16≤0，得到（b ＋4）2＝0，根据非负数的性质得到结论.【详解】解：∵a −b ＝8，∴a ＝8＋b ，∵ab ＋16≤0，∴（8＋b ）b ＋16＝b 2＋8b ＋16＝（b ＋4）2≤0，∴（b ＋4）2＝0，∴b ＝−4，a ＝4，∴a ＋2b ＝4＋2×（−4）＝−4，故答案为：−4.【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键.7、【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可.【详解】解：原式223(9)a a b =-3(3)(3)a a b a b =+-， 故答案为：3(3)(3)a a b a b +-.【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握22()()a b a b a b -=+-是解题的关键.8、120【分析】将所求式子变形，然后根据a +b ＝6，a ﹣b ＝10，即可求出所求式子的值.【详解】解：2a 2﹣2b 2＝2（a 2﹣b 2）＝2（a +b ）（a ﹣b ），∵a +b ＝6，a ﹣b ＝10，∴原式＝2×6×10＝120，故答案为：120.【点睛】本题考查因式分解的应用、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值. 9、()()33x x x +-【分析】先提取公因式,x 再利用平方差公式分解因式即可得到答案.【详解】解：()()()329933.x x x x x x x -=-=+-故答案为：()()33x x x +-【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练“一提二套三交叉四分组”的分解因式的方法与顺序是解题的关键.10、24(5)(5)x x y x y +-【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可.【详解】422222241004(25)4(5)(5)x x y x x y x x y x y -=-=+-故答案为：24(5)(5)x x y x y +-【点睛】本题综合考查了提公因式法和公式法分解因式，一般地，因式分解的步骤是：先考虑提公因式；其次考虑用公式法.另外，因式分解要分解到再也不能分解为止.三、解答题1、（1）()()7x y x y +-；（2）8a b c ++=【分析】（1）将前两项配方后即可得到22(2)4)(x y y -+，然后利用平方差公式因式分解即可；（2）由2222264130a b c ab b c ++---+=，可得222()(3)(2)0a b b c -+-+-=，求得a 、b 、c 后即可得出答案.【详解】解：（1）22222676916x xy y x xy y y +-=++-()()()()22343434x y y x y y x y y =+-=+++-()()7x y x y =+-（2）∵2222264130a b c ab b c ++---+=∴2222269440a ab b b b c c -++-++-+=，∴()()()222320a b b c -+-+-=，∴a b =，3b =，2c =，∴8a b c ++=【点睛】本题考查了因式分解的知识，解题的关键是能够熟记完全平方公式及平方差公式的形式，并能正确的分组.2、（1）C ；（2）不彻底；（x −2）4；（3）（3x -）4【分析】（1）从第三步的结果得出结论；（2）观察最后结果中的x 2−4x ＋4是否还能因式分解，得出结论； （3）设26x x -＝y ，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解.【详解】解：（1）由y 2＋8y ＋16＝（y ＋4）2得出运用了两数和的完全平方公式，故选：C ;（2）∵x 2−4x ＋4＝（x −2）2， ∴分解不彻底，（x 2−4x ＋4）2＝[（x −2）2]2＝（x −2）4. 故答案为：不彻底；（x −2）4.（3）设26x x -＝y ，原式＝y （y ＋18）＋81＝y 2＋18y ＋81＝（y ＋9）2＝（26x x -＋9）2＝[（3x -）2]2＝（3x -）4.【点睛】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点.3、（1）﹣3a（a﹣b）2；（2）（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）；（3）（a+2b）2（a﹣2b）2【分析】（1）直接提取公因式﹣3a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式x﹣y，再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案.【详解】解：（1）原式＝﹣3a（a2﹣2ab+b2）＝﹣3a（a﹣b）2；（2）原式＝（x﹣y）（4a2﹣9b2）＝（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）；（3）原式＝（a2﹣4b2）2＝[（a+2b）（a﹣2b）]2＝（a+2b）2（a﹣2b）2.【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解以及公式法因式分解，积的乘方的逆运算，熟知平方差公式以及完全平方公式的结构特点是解题的关键.。

4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。

第四章因式分解章节同步练习2022年·浙教版初中数学七年级下册知识点习题·定向攻克·含答案及详细解析浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解专题攻克（2021-2022学年考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（）A.2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300B.2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1C.2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601D.2300+（﹣2）301＝2300+2301＝26012、下列各选项中因式分解正确的是（）A.x2－1＝（x－1）2B.a3－2a2＋a＝a2（a－2）C.－2y2＋4y＝－2y（y＋2）D.a2b－2ab＋b＝b（a－1）23、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A.x（a﹣b）＝ax﹣bxB.x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2C.ax+bx+c＝x（a+b）+cD.y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）4、下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A.x2+4＝（x+2）2B.x2﹣10x+16＝（x﹣4）2C.x3﹣x＝x（x2﹣1）D.2xy+6y2＝2y（x+3y）5、小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，a b +，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：勤，博，奋，学，自，主，现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）A.勤奋博学B.博学自主C.自主勤奋D.勤奋自主6、下列因式分解正确的是（ ）A.2224(2)x x x -+=-B.224(4)(4)x y x y x y -=+-C.221112164x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ D.()432226969a b a b a b a b a a -+=-+7、()()()()()()()()()()444444444454941341744143474114154394++++++++++的值为（ ）A.3941 B.4139 C.1353 D.3538、对于有理数a ，b ，c ，有（a +100）b ＝（a +100）c ，下列说法正确的是（） A.若a ≠﹣100，则b ﹣c ＝0 B.若a ≠﹣100，则bc ＝1C.若b ≠c ，则a +b ≠cD.若a ＝﹣100，则ab ＝c9、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）.A.()()2212+-=+-x x x xB.()2111x x x x ++=++C.()2a ab ac a a b c ---=-++D.()2222a b a b ab +=+-10、下列分解因式的变形中，正确的是（ ）A.xy （x ﹣y ）﹣x （y ﹣x ）＝﹣x （y ﹣x ）（y ＋1）B.6（a ＋b ）2﹣2（a ＋b ）＝（2a ＋b ）（3a ＋b ﹣1）C.3（n ﹣m ）2＋2（m ﹣n ）＝（n ﹣m ）（3n ﹣3m ＋2）D.3a （a ＋b ）2﹣（a ＋b ）＝（a ＋b ）2（2a ＋b ）11、下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.2m ﹣2B.m 2+n 2C.m 2﹣nD.m 2﹣n +1 12、若多项式x 2﹣mx +n 可因式分解为（x +3）（x ﹣4）.其中m ，n 均为整数，则m ﹣n 的值是（ ）A.13B.11C.9D.713、下列式子的变形是因式分解的是（ ）A.() m x y mx my +=+B.()22 21441x x x -=-+ C.()()2 1343x x x x ++=++ D.()3 11x x x x x -=+-（）14、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋cB.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2D.a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1） 15、下列因式分解结果正确的是（ ）A.24(4)x x x x -+=-+B.224(4)(4)x y x y x y -=+-C.2221(1)x x x ---=-+D.256(2)(3)x x x x --=--二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、分解因式：xy ﹣3x +y ﹣3＝______．2、分解因式：3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）＝___．3、若x ＋y ＝6，xy ＝4，则x 2y ＋xy 2＝________．4、分解因式：22a b -=_________；322x y x y xy ++=______________．5、分解因式：﹣9a 2+b 2＝___．6、分解因式：22654x y xy -=________；7、若x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1，则x 2﹣2xy ＋y 2＝___．8、分解因式：236ab a -=___________．9、若实数a 、b 满足：a +b ＝6，a ﹣b ＝10，则2a 2﹣2b 2＝______．10、因式分解（a ﹣b ）2﹣a +b 的结果是_______________．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、因式分解：2244x x a +-+2、分解因式：（1）2x 2﹣18；（2）3m 2n ﹣12mn ＋12n ；（3）（a ＋b ）2﹣6（a ＋b ）＋9；（4）（x 2＋9）2﹣36x 23、分解因式：（x 2﹣2x ）2﹣12（x 2﹣2x ）+36．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再利用提取公因式法分解因式计算得出答案.【详解】2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300.故选：A .【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及有理数的混合运算，正确将原式变形是解题关键.2、D【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，根据定义分析判断即可.【详解】解：A 、()()21=11x x x -+-，选项错误； B 、()()23222211a a a a a a a a -+=-+=-，选项错误； C 、2242(2)y y y y -+=-- ，选项错误；D 、2222(21)(1)a b ab b b a a b a -+=-+=-，选项正确.故选：D【点睛】本题考查的是因式分解，能够根据要求正确分解是解题关键.3、D【分析】根据因式分解的定义解答即可.【详解】解：A 、x （a ﹣b ）＝ax ﹣bx ，是整式乘法，故此选项不符合题意；B、x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、y2﹣1＝（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.4、D【分析】根据因式分解的方法解答即可.【详解】解：A、x2+4≠（x+2）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；B、x2-10x+16≠（x-4）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；C、x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），因式分解不彻底，故此选项不符合题意；D、2xy+6y2=2y（x+3y），因式分解正确，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了因式分解的方法，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.运用提公因式法分解因式时，在提取公因式后，不要漏掉另一个因式中商是1的项.5、A【分析】将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），再结合已知即可求解.解：（x 2-y 2）a 2-（x 2-y 2）b 2=（x 2-y 2）（a 2-b 2）=（x+y ）（x-y ）（a+b ）（a-b ），由已知可得：勤奋博学，故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求是解题的关键.6、C【分析】利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，分别进行判断即可.【详解】解：A 、2244(2)x x x -+=-，故A 错误； B 、224(2)(2)x y x y x y -=+-，故B 错误；C 、221112164x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故C 正确； D 、()43222226969(3)a b a b a b a b a a a b a -+=-+=-，故D 错误；故选：C .【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2.7、D观察式子中有4次方与4的和，将44x +因式分解，再根据因式分解的结果代入式子即可求解【详解】422222224(2)(2)(22)(22)[(1)1][(1)1]x x x x x x x x x +=+-=++-+=++-+ 原式222222222222(41)(61)(81)(101)(401)(421)(21)(41)(61)(81)(381)(401)++++++++=++++++++ 2242135321+==+ 故答案为：353【点睛】本题考查了因式分解的应用，找到4224[(1)1][(1)1]x x x +=++-+是解题的关键.8、A【分析】将等式移项，然后提取公因式化简，根据乘法等式的性质，求解即可得.【详解】解：()()100100a b a c +=+，()()1001000a b a c +-+=，()()1000a b c +-=，∴1000a +=或0b c -=，即：100a =-或b c =，A 选项中，若100a ≠-，则0b c -=正确；其他三个选项均不能得出，【点睛】题目主要考查利用因式分解化简等式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.9、C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案.【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合；B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B不符合；C、把一个多项式转化成几个整式积，故C符合；D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D不符合；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积.10、A【分析】按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正.【详解】解：A、xy（x-y）-x（y-x）=-x（y-x）（y+1），故本选项正确；B、6（a+b）2-2（a+b）=2（a+b）（3a+3b-1），故本选项错误；C、3（n-m）2+2（m-n）=（n-m）（3n-3m-2），故本选项错误；D、3a（a+b）2-（a+b）=（a+b）（3a2+3ab-1），故本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查提公因式法分解因式.准确确定公因式是求解的关键.11、A【分析】分别根据提公因式法因式分解以及乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A、2m﹣2＝2（m﹣1），故本选项符合题意；B、m2+n2，不能因式分解，故本选项不合题意；C、m2﹣n，不能因式分解，故本选项不合题意；D、m2﹣n+1，不能因式分解，故本选项不合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.12、A【分析】根据多项式与多项式的乘法法则化简(x+3)(x﹣4)，再与式x2﹣mx+n比较求出m，n的值，代入m﹣n计算即可.【详解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12，∴x2﹣mx+n= x2-x-12，∴m=1，n=-12，∴m﹣n=1+12=13.故选A.【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键.13、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项即可作出判断.【详解】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、是因式分解，故本选项正确；故正确的选项为：D【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，属于基础题.14、D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A、ax＋bx＋c＝（a＋b）x＋c，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.15、C【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答.【详解】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，故选：C.【点睛】本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题.二、填空题1、（y﹣3）（x+1）直接利用分组分解法、提取公因式法分解因式得出答案.【详解】解：xy ﹣3x +y ﹣3＝x （y ﹣3）+（y ﹣3）＝（y ﹣3）（x +1）.故答案为：（y ﹣3）（x +1）.【点睛】本题主要考查了利用提取公因式的方法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式的方法分解因式.2、()()32x y a b --【分析】根据提公因式法因式分解即可.【详解】3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）=()()()()3232a x y b x y x y a b ---=--故答案为：()()32x y a b --【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确的计算是解题的关键.3、24【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可.x ＋y ＝6，xy ＝4，∴x 2y ＋xy 2()=46=24,xy x y =+⨯故答案为：24.【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.4、()()a b a b +- 2(1)xy x +【分析】第1个式子利用平方差公式分解即可；第1个式子先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可.【详解】解：22()()a b a b a b -=+-；32222(21)(1)x y x y xy xy x x xy x ++=++=+；故答案为：()()a b a b +-；2(1)xy x +.【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.5、 (b +3a )(b -3a )【分析】原式利用平方差公式分解即可.【详解】解：-9a 2+b 2= b 2-9a 2=(b +3a )(b -3a ).故答案为：(b +3a )(b -3a )【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键. 6、()69xy x y -【分析】直接提取公因式6xy 即可得解.【详解】解：22654x y xy -=6?6?9xy x xy y - =6(9)xy x y -.故答案为：6(9)xy x y -.【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练运用提公因式，找出公因式是解答此题的关键.7、9【分析】先根据x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1可得x ﹣y ＝3，再根据完全平方公式因式分解即可求解.【详解】解：∵x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1，∴x ﹣z ＋z ﹣y ＝2＋1，即：x ﹣y ＝3，∴x 2﹣2xy ＋y 2＝（x ﹣y ）2＝9，故答案为：9.【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解以及整式加减，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键. 8、()()66a b b +-【分析】先提出公因式a ，再利用平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：2236(36)(6)(6)-=-=+-ab a a b a b b ，故答案为：()()66a b b +-.【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式因式分解的方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，还要注意分解彻底，是解题的关键.9、120【分析】将所求式子变形，然后根据a +b ＝6，a ﹣b ＝10，即可求出所求式子的值.【详解】解：2a 2﹣2b 2＝2（a 2﹣b 2）＝2（a +b ）（a ﹣b ），∵a +b ＝6，a ﹣b ＝10，∴原式＝2×6×10＝120，故答案为：120.【点睛】本题考查因式分解的应用、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值.10、（a ﹣b ）（a ﹣b ﹣1）【分析】先整理，再根据提取公因式法分解因式即可得出答案.【详解】解：（a ﹣b ）2﹣a +b＝（a ﹣b ）2﹣（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ﹣1）.故答案为：（a ﹣b ）（a ﹣b ﹣1）.【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键.三、解答题1、(2)(2)x a x a ++-+【分析】把原式分组成()2244x x a ++-，然后利用完全平方公式和平方差公式化简即可.【详解】解：原式()2244x x a =++-22(2)x a =+-(2)(2)x a x a =+++-【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键.2、（1）2（x +3）（x -3）；（2）3n （m -2）2；（3）（a +b -3）2；（4）（x +3）2（x -3）2【分析】（1）原式提取2，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取3n ，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可.【详解】解：（1）原式=2（x 2-9）=2（x +3）（x -3）；（2）原式=3n （m 2-4m +4）=3n （m -2）2；（3）原式=（a +b -3）2；（4）原式=（x 2+9+6x ）（x 2+9-6x ）=（x +3）2（x -3）2.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.3、（x2﹣2x﹣6）2【分析】仔细观察把22看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答x x案.【详解】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2.故答案为：（x2﹣2x﹣6）2.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式.。

因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1)x3y﹣xy (2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式(1）a2（x﹣y）+16(y﹣x）（2）(x2+y2)2﹣4x2y24．分解因式：(1)2x2﹣x (2）16x2﹣1 (3）6xy2﹣9x2y﹣y3 (4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1)2am2﹣8a (2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1)3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y28．对下列代数式分解因式：（1）n2(m﹣2）﹣n（2﹣m） (2）（x﹣1)（x﹣3)+19．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2)+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+112．把下列各式分解因式：(1)4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5)2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1)3p2﹣6pq; （2)2x2+8x+8分析：(1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），(2)2x2+8x+8，=2(x2+4x+4）,=2（x+2）2．2．将下列各式分解因式(1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1)原式=xy(x2﹣1）=xy（x+1)（x﹣1)；（2）原式=3a(a2﹣2ab+b2)=3a（a﹣b)2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x)；（2）（x2+y2)2﹣4x2y2．分析：(1）先提取公因式(x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)a2(x﹣y）+16（y﹣x)，=(x﹣y)（a2﹣16）,=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）;（2)(x2+y2）2﹣4x2y2,=（x2+2xy+y2）(x2﹣2xy+y2），=(x+y）2(x﹣y)2．4．分解因式：(1）2x2﹣x； (2)16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3； (4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析:（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解;（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1)2x2﹣x=x（2x﹣1)；（2)16x2﹣1=（4x+1）(4x﹣1）;（3)6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y)2;（4)4+12（x﹣y）+9(x﹣y）2，=［2+3（x﹣y）］2，=（3x﹣3y+2）2．5．因式分解:（1）2am2﹣8a；（2)4x3+4x2y+xy2分析：（1）先提公因式2a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1)2am2﹣8a=2a（m2﹣4)=2a（m+2）（m﹣2)；(2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2）,=x（2x+y）2．6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2)2﹣4x2y2．分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式;（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．解答:解:（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x)（1﹣2x）;（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=(x2+y2+2xy)（x2+y2﹣2xy)=（x+y）2(x﹣y）2．7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）(x+2y）2﹣y2．分析：（1）先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2)=y(x﹣y)2；（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y)（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m); （2）(x﹣1）（x﹣3）+1．分析:(1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）(x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．解答:解：（1)n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2(m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2)（n+1）；（2）(x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．分析:本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2,a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组,先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．解答:解：a2﹣4a+4﹣b2=(a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=(a﹣2+b）(a﹣2﹣b）．分析:当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项,有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．解答：解:a2﹣b2﹣2a+1=(a2﹣2a+1）﹣b2=(a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．11．把下列各式分解因式：（1)x4﹣7x2+1; （2）x4+x2+2ax+1﹣a2(3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y)2（4)x4+2x3+3x2+2x+1分析：(1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2,接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解；(3）首先把﹣2x2（1﹣y2)变为﹣2x2(1﹣y)（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式,接着提取公因式即可求解．解答：解:（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣(3x）2=(x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；(2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=(x2+1）﹣(x﹣a）2=(x2+1+x﹣a)（x2+1﹣x+a）;（3）(1+y）2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y)2﹣2x2（1﹣y)(1+y)+[x2（1﹣y）］2=［（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4)x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2(x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=(x2+x+1)2．12．把下列各式分解因式：（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9;（。

第六章因式分解知识点回顾1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有： ))((212x x x x a c bx ax --=++因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y2 C. x 2-1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值考点二 提取公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ）A 、-12B 、-32C 、38D 、723、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x ---（3）12n n n x x x ---+ （4）20112010(3)(3)-+-4、先分解因式，在计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=185、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值6、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值7、已知a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值。