走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-8

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某调研)函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案]B[解析]解法1：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．解法2：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.(理)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1) D ．(1,2)[答案]B[解析]f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13<0，∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线， ∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案]C[解析]在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵lne ＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2013·某某统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10 [答案]A[解析]在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)．于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选A.3．(2013·某某月考)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1 [答案]A[解析]令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2013·某某师大附中月考)已知f (x )＝(13)x －log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c [答案]D[解析]∵f (x )单调递减，x 0是f (x )的一个零点，∴当x <x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x >0，当x >x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x <0，∵f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0<a <b <c ，所以x 0>c 不可能成立．5．(2013·某某模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x [答案]D[解析]根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案]B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．二、填空题7．(2012·某某)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案]9[解析]本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识． ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a 2)2. ∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．[答案]2[解析]由题意知g (x )有零点，∴a 在f (x )的值域内， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ， x <0，2， 0≤x ≤2，2x －2， x >2.∴f (x )≥2，∴a ≥2， ∴a 的最小值为2.9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析]设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.三、解答题10．(文)(2013·某某省内江市一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)满足y ＝－x ＋120.(1)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ (2)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的X 围． [解析](1)设该商场获得利润为W 元，则 W ＝(x －60)(－x ＋120)＝－x 2＋180x －7200， 由题意可知60≤x ≤87，∵函数W ＝－x 2＋180x －7200在区间[60,87]上是增函数， ∴当x ＝87时，W max ＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． (2)由W ≥500，得－x 2＋180x －7200≥500， ∴70≤x ≤110，又∵60≤x ≤87，∴70≤x ≤87，所以，销售单价x 的取值X 围是[70,87]．(理)(2013·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A 型零件与1个B 型零件配套组成，每个工人加工5个A 型零件与3个B 型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A 型零件的工人有x 人，在单位时间内每人加工A 型零件5k (k ∈N *)个，加工完A 型零件所需时间为g (x )，加工完B 型零件所需时间为h (x )．(1)试比较g (x )与h (x )大小，并写出完成总任务的时间f (x )的表达式； (2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？[解析](1)由题意知，A 型零件共需要4500个，B 型零件共需要1500个，加工B 型零件的工人有(214－x )人，单位时间内每人加工B 型零件3k 个，所以g (x )＝45005kx ＝900kx ，h (x )＝15003k (214－x )＝500k (214－x )，g (x )－h (x )＝900kx －500k (214－x )＝200k ·963－7xx (214－x )，∵0<x <214，且x ∈N *，∴当1≤x ≤137时，g (x )>h (x )，当138≤x ≤213时，g (x )<h (x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧900kx ，(1≤x ≤137，k ∈N *)，500k (214－x )，(138≤x ≤213，k ∈N *).(2)即求当x 为何值时，f (x )取最小值，又900kx (1≤x ≤137)为减函数，500k (214－x )(138≤x ≤213)为增函数，而f (137)f (138)＝900137k ·76k500<1，∴x ＝137时，f (x )取最小值． 即加工A 零件的工人137人，加工B 零件的工人77人时，完成任务所需时间最少.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 [答案]C[解析]由表知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，∴选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1)(x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]D[解析]令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 [答案]C[解析]观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．(文)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定 [答案]B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案]C[解析]当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1； 当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1. 14．(文)(2013·潍坊模拟)一X正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()[答案]A[解析]由条件知2xy＝20，∴xy＝10，，(2≤x≤10)，故选A.∴y＝10x(理)(2013·某某模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．给出以下说法：①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有正确说法的序号是( ) A ．①③B ．①④ C ．②③D ．②④ [答案]C[解析](2)图中直线AB 向上平移，当x ＝0时，y 值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB 绕A 点旋转，当x ＝0时，y 值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.二、解答题15．(文)(2013·某某诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)[解析](1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧648－x－4(0≤x ≤4)20－2x (4<x ≤10).则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4；当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a4－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(理)X 林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向X 林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向X 林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析](1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s， 当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值． 所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)． (2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s)2代入上式， 得v ＝10002s －2×10003s 4. 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5， 令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向X 林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．补充材料1．解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f (x )＝0；(3)数形结合．2．用二分法求方程近似解用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b .第二步：取区间(a 0，b 0)的中点x 0＝12(a 0＋b 0)． 第三步：计算f (x 0)的值，得到下列相关结论．(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是方程f (x )＝0的一个根，计算终止；(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；(3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.第四步：取区间(a 1，b 1)的中点x 1＝12(a 1＋b 1)，重复第二、第三步，……直到第n 次，方程f (x )＝0的一个根总在区间(a n ，b n )中．第五步：当|a n －b n |<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(a n ，b n )内的任何一个值精确到ε就是方程f (x )＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f (x )的变号零点．备选习题1．(2012·某某一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值X 围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案]B[解析]解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2(a －1)(b －1)＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b－1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2.(2013·某某)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( ) A ．{2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.3．(2013·某某模拟)若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值X 围为( )A ．[1,2＋2]B ．[－1,2]C ．[－1,2＋2]D ．[1,3][答案]A[解析]由题意知m ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＋1＝2＋2sin(2x ＋π4)．因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以m ∈[1,2＋2]，故选A. 4．(2013·某某调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2013]上的零点个数是________．[答案]604[解析]由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．∵x ∈(－1,4]时，x 2∈[0,16]，2x ∈(12，16]，∴x 2－2x <16，∴x ∈(－1,4]时，f (x )<16.∴当x ∈(4,9]时，x －5∈(－1,4]，∴f (x －5)<16，f (x )＝16－f (x ＋5)＝16－f (x －5)>0，∴f (x )在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.。

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·某某省某某市检测)设函数y ＝x －2的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．NC ．[1，＋∞)D ．M [答案]D[解析]由题意知，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝M ，故选D.(理)(2014·某某实验中学期中)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 12x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1,1)B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(－1,0) [答案]B[解析]由题意知M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{x |1<x <3}． 2．(2014·某某市一诊)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x >1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 [答案]B[解析]当x ＝1时，(x －1)2＝0，∴B 为假命题．3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 11＝12，则S 11的值为( )A ．66B ．44C ．36D ．33 [答案]B[解析]∵a 2＋a 5＋a 11＝3a 1＋15d ＝12， ∴a 6＝a 1＋5d ＝4，∴S 11＝11a 6＝44.(理)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( )A ．53B ．54C ．55D ．109 [答案]C[解析]∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，∴a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是( )A ．4＋43B ．12C ．43D ．8 [答案]B[解析]由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为3，∴表面积S ＝22＋4×(12×2×2)＝12，故选B.(理)(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．23B. 3 C ．4 D ．2 [答案]A[解析]由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3. 5．(文)(2014·某某市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13C.12D.25 [答案]A[解析]在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QM 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QM S 矩形ABCD＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.(理)(2014·某某省某某五中月考)若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 [答案]A[解析]∵只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(x )10－r ·(2x 2)r ＝2r ·C r 10·x 10－5r 2，令10－5r 2＝0得，r ＝2，∴常数项为T 3＝22·C 210＝180. 6．(2014·某某淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案]C[解析]解法1：k ＝1时，k 2－5k ＋4＝0，不满足条件；k ＝2时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝3时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝4时，k 2－5k ＋4＝0不满足条件；k ＝5时，k 2－5k ＋4＝0>0满足条件，此时输出k 的值为5.解法2：由k 2－5k ＋4>0得k <1或k >4，∵初值k ＝1，由“k ＝k ＋1”知步长为1，∴k ∈N ，∴满足k 2－5k ＋4>0的最小k 值为5，故当k ＝5时，满足程序条件，输出k 的值．7．(2014·某某省某某市期中)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①f (x ＋1)是偶函数；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1≤x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，则f (2011)，f (2012)，f (2013)的大小关系为( )A ．f (2011)>f (2012)>f (2013)B ．f (2012)>f (2011)>f (2013)C ．f (2013)>f (2011)>f (2012)D ．f (2013)>f (2012)>f (2011) [答案]D[解析]∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)，f (2013)＝f (1)，∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2012)＝f (0)＝f (2)，∵1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1,3]上单调递减，∴f (1)>f (2)>f (3)，∴f (2013)>f (2012)>f (2011)，故选D.8．(2014·某某省某某市检测)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <－3或1<a <32B ．1<a <32C ．a >1或a <－3D ．－3<a <1或a >32[答案]A[解析]由条件知点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，4a 2－4(a 2＋2a －3)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >1，a <32，∴a <－3或1<a <32，故选A.9．(文)(2014·东城区联考)要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位[答案]C[解析]∵y ＝sin(2x －π4)＝sin[2(x －π8)]，∴将y ＝sin2x 的图象右移π8个单位即可得到y ＝sin(2x－π4)的图象． (理)(2014·开滦二中期中)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案]C[解析]∵f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin2(x＋π4)，∴要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度． 10．(文)(2014·某某冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →|的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案]B[解析]由条件知|OA →|＝2，|OB →|＝1，∵|OA →＋OB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝5＋2OA →·OB →，∴要使|OA →＋OB →|最大，应使OA →·OB →取最大值，又|OA →|，|OB →|为定值，∴当OA →与OB →同向时，|OA →＋OB →|取到最大值，此时OA →·OB →＝2，∴|OA →＋OB →|max ＝3，故选B.(理)(2014·华师一附中月考)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝sin x (0<x <π)，h (x )＝ln x (x >0)，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c [答案]B[解析]g ′(x )＝cos x ，h ′(x )＝1x ，φ′(x )＝3x 2，由sin x ＝cos x,0<x <π得x ＝π4，∴a ＝π4；由x 3＝3x 2，x ≠0得x ＝3，∴c ＝3. 由ln x ＝1x 及x >0得x >1,0<1x <1，∴1<x <e ，即1<b <e ， ∵π4<1<b <e<3，∴a <b <c . 11．(2014·某某曲沃中学期中)双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．1＋ 2 C ．1＋3D ．2＋ 3 [答案]B[解析]y 2＝4x 的焦点F 2(1,0)， ∵|AF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴由抛物线的定义知A 点的横坐标为1，即AF 2⊥x 轴， 从而|AF 1|＝22，∴2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝22－2， ∴a ＝2－1，∴e ＝c a ＝12－1＝2＋1，故选B.12．(文)(2014·某某白鹭洲中学期中)函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )的部分图象可能是( )[答案]A[解析]首先f (x )为奇函数，排除D ；其次由f ′(x )＝1－cos x ≥0知f (x )为增函数，排除C ；又在(0，π)上y ＝cos x 单调递减，从而f ′(x )＝1－cos x 单调递增，即在(0，π)上f (x )的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B ，选A.(理)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)函数y ＝3x cos3x 9x －1的图象大致为( )[答案]D[解析]对于f (x )＝3x cos3x9x －1，有f (－x )＝3－xcos (－3x )9－x －1＝3x cos3x 1－9x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；当x 略大于0时，y >0，排除B ；由3x cos3x 9x －1＝0得3x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝π6＋k π3，∴f (x )的零点等间隔出现，排除C ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·某某二中期中)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案]－7[解析]∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7.(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC 中，b cos C ＋c cos Ba ＝________.[答案]1[解析]由正弦定理知，b cos C ＋c cos B a ＝sin B cos C ＋sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )sin A＝sin (π－A )sin A＝1.14．(文)(2014·某某市曲江一中月考)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则3x ＋2y的最大值是________．[答案]5[解析]作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移l 0得直线l ：3x ＋2y ＝u ，当l 经过点A (1,1)时，u 取最大值，u max ＝3×1＋2×1＝5.(理)(2014·某某省博兴二中质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0，则2x －y 的最大值为________．[答案]2[解析]作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0得直线l ：2x －y ＝t ，当平移到l 经过点A (1,0)时，t 取最大值，t max ＝2.[点评] 当直线l ：2x －y ＝t 的纵截距最小时，t 取最大值，故t 最大时，直线l 应过A (1,0)点，而不是B (0,1)点．15．(文)(2014·某某省实验中学一模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，且满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2014＝________.[答案]4009[解析]∵{x n }是公差为2的等差数列， ∴x 8<x 9<x 10<x 11，∵奇函数f (x )是定义在R 上的增函数， ∴f (x 8)<f (x 9)<f (x 10)<f (x 11)， 又∵x 8＋x 11＝x 9＋x 10， f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0， ∴x 8<x 9<0且x 11>x 10>0，∴x 10＝－x 9，x 11＝－x 8，∴x 9＝－1，x 2014＝x 9＋2·(2014－9)＝4009.(理)(2014·某某市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案]433[解析]因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33，所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433. 16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题： ①函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点； ②若f ′(x 0)＝0，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值； ③若m ≥－1，则函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．其中正确的是________． [答案]①③④[解析]①∵f (1)·f (e)＝－1·(e －1)<0，又f (x )在(1，e)上的图象连续不断，∴f (x )在(1，e)上存在零点，故①正确；②f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题； ③要使函数y ＝log 12 (x 2－2x －m )的值域为R ，应使x 2－2x ＋m 取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m ≥0，∴m ≥－1，故③正确；④a ＝1时，f (x )＝1－e x 1＋e x ，f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ＝e x －1e x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；f (x )＝a －e x1＋a e x为奇函数时，f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －e －x1＋a e －x ＝－a －e x1＋a e x ，即a e x －1e x ＋a ＝e x －a1＋a ex ，∴e 2x －a 2＝a 2e 2x－1，∴(a 2－1)(e 2x ＋1)＝0，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1，∴④正确，故填①③④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且m ＝(sin A ＋sin B ＋sin C ，sin C )，n ＝(sin B ，sin B ＋sin C －sin A )，若m ∥n .(1)求A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值及此时B 的值． [解析](1)因为m ∥n ，所以(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝sin B sin C ， 根据正弦定理得，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)， 所以A ＝23π.(2)由正弦定理及a ＝3得，S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝3(cos B cos C ＋sin B sin C ) ＝3cos(B －C )，所以当B ＝C 时，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取最大值 3.(理)(2014·某某市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析](1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)， 即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1， 而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)． [解析](1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28，∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ， ∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －cn ·，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ，则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ， n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2， n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ，12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n . 19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； (2)求三棱锥A 1－AB 1C 的体积．[解析](1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥AC ， 又由于AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝3，∴AB ＝2， 则由AC 2＋BC 2＝AB 2可知，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1CB ， ∴平面AB 1C ⊥平面B 1CB .(2)∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴B 到平面ACC 1A 1的距离d ＝1，∵BB 1∥平面ACC 1A 1，∴B 1到平面A 1AC 的距离为1， ∴三棱锥A 1－AB 1C 的体积＝13×(12×1×1)×1＝16. (理)(2014·某某省某某市检测)如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A ＝60°，AF ＝2FB ，AB ＝6，点E 在CD 上，EF ∥BC ，BD ⊥AD ，BD 与EF 相交于点N .现将四边形ADEF 沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．(1)求证：BD⊥平面BCEF；(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；(3)求三棱锥N－ABF的体积．[解析](1)由条件知EF⊥DN，EF⊥BN，∴EF⊥平面BDN，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN＝平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，故BD⊥平面BCEF.(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，∵在原平面图形中AB＝6，∠DAB＝60°，∴BD＝33，∵EF∥AD，AF＝2FB，∴DN＝2BN，∴BN＝3，DN＝23，∴折后立体图形中BD＝3，BC＝3，→＝(－1,0,0)，∴N(0，3，0)，D(0,0,3)，C(3,0,0)，NF→＝13CB∴BF →＝BN →＋NF →＝(－1，3，0)，DN →＝(0，3，－3)， ∴cos 〈BF →，DN →〉＝BF →·DN →|BF →|·|DN →|＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34. 法二：在线段BC 上取点M ，使BM ＝NF ，则MN ∥BF ， ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角． 又MN ＝BF ＝2，DM ＝BD 2＋BM 2＝10，DN ＝2 3.∴cos ∠DNM ＝DN 2＋MN 2－DM 22DN ·MN ＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34. (3)∵AD ∥EF ，∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离， ∴V N －ABF ＝V A －BNF ＝V D －BNF ＝13S △BNF ·BD ＝32，即所求三棱锥的体积为32. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．[解析]∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ， ∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ， ∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3，∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )， ∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.(理)(2014·某某市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析](1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元．21．(本小题满分12分)(文)(2014·某某市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：得到频率分布表如下：分数段(分)[50，70)[70，90)[90，110)[110，130)[130，150]总计频数b频率a为及格)；(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．[解析](1)由茎叶图可知分数在[50,70)X围内的有2人，在[110,130)X围内的有3人，∴a＝220＝0.1，b＝3从茎叶图可知分数在[90,150]X围内的有13人，所以估计全校数学成绩的及格率为1320＝65%.(2)设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，则选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P (A )＝410＝25.(理)(2014·某某省某某五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段 (分) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150] 总计频数 b 频率a0.25(1)求表中a ，b 的值及分数在[90,100)X 围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；(2)从成绩在[100,130)X 围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．[解析](1)由茎叶图可知分数在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人， ∴a ＝220＝0.1，b ＝3；分数在[70,90)X 围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)X 围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%＝65%.(2)由茎叶图可知分数在[100,130)X 围内的有7人，分数在[100,110)X 围内的有4人，则随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P (X ＝1)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 03C 47＝135. 随机变量X 的分布列为：E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.22．(本小题满分14分)(文)(2014·某某市六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程； (2)若OA →⊥OB →，求k 的值．[解析](1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得，(k 2＋4)x 2＋2kx－3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，∴k ＝±12.(理)(2014·某某白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析](1)由已知2c ＝23，c a ＝32.解得a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， ∴x D ＝－8k 1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2，依题意k ≠0，k ≠±12.∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |， ∴b －y D ＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y D b ，∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D＝1－52， ∴1－4k 21＋4k2＝1－52，解得k 2＝2＋54， ∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。

阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 [答案]D[解析]∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.2．(文)(2014·某某省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )A ．21B ．30C ．35D ．40 [答案]C[解析]∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5， ∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.(理)(2014·某某九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D.12n －1[答案]B[解析]∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n ＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.3．(文)(2014·某某九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3 [答案]C[解析]∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴sin－x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x3＝0， ∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(理)(2014·某某七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x ＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x ＝±1.4．(文)(2014·某某区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ．55C ．54D ．30 [答案]B[解析]所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )A.20122013B.12013C.20132014D.12014 [答案]C[解析]由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014，∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C. 5．(2014·某某市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案]B[解析]复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.6．(2014·某某市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b (a >b )的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A.32B.43 C ．2 D ．3 [答案]A[解析]当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最大值为32.7．(2014·某某省某某五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |x B ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －x e x －e －x D ．f (x )＝sin 2x1＋cos 2x[答案]B[解析]由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)＝0且f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝ln1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案]B[解析]∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.9．(文)(2014·某某市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12? [答案]B[解析]第一次循环：s ＝1×12＝12，i ＝12－1＝11，不满足条件，继续循环； 第二次循环：s ＝12×11＝132，i ＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i ≥11？.(理)(2014·某某七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S 的值为－14，则判断框内可填写( )A．i<6? B．i<8?C．i<5? D．i<7?[答案]B[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.10．(2014·某某梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n 都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案]A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.11．(文)(2014·某某市修水一中第四次月考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，垂足分别是D 、E ，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 1＋1e 2的值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3 [答案]B[解析]设AE ＝1，则AB ＝2，BD ＝1，AD ＝BE ＝3，∴椭圆的焦距2c ＝2，∴c ＝1，长轴长2a ＝AD ＋BD ＝3＋1，∴离心率e 1＝13＋12＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2， ∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1， ∴离心率e 2＝13－12＝3＋1. ∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1＝3，故选B. (理)(2014·市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为( )A.2B.62C.233D ．1[答案]B[解析]因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确．12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 [答案]C[解析]将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．[答案]a n ＝n 3[解析]第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.(理)(2014·某某工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．[答案]13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2[解析]观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.14．(文)(2014·某某市摸底)下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”； ②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．[答案]①②③[解析]①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”，正确；②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确；③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ⇒a >b ⇒2r sin A >2r sin B ⇒sin A >sin B ，故③正确；④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．(理)(2014·某某市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ；②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立．其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)[答案]②③[解析]对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确；对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错．15．(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．[答案]S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 16．(文)(2014·某某市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．[答案]2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n[解析]由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .(理)(2014·某某某某十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________． [答案]1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12[解析]观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3，设角B 的大小为x 用x 表示c ，并求c 的取值X 围． [解析](1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝3， ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得：c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin(π－A －B )＝2sin(2π3－x )．∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴0<2π3－x <2π3.∴0<sin(2π3－x )≤1,0<2sin(2π3－x )≤2，即c ∈(0,2]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某省实验中学一模)如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF ； (3)求几何体ABCDEF 的体积．[解析](1)设AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ∥DO 且EF ＝BO ，则四边形EFBO 是平行四边形， 则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ， BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE .(2)∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ， 又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF . (3)因为ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴四边形BDEF 是直角梯形，又∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝22，EF ＝2， ∴梯形BDEF 的面积为(2＋22)×12＝322，由(1)知AC ⊥平面BDEF ，所以几何体的体积V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13S BDEF ·AO ＝2×13×322×2＝2.(理)(2014·某某市质检)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)在线段P A 上是否存在点Q 使得FQ ∥平面PBE ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求点A 到平面PBE 的距离．[解析](1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF ，在图1中，易得EF ＝62＋(12－3－4)2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2， 所以PF ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABCD ， 所以PF ⊥平面ABED .(2)当Q 为P A 的三等分点(靠近P )时，FQ ∥平面PBE .证明如下： 因为AQ ＝23AP ，AF ＝23AB ，所以FQ ∥BP ，又FQ ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以FQ ∥平面PBE . (3)由(1)知PF ⊥平面ABCD ，所以PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即13×S △PBE h ＝13×S △ABE ·PF ，又S △PBE ＝12×6×9＝27，S △ABE ＝12×12×6＝36，所以h ＝S △ABE ·PF S △PBE ＝36×2527＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·某某市质检)某某某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm)分别是162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm)分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2)现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？[解析](1)茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.(2)两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人，其中3人来自排球队，记为a ，b ，c,2人来自篮球队，记为A ，B ，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc ，abA ，abB ，acA ，acB ，aAB ，bcA ，bcB ，bAB ，cAB 共10个；其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA ，abB ，acA ，acB ，bcB ，bcA 共6个，所以，恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是610＝35.(理)(2014·某某省某某五中月考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)过点A (－e－2,0)作函数y ＝f (x )图象的切线，求切线方程．[解析](1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0得ln x <－1， ∴0<x <1e ，∴函数f (x )的单调递减区间是(0，1e )．(2)∵f (x )≥－x 2＋ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋6x，设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． ∴g (x )最小值为g (2)＝5＋ln2，∴实数a 的取值X 围是(－∞，5＋ln2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0，设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，则h ′(x )＝e 2＋1x ，当x >0时h ′(x )>0，∴h (x )是单调递增函数， ∴h (x )＝0最多只有一个根，又h (1e 2)＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2，由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·某某省某某市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20p)万元/万件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解析](1)由题意知，y ＝(4＋20P )×P －(10＋2P )－x ，将P ＝3－2x ＋1代入化简得： y ＝16－4x ＋1－x ，(0≤x ≤a )．(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)在[0，a ]上单调递增，所以在x ＝a 时，函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(理)(2014·市海淀区期末)如果函数f (x )满足在集合N *上的值域仍是集合N *，则把函数f (x )称为N 函数．例如：f (x )＝x 就是N 函数．(1)判断下列函数：①y ＝x 2，②y ＝2x －1，③y ＝[x ]中，哪些是N 函数？(只需写出判断结果)；(2)判断函数g (x )＝[ln x ]＋1是否为N 函数，并证明你的结论； (3)证明：对于任意实数a ，b ，函数f (x )＝[b ·a x ]都不是N 函数． (注：“[x ]”表示不超过x 的最大整数) [解析](1)只有y ＝[x ]是N 函数．①∵当x ∈N *时，{y |y ＝x 2}N *，如3不是函数y ＝x 2(x ∈N *)的函数值，∴y ＝x 2不是N 函数；②同理，∵当x ∈N *时，y ＝2x －1为奇数，∴y ＝2x －1不是N 函数； ③对于任意x ∈N *，当n 2≤x <(n ＋1)2时，y ＝[x ]＝n ，∴y ＝[x ]是N 函数． (2)函数g (x )＝[ln x ]＋1是N 函数． 证明如下：显然，∀x ∈N *，g (x )＝[ln x ]＋1∈N *. 不妨设[ln x ]＋1＝k ，k ∈N *. 由[ln x ]＋1＝k 可得k －1≤ln x <k ，即1≤e k－1≤x<e k.因为∀k∈N*，恒有e k－e k－1＝e k－1(e－1)>1成立，所以一定存在x∈N*，满足e k－1≤x<e k，所以∀k∈N*，总存在x∈N*满足[ln x]＋1＝k，所以函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．(3)①当b≤0时，有f(2)＝[b·a2]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．②当b>0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．2°若0<a≤1，由指数函数性质易得b·a x≤b·a，所以∀x∈N*，都有f(x)＝[b·a x]≤[b·a]，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．3°若a>1，令b·a m＋1－b·a m>2，则m>log a2 b·(a－1)，所以一定存在正整数k使得b·a k＋1－b·a k>2，所以∃n1，n2∈N*，使得b·a k<n1<n2<b·a k＋1，所以f(k)<n1<n2≤f(k＋1)．又因为当x<k时，b·a x<b·a k，所以f(x)≤f(k)；当x>k＋1时，b·a x>b·a k＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．21．(本小题满分12分)(文)(2014·市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中a为常数．(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a的取值X围；(2)若f(x)≥e2在x∈[0,2]时恒成立，某某数a的取值X围．[解析](1)f′(x)＝(x＋a＋1)e x，x∈R，因为函数f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数， 所以只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1， f (x )，f ′(x )的变化情况如下：①当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)， 若满足题意只需f (0)≥e 2，解得a ≥e 2， 所以，此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)， 若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1， 所以此时，a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．(理)(2014·某某市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． [解析]解法1：(1)用A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2，P (A 1)＝12，P (A 2)＝12，∴P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局丙和乙比赛时，结果为乙胜丙”， B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.解法2：四局比赛所有可能情况如下树状图： 第一局 第二局 第三局 第四局由树状图知，(1)第4局甲当裁判的概率为P ＝14.(2)P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝14，∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.22．(本小题满分14分)(文)(2014·某某质检)如图所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1、F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解析](1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设Q (x ，y )(其中x 25＋y 24＝1)，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＝1，因为PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2， 若－4t ≤－2即t ≥12，则当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)． 若－4t >－2即0<t <12，则当y ＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322， 解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24. 综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322. (理)(2014·某某省某某市期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝22，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，某某数m 的取值X 围．[解析](1)由已知，可得c ＝2，a ＝3b ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，b ＝1，∴x 23＋y 2＝1. (2)当k ＝0时，直线和椭圆有两交点只需－1<m <1；当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1，①x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ， 又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，② 将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12， 故所求的m 取值X 围是(12，2)． 综上知，k ≠0时，m 的取值X 围是(12，2)； k ＝0时，m 的取值X 围是(－1,1)．。

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B等于()A．{x|x>2}B．{x|0<x<2}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<1}[答案] C[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．∅[答案] B[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于()A．{－2,2} B．{－2,0,2}C．{－2,0} D．{0}[答案] B[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1,2] D．[1，＋∞)[答案] B[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则∁U(M∪N)＝()A．{1,2,3} B．{5}C．{1,3,4} D．{2}[答案] B[解析]∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M∪N＝{1,2,3,4,6}，∴∁U(M∩N)＝{5}．(理)(2014·文登市期中)已知集合A＝{x|log4x<1}，B＝{x|x≥2}，则A∩(∁R B)＝()A．(－∞，2) B．(0,2)C．(－∞，2] D．[2,4)[答案] B[解析]∵A＝{x|log4x<1}＝{x|0<x<4}，B＝{x|x≥2}，∴∁R B＝{x|x<2}，所以A∩∁R B＝(0,2)，故选B.5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0[答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( )A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x[答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R,3x >0B ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βC ．∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ”[答案] D[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π3，β＝2π时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－m b)⊥a⇔(a－m b)·a＝0⇔|a|2－m a·b＝0⇔m＝1，故选C.8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示()A．{2,4}B．{1,3}C．{5}D．{2,3,4,5}[答案] C[解析]阴影部分在集合B中，不在集合A中，故阴影部分为B∩(∁U A)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β[答案] D[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)}[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎨⎧ －m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确；∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件；②⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1； ③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为92；④若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π3的值为－3； ⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ②③④[解析] x <－1⇒/ x <－2，x <－2⇒x <－1，故①错误；⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，等号在⎩⎨⎧ b a ＝4a b，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x的图象上，∴3a ＝9，∴a ＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正确答案为②③④.15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}；③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)[答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x－72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题：①∃α，β∈R ，α>β，使得tan α<tan β；②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的充要条件；④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tan α<0<tan β，∴①为真命题；∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>22，从而f (sin θ)<f (cos θ)，∴②为假命题；③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝12，∴③为假命题；④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>a b ，则a <b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立；③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>a b，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数，∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，(1)求A ∩B ；(2)试求实数a 的取值范围，使C ⊆(A ∩B )．[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x >1或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1<x <4}．(2)①当a ＝0时，C ＝∅，符合C ⊆(A ∩B )；②当a >0时，C ＝{x |a <x <2a }，要使C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a ≤4，解得1≤a ≤2； ③当a <0时，C ＝{x |2a <x <a }，∵a <0，C ⊆(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设．∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ⊆(A ∩B )，求实数p 的取值范围．[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2<x ≤3}；(2)∵C＝{x|x2＋4x＋4－p2<0}(p>0)，∴C＝{x|－2－p<x<－2＋p}，∵C⊆(A∩B)，∴－2－p≥－3，且－2＋p≤－1，∴0<p≤1，∴实数p的取值范围是{p|0<p≤1}．18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x 是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m 的取值范围．[解析]不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，因此1≤m<2.19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x －8>0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解析]由x2－4ax＋3a2<0及a<0得，3a<x<a，∴p：3a<x<a；由x2＋2x－8>0得，x<－4或x>2，∴q：x<－4或x>2.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴a≤－4.(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x满足x －3x －2≤0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3； 由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2. 20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6.若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3. ∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，知a ≠0，当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ； 当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，解得：－22≤a <0或0<a ≤22，又a <0，所以－22≤a <0，综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)．22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2<x ≤2).(2)f (x )＝x ·V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2<x ≤2). 当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时；当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50，当x ＝1时，f (x )取到最大值50，所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．。

基础巩固强化一、选择题1．(文)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (12＋x )＝f (12－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)[答案] D[解析] 因为f (12＋x )＝f (12－x )，所以二次函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，故f (2)＝f (－1)，又该函数在(－∞，12)上递减，所以f (0)<f (－1)<f (－2)，即f (0)<f (2)<f (－2)．(理)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上 f (x )( )A ．可能是增函数，也可能是常数函数B ．是增函数C ．是常数函数D ．是减函数 [答案] A[解析] ∵f (x )为偶函数， ∴一次项系数m 2－1＝0，∴m ＝±1.若m ＝1，则f (x )＝1，为常数函数；若m ＝－1，则f (x )＝－2x 2＋1在(－∞，0]上为增函数． 2．(文)(2012·辽宁大连24中期中)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34] B ．(0，34) C ．[0，34] D ．[0，34)[答案] D[解析] ①当m ＝0时，y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3＝－13，定义域为R ；②当m ≠0时，若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则∀x ∈R ，mx 2＋4mx ＋3≠0.由mx 2＋4mx ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0，⇒0<m <34. 综上①②得0≤m <34，故选D.(理)(2012·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，其图象上两点的横坐标x 1、x 2满足x 1<x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)、f (x 2)的大小不确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)．又x 1<x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，∴a (x 1－x 2)·(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(1－a ＋2)＝a (3－a )(x 1－x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，故选C.3．(2013·烟台期中)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51[答案] B[解析] 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆， ∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．4．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1] D ．(－∞，－235) [答案] C[解析] 令f (x )＝x 2＋ax －2，由条件知，f (1)·f (5)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋8>0，1<－a2<5，f (1)＝a －1>0，f (5)＝5a ＋23>0.∴－235≤a ≤1.5．(文)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是( )[答案] C[解析] 若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理由f (x )图象开口向下，导函数f ′(x )为减函数，排除D ；又f (x )单调增时，f ′(x )在相应区间内恒有f ′(x )≥0，排除B ，故选C.(理)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b <0，从而c >0，与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0，与B 图不符．若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b >0时，有c >0与C 、D 图不符，当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，f (0)＝c <0，故选D.6．(文)已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 数形结合判断．(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时显然不适合题意． ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝2a －2，∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.二、填空题7．(文)设函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋4，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0时，有f (x 1)>f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a <12[解析] 由题意得1－2a 2>0，得a <12.(理)已知关于x 的函数f (x )＝x 2－2x －3，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．[答案] －3[解析] ∵二次函数f (x )＝x 2－2x －3中，a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴由f (x 1)＝f (x 2)得，x 1＋x 22＝－b2a ＝1，所以x 1＋x 2＝2，则f (x 1＋x 2)＝f (2)＝－3.8．(2012·上海)已知y ＝f (x )是奇函数．若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.[答案] 3[解析] 本题考查了奇函数的定义及函数值的求法． ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∵g (1)＝f (1)＋2 ①，g (－1)＝f (－1)＋2 ②， ∴①＋②得g (1)＋g (－1)＝4， ∴g (－1)＝4－g (1)＝3.[点评] 抓住已知条件f (x )的奇函数是解决本题的关键． 9．(2013·盐城模拟)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－94，2)[解析] y ＝2－x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x －a |是与x 轴交于(a,0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2－x 2(x <0)的图象都在折线下方，由2－x 2＝x －a 得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝－94，此时y ＝x －a 与y ＝2－x 2(x <0)相切，故－94<a <2.三、解答题10．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．[解析] 要使函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)有意义，应有3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x <1或x >3}． f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2， 令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴y ＝4t －3t 2＝－3(t －23)2＋43(t >8或0<t <2)，由二次函数性质可知， 当0<t <2时，f (x )∈(－4，43]； 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)； 当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，y ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·郑州第一次质量预测)图中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.(理)(2013·长春调研)若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 [答案] C[解析] 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于原点对称后可知g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与f (x )＝－x 2－4x (x <0)的图象存在两个交点，故“友好点对”的个数为2，故选C.12．(2013·辽宁理，11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16[答案] B[解析] ∵f (x )－g (x )＝2x 2－4ax ＋2a 2－8＝2[x －(a －2)][x －(a ＋2)]，∴H 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ∈(－∞，a －2]，g (x )，x ∈(a －2，a ＋2)，f (x )，x ∈[a ＋2，＋∞).H 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ∈(－∞，a －2]，f (x )，x ∈(a －2，a ＋2)，g (x )，x ∈[a ＋2，＋∞).可求得H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝－4a ＋12，∴A －B ＝－16.故选B.[点评] 令f (x )＝g (x )可得x 1＝a －2，x 2＝a ＋2在同一坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图象易知A 为f (a －2)与f (a ＋2)中的较小值，B 为f (a －2)与f (a ＋2)中的较大值，故只需比较f (a －2)与f (a ＋2)的大小即可．13．(文)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{5,19,1}的“孪生函数”共有()A．4个B．6个C．8个D．9个[答案] D[解析]由2x2＋1＝1得x＝0；由2x2＋1＝5得x＝±2，由2x2＋1＝19得x＝±3，要使函数的值域为{5,19,1}，则上述三类x的值都要至少有一个，因此x＝0必须有，x＝±2可以有一个，也可以有2个，共有三种情形，对于它的每一种情形，都对应x＝±3的三种情形，即定义域可以是{0，2，3}，{0，2，－3}，{0，2，3，－3}，{0，－2，3}，{0，－2，－3}，{0，－2，3，－3}，{0，2，－2，3}，{0，2，－2，－3}，{0，2，－2，3，－3}共9种，故选D.(理)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是() A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b[答案] A[解析]设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.二、填空题14．(2013·惠州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋12ax －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则正数a 的取值范围是________．[答案] 1<a ≤2[解析] 由题意，得12＋12a －2≤a 1－a ，则a ≤2， 又f (x )＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.15．已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．函数f (x )＝x 2的形如[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))的保值区间是________．[答案] [1，＋∞)[解析] 因为f (x )＝x 2在[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))上单调递增，所以f (x )在[n ，＋∞)上的值域为[f (n )，＋∞)，若[n ，＋∞)是f (x )的保值区间，则f (n )＝n 2＝n ，解得n ＝1.三、解答题16．(文)如图所示：图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g [f (x )]在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围．[解析] (1)由图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， ∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g [f (x )]＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g [f (x )]在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m ≤2＋62.(理)(2012·成都诊断)已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R )．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)、(0,1)内，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由题意可知，x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个根．由韦达定理得，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c . 即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1. ∴b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0，⇒15<b <57，即b 的取值范围为(15，57)．考纲要求理解二次函数的概念及图象特征，掌握二次函数的最值及性质． 补充说明1．熟练掌握二次函数的三种形式的解析式及其适用条件，准确把握三个二次之间的关系，明确二次函数在闭区间上最值的讨论方法，熟悉二次函数图象的对称轴、顶点、配方方法，在解决问题过程中自觉运用数形结合思想、分类讨论思想是突破二次函数问题的关键．备选习题1．(2013·太原模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则函数f(x)的大致图象为()[答案] B[解析]由f(x)为奇函数，排除A；由x＝0时，f(0)的值唯一排除C；由x≥0时，f(x)＝3x＋m单调递增排除D，故选B.2．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有() A．10个B．9个C．8个D．1个[答案] A[解析]由y＝f(x)与y＝|lg x|图象(如图)可知，选A.3．(2012·浙江宁波模拟)函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是( )A ．1B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 该函数图象与直线y ＝2有三个交点(x 1,2)，(x 2,2)，(x 3,2)，x 1＝－1，x 2＋x 3＝6(其中(x 2,2)，(x 3,2)关于直线x ＝3对称)，则横坐标之和为5.4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，23]B ．(0，12)C ．(12，23]D ．(12，1)[答案] C[解析] 命题p 等价于3a 2≤1，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23，因此选C.5．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[分析] (1)求二次函数f (x )在闭区间上的最值，应考虑对称轴与闭区间的位置关系．其最值必在顶点和区间端点获得．(2)若f (x )在区间A 上单调，则对称轴必在相应的开区间外．(3)利用复合函数单调性同增异减判断．[解析] (1)a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝35.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋3＝(x ＋a )2＋3－a 2，要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，∴a ≥4或a ≤－6.(3)a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，f (|x |)＝(|x |＋1)2＋2. 令t ＝|x |(－4≤x ≤6)，则0≤t ≤6，∵t ＝|x |在[－4,0]上单调递减，在[0,6]上单调递增，y ＝(t ＋1)2＋2在[0,6]上单调递增，∴f (|x |)在[－4,0]上单调递减，在[0,6]上单调递增．。

基础巩固强化一、选择题1．(文)下列各函数中，()是R上的偶函数() A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2x D．y＝1|x|－1[答案] C[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案] B[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)[答案] B[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．(文)若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12 [答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∵f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2013·湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法． ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，所以g (1)＝3.故选B.4．(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2[答案] D[解析] 由f (x ＋α)＝f (x ＋3α)得f (x )＝f (x ＋2α)， ∴f (x )周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2.(理)(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] D[解析] 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.∵f (x )在[－1,0]上为减函数，f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D.5．(2013·宁夏育才中学模拟)若奇函数f (x )在R 上是增函数，且a ＋b >0，则有( )A ．f (a )－f (b )>0B ．f (a )＋f (b )<0C ．f (a )＋f (b )>0D ．f (a )－f (b )<0 [答案] C[解析] 由a ＋b >0得a >－b ，因为f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a )>f (－b )，即f (a )>－f (b )，故选C.6．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[0,6]上零点的个数有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个[答案] B[解析] 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则有f (0)＝f (1)＝0，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以函数y ＝f (x )在区间[0,6]上有f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，所以有7个．二、填空题7．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )>0.或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0.观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x ＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x ＋a )＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.9．(2013·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②④[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两极为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.三、解答题10．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)解：对任意x 1、x 2∈[－3,3]，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.∴f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.能力拓展提升一、选择题11．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138] C ．(－∞，2] D ．[138，2)[答案] B[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12．(文)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2[答案] C[解析] 由已知：g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )、f (x )分别为R 上的奇、偶函数，∴－g (x )＝f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期T ＝4，∴f (2014)＝f (2)＝g (－1)＝－g (1)＝－2，故选C.(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2015)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13 [答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2015)＝f (3)＝－12. [点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，13．(文)(2012·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] C[解析] f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得，x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得，x 无解； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得，x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.(理)(2013·芜湖一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P (x ，y )满足x 24＋y 2＝1，若函数y ＝f (x )的值域是(－1,1)，则f (x )一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．单调函数D ．幂函数[答案] A[解析] 设P (x ，y )在函数图象上，则由条件知P ′(－x ，－y )也在函数图象上，所以f (－x )＝－f (x )，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2(x －14)2＋78x >0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应填②④.15．(2013·吉林质检)已知函数f (x )满足下面关系： (1)f (x ＋π2)＝f (x －π2)；(2)当x ∈(0，π]时，f (x )＝－cos x . 给出下列命题： ①函数f (x )是周期函数； ②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于y 轴对称； ④方程f (x )＝lg|x |解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)． [答案] ①④[解析] 由f (x ＋π2)＝f (x －π2)，可得f (x ＋π)＝f (x )，即可得函数f (x )是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f (0)＝f (π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f (x )不是奇函数，即命题②不正确；由f (－π3)＝f (2π3)＝－cos 2π3＝12≠f (π3)＝－12，可得函数f (x )不是偶函数，其函数图象不关于y 轴对称，即命题③不正确；函数f (x )与函数y ＝lg|x |在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f (x )＝lg|x |有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.三、解答题16．(文)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由；(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，当－3<x <－2时，求f (x )的解析式．[解析] (1)假设函数f (x )＝x 属于集合M ，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立，即x ＋T ＝Tx 成立．令x ＝0，得T ＝0，与题目矛盾．故f (x )∉M .(2)f (x )∈M ，且T ＝2，则对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )． 设－3<x <－2，则1<x ＋4<2. 又f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)， 且当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，故当－3<x <－2时，f (x )＝14[x ＋4＋ln(x ＋4)]． (理)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数，∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.考纲要求结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义． 补充说明1．牢记：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；奇函数若在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；奇偶函数单调性，图象对称性．2．把握四个考向：奇偶性判断；由奇偶性求参数值；求周期；函数性质的综合应用．3．突破三个难点综合利用奇偶性、周期性求函数值；抽象函数性质讨论；函数不等式求解．备选习题1．(2013·济南模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( ) A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110[答案] B[解析] 由f (x ＋6)＝f (x )知该函数为周期函数， 所以f (107.5)＝(6×18－12)＝f (－12)＝－1f (52)＝－1f(－52)＝－1－10＝110.2．(2013·东北三省四市联考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x ＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(4)＝4，则f(2012)＝()A．0 B．－4C．－8 D．－16[答案] B[解析]由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即为奇函数．令x＝－3可知，f(3)＋f(－3)＝2f(3)，进而f(－3)＝f(3)，又f(－3)＝－f(3)，可知f(3)＝0，所以f(6＋x)＋f(x)＝0，可知f(x)是一个周期为12的周期函数，所以f(2012)＝f(168×12－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4，故选B.3．(2013·福州质检)已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)[答案] C[解析]∵函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即得函数f(x)的对称中心为(1,0)，又由对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，可得函数为R上的减函数，由此可得不等式f(x)<0的解为x>1，则由f(1－x)<0可得1－x>1，解得x<0，即不等式f(1－x)<0的解集为(－∞，0)，故应选C.4．(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T 2B ．0 C.T 2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T2)＝0，∴f (－T2)＝0.5．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.。

基础巩固强化一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.(理)(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题， 由条件知f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2014)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝4a ， ∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2013·银川模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D[解析] 1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1. 二、填空题7．(文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． [答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防范] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－(1x )21＋(1x )2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．(2012·辽宁辽南协作体期中)已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x， x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎨⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100.(1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．[解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000， ∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000. 令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0， 可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数．∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22 C ．－22 D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2， ∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3) D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③ 由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D. [点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．二、填空题[答案] －1或1 [解析]14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |；⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≥0)－x 2＋bx ＋c (x <0)取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12， ∴对称轴为x ＝－12. (1)∵3≥x ≥0>－12， ∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值， ∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116， 得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18. ∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)． 16．(文)某地区预计2014年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2014年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式．(2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析] (1)第x 月的需求量为g (x )＝f (x )－f (x －1)＝175x (x ＋1)(19－x )－175(x －1)x (20－x )＝125x (13－x )．(2)g (x )＝125(－x 2＋13x )＝－125[42.25－(x －6.5)2]，因此当x ＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *). (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *). 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)，(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *). 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．考纲要求1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．4．会求一些简单函数的定义域．5．了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域．6．会求一些简单函数的解析式．补充说明1．掌握几类题型：求定义域，分段函数求值、解不等式，已知分段函数值求自变量的值及函数的图象变换．2．函数的定义域是一个集合，应该用集合或区间表示，有几段时，要用“∪”连接，函数解析式是几个代数式的和时，定义域是使各部分有意义的x 的集合的交集．3．了解求函数解析式的常见类型及方法(1)配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．(2)换元法已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求f (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝φ(t )．将x ＝φ(t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得f (x )的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．[例1] 已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2] (2012·德州模拟)设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．[解析] ∵二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，故可设f (x )＝a (x ＋2)2＋c ，∵f (x )的图象在y 轴上的截距为1，∴f (0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f (x )的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a (x ＋2)2＋c ＝0的两根，∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f (x )＝12(x ＋2)2－1，即f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(4)消元法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其它未知量，如f (－x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[例3] 已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (－x )＝x ，则f (x )＝________.[分析] 由于难以判断f (x )是何种类型的函数，故不可能先设出f (x )的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把f (x )、f (－x )作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ② ②×2－①得，f (x )＝－x .[答案] －x[点评] 充分抓住已知条件式的结构特征，运用x 取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f (x )－f (－1x )＝2x －1，你会求f (x )吗？(5)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．[例4] 已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．[解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1再令－b ＝x 得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1)＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ，∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.(6)转化法已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．[例5] 已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ；设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)；设2<x ≤3，则0<x －2≤1，∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k (x －2)(x －4)．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k 2(x ＋2)(x ＋4) －3≤x <－2，kx (x ＋2) －2≤x <0，x (x －2) 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4) 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f(x)在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．[点评]可用导数讨论单调性．备选习题1．值域为{2,5,10}，对应关系为y＝x2＋1的函数个数为()A．1 B．8C．27 D．39[答案] C[解析]本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y＝2，即x2＝1时，x＝1，－1或±1有三种情况，同理当y＝5,10时，x的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.2．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154B ．3C ．4D.34 [答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)，lg x (x ≥1).若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10)[答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎨⎧x 0≥1，lg x 0>1. ∴x 0<0或x 0>10.5．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( )A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称[答案] D[解析]若点(m，n)在函数y＝x ln x的图象上，则n＝m ln m，所以－n＝－m ln[－(－m)]，可知点(－m，－n)在函数y＝x ln(－x)的图象上，反之亦然，而点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，所以函数y＝x ln x与y＝x ln(－x)的图象关于原点对称，故选D.6．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()[答案] B[解析]解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1，MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EF BO ·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数，当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点O 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BO中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可．(1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 8．某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3)．(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．[解析] (1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10]．(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )·(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x )．由L ′(x )＝0，得x ＝11∉[7,10]或x ＝17＋2a 3.因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以L (x )max ＝L (7)＝16(4－a )．②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，L (x )max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.当1≤a ≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元．当2<a ≤3时，在每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-4指数与指数函数课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－ 13 ，c ＝(13)12，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a [答案]B[解析]a ＝log 20.9<0，c ＝(13)12＝3－ 12 ，因为3－ 13 >3－ 12>0，所以a <c <b .(理)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <c D ．a <c <b [答案]C[解析]y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .2．(2013·潍坊联考)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( ) A.13 B.36 C.33 D.24 [答案]D[解析]由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8.所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.3．(文)(2012·某某某某第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |) [答案]D[解析]由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与函数f (x )的图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x <0，f (－x )， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D.(理)(2013·山师大附中期中)已知a >0，a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )[答案]C[解析]函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，排除B ；a >1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)上方，排除A ；0<a <1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)下方，排除D ，故选C.4．(文)(2012·文，5)函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]B[解析]函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数即为方程x 12 ＝(12)x 的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12 和y ＝(12)x 的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．(理)(2013·某某某某一模)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) [答案]B[解析]构造函数f (x )＝x 3－(12)x －2.∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴f (1)·f (2)<0，∴x 0∈(1,2)．故选B.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC 中，有( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案]A[解析]由题知偶函数f (x )的周期为2，所以f (x )在[－1，0]上为减函数，故偶函数f (x )在[0,1]上为增函数，因为A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0,1>sin A >cos B >0.于是f (sin A )>f (cos B )，故选A.6．(2013·某某月考)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<1a <b <1B ．0<b <1a <1C ．0<1b <a <1D ．0<1a <1b <1[答案]A[解析]由图象知函数单调递增，所以a >1. 又－1<f (0)<0，f (0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，即－1<log a b <0，所以0<1a <b <1，故选A.二、填空题 7．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．[答案]f (－2)>f (1)[解析]由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)．8．(2014·沂南一中月考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案]log 37[解析]9x －6·3x －7＝0⇔(3x )2－6·3x －7＝0， ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)．∴x ＝log 37.9．(2013·某某)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. [答案](1){x |0<x ≤1} (2)①②③[解析](1)∵c >a >0，c >b >0，a ＝b ，且a 、b 、c 不能构成三角形的三边，∴0<a ＋a ≤c ，∴c a ≥2，令f (x )＝0得，a x ＋b x ＝c x ，∵a ＝b ，∴2a x ＝c x ， ∴(c a )x ＝2，∴x ＝log c a2，∴1x ＝log 2ca≥1，∴0<x ≤1. (2)①∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a ＋b >c ，∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc<1，∴当x∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x [(a c )x ＋(b c )x －1]>c x(a c ＋b c －1)＝c x ·(a ＋b －c )c>0，∴①正确；②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 构成三角形的三边长，取x ＝2，则a 2、b 2、c 2不能构成三角形的三边长，故②正确；③∵c >a ，c >b ，△ABC 为钝角三角形，∴a 2＋b 2－c 2<0， 又f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0， ∴函数f (x )在(1,2)上存在零点，③正确． 三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝(23)|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．[分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f (x )的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值94，从而建立a 的方程求出a .[解析](1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在x ＝0处取到最大值， ∴f (0)＝(23)－a ＝94，∴a ＝2.(理)(2013·某某聊城一模)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .(1)k ＝1时，求F (x )的值域； (2)试讨论函数F (x )的单调性．[解析](1)k ＝1时，F (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x ，x >0，e x ＋x ，x ≤0.可以证明F (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增， 又f (0)＝1，f (1)＝2，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． (2)F (x )＝f (x )＋kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋kx ，x >0，e x ＋kx ，x ≤0.若k ＝0，则F (x )在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增； 若k >0，则F (x )在(0，1k ]上递减，在(1k，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递增． 若k <0，则F (x )在(0，＋∞)上递减． 当x ≤0时，F ′(x )＝e x ＋k ，若F ′(x )>0， 则x >ln(－k )，若F ′(x )<0，则x <ln(－k )． 若k ≤－1，－k ≥1，则F (x )在(－∞，0]上递减，若－1<k <0,0<－k <1，则F (x )在(－∞，ln(－k ))上递减，在(ln(－k )，0)上递增.能力拓展提升一、选择题11．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2[答案]B[解析]∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2得，f (－x )＋g (－x )＝a－x －a x ＋2，解得f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝154.12．(文)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不．可能成立．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1 D ．b >1>a >0 [答案]D[解析]∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2013·某某某某一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]∪(1，2]B ．[－2，－1)∪[2，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞) [答案]A[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，1≥a 2－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1>0，1≤a 2－1，解得1<a ≤2或a ≤－2，故选A.13．(文)(2013·某某某某一模)设函数f (x )定义在R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 [答案]B[解析]∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，∵13<12<23，∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13，故选B.(理)(2013·某某模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－(13)x ，x ≤012x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值X 围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)[答案]B [解析]作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－(13)x ，x ≤012x 2＋1，x >0的图象如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－(13)x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0.解得m > 2.故选B.14．(文)(2014·石室摸底)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b ).则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )[答案]A[解析]依题意，f (x )的值为1和2x 的值中较小的，故当x ≥0时，f (x )＝1，当x <0时，f (x )＝2x ，故选A.(理)(2013·某某模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )则f (x )＝2x ⊕2－x 的图象是( )[答案]C[解析]由a ⊕b 的定义知，f (x )的图象为y ＝2x 与y ＝2－x 的图象中较低的部分，故选C. 二、填空题15．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案]－1516[解析]由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x )， h (x )>φ(x )，h (x )， h (x )≤φ(x ).∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212 ＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题16．(文)(2013·资阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解析](1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x >1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2 ≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.(理)(2013·某某调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．[分析] (1)由f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 的单调性可求出f (x )的值域，g (x )是以f (x )为变元的二次函数，令t ＝⎝⎛⎭⎫13x，可求关于t 的二次函数的最小值h (a )．(2)由(1)知当m >n >3时h (a )的表达式，考察h (a )在[n ，m ]上的单调性，结合其值域[n 2，m 2]，可列出关于m ，n 的方程组求解m ，n ，如果有解则所某某数m ，n 存在，否则不存在．[解析](1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.设⎝⎛⎭⎫13x＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎨⎧289－2a 3 ⎝⎛⎭⎫a <13，3－a 2⎝⎛⎭⎫13≤a ≤3，12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2.两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m 、n 不存在．[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 补充说明1．掌握分数指数幂与根式的关系；防X 因忽视对底数a >1与0<a <1的讨论导致错误；牢记换元t ＝a x 后将x 的取值X 围转化为t 的取值X 围；掌握指数函数图象的三个关键点；熟悉指数型函数问题审题的基本思路与解答步骤．2．注重数学思想方法训练． 数形结合的思想有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象来求解常能起到事半功倍的效果． [例] 比较⎝⎛⎭⎫233与⎝⎛⎭⎫3432 的大小．[解析]在同一直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫49x与y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象，考察x ＝32时y 值大小， ∵49<34，∴⎝⎛⎭⎫4932 <⎝⎛⎭⎫3432 ， ∴⎝⎛⎭⎫233<⎝⎛⎭⎫3432 . 分类讨论的思想[例] 函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a 的值为________．[答案]43或23[解析]0<a <1时，f (x )＝a x 在[1,2]上单调递减， ∴a －a 2＝a 3，∴a ＝23；a >1时，f (x )＝a x 单调递增，∴a 2－a ＝a3，∴a ＝43.3．解题技巧(1)比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．(2)在指数里含有未知数的方程的解法．①形如a f (x )＝a g (x )(a >0，a ≠1)的方程，化为f (x )＝g (x )求解； ②形如a f (x )＝b g (x )(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)的方程，两边取对数；③形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0的方程，用换元法令a x ＝t 化为二次方程求解． 备选习题[答案]B [解析]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1 B. 2C ．－1或2D ．1或－ 2 [答案]C[解析]当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a ＝12，∴a ＝－1，选C.3．(2013·某某实验中学诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫14x ， －1≤x <0，4x ， 0≤x ≤1.则f (log 43)＝________.[答案]3[解析]∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.4．(2013·某某一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 (－x )，x <0，若af (－a )>0，则实数a 的取值X 围是________．[答案](－1,0)∪(0,1)[解析]若a >0，则由af (－a )>0，得a log 12 a >0，解得0<a <1；若a <0，则由af (－a )>0，得a log 2(－a )>0，即log 2(－a )<0，解得0<－a <1，所以－1<a <0.综上，0<a <1或－1<a <0.5．(2012·某某模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. [答案]④ [解析]作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.6．(2013·东城模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的编号)． [答案]②③④7．(2013·潍坊模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？[解析](1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x＋1450－250 ＝1200－(x ＋10000x)．所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时， L (x )＝－13(x －60)2＋950.在x ＝60时，L (x )取得最大值 L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x ＝10000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．。