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《普通逻辑》课程教学大纲课程名称：逻辑学课程编号：010132001总学时:24学分:1。
5适用对象:汉语言文学专业1。
课程性质：《普通逻辑》是汉语言文学专业本科生的专业限选课中的必修课。
其内容具有很强的理论抽象性，公式、符号、图、表颇多;同时又具有可操作性，处处都含有思维方法、演算技巧的应用。
本课程旨在使学生系统地了解和掌握普通逻辑的基本知识、基本原理和基本技能,进行逻辑思维训练，解决思维的实际问题，以提高思维的准确性和敏捷性，从而增强语言表达的逻辑力量，并且为进一步学习其他科学知识提供必要的逻辑工具.2。
教学目的：逻辑学是现代基础学科的重要门类，包括逻辑的应用、演绎逻辑、一般逻辑、归纳逻辑、方法论等。
通过本课程的学习，要使学生系统地理解和掌握普通逻辑学的基本概念、基本原理和推演技巧，提高思维的准确性和敏捷性,增强语言的表达能力和论辩能力，以及初步具有运用逻辑知识解决实际问题的能力，并为进一步学习其他专业知识提供必要的逻辑知识.3。
教学内容:教学内容与学时安排4.教学方式：开展多媒体教学和案例教学，大力采用互动、启发、探究、讨论、质疑、争论、搜集信息、自主学习等多种教学形式，鼓励学生参与课堂教学。
5。
课程考核方式：本课程为考查课。
期末占总成绩的80%，平时作业、小测验占总成绩的20％。
6。
教材与教学参考书目：教材：普通逻辑编写组。
《普通逻辑》（第五版）。
上海：上海人民出版社。
2010。
主要参考书目：［1] 吴家国主编《普通逻辑》，上海人民出版社，1993.4。
［2] 何向东主编.《逻辑学教程》。
北京：高等教育出版社.1999年8月。
[3］刘新友,田宏第主编《普通逻辑自学导引》,高等教育出版社,1991。
9.［4］何应灿主编《怎样提高逻辑思维能力》,华东师范大学出版社,1995.3.[5］中国人民大学哲学系逻辑教研室编《逻辑学》，中国人民大学出版社，2003。
7。
［6］王海传等编著.《逻辑学》。
第十章类比推理一、概述（一）形式分类（二）解题思路二、集合关系【例 1】春夏秋冬∶四季A. 喜怒哀乐∶情绪B. 赤橙黄绿∶颜色C. 早中晚∶一天D. 东南西北∶四方【例 2】西红柿对于（）相当于马达对于（）A.番茄酱∶压缩机 B.番茄∶发动机C.柿子∶马车 D.蔬菜∶汽车【例 3】菡萏∶荷花A. 糖果∶果冻B. 芙蓉∶水芙蓉C. 番茄∶土豆D. 蚍蜉∶大蚂蚁【例 4】军人∶医生∶军医A. 司机∶警察∶交警B. 舞蹈∶说唱∶二人转C. 学科∶研究∶科研D. 汽车∶电动车∶电动汽车【例 5】律师∶教授A. 专家∶吉林人B. 钢筋∶ 房屋C. 歌手∶乐队D. 人∶社会【例 6】大学校长∶教授A. 编剧∶诗人B. 白洋淀∶衡水湖C. 市长∶市政府D. 刑警∶消防队员【例 7】琴棋书画∶经史子集A. 兵强马壮∶闭关自守B. 鸟兽虫鱼∶江河湖海C. 衣帽鞋袜∶冰清玉洁D. 悲欢离合∶漂泊流浪【例 8】妈妈∶舅舅∶外婆A. 姑姑∶叔叔∶奶奶B. 侄女∶外甥∶外孙C. 舅妈∶婶婶∶姨夫D. 表妹∶堂弟∶姐姐【例9】（）对于轿车相当于牡丹对于（）A. 吉普：雪花B. 卡车：菊花C. 动车：梅花D. 轮船：浪花【例 10】自然科学∶化学∶化学元素A.语言学∶汉语言∶文学B.社会学∶社会科学∶社区C.人文科学∶历史学∶历史人物D.物理学∶生物物理学∶光合作用【例 11】音符∶乐谱∶五线谱A. 笔画∶汉字∶金文B. 树木∶森林∶自然C. 稻穗∶稻谷∶香米D. 卫星∶星云∶宇宙【例12】抵押对于（）相当于（）对于处罚A. 银行∶监狱B. 担保∶罚款C. 房屋∶立法D. 债务∶刑罚三、逻辑关系【例13】交通∶拥堵∶治理A. 食材∶讲究∶享用B. 生活∶贫困∶救济C. 音乐∶动感∶聆听D. 健康∶虚弱∶保健【例 14】醉驾∶吊销驾驶证A. 犯罪∶法律制裁B. 退休∶领取养老金C. 祈祷∶通过考试D. 护照∶出国旅游【例15】新月∶满月∶残月A. 生产∶销售∶消费B. 含苞∶怒放∶凋零C. 早晨∶中午∶夜晚D. 春困∶秋乏∶冬眠【例16】蛹∶蝶A. 丑小鸭∶白天鹅B. 胚胎∶婴儿C. 种子∶花朵D. 蝌蚪∶青蛙【例17】下单∶送货∶签收A. 候机∶登机∶安检B. 招聘∶培训∶录用C. 彩排∶调音∶演奏D. 上膛∶瞄准∶射击【例18】重力对于( ) 相当于( )对于昼夜交替A. 物体质量：月圆月缺B. 自由落体：地球自转C. 地球：月球D. 潮汐：地球公转【例19】振动对于（）相当于（）对于彩虹A. 声调∶衍射B. 发声∶光线C. 声波∶折射D. 声响∶波长【例20】负荆请罪∶廉颇A.围魏救赵∶孙武B.纸上谈兵∶赵奢C.风声鹤唳∶房玄龄D.退避三舍∶重耳【例21】木材∶抽屉∶收纳A. 钢铁∶剪刀∶切割B. 棉花∶毛线∶保暖C. 城墙∶石头∶防御D. 橡胶∶气垫∶缓冲四、语义关系【例 22】深入∶浅尝辄止A. 疏远∶形影不离B. 细致∶事无巨细C. 安定∶水深火热D. 独立∶自食其力【例23】2 言而有信∶言而无信∶承诺A.童叟无欺∶明码实价∶交易B.心满意足∶贪心不足∶满意C.言之凿凿∶口说无凭∶证据D.文思泉涌∶搜索枯肠∶知识【例24】表扬∶恭维A. 肯定∶认可B. 相信∶迷信C. 请教∶求教D. 激动∶生气【例25】自信之于（）相当于谨慎之于（）A. 自我∶小心 B. 自卑∶粗俗C. 信心∶束缚D. 自大∶怯懦【例26】后果∶结果∶成果A. 信心∶信念∶信仰B. 妄想∶遐想∶理想C. 反动∶反对∶反思D. 思维∶思想∶思绪【例27】荆棘∶困难A. 布衣∶学生B. 折柳∶惜别C. 心腹∶信任D. 桎梏∶束缚【例28】芒种∶成熟∶节气A. 音响∶立体∶设备B. 流星∶闪光∶天体C. 冠礼∶婚嫁∶礼仪D. 古稀∶高寿∶称谓五、语法关系【例29】居住∶居民A. 继承∶继承人B. 吝啬∶守财奴C. 顺从∶独裁者D. 乞讨∶流浪者【例30】湖水∶荡漾A. 春雨∶连绵B. 水草∶小溪C. 蝴蝶∶花丛D. 闪耀∶群星【例31】滑翔∶飞机A. 俯冲∶海燕B. 投掷∶铅球C. 背跃∶跳高【例32】沐浴之于（）相对于D. 飞翔∶天空观赏之于（）A. 方案∶负担C. 游泳∶欣赏B. 阳光∶梅花D.洗澡∶挑剔【例33】困境∶面对A. 问题∶解决B. 人生∶信仰C. 攀登∶山峰D. 社会∶和谐【例34】教师∶学生A. 丈夫∶妻子B. 出版商∶读者C. 商家∶客户D. 警察∶罪犯【例35】平静∶讲述A. 欣喜∶接受B. 愤怒∶言论C. 悲哀∶哀乐D. 快乐∶行为第十三讲思维导图第十三讲课堂练习【必做题】【练习1】白醋：消毒A.热水器：加热B.汽油：去渍C.白糖：调味D.人参：滋补【练习2】生死：存亡A.轻重：缓急B.亲疏：长幼C.真伪：对错D.好坏：优劣【练习3】成百：上千A.三教：九流B.三头：六臂C.千变：万化D.千方：百计【练习4】小麦∶馒头A.麋鹿∶麝香B.乌贼∶墨汁C.棉花∶布鞋D.叶绿体∶细胞【练习5】观众：电视：新闻A.士兵：靶场：命令B.渔夫：渔船：渔汛C.教师：课堂：知识D.消费者：消费指南：优惠信息【练习6】战术：战争：胜负A.血型：人种：胖瘦B.诉状：案件：输赢C.策略：竞选：成败D.经验：能力：高低【练习7】寒：寒冷：寒舍A.甘：甘甜：甘愿B.恨：仇恨：怨恨C.肤：皮肤：肌肤D.讽：讽刺：讥讽【练习8】设计：发放：问卷A.播放：快进：磁带B.制定：执行：政策C.复制：修改：文字D.预习：复习：考试【练习9】教案对于（）相当于（）对于分类A.课件：信息B.教学：归类C.提纲：商品D.授课：标准【练习10】故人西辞黄鹤楼对于（）相当于（）对于怀古A.出游：越王勾践破吴归B.场所：千古兴亡多少事C.送别：折戟沉沙铁未销D.离别：西出阳关无故人【练习11】白驹过隙∶秒表（）A．恩重如山∶天平B．一线希望∶皮尺C．一言九鼎∶弹簧秤D．风驰电掣∶测速仪【练习12】森林∶郁郁葱葱（）A．法庭∶庄严肃穆B．校园∶勤奋好学C．餐桌∶饕餮大餐D．公园∶嬉戏玩闹【练习13】佩刀∶刀鞘（）A．墨∶墨盒B．火箭∶发射架C．毛笔∶笔帽D．旅游鞋∶旅行包【练习14】波长：波速：频率A.电流：电压：电阻B.密度：湿度：质量C.情商：智商：年龄D.利润：消费：成本【练习15】教∶学∶教学（）A．买∶卖∶买卖B．好∶坏∶好坏C．正∶大∶正大D．阴∶暗∶阴暗【练习16】前瞻∶预见∶回溯（）A．深谋远虑∶未雨绸缪∶鼠目寸光B．标新立异∶特立独行∶循规蹈矩C．犬牙交错∶参差不齐∶顺理成章D．墨守成规∶井然有序∶纷乱如麻【练习17】素描∶单色∶绘画（）A．色素∶食品∶添加剂B．书签∶阅读∶工具C．变脸∶表演∶艺术D．新闻∶纪实∶文体【练习18】（）之于钢琴相当于马褂之于（）A.羌笛：长袍B.胡琴：西服C.京剧：长裙D.琴键：唐装【练习19】黄连∶苦涩A．班级∶团结B．钻石∶坚硬C．花朵∶鲜红D．城市∶繁华【练习20】历练对于（）相当于磨砺对于（）A．栉风沐雨∶千锤百炼B．波澜不惊∶一鸣惊人C．处心积虑∶百折不回D．千辛万苦∶九死一生【选做题】【练习21】踢皮球：互相推诿A.燕归巢：时过境迁B.破天荒：闻所未闻C.睁眼瞎：目不识丁D.纸老虎：不堪一击【练习22】八卦∶乾坤A.九族∶师生B.七情∶情志C.四书∶五经D.五音∶宫商【练习23】指鹿为马∶颠倒黑白A．师心自用∶固执己见B．目无全牛∶鼠目寸光C．不以为然∶不屑一顾D．不孚众望∶众望所归【练习24】沟通∶手机∶金属A．招聘∶面试∶简介B．物流∶运输∶公路C．卫星∶科技∶科学家D．露营∶帐篷∶帆布【练习25】出行∶雾霾∶口罩A.休息∶沙发∶电视B.超车∶公路∶路标C.勘探∶野外∶地图D.娱乐∶海滨∶游泳【练习26】经济赤字∶收入∶开支A.债务纠纷∶还钱∶借钱B.销售利润∶进价∶售价C.背信弃义∶诺言∶谎言D.优胜劣汰∶适应∶淘汰【练习27】鸳鸯∶凤凰∶雌雄A.满月∶弦月∶盈缺B.锱铢∶分毫∶长短C.经纬∶阡陌∶纵横D.翡翠∶珊瑚∶红绿【练习28】铁匠∶火炉∶镰刀A.记者∶摄像机∶新闻稿B.医学家∶试管∶药剂C.科学家∶科技文献∶新产品D.网民∶互联网∶营销【练习29】存折对于（）相当于栅栏对于（）A.储户∶牛羊 B.存款∶绿地C. 虚拟∶实物D. 银行卡∶围墙【练习30】七寸对于（）相当于（）对于头绪A.要害∶眉目 B.尺度∶线索C.关键∶脉络D.七步∶头脑11。
概念与推理一、概念的含义和种类(一)概念的含义概念(concept) 是人脑对客观事物的本质特征的认识，如花、草、树木、国家、人民等都是概念。
事物的本质特征是决定事物的性质，并使一事物区别于其他事物的特征。
非本质特征则是对事物不具有决定意义的特征。
例如，“鸟”这个概念，它的本质特征是有羽毛，无齿有喙的动物，这些特征使鸟类与其他动物区别开来,而毛色、大小、是否会飞、生活地区等则是非本质的特征。
人们掌握了概念,认识就能超越感知觉的范围，透过事物的表面现象，认识事物的本质。
每一个概念都包括内涵与外延两个方而。
内涵是指概念的质，即概念所反映的事物的本质特征。
外延是指概念的量，即概念的范围。
例如，“脊椎动物”这个概念的内涵是有生命和有脊椎，它的外延包括一切有脊椎的动物,如鸟、鱼、蛇、兔、狼、豹等。
而“鸟”这个概念的内涵除有生命和脊椎外，还有有羽毛、无齿有喙等特征，它的外延只是一切鸟类。
概念的内涵增加，外延就变小了。
概念具有不同的等级或层次，如“玫瑰花”是一个概念;“花”、“植物”、“生物"也是一个概念，它们处在不同的层次上。
“植物”这个概念在层次上比“花”这个概念高些，但比“生物”这个概念低些。
概念和词是不可分的。
概念是用词来表达、巩固和记载的，概念的形成也是借助于词和句子来实现的。
词的意义不断充实的过程，也是概念不断扩大和深化的过程。
但是，概念与词不是一对应的。
词分为实词与虚词,实词能表达概念,而虚词一般不表达概念。
同一概念可以由不同的词来表示，同一词也可以表达不同的概念。
如“医生”与“大夫”两个不同的词表达了同一概念。
而“千金”一词却表达了“许多钱”、“女儿”、“珍贵”等不同的概念。
(二)概念的种类概念可以从不同的角度进行分类。
1.具体概念和抽象概念根据概念所包含的属性的抽象与概括程度，概念可分为具体概念(concrete concept)和抽象概念(abstract concept)。
按事物的指认属性形成的概念称为具体概念。
第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。
第十章概率10.1 随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)2．理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)1．类比集合的有关概念来认识样本空间. 2．类比集合与集合之间的关系来认识随机事件.必备知识·探新知知识点1随机试验及样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对__随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下__重复__进行；②试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的__每个可能的基本结果__称为样本点用__w__表示样本点样本空间全体__样本点__的集合称为试验E的样本空间用__Ω__表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，w n，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}为有限样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}知识点2三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的__子集__称为随机事件，简称事件，并把只包含__一个__样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了__所有的__样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件[知识解读]1．随机试验的三个特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.3．事件与基本事件(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.关键能力·攻重难题型探究题型一事件类型的判断典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；(6)同性电荷相互排斥.[分析]依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.[解析]结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.[归纳提升]判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).【对点练习】❶指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.[解析](1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件.题型二确定试验的样本空间典例2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.[解析](1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.[归纳提升]不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【对点练习】❷袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.[解析](1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.题型三随机事件的表示典例3一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)一共有多少个样本点？(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.[解析](1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.[归纳提升]1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.【对点练习】❸做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的样本空间；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.[解析](1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.(2)这个试验的结果的个数为36．(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.易错警示忽视试验结果与顺序的关系而致误典例4已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数.[错解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}.(2)这个试验的基本事件的总数是6．[错因分析]题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3).[正解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}.(2)这个试验的基本事件的总数是12．【对点练习】❹同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(D)A．3B．4C．5D．6[解析](1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.10.1.2 事件的关系和运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.必备知识·探新知知识点1事件的运算定义表示法图示并事件__事件A与事件B至少有一个发生__，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)__A∪B__(或__A＋B__)交事件__事件A与事件B同时发生__，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)__A∩B__(或__AB__)知识点2事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B__一定发生__，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)__B⊇A__(或__A⊆B__)互斥事件如果事件A与事件B__不能同时发生__，称事件A与事件B互斥(且互不相容)若__A∩B＝∅__，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中__有且仅有一个发生__，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A－若__A∩B＝∅__，且A∪B＝Ω，则A与B对立(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.关键能力·攻重难题型探究题型一互斥事件、对立事件的判定典例1(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(D)A．恰有一次击中B．三次都没击中C．三次都击中D．至多击中一次[解析](1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.[归纳提升]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【对点练习】❶有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A) A．互斥但非对立事件B．对立事件C．非互斥事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.题型二事件的运算典例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G ＝C1＋C3＋C5．[归纳提升]事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E 是什么运算关系？C与F的交事件是什么？[解析](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.题型三用集合运算表示随机事件典例3设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)A B－C－(4)AB C－(5)(A∪B)C－(6)AB C－∪A B－C∪A－BC[归纳提升]利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.【对点练习】❸从某大学数学系图书室中任选一本书.设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：(1)AB C－表示什么事件？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)C－⊆B表示什么意思？[解析](1)AB C－表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)C－⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.易错警示不能正确区分对立事件和互斥事件致错典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事件的组数是(B)A．0B．1C．2D．3[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.[正解]B[误区警示]对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.【对点练习】❹(2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是(A)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”[解析]根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.10.1.3 古典概型素养目标·定方向素养目标学法指导1．古典概型的计算方法.(数学抽象)2．运用古典概型计算概率.(数学运算) 3．在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题.2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少).必备知识·探新知知识点1随机事件的概率对随机事件发生__可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用__P(A)__表示.知识点2古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为__古典概率__模型，简称__古典概型__.知识点3古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__kn__＝__n(A)n(Ω)__.[知识解读](1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和.(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.关键能力·攻重难题型探究题型一古典概型的判断典例1下列试验是古典概型的是__①②④__.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.[分析]紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.[解析]①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.[归纳提升]判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.【对点练习】❶下列是古典概型的是(C)A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析]A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.题型二古典概型的概率计算典例2甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.[分析](1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件.[解析] (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种.从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种.从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P ＝615＝25. [归纳提升] 1．对于古典概型，任何事件A 的概率为：P (A )＝A 包含的基本事件的个数m 基本事件的总数n. 2．求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n ；(3)算出事件A 中包含的基本事件个数m ；(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n. 在运用公式计算时，关键在于求出m 、n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可.【对点练习】❷ 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)}，共3个，则所求事件的概率为p ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)}，共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有：{(A 1，B 2)，(A 1，B 3)}，共2个，则所求事件的概率为p ＝29. 题型三 较复杂的古典概型的概率计算典例3 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.[解析] 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应.因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16．(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (C )＝516， 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.[归纳提升] 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.【对点练习】❸ 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i ，j )分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.[解析] (1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4), (3,4′), (4,2), (4,3), (4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12．(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712，因为512<712，所以此游戏不公平.易错警示对“有序”与“无序”判断不准而致错典例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.[错解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为610＝35. [错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20．[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为620＝310.。
1、概念是⼈脑对客观事物的本质特征的认识。
分内涵(本质特征)和外延(概念范围)两个⽅⾯，概念的内涵增加，外延就变⼩了。
概念还具有不同的等级或层次。
概念的种类：具体概念和抽象概念。
合取概念、析取概念和关系概念。
根据概念反映事物属性的数量及其相互关系划分。
合取概念最普遍，如鸟类、⽑笔。
析取概念结合了多个属性，如好学⽣。
关系概念揭⽰了事物之间的相互关系，如⼤⼩、⾼低等。
⾃然概念和⼈⼯概念。
2、概念结构理论 层次络模型：概念是以结点的形式存储在概念络中，每个概念具有⼀定的特征。
各类属概念按逻辑的上下级关系组织在⼀起，概念间通过连线表⽰它们的类属关系，这样具有类属关系的概念组成了⼀个概念的络。
络中层次越⾼的概念其抽象概括⽔平越⾼。
层次络模型所概括的概念间的关系类型较少。
特征表理论：将概念的语义特征分解为定义性特征和特异性特征(描述功能)。
认为概念的结构是由概念的定义性特征和整合这些特征的规则构成。
特征表理论重视概念规则在概念结构中的作⽤，可很好解释⼈⼯概念的研究，但仍有某些⾃然概念难以解释。
原型模型：认为概念是由原型加上与原型特征有相似性的成员来组成。
较好的解释了⾃然概念的组成。
3、概念形成的实验研究 概念形成是指个体掌握概念本质属性的过程。
⼈⼯概念形成的途径：假设检验说，认为概念形成的过程是不断提出假设、验证假设的过程。
样例学习说，认为⾃然概念的形成以样例学习为主，即记忆中的⼀个或⼏个样例就是概念的存在形式。
概念形成的策略：布鲁纳提出，即保守性聚焦，冒险性聚焦，同时性扫描，继时性扫描。
保守性聚焦是只改变第⼀个概念的所有属性中的⼀个。
冒险性聚焦改变焦点卡⽚上⼀个以上的属性，可能在短时间内发现概念。
同时性扫描是根据第⼀个肯定实例的部分属性作多个部分假设。
继时性扫描是在已形成的部分假设基础上根据反馈检验⼀种假设直⾄正确的 四种策略相⽐，采⽤保守性聚焦时，记忆的负担较轻，可获得较明确的未知概念的有关信息，是⼀种更有效地概念形成的策略。
