山东省潍坊市高二下学期期中数学试卷(文科)

2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．＝0.08x+1.233．（5分）已知命题p：∃x∈R，＞x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题4．（5分）“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）若函数f（x）＝a2﹣sin x，则f′（β）等于（）A．2a﹣cosβB．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ6．（5分）若曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于（）A．B．C．D．8．（5分）光线沿着直线y＝﹣3x+b射到直线x+y＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax+2射出，则有（）A．a＝，b＝6B．a＝﹣，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣D．a＝﹣3，b＝9．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣10＝0的实根个数是（）A．3B．2C．1D．010．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知i是虚数单位，若复数（1+ai）（2﹣i）是纯虚数（a∈R），则复数a+i的共轭复数为．12．（5分）若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0切于点P（﹣1，2），则ab 的积为．13．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．（5分）设P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则•的最大值为．15．（5分）如果函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f（x）在区间内单调递增；②函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；③函数y＝f（x）的最小值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个；④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）内单调递增；⑤函数y＝xf′（x）在区间内有极值点；则上述判断中正确的是．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n＝a+b+c+d）参考公式：，19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＜﹣1，f（x）在（0，1]上的最大值为﹣1，求a的值．20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；（2）若k＞0，且对于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．21．（14分）已知椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且＝0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由＝，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．2．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．＝0.08x+1.23【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x＝4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选：C．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，＞x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x∈R，＞x，取x＝成立，因此是真命题；命题q：∀x∈R，x2＞0，取x＝0时不成立，因此是假命题．∴只有命题p∧（￢q）是真命题，故选：D．4．（5分）“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由圆的标准方程可知，圆心坐标为（0，0）．若“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”，则等价为直线过圆心，所以成立．但平分圆x2+y2＝1的周长的直线，不一定是x﹣y＝0，必然x+y＝0，也成立．故“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）若函数f（x）＝a2﹣sin x，则f′（β）等于（）A．2a﹣cosβB．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ【解答】解：f′（x）＝﹣cos x，∴f′（β）＝﹣cosβ，故选：B．6．（5分）若曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，即y＝2x，∴曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线的斜率为2，由y＝x3+ax，得y′＝3x2+a，＝a＝2，∴y′|x＝0即a＝2．故选：C．7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2＝ac，由c＝2a，则b＝a，＝，故选：B．8．（5分）光线沿着直线y＝﹣3x+b射到直线x+y＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax+2射出，则有（）A．a＝，b＝6B．a＝﹣，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣D．a＝﹣3，b＝【解答】解：在直线y＝﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3），则点A关于直线x+y＝0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y＝ax+2上，故有﹣1＝a（﹣b+3）+2，即﹣1＝﹣ab+3a+2，∴ab＝3a+3，结合所给的选项，故选：B．9．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣10＝0的实根个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：令f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），∵f（1）＝﹣6，f（3）＝﹣10，则f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10的简图如下：故选：C．10．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）【解答】解：由题意可得，当x＞1时，f′（x）＝﹣x+a+2+≤0，即a≤x﹣﹣2．由于函数y＝x﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，∴y＞﹣2，∴a≤﹣2，故选：A．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知i是虚数单位，若复数（1+ai）（2﹣i）是纯虚数（a∈R），则复数a+i的共轭复数为﹣2﹣i．【解答】解：∵（1+ai）（2﹣i）＝（a+2）+（2a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣2．∴a+i＝﹣2+i，其共轭复数为﹣2﹣i．故答案为：﹣2﹣i．12．（5分）若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0切于点P（﹣1，2），则ab的积为2．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2＝5，则圆心坐标为（﹣2，0），则过圆心与P直线的斜率k＝＝2，而直线ax+by﹣3＝0的斜率为﹣，所以2•（﹣）＝﹣1，化简得：2a＝b①，又把P点坐标代入ax+by﹣3＝0得：﹣a+2b﹣3＝0②，把①代入②解得a＝1，把a＝1代入①解得b＝2，则ab＝2．故答案为：213．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2＝﹣4x．【解答】解：设抛物线方程为y2＝mx，代入P（﹣2，2），可得，8＝﹣2m，即有m＝﹣4，则抛物线的方程为y2＝﹣4x．故答案为：y2＝﹣4x．14．（5分）设P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则•的最大值为4．【解答】解：∵P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴|PF1|+|PF2|＝8，且|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴•≤＝＝4，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时，•取最大值4．故答案为：4．15．（5分）如果函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f（x）在区间内单调递增；②函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；③函数y＝f（x）的最小值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个；④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）内单调递增；⑤函数y＝xf′（x）在区间内有极值点；则上述判断中正确的是②③⑤．【解答】解：①函数y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上f′（x）＜0，函数为减函数，则①错误；②函数y＝f（x）在区间（4，5）内f′（x）＞0，则函数单调递增；故②正确，③由图象知当x＝﹣2或4时，函数f（x）取得极小值，则函数y＝f（x）的最小值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个，③正确；④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）的导数为y′＝f′（x）+x[f′（x）]′，∵当﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，且f′（x）为增函数，∴[f′（x）]′＞0，∴y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＜0，即y＝xf'（x）在区间（﹣3，﹣2）上单调递减，故④错误，⑤函数y＝xf′（x）的导数y′＝f′（x）+x[f′（x）]′，当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0，f′（x）为减函数，∴[f′（x）]′＜0，此时y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＞0此时函数y＝xf'（x）为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，f′（x）为减函数，∴[f′（x）]′＜0，此时y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＜0此时函数y＝xf'（x）为减函数，则函数y＝xf'（x）在区间内有极值点；故⑤正确，故答案为：②③⑤．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设复数z＝a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i∈R，∴b+2＝0，即b＝﹣2．又，∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z＝4﹣2i，∵（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．17．（12分）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a＝0时，1＞0成立，因此a＝0满足题意；当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．综上可得：0≤a＜4．命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，∴△1＝1﹣4a≥0，解得．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴命题p与q必然一真一假．∴或，解得a＜0或．∴实数a的取值范围是a＜0或．18．（12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n＝a+b+c+d）参考公式：，【解答】解：（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是＝25%，＝15%．由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．（3）根据表格：假设H0：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则K2应该很小．根据题中的列联表得k2＝＝6.25＞5.024，…（11分）由P（K2≥5.024）＝0.025，有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＜﹣1，f（x）在（0，1]上的最大值为﹣1，求a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝ax+＝，（x＞0）．当a≥0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f′（x）＝，则函数f（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增．综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＜0时，函数f（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增．（2）a＜﹣1时，∈（0，1）．由（1）可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1]上单调递减，∴当x＝时，函数f（x）取得极大值即最大值，∴＝+ln ＝﹣1，∴ln＝﹣，解得a＝﹣e．20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；（2）若k＞0，且对于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】（1）证明：k＝e时，f（x）＝e x﹣ex，x∈R，f′（x）＝e x﹣e，令f′（x）＝e x﹣e＝0，解得x＝1，∴x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；∴x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）在x＝1时取得极小值，即最小值，f（1）＝0．∴f（x）≥f（1）＝0，因此当k＝e时，f（x）≥0恒成立．（2）解：f′（x）＝e x﹣k，k＞0，令f′（x）＝e x﹣k＝0，解得x＝lnk，①k∈（0，1]时，lnk≤0，因此x＞0，令f′（x）＝e x﹣k＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）＝1＞0恒成立．②k∈（1，+∞）时，lnk＞0，因此x＞lnk，令f′（x）＞e lnk﹣k＝k﹣k＞0，此时函数f（x）单调递增；0＜x＜lnk时，f′（x）＜k﹣k＝0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）在x＝lnk时取得极小值，即最小值，因此f（lnk）＝k﹣klnk＝k（1﹣lnk）＞0．解得1＜k＜e．综上①②可得：实数k的取值范围是（0，e）．21．（14分）已知椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且＝0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．【解答】（1）解：由题设知b＝c，又a＝2，所以b＝c＝2，故椭圆方程为；…（2分）（2）证明：因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直．设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝…（6分）又，所以（x1，y1﹣2）•（x2，y2﹣2）＝0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）﹣2（kx1+m+kx2+m）+4＝0，整理得（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，即（k2+1）×+k（m﹣2）×（﹣）+（m﹣2）2＝0，…（10分）因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）﹣4k2m+（2k2+1）（m﹣2）＝0展开整理得3m+2＝0，即m＝﹣．直线l在y轴上的截距为定值﹣．…（12分）。

山东省潍坊市2006-2007学年度第二学期高二数学文科期中质量检测试卷2007.5本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷4至10页，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、等价条件2、ii－13的共轭复数是（ ） A 、－23＋23i B 、－23－23i C 、23＋23i D 、23－23i 3、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）A 、某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B 、由圆的周长C ＝πd 推测球的表面积S ＝πd 2C 、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则 ∠A ＋∠B ＝180°D 、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝21(a n －1＋11－n a )(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式 4、设集合A ＝{x |x 2－a ＜0}，B ＝{x |x ＜2}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a ≤2 B 、0＜a ＜4 C 、a ≤4 D 、0＜a ≤4 5、函数f (x )＝⎩⎨⎧≤）＜＜（－）－（＋21122x x x x ，若f (x )＝3，则x 的值是（ ）A 、3B 、±3C 、1D 、3或1 6、满足|Z|＝|3＋4i |的复数Z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A 、一条直线 B 、圆 C 、两条直线 D 、椭圆 7、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，ac ＜0，则函数的零点个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、0个 D 、无法确定 8、下列关于工序流程图的说法正确的是（ ）A 、流程图内每一道工序，可以用矩形表示也可用平行四边形表示B 、流程线是一条标有箭头的线段，可以是单向的也可以是双向的C 、流程图中每一道工序是不可以再分的D9、如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）A 、1＋21＋31＋……＋101B 、1＋31＋51＋……＋191C 、21＋41＋61＋……＋201D 、21＋221＋321＋……＋1021开始10、已知幂函数f(x)＝x a的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是（）A、{x|0＜x≤2}B、{x|0≤x≤4}C、{x|－2≤x≤2}D、{x|－4≤x≤4}11、函数f(x)＝a|x|（a＞0，x∈R）的值域是[1，＋∞)，则f(－2)与f（1）的大小关系是（）A、f(－2)＞f(1)B、f(－2)＝f(1)C、f(－2)＜f(1)D、无法确定12、在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是（）2006——2007学年度第二学期期中质量检测高 二 数 学 试 题（文史类） 2007.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1、第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

高二阶段性教学质量监测数学（文）试题 第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数()211i i-+在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为A. ˆ 1.230.08yx =+ B. ˆ 1.234y x =+ C. ˆ 1.235yx =+ D. ˆ0.08 1.23y x =+ 3.已知命题p ：1,x R x x∃∈>，命题2:x R,x 0,q ∀∈>则 A. 命题p q ∨是假命题 B. 命题p q ∧是真命题C. 命题()p q ∨⌝是假命题D. 命题()p q ∧⌝是真命题4.“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要条件 5.若函数()2sin f x a x =-，则()f β'=A. 2cos a β-B. cos β-C. sin β-D. 2cos a β- 6.若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =A. 17ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A.14 B. 348.光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线2y ax =+射出，则有 A.1,63a b == B. 1,63a b =-=- C. 13,6a b ==- D. 13,6a b =-= 9.方程3269100x x x -+-=的实根个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10.若()()212ln 2f x x a x x =-+++在()1,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A. (],2-∞- B. ()3,1-- C.[)1,0- D. [)0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i +-是纯虚数()a R ∈，则复数a i +的共轭复数是 .12.若直线30ax by +-=和圆22410x y x ++-=切一点P ()1,2-，则ab 的值为 .13.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且过点(2,22P -，则抛物线的方程为 .14.设()00,P x y 是椭圆221169x y +=上一动点，12,F F 12PF PF 的最大值为 .15.如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增； ②函数()y f x =在区间()4,5内单调递增；③函数()y f x =的最小值是()2f -和()4f 中较小的一个； ④函数()y xf x '=在区间()3,2--内单调递增； ⑤函数()y xf x '=在区间1,32⎛⎫-⎪⎝⎭内有极值点.其中正确的判断有 .三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数. （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 17.（本题满分12分）已知命题2:,10p x R x ax ∀∈++>及命题2000:,0q x R x x a ∃∈-+=，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.18（本题满分12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好，单位对学习雷锋精损坏桌椅数 未损坏桌椅数 总计学习雷锋精神前 50 150 200 学习雷锋精神后 30 170 200 总计80320400（1）求学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？参考公式：()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=19（本题满分12分） 已知函数()21ln ,2f x ax x =+，其中a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()1,a f x <-在(]0,1上的最大值为-1，求a 的值 .20（本题满分13分）已知函数(),,x f x e kx x R k =-∈为常数，e 是自然对数的底数. （1）当k e =时，证明()0f x ≥恒成立；（2）若0k >，且对于任意()0,0x f x >>恒成立，试确定实数k 的取值范围.21（本题满分14分）已知椭圆2221(08x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆经过点()0,M b .（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于A,B 两点，且0MA MB ⋅=，求证：直线l 在y 轴上的截距是否为定值.。

高二数学（答案在最后）本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（）A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（）A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x ->'，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()(),10,1-∞-C ．()()1,00,1- D ．()()1,01,-+∞ 8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（）附：()2P k χ≥0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9．下列函数的导数运算正确的是（）A ．()ee e xx xx x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（）A ．121n n a =-B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是______．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =______．14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是______；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()2ln f x x x x =+-．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．（15分）某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望．17．（15分）已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21nn b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．（17分）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：时间2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代码x 12345销量y /千辆1415161819（1）已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ；（ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nni ii i x x yyx y nx ybx xxnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（17分）已知函数()()220m f x mx m m x-=+->．（1）当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-4DABB 5-8CBDC 二、多项选择题（每小题6分，共18分）9．ABD10．ACD11．BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12．4513．1214．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ln5ln2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221112121x x x x f x x x x x-++-='=+-=．令()0f x '=得，12x =或1x =-（舍去），当102x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当12x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递减区间为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，函数()f x 单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．函数()f x 的极小值为13ln224f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，无极大值．（2）由（1）知，函数()f x 在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以13ln224f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，21111e e ef ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()12f =，又因为()11e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为3ln24+，最大值为2．16．解：（1）比赛结束时，恰好打了5局，甲获胜的概率为331421264C 333243P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了5局，乙获胜的概率为33241218C 333243P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以比赛结束时恰好打了5局的概率为1264872824324324327P P P =+=+==；（2）由题意可知，X 的取值范围是{}2,3,4．()224239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()312212113C 33333P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭，()21321624C 33279P X ⎛⎫==⨯⨯== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列如下：X 234P491329数学期望()412252349399E X =⨯+⨯+⨯=．17．解：（1）因为123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+，所以2n ≥时12311n a a a a n -⋅⋅⋅=，所以当2n ≥时，1n na n =+，又112a =满足上式，所以1n na n =+；（2）由（1）知21211122n n n n n b a +===+，所以1232111111222n n n S b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111112221112222212n n n n n n n n -⨯⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以2112122nn nn n λ⎛⎫⋅-+-≥+ ⎪⎝⎭，即不等式212nn n λ++≥对*n ∀∈N 恒成立，令212n n n n c ++=，()()22211111111222n n n n n n n n n n n c c +++++++++-++-=-=，所以1n =，21c c >，2n ≥时，210n n -++<，所以10n n c c +-<，2341n n c c c c c ->>>⋅⋅⋅>>，数列{}n c 的最大项为274c =，所以74λ≥．18．解：（1）由题意得1234535x ++++==，141516181916.45y ++++==，51259i ii x y==∑，52155i i x ==∑，12221ˆ2595316.41.35553niii nii x ynx ybxnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，16.41ˆˆ.3312.5ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为 1.3125ˆ.y x =+，当6x =时， 1.3612.52ˆ0.3y=⨯+=，所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆；（2）（i ）恰好两期达到“优秀”标准的概率为()()()222224C 161f p p p p p =-=-，01p <<，因此()()()()()2212112112112f p p p p p p p p =---=--'，令()0f p '=，得0.5p =，当()0,0.5p ∈时，()0f p '>；当()0.5,1p ∈时，()0f p '<，所以，()f p 的最大值点00.5p =．（ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B ，所以()4130144111111C C 22216P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设宣传部调()*x x ∈N人至其他部门，则参加培训的人数为()100x -，ξ为培训后能使用人工智能工具的人数，则11100,16B x ξ⎛⎫~- ⎪⎝⎭，因此()()1110016x E ξ-=，调整后年利润()()()11100115516110012100137516164x x x x -⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭万元，令551375100124x -≥⨯，解得14012.711x ≤≈，所以最多可以调12人到其他部门．19．解：（1）当1m =时，()12f x x x =--，所以()211f x x='+，所以()11122f =--=-，()1112f ='+=，所以函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()221y x +=-即240x y --=，（2）若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，则()2ln 20f x x -+≥在[)1,+∞上恒成立，设()()22ln 22ln 22m g x f x x mx x m x-=-+=+-+-，[)1,x ∈+∞，所以()10g =，()()()()222211222m m x x x mx m m m g x m x x x x -⎛⎫-- ⎪-+--⎝⎭=--=='，①当01m <<时，21mm->，当21mx m-<<时，()0g x '<，所以()g x 在21,m m -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()()10g x g <=，即()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞不恒成立．②当1m ≥时，21mm-≤，当1x >时，()0g x '>，()g x 在[)1,+∞上单调递增，又()10g =，此时()2ln 2f x x ≥-，综上所述，所求m 的取值范围是[)1,+∞；…………10分（3）证明：由（2）知，当1m ≥时，()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，取1m =，得12ln x x x-≥即11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，令1n x n+=，*n ∈N ，则111111ln2121n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫<-=+ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭，所以11111ln 21n n n n n +⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭，所以()()()1111ln2ln1ln3ln2ln 1ln 23n n n+++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦111111122231n n ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣()()11ln 11ln 12122nn n n n ⎛⎫=++-=++ ⎪++⎝⎭，所以()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。

2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z=3﹣2i，则z的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．已知函数y=f（x），下列说法错误的是（）A．△y=f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y=x3﹣x2﹣40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A．30 B．40 C．50 D．607．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．29．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛10．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+2812．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m=．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于象限．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共70分）17．已知f（x）=lnx+x2．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．常喝不常喝合计肥胖60不肥胖10合计100（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．0.050.0250.0100.0050.001附：参考公式：x2=P（x2≥x0）x0 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，求D点对应的复数；（2）已知复数Z1=2，=i，并且|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|，求z．20．已知函数f（x）=过点（1，e）．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ=与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】22．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z=3﹣2i，则z的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z=3﹣2i，则z的共轭复数=3+2i．故选：D．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．已知函数y=f（x），下列说法错误的是（）A．△y=f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的定义判断即可．【解答】解：根据导数的定义f′（x0）=，即可判断出A，B，D正确，C错误，故选：C4．以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理【考点】F2：合情推理的含义与作用．【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C错误演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D正确，故选C．5．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用回归直线方程恒过样本中心点，求出，再据此模型预报广告费用为10万元时销售额．【解答】解：由题意，=4.5，=35，代入=7x+，可得=3.5，∴=7x+3.5，x=10时，=7x+=73.5，故选B．6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y=x3﹣x2﹣40x （x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A．30 B．40 C．50 D．60【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果．【解答】解：由题设知y'=x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数y=x3﹣x2﹣40x（x＞0）在上减，当x=40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故选：B．7．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次对四个式子的函数求导，即可得判断其是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于①、=x﹣1，则（）′=（x﹣1）′=﹣，故①错误；对于②、（cosx）′=﹣sinx 正确；对于③、（2x）′=2x ln2，正确；对于④、（lgx）′=，故④错误；综合可得：②③正确；故选：B．8．已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选：A．9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可可能去过济南或潍坊，再由甲推出只能是济南，潍坊中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过青岛，则乙可能去过济南或潍坊，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊，则乙只能是去过济南，潍坊中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为济南．故选：A．10．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．12．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′=f′=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f=2，则f+f′=2+0=2，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m=﹣2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣12x，可得f'（x）=3x2﹣12，令3x2﹣12=0，x=2或﹣2，x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，x=﹣2函数取得极大值，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．【考点】K5：椭圆的应用；F3：类比推理．【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．15．欧拉公式e xi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意结合三角函数的象限符号得答案．【解答】解：由题意可得，e3i=cos3+isin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限．故答案为：二．16．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x ＞，∴f（x）的单调递增区间是hslx3y3h，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f （）=﹣，故f（x ）的值域是，）．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．常喝不常喝合计肥胖60不肥胖10合计100（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．0.050.0250.0100.0050.001附：参考公式：x2=P（x2≥x0）x0 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，做出肥胖的学生人数，即可填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握说看营养说明与性别有关．【解答】解：（1）在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；常喝不常喝合计肥胖602080不胖101020合计7030100﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由已知数据可求得：K2=≈4.76＞3.841，因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．19．（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，求D点对应的复数；（2）已知复数Z1=2，=i，并且|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|，求z．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题意画出图形，利用向量相等求出D的坐标得答案；（2）由已知求得z2，设出z，结合|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|列方程组得答案．【解答】解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，∴作出平行四边形ABCD如图：A（3，1），B（0，﹣2），C（﹣1，﹣1），设D（x，y），则，，由，得x=y=2，∴D（2，2），则D点对应的复数为2+2i；（2）∵z1=2，=i，∴z2=2i，设z=x+yi，则由|z|=2，|z﹣z1|=|z﹣z2|，得，解得或．∴z=﹣2﹣2i，或z=2=2i．20．已知函数f（x）=过点（1，e）．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意得e1+b=e，可得b=0，即f（x）=（x≠0），求导数，求单调区间．（2）设g（x）==，（x＞0），g′（x）=，利用导数求出单调区间，即可求最值．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）⇔m==g（x）利用导数可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．画出图象，结合图象求解，【解答】解：（1）∵函数f（x）=过点（1，e）．得e1+b=e，可得b=0，∴f（x）=（x≠0），f′（x）=，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，y=f（x）的单调增区间是﹣2，214，+∞）．2017年5月26日。

高二数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数2()sin f x x x =+，则()f x ¢=（ ）A. cos 2x x +B. cos 2x x -C. cos 2x x -+D. cos 2x x--【答案】A 【解析】【分析】直接利用函数的求导公式，导数的四则运算进行求解.【详解】根据求导公式和导数的加法，()cos 2f x x x =¢+.故选：A2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为3116n S a a +=，， 则13S =（ ）A. 18 B. 21C. 39D. 42【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列的性质求解.【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和为3116n S a a +=，，所以()()11331113131313639222a a a a S ++´====，故选：C3. 如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X ，则D X =（）（ ）A.23B.43C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】伯努利试验中随机变量服从二项分布，根据方差的计算公式(1)DX np p =-（）即可算出结果.【详解】解：伯努利试验中随机变量服从二项分布，即(,)X B n p :，因为出现“成功”的概率为13，所以13p =，因为6次独立重复试验，所以6n =，所以114(1)6(1)333DX np p =-=´´-=（）.故选：B .4. 已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()21ln f x xf x +¢=，则()1f ¢=（ ）A. 1- B. 1C. 2- D. 2【答案】A 【解析】【分析】求得()()121f x f x¢¢=+，令1x =，即可求解.【详解】由函数()()21ln f x xf x +¢=，可得()()121f x f x¢¢=+，令1x =，可得()()1211f f ¢¢=+，解得()11f ¢=-.故选：A.5. 某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：喜欢阅读不喜欢阅读总计男学生302050女学生401050总计7030100根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（ ）P（x ²≥k ）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828A. 没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”B. 有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”C. 在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”【答案】D 【解析】【分析】根据列联表中的数据，求得2K 的值，再与临界值表对照，逐项判断.【详解】解：()22100301020401004.7627030505021K ´-´==»´´´A.因为4.762 3.841>，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；B.因为4.762 6.635<，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；C.因为4.762 5.024<，所以在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；D.因为4.762 3.841>，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D 正确；故选：D6. 若1nx x æö-ç÷èø 的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（ ）A. 10B. 20C. 10- D. 20-【答案】D 【解析】【分析】首先利用264n =求出n ，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】根据题意可得264n =，解得6n =， 则61()x x-展开式的通项为662661C ()(1)C r rr r r r x x x---=-，令620r -=，得3r =，所以常数项为：333633661654(1)C C 20321x x -´´æö-=-=-=-ç÷´´èø.故选：D.7. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，12a =，m n m n a a a +=，则5S =（ ）A. 64 B. 62C. 32D. 30【答案】B 【解析】【分析】根据m n m n a a a +=得到24a =，38a =，416a =，532a =，相加得到答案.【详解】12a =，m n m n a a a +=，则2114a a a =×=，3128a a a =×=，42216a a a =×=，52332a a a =×=.故512345248163262S a a a a a =++++=++++=.故选：B8. 已知()f x 是定义在()1,-+¥上的可导函数，且满足()()f x xf x ¢<-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x ->+-的解集是（ ）A. ()1,1-B. [)1,+¥C. (]0,1D. ()0,¥+【答案】D 【解析】【分析】先根据()()f x xf x ¢<-构造新函数()()g x xf x =，从而得到新函数()g x 的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“()()f m f n >”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“f ”，从而解得答案.【详解】因为()f x 定义在()1,-+¥上，所以2(1)(1)(1)f x x f x ->+-中的式子要有意义，需满足211,11x x ->-ìí->-î，解得0x >.因为()()f x xf x ¢<-，所以()()0f x xf x ¢+<，即(())0xf x ¢<，设函数()()(1)g x xf x x =>-，则()g x 在定义域上单调递减.要求2(1)(1)(1)f x x f x ->+-，则当10x ->，即1x >时，22(1)(1)(1)(1)x f x x f x -->--，即2(1)(1)g x g x ->-，所以211x x -<-，解得1x >或0x <，所以1x >；当10x -<，即01x <<时，22(1)(1)(1)(1)x f x x f x --<--，即2(1)(1)g x g x -<-，所以211x x ->-，解得01x <<；在()()f x xf x ¢<-中，令0x =得(0)0f <，而在2(1)(1)(1)f x x f x ->+-中，当10x -=时，有(0)2(0)f f >，显然成立；综上，2(1)(1)(1)f x x f x ->+-的解集为()0,¥+.故选：D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 相关系数r 越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱B. 若P （B |A ）=P （B ），且P （B ）>0，则事件A ，B 相互独立C. 回归直线 ˆˆy bxa =+ 恒过样本中心点(,)x y ，且至少经过一个样本点D. 残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好【答案】BD 【解析】【分析】根据线性回归直线的相关知识可判断选项A ，C ，D ；利用相互独立事件的概念即可判断选项B.【详解】线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故选项A 错误；因为P （B |A ）=P （B ），且P （B ）>0，所以事件A ，B 相互独立，故选项B 正确；回归直线 ˆˆy bxa =+ 恒过样本中心点(,)x y ，当不一定经过样本点，故选项C 错误；残差平方和越小的模型，线性回归模型的拟合效果越好，故选项D 正确；故选：BD10. 已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，则（ ）.A. ()f x 有且仅有两个极值点B. ()f x 在区间()2,+¥上单调递增C. 若()f x 在区间(),1m m +上单调递增，则m 的取值范围为4m £-或3m ³D. ()f x 可能有四个零点【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x ¢的图象，得出函数()f x 的单调性，结合极值点的概念和单调性，逐项判定.【详解】根据()f x ¢的图象，当3x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当33x -<<时，()0f x ¢£，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3x =-时，()f x 取得极大值，当3x =时，()f x 取得极小值，所以A 正确；而B 错误；若()f x 在区间(),1m m +上单调递增，则13m +£-，或3m ³，解得4m £-或3m ³，所以C 正确；根据函数()f x 单调性，可知函数()f x 的图象与x 轴最多有三个交点，所以D 错误.故选：AC11. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为(01)p p £<，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X ，则（ ）A. 乙连胜三场的概率是3(1)p -B. 33(4)3(1)3(1)P X p p p p ==-+-的C. 22(5)12(1)P X p p ==-D. (5)P X =的最大值是 38【答案】BD 【解析】【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X 的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是3(1)p -；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是3(1)p p -；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是23(1)p p -；故选项A 错误；由题意可知，决赛中的比赛局数X 的可能取值为3,4,5，则332(3)(1)133P X p p p p ==+-=-+；33342(4)3(1)3(1)12693P X p p p p p p p p ==-+-=--+；故选项B 正确；432(5)1(3)(4)6126P X P X P X p p p ==-=-==-+;故选项C 错误；令432()6126f p p p p =-+，则32()24361212(21)(1)f p p p p p p p ¢=-+=--，因为01p £<，所以当102p £<时，()0f p ¢>，当112p <<时，()0f p ¢<；当函数()f p 在1[0,2上单调递增，在1(,1)2上单调递减，则当12p =时，函数()f p 取最大值38，所以(5)P X =的最大值是 38，故选项D 正确；故选：BD.12. 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足:对任意*N n Î，都有1n n b a -£，则称{}n b 与{}n a “接近”，则（ ）A. 设()111312n n n n a b ++æö=´=-ç÷èø，，则数列{}n b 与{}n a “接近”B. 设 112n n a -æö=ç÷èø，11n n b a +=+，则数列{}n b 与{}n a “接近”C. 设数列{}n a 的前四项为11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===，则M 中元素的个数为3或4D. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 21b b -，32b b -，L ，201200b b -中至少有100个为正数，则2d >-【答案】BCD 【解析】【分析】计算223111188b a -=+=>，A 错误，确定1121nn n b a æö-=£ç÷è-ø得到B 正确，计算i b 的范围，考虑相等的情况得到C 正确，考虑0d >，0d =，20d -<<和2d £-四种情况，计算得到答案.【详解】对选项A ：223111188b a -=+=>，错误；对选项B ：11112nn n b a +æö=+ç÷èø+=，1111111222nn nn n b a -æöæöæö-==£ç÷ç÷ç÷èøèèø-ø+-，正确；对选项C ：1n n b a -£，故11n n n a b a -££+，故[]10,2b Î，[]21,3b Î，[]33,5b Î，[]47,9b Î，故可能1b 和2b 相等，2b 和3b 相等，但不能同时成立，123,,b b b 与4b 不相等，故M 中元素的个数为3或4，正确；对选项D ：{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得1(1)n a a n d =+-，①若0d >，取n n b a =，01n n b a -=£，110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -，32b b -，L ，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则 11111n n b a a a n n-=--=<，*N n Î，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -，32b b -，L ，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d -<<，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，满足1n n b a -£，()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+>，则21b b -，32b b -，L ，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d £-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -££+，11111n n n a b a +++-££+，可得 ()111120n n n n b b a a d ++-£+--=+£，21b b -，32b b -，L ，201200b b -中无正数，不符合题意.综上所述：d 的范围是(2,)-+¥，正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将等差数列的公差讨论四种情况，可以简化运算，是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 要安排4位同学表演文艺节目的顺序，要求甲不能第一个出场，则不同的安排方法共有____________种.【答案】18【解析】【分析】根据题意，由特殊元素优先处理，先安排甲，然后其他同学顺序没有限制，即可得到结果.【详解】因为甲不能第一个出场，则甲可以排在第二，三，四的位置，共3种，剩下3名同学的排序为33A ，所以不同的安排方法共有333A 18=种.故答案为:1814. 已知函数()23e+=xx axf x 在0x =取得极值，则=a _____________【答案】0【解析】【分析】对函数求导，结合(0)0f ¢=求参数a ，注意验证0x =是否取得极值.【详解】()222(6)e e (36)e e )3(x x x xx a x x ax x a af x -++-+-¢==-，由题意(0)0f a ¢==，此时23()ex xf x =，故()3(2)e xx x f x -¢=-，所以(,0),(2,)-¥+¥上()0f x ¢<，(0,2)上()0f x ¢>，即(,0),(2,)-¥+¥上()f x 递减，(0,2)上()f x 递增，则0x =取得极小值，所以0a =.故答案为：015. 已知数列{}n a 的前n 项和为S ，且满足：①从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于2-;②当5n =时，S 取得最大值.则n a =____________.（写出一个即可）【答案】112n a n =-（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由题意可知，数列{}n a 的公差2d =-，要使当5n =时，数列{}n a 的前n 项和为S 取得最大值，则560,0a a ³£，则112n a n =-满足条件，故答案为：112n a n =-（答案不唯一）.16. 将字母a ，a ，a ，b ，b ，b ，c ，c ，c 放入3×3 的表格中，每个格子各放一个字母.①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为____________；②若表格中一行字母完全相同的行数为ξ，则ξ的均值为____________.【答案】 ①.1140 ②. 328【解析】【分析】运用排列中的倍缩法求出9个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论9个字母的排列情况，进而求出概率；行数可能取值为0,1,3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出行数为0的概率，最后求出均值.【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a ，b ，c 三个字母全排列，有33A 种方法，第二列剩下的a ，b ，c 三个字母的排列方法有22A 种，第三列剩下的a ，b ，c 三个字母的排列方法有1种,所以共有3232A A 121121=´=´种排列方法，9个字母在33´的表格中进行排列，共有99333333A 1680A A A =种排列方法，所以所求概率为1211680140=．由题意知，行数x 的可能取值为0,1,3，()6633131333A 2A A 280C C 2711680P x æö÷ø=çè=-=，33A (3)16800128P x ===，(0)1(1)(3)P P P x x x ==-=-==2719128028010--=，所以行数x 的均值为9271303()0131028028028028E x =´+´+´==．故答案为：1140，328.四、解答题：本大题共6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知曲线3()f x x ax b =-+在坐标原点处的切线方程为3y x =-.（1）求实数,a b 的值;（2）求()f x 在[2,3]-上的值域.【答案】（1）3,0a b == （2）[2,18]-【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，切线经过的点列方程求解；（2）求导，研究函数的单调性，得到函数的极值然后求出端点处的函数值，和极值比较大小，从而得到函数的值域【小问1详解】()23f x x a ¢=-，由题意得.()()03,00f a f b =-=-==¢，解得3,0a b ==【小问2详解】由（1）知 ()()323,33f x x x f x x ¢=-=-，令()0f x ¢>，即2330x ->，解得1x <-或1x >；令()0f x ¢<，即2330x -<，解得11x -<<.所以()f x 在(2,1)--单调递增，(1,1)-单调递减，(1,3)单调递增，则()f x 的极大值为(1)2f -=，极小值为(1)2f =-.又因为(2)2,(3)18f f -=-=，即()f x 在[2,3]-上的最大值，最小值分别为18,2-.故()f x 在[2,3]-上的值域为[2,18]-18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22.n S n n =+（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设11n n n b a a +=， 求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）证明见解析（2）()323n n +【解析】【分析】（1）根据前n 项和与通项公式之间的关系可得21n a n =+，再结合等差数列定义证明；（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.【小问1详解】当1n =时，则113a S ==；当2n ³时，则()()()221212121n n n n n n S n a n S -=-éù+--+-=+ëû=；显然当1n =时，也满足上式，所以21n a n =+.当n ≥2时，则()()1212112n n a a n n -éù-=+--+=ëû，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）可知，21n a n =+，则()()1111212322123n b n n n n æö==-ç÷++++èø，可得121111111235572123n b b b n n éùæöæöæö+++=-+-++-ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøëûL L ()11646323nn n =-=++ ，所以数列{}n b 前n 项和为()323nn +.19. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.【答案】（1）1130（2）该球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【小问1详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212||2635P A P A P B A P B A =====，，，由全概率公式得：()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+ 111211232530=´+´=.【小问2详解】该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率()()()()11|523|111130P A P B A P A B P B ´===该球取自乙箱的概率()()()()12|625|111130P A P B A P A B P B ´===因为()()||P AB P A B <，所以该球取自乙箱的可能性更大.20. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a ，5a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）已知数列{}n b 满足11411n n nn b b b a +-=-=，求n b .【答案】（1）12n n a -=（2）()2115432n n b n -æö=-+ç÷èø【解析】【分析】（1）由题意求出公比和4a 即可求数列{}n a 的通项公式；（2）分别用累加法和错位相减法求n b .【小问1详解】解：因为42a +是3a ，5a 的等差中项，所以()35422a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =，所以3520a a +=，所以18(20q q+=，由1q >可解得2q =，所以4414822n n n n a a q ---=×=×=，即数列{}n a 通项公式为12n n a -=.【小问2详解】由题意知，()111412n n n b b n +--=-所以 021132b b æö-=´ç÷èø，132172b b æö-=´ç÷èø，……()211452n n n b b n --æö-=-ç÷èø，…的累加得()()()()2132121n n n n b b b b b b b b ----+-++-+-L ()()013211113749452222n n n n --æöæöæöæö=´+´++-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ，()()0132111113749452222n n n b b n n --æöæöæöæö-=´+´++-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ，设()()0132111137494522222n n M n n n --æöæöæöæö=´+´++-+-³ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ，，12M =()()22111113749452222n n n n --æöæöæö´+´++-+-ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ，所以 ()2211111134444522222n n M n --æöæöæö=+´+´++´--ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ()1211112234451212n n n --æö-ç÷æöèø=+´--ç÷èø-，整理得 ()2114432n M n -æö=-+ç÷èø，又11b =， 所以()211543.2n n b n -æö=-+ç÷èø21. 从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023 年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何?您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受?为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）.（1）本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如下频率分布表.成绩[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频率0.10.10.30.350.15按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X ，求X 的分布列及期望；（2）该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x 与“好评”率y ，如下表所示：x 32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根据数据初步判断，可选用(e 0xy k k l =>）作为回归方程.（i ）求该回归方程;（ii ）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x ~N （μ，400），其中μ近似为样本平均数a ，估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少?参考公式与数据：若ln z y =，则71722170.64,0.027i i i ii x z xzz xx==-»-»-åå，.,l l 0n n .15 1.9 5.2 1.66»»-线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中， 1221,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--åå 若随机变量()2~,X N m s ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P X P X P X m s m s m s m s m s m s -<<+-<<<+»<»»+-【答案】（1）分布列见解析，1.8 （2）（i ）0.020.15e x y =；（ii ）0.1585【解析】【分析】（1） 根据分层抽样的性质可知X 的取值范围是{1，2，3}，然后算出每一个值对应的概率，列出分布列，代入均值的计算公式即可求解；（2）（i ）根据题中所给数据，利用最小二乘法即可求解方程；（ii ）利用正态分布的性质即可求解.【小问1详解】按照分层抽样的方法，测评成绩在[0，20）的游客有2人，[80，100]的游客有3人，则X 的取值范围是{1，2，3}，()()()122130323232333555C C C C C C 10.320.630.1C C C P X P X P X =========，，，E （ X ） = 1×0.3 +2 ×0.6 +3 ×0.1 =1.8.【小问2详解】（i ）对e x y k l =两边取对数得ln ln y k x l =+，令ln z y =，则ln z x k l =+根据所给公式可得71722170.027i i i ii x z xzxxl ==-=»-åå，又因为32415468748092630.647x z ++++++==»-，所以ln 0.640.0263 1.9k =--´=-，即k ≈0.15，所以该回归方程为0.020.15e .x y =（ii ）由（i ）及参考数据可得 μ≈x =63，σ=20，由y ≥0.78即（0.020.15e 0.78x ³可得 ln5.2830.02x ³»，又μ+σ=83，P （μ-σ<x <μ+σ）≈0.683 由正态分布的性质得()183[1]0.15852P x P x m s m s ³=--<<+»（），估计该市景区“好评”率不低于0.78 的概率为0.1585.22. 已知函数2()2ln f x a x x a =-+，a ÎR （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，曲线()y f x =在这两个零点处的切线交于点()00,x y ，求证：0x 小于1x 和2x 的等差中项;（3）证明: ()*11112ln 1,2341n n n +>++++Î+N L 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，结合函数定义域为(0,)+¥，分参数0a £，0a >来讨论导函数的符号即可；（2）先根据导数的几何意义写出两条切线，联立切线得到0x 的表达式，为证明题干只需证明121ax x >，然后转化成双变量问题的不等式处理，接着通过换元：121x t x =<，把双变量问题转化成单变量问题解决；（3）利用（1）结论进行辅助证明.【小问1详解】()f x 的定义域为(0,)+¥，()22222a x af x x x x-=¢+=-当0a £时，()0f x ¢<，()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，令()0f x ¢=，又因为0x >，可解得x =(()(),0,x f x f x >¢Î单调递增，)(),0,()x f x f x ¥<¢Î+单调递减；【小问2详解】因为函数()f x 有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知0a >. ()22af x x x=¢-， 所以曲线()y f x =在1(,0)x 和2(,0)x 处的切线分别是：()()1112221222:2,:2a a l y x x x l y x x x x x æöæö=--=--ç÷ç÷èøèø.联立两条切线解得：120121x x x ax x +=+.要证0x 小于1x 和2x 等差中项，即证0122x x x <+，整理得：121ax x >由题意得()2221112212222ln 02ln ln 2ln 0a x x a x x a x x a x x a ì-+=-Þ=í--+=î的的即证122111221211x x x x ax x x ln x æö-ç÷èø>Û>令121x t x =<，即证11ln (01)2t t t t æö>-<<ç÷èø.令()11ln 2h t t t t æö=--ç÷èø.()()22102t h t t=¢--<，所以()h t 在(0,1)单调递减，所以()(1)0h t h >=所以11ln (01)2tt t t æö>-<<ç÷èø得证，故0x 小于1x 和2x 的等差中项得证.【小问3详解】由（1）知当1a =时()()max 10f x f ==，所以()0f x £，即 22ln 1x x £-.即当n Î*N 时，2222ln 111112ln 1112ln 122n n n n n n n n ìæöæö<-ïç÷ç÷++èøèøïï--æöæöï<-ïç÷ç÷íèøèøïïïæöæöï<-ç÷ç÷ïèøèøîL ，将不等式累加后，得到： 222111112ln 11212n n n n n n n n n n n --æöæöæöæö<+++-<+++-ç÷ç÷ç÷ç÷+++èøèøèøèøL L 1111111111212n n n n næö=-+-++--=-+++ç÷++èøL L ， 即()11112ln 12341n n +>+++++L .。

山东省潍坊市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·镇海期中) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） tan240°＝（）A .B .C . 1D .3. （2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A . 9B .C . 18D . 274. （2分）对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证α⊥β需具备的条件是（）A . m⊥l，m∥α，l∥βB . m⊥l，α∩β=m，l⊂αC . m∥l，m⊥α，l⊥βD . m∥l，l⊥β，m⊂α5. （2分） (2019高二上·宁波期中) 已知直线与平行，则等于（）A . 或B . 或C .D .6. （2分）已知数列的通项公式，则数列的前项和取得最小值时的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（）A . 2B .C . 5D .8. （2分） (2017高一上·洛阳期末) 已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2= 上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2= 上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A . 2B .C . 3D . 49. （2分）若f(x)=xsinx+cosx,则f(1),以及的大小关系是（）A . <<B . <<C . <<D . <<10. （2分）(2018·浙江学考) 如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）A .B .C .D .二、双空题 (共3题；共3分)11. （1分） (2017高一上·长宁期中) 已知函数f（x）=2x，g（x）=﹣，则f（x）•g（x）=________．12. （1分）(2018·河北模拟) 已知函数在上单调，且，则正数的值为________．13. （1分）(2017·江西模拟) 设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当的最小值为m时，则y=sin（mx+ ）的图象向右平移后的表达式为________．三、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）函数的最小正周期是________15. （1分） (2016高二上·潮阳期中) 已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若顶点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则λ﹣b=________．16. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知在△ABC中，（2 ﹣3 ）• =0，则角A的最大值为________．17. （1分） (2019高一上·辽宁月考) 已知均为实数，且，求正数c的最小值________ .四、解答题 (共5题；共25分)18. （5分） (2017高一上·江苏月考) 已知函数（1）求出函数的最大值及取得最大值时的的值；（2）求出函数在上的单调区间；（3）当时，求函数的值域。

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。

$1-\frac{4}{5}i$。

B。

$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。

C。

$1-\frac{1}{5}i$。

D。

$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。

$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。

B。

$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。

C。

$y$ 平均增加 $2$ 个单位。

D。

$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。

类比推理。

B。

演绎推理。

C。

合情推理。

D。

归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。

$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。

B。

$(2,-2)$。

C。

$(-\frac{5}{2},2)$。

D。

$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。

$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。

B。

$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。

C。

$a$、$b$ 全不为 $0$。

D。

$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。

$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。

B。

$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。

C。

$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。

D。

$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。

2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z＝3﹣2i，则z 的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b＝0没有实根B．方程x3+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x3+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x3+ax+b＝0恰好有两个实根3．（5分）已知函数y＝f（x），下列说法错误的是（）A．△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在[x0，x0+△x]上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）4．（5分）以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理5．（5分）某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程＝7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A．73万元B．73.5万元C．74万元D．74.5万元6．（5分）某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y＝x3﹣x2﹣40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A．30B．40C．50D．607．（5分）以下式子正确的个数是（）①（）′＝②（cos x）′＝﹣sin x③（2x）′＝2x ln2 ④（lgx）′＝．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1D．29．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛10．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点11．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16＝3+13B．25＝9+16C．36＝10+26D．49＝21+28 12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）＝（）A．2017B．2016C．2D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知m为函数f（x）＝x3﹣12x的极大值点，则m＝．14．（5分）已知圆的方程式x2+y2＝r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．15．（5分）欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于象限．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共70分）17．（10分）已知f（x）＝lnx+x2．（1）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式：x2＝19．（12分）（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，求D点对应的复数；（2）已知复数Z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z﹣z1|＝|z﹣z2|，求z．20．（12分）已知函数f（x）＝过点（1，e）．（1）求y＝f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ＝与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】22．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【选修4-4坐标系与参数方程】23．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市四县市联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z＝3﹣2i，则z的共轭复数（）A．﹣3+2i B．﹣3﹣2i C．﹣2+3i D．3+2i【解答】解：复数z＝3﹣2i，则z的共轭复数＝3+2i．故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b＝0没有实根B．方程x3+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x3+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x3+ax+b＝0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b＝0没有实根．故选：A．3．（5分）已知函数y＝f（x），下列说法错误的是（）A．△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）叫函数增量B．叫函数在[x0，x0+△x]上的平均变化率C．f（x）在点x0处的导数记为y′D．f（x）在点x0处的导数记为f′（x0）【解答】解：根据导数的定义f′（x 0）＝，即可判断出A，B，D正确，C错误，故选：C．4．（5分）以下说法错误的是（）A ．推理一般分为合情推理和演绎推理B ．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C ．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D ．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A 正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B 正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C 错误 演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D 正确， 故选：C ．5．（5分）某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如表：根据表可得回归直线方程＝7x +，若广告费用为10万元，则预计销售额为（ ）A ．73万元B ．73.5万元C ．74万元D ．74.5万元 【解答】解：由题意，＝4.5，＝35，代入＝7x +，可得＝3.5，∴＝7x +3.5，x ＝10时，＝7x +＝73.5，故选：B ．6．（5分）某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间满足的关系式为y ＝x 3﹣x 2﹣40x （x ＞0），为使耗电量最小，则速度为（ ）A ．30B ．40C ．50D ．60【解答】解：由题设知y '＝x 2﹣39x ﹣40，令y '＞0，解得x ＞40，或x ＜﹣1，故函数y＝x3﹣x2﹣40x（x＞0）在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故选：B．7．（5分）以下式子正确的个数是（）①（）′＝②（cos x）′＝﹣sin x③（2x）′＝2x ln2 ④（lgx）′＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于①、＝x﹣1，则（）′＝（x﹣1）′＝﹣，故①错误；对于②、（cos x）′＝﹣sin x正确；对于③、（2x）′＝2x ln2，正确；对于④、（lgx）′＝，故④错误；综合可得：②③正确；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．1D．2【解答】解：由题意得y′＝+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k＝2，故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，令x＝0得，y＝﹣1；令y＝0得，x＝，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S＝＝，故选：A．9．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A．济南B．青岛C．济南和潍坊D．济南和青岛【解答】解：由乙说：我没去过青岛，则乙可能去过济南或潍坊，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊，则乙只能是去过济南，潍坊中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为济南．故选：A．10．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）＝0，f′（b）＝0，f′（c）＝0，f′（d）＝0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．11．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16＝3+13B．25＝9+16C．36＝10+26D．49＝21+28【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28＝49．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）＝（）A．2017B．2016C．2D．0【解答】解：函数的导数f′（x）＝a cos x+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′（2017）﹣f′（﹣2017）＝f′（2017）﹣f′（2017）＝0，由f（x）＝a sin x+bx3+1得f（2016）＝a sin2016+b•20163+1，f（2016）＝a sin2016+b•20163+1，f（﹣2016）＝﹣a sin2016﹣b•20163+1，则f（2016）+f（﹣2016）＝2，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）＝2+0＝2，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知m为函数f（x）＝x3﹣12x的极大值点，则m＝﹣2．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣12x，可得f'（x）＝3x2﹣12，令3x2﹣12＝0，x＝2或﹣2，x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，x＝﹣2函数取得极大值，所以m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知圆的方程式x2+y2＝r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．15．（5分）欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限．【解答】解：由题意可得，e3i＝cos3+i sin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限．故答案为：二．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【解答】解：f（x）＝xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）＝lnx+1，令f′（x0）＝2，即lnx0+1＝2，解得：x0＝e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）＝﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．三、解答题（本大题共4小题，共70分）17．（10分）已知f（x）＝lnx+x2．（1）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+x2，∴f′（x）＝+x，x＝1时，f′（1）＝，f（1）＝，∴曲线f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝（x﹣1），即10x﹣8y﹣9＝0；（2）x＞0，f′（x）＝+x≥1，∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，倾斜角α的取值范围为[，）．18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式：x2＝【解答】解：（1）在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由已知数据可求得：K2＝≈4.76＞3.841，因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．19．（12分）（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，求D点对应的复数；（2）已知复数Z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z﹣z1|＝|z﹣z2|，求z．【解答】解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别是3+i，﹣2i，﹣1﹣i，∴作出平行四边形ABCD如图：A（3，1），B（0，﹣2），C（﹣1，﹣1），设D （x，y），则，，由，得x＝y＝2，∴D（2，2），则D点对应的复数为2+2i；（2）∵z1＝2，＝i，∴z2＝2i，设z＝x+yi，则由|z|＝2，|z﹣z1|＝|z﹣z2|，得，解得或．∴z＝﹣2﹣2i，或z＝2＝2i．20．（12分）已知函数f（x）＝过点（1，e）．（1）求y＝f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝过点（1，e）．得e1+b＝e，可得b＝0，∴f（x）＝（x≠0），f′（x）＝，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，y＝f（x）的单调增区间是[1，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）．（0，1）．（2）设g（x）＝＝，（x＞0），g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝2，x∈（0，2）时，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（0，2）上递减，在（2，+∞）递增，∴的最小值为g（2）＝．（3）方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）⇔m＝＝g（x）g′（x）＝，易知x＜0时，g′（x）＞0．结合（2）可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．原问题转化为y＝m与y＝g（x）交点个数，其图象如下：当m≤0时，方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数为0；当0＜m＜时，方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数为1；当m＝时，方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数为2；当m时，方程f（x）﹣mx＝0（m∈R且m为常数）的根的个数为3；【选修4-4：坐标系与参数方程】21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：θ＝与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标．【解答】解：（1）圆C的参数方程（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2＝2x，极坐标方程为ρ＝2cosθ；（2）射线OM：θ＝与圆C的交于O、P两点，则ρ＝，∴P的极坐标为（）．【选修4-5：不等式选讲】22．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【选修4-4坐标系与参数方程】23．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ＝8+2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2＝1，…（1分）∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…（2分）曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…（3分）曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（4分）（Ⅱ）当t＝时，P（4，﹣4），…（5分）设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…（6分）∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）＝0，…（7分）M到C3的距离d＝…（8分）＝＝＝3﹣．…（9分）从而当cos（）＝1时，d取得最小值3﹣．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．（1）求A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2；②当﹣2≤x≤2时，x+2﹣x+2＜18，恒成立；③当x＞2时，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．综上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）＝（﹣9，9）．∴A＝（﹣9，9）．（2）∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x+m恒成立，∴18≤x+m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x++m≥2+m＝4+m．∴18≤4+m，解得m≥14．∴m的取值范围是[14，+∞）．。