2018届北师大版 空间线面关系的判断 单元测试

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案 C解析不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上解析 由于EF ∩HG ＝M ，且EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，所以点M 为平面ABC 与平面ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为AC ，所以点M 一定在直线AC 上，故选A.5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.35答案 B解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B. 6．下列命题中，正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线B ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D ．若直线a ∥平面α，点P ∈α，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条 答案 D解析 对于A ，当α∥β，a ，b 分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a ∥b ，故A 错误．对于B ，设a ，b 确定的平面为α，显然a ⊂α，故B 错误．对于C ，当a ⊂α时，直线a 与平面α内的无数条直线都平行，故C 错误．易知D 正确．故选D.7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形．∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．解析 连接A 1B ，将△A 1BC 1与△CBC 1同时展平形成一个平面四边形A 1BCC 1，则此时对角线CP ＋P A 1＝A 1C 达到最小，在等腰直角三角形△BCC 1中，BC 1＝2，∠CC 1B ＝45°，在△A 1BC 1中，A 1B ＝40＝210，A 1C 1＝6，BC 1＝2，∴A 1C 21＋BC 21＝A 1B 2，即∠A 1C 1B ＝90°.对于展开形成的四边形A 1BCC 1，在△A 1C 1C 中，C 1C ＝2，A 1C 1＝6，∠A 1C 1C ＝135°，由余弦定理有，CP ＋P A 1＝A 1C ＝2＋36－122cos135°＝50＝5 2.8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78解析 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2， N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝CM 2＋MK 2－CK 22CM ×MK＝(22)2＋(2)2－(3)22×22×2＝78.*10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析 取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. *13.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)如图所示，因为EF是△D 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， 所以EF ∥BD .所以EF ，BD 确定一个平面． 即D 、B 、F 、E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β. 因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α. 又Q ∈EF ，所以Q ∈β. 则Q 是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．。

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（)A．5B．4C．9D．1［答案] D［解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺,无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!()A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时,D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面,则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能［答案］ D［解析]A项,α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α,α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误;D项,假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n,所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α;②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号 92180600（) A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②;因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n,又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③。

1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．3.(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5 【答案】 C4.(1)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4【特别提醒】(1)本题主要考查空间几何体的三视图、直观图，表面积的计算．能够通过几何体的三视图还原出直观图，意在考查考生的空间想象能力，并通过对几何体的表面积计算，考查考生的运算求解能力．(2)本题主要考查三视图、几何体的体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．【答案】(1)A (2)B【解析】(1)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π，故选B.5. (2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403 cm 3【答案】 C【规律方法】涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．6.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】 B【解析】 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.7. 【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析8.(2015·安徽，5)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】 D9.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AB ＝AA ′＝AC ＝2，∠BAC ＝2π3，点D ，E 分别是BC ，A ′B ′的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC ′A ′； (2)求二面角B ′－AD －C ′的余弦值．【解析】(1)证明：取AC 的中点F ，连接DF ，A ′F ， 则DF ∥AB ，又A ′E ∥AB ， 所以DF ∥A ′E ，又因为DF ＝12AB ，A ′E ＝12AB ，所以DF ＝AE ，所以四边形DFA ′E 是平行四边形， 所以ED ∥A ′F ，又A ′F ⊂平面ACC ′A ′，所以ED ∥平面ACC ′A ′.【变式探究】设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④. 10.(2015·浙江，13)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．【答案】 78【解析】 连接DN ，作DN 的中点O ，连接MO ，OC .在△AND 中．M 为AD 的中点，则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78. 11.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂= F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面12.(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.13.(2014·浙江)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力．解法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0.可取m ＝(0,1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m ||n |＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6. 14.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .【规律方法】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．15.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M­ACD的体积．。

时间：90分钟 分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱解析：圆柱、四面体、三棱柱的正视图都有可能是三角形． 答案：A2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3B.82π3 C ．82πD.32π3解析：S 圆＝πr 2＝π⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，所以球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.所以V ＝43πR 3＝82π3，故选B.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．原几何体为组合体；上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π.答案：A4．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是( )A ．若a∥b，则α∥βB ．若α⊥β，则a⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交解析：若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题． 答案：D5．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若m∥α，n ∥β，α⊥β，则m⊥nC ．若α⊥β，m ⊥α，则m∥βD ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m∥β解析：对于A ，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A 错；对于B ，若m∥α，n ∥β，α⊥β，则m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，B 错；对于C ，若α⊥β，m ⊥α，则m 可以在平面β内，C 错；易知D 正确．答案：D6．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010 B.15 C.31010D.35解析：如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)，∴BE ―→＝(0，－1，1)，CD 1―→＝(0，－1，2)，∴cos 〈BE ―→，CD 1―→〉＝1＋22·5＝31010.答案：C7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，CD ，B 1C 1的中点，则下列中与直线AE 有关的正确命题是( )A ．AE ⊥CGB ．AE 与CG 是异面直线C ．四边形ABC 1F 是正方形D ．AE ∥平面BC 1F解析：由正方体的几何特征，可得AE⊥C 1G.但AE 与平面BCC 1B 1不垂直，故AE⊥CG 不成立；由于EG∥AC，故A ，E ，G ，C 四点共面，所以AE 与CG 是异面直线错误；四边形ABC 1F 中，AB ≠BC 1，故四边形ABC 1F 是正方形是错误的；而AE∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC 1F ，故选D.答案：D8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310 D.3610解析：如图，取AB 的中点E ，建立如图所示空间直角坐标系E －xyz.则E(0，0，0)，F(－1，0，1)，B 1(1，0，2)，A 1(－1，0，2)，C 1(0，3，2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2.∴B 1F ―→＝(－2，0，－1)，EF ―→＝(－1，0，1)，FG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，1.设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n·EF ―→＝－x ＋z ＝0，n·FG ―→＝12x ＋32y ＋z ＝0，得⎩⎨⎧z ＝x ，y ＝－3x. 令x ＝1，则n ＝(1，－3，1)，设B 1F 与平面GEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1F ―→〉|＝错误!)＝错误!.答案：A9．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB，PE ―→＝3EC ―→，PF ―→＝λFB ―→，若AF∥平面BDE ，则λ的值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：因为AF∥平面BDE ，所以过点A 作AH∥平面BDE ，交PC 于H ，连接FH ，则得到平面AFH∥平面BDE ，所以FH∥BE，因为E∈PC，F ∈PB ，PE ―→＝3EC ―→，PF ―→＝λFB ―→，所以OC OA ＝EC HE ＝1，所以EC ＝EH ，又PE ＝3EC ，所以PH ＝2HE ，又因为PF FB ＝PHHE＝2，所以λ＝2.答案：C10．如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是( )A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与A 1C 1异面 解析：连接B 1C ，AC ，则B 1C 交BC 1于F ，且F 为B 1C 的中点， 又E 为AB 1的中点，所以EF 綊12AC ，而B 1B ⊥平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC ， 所以B 1B ⊥EF ，A 正确；又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B 正确； 显然EF 与CD 异面，C 正确；由EF 綊12AC ，AC ∥A 1C 1，得EF∥A 1C 1，故不成立的选项为D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．把一个半径为532 cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为________．解析：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线长为l ， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧43π×（532）3＝13πr 2h ，πrl ＝3πr 2，l 2＝h 2＋r2解得h ＝20(cm)．答案：20 cm12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q ，R ，S 分别是AB ，BC ，C 1D 1，C 1C ，A 1B 1，B 1B 的中点，则下列判断：①PQ 与RS 共面；②MN 与RS 共面；③PQ 与MN 共面． 则正确结论的序号是________．解析：①连接PR ，SQ ，可知SQ 綊PR ，所以四边形PQSR 为平行四边形，所以PQ∥RS，故①正确；②由图知直线MN 过平面A 1B 外一点N ，而直线RS 不过M 点，故MN 与RS 为异面直线，故②错；③由图知延长PQ 与MN ，则PQ 与MN 相交，故③正确．答案：①③13．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________．解析：设球心为O ，球半径为R ，△ABC 的外心是M ，则O 在底面ABC 上的射影是点M ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∠ABC ＝12(180°－120°)＝30°，AM ＝AC 2sin30°＝2.因此，R 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 122＝5，此球的表面积等于4πR 2＝20π.答案：20π14．三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB⊥平面ABC ； ③平面SBC⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a.其中正确结论的序号是________． 解析：由题意知AC⊥平面SBC ，故AC⊥SB，SB ⊥平面ABC ，平面SBC⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，(如图)可证得CE⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确． 答案：①②③④三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤) 15．(10分)已知点P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB ＝2，BC ＝1，点F 在AB 边上且DF⊥AP，垂足为E ，将△ADP 沿AP 边折起，使点D 位于D′位置，连接D′B、D′C 得四棱锥D′－ABCP.(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD ＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP ，求四棱锥D′－ABCP 的体积． 解：(1)证明：∵AP⊥D′E，AP ⊥EF ，D ′E ∩EF ＝E ， ∴AP ⊥平面D′EF，∴AP ⊥D ′F. (2)连接PF ，∵PD ＝1，∴四边形ADPF 是边长为1的正方形， ∴D ′E ＝DE ＝EF ＝22. ∵平面D′AP⊥平面ABCP ，D ′E ⊥AP ， ∴D ′E ⊥平面ABCP ，∵S 梯形ABCP ＝12×(1＋2)×1＝32，∴V D ′－ABCP ＝13D ′E ·S 梯形ABCP ＝24.16．(10分)如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将等边△BCD 沿BD 折叠成△BC′D 的位置，使得AD⊥C′B.(1)求证：平面GNM∥平面ADC′. (2)求证：C ′A⊥平面ABD.证明：(1)因为M ，N 分别是BD ，BC ′的中点， 所以MN∥DC′.因为MN ⊄平面ADC′， DC ′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′. 同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N ， 所以平面GNM∥平面ADC′. (2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB. 又因为AD⊥C′B，且AB ∩C′B＝B ， 所以AD⊥平面C′AB.因为C′A ⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB ＝AD ，不妨设AB ＝1，则BC ＝CD ＝BD ＝2，可得C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A. 因为AB∩AD＝A ，所以C′A⊥平面ABD.17．(12分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F.(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值； (3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．解：(1)证明：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱， 所以平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC. 又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ， 所以A 1F ∥平面B 1CE.(2)解：因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系如图，则A 1(0，0，2)，E(1，0，0)，C(2，1，0)， 所以A 1E ―→＝(1，0，－2)，A 1C ―→＝(2，1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，由A 1E ―→·m＝0，A 1C ―→·m＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0.令z ＝1，得m ＝(2，－2，1)． 又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13.由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13.(3)过点F 作FM⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以FM⊥平面A 1ABB 1. 所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×S △A 1B 1E ×FM ＝13×2×22×FM ＝23FM.因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)， 所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.18．(12分)(2016·山西四校联考)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．(1)证明：DF⊥AE；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AE⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ， ∴AB ⊥AE.∵AB ⊥AA 1，AE ∩AA 1＝A ， ∴AB ⊥平面A 1ACC 1. ∵AC ⊂平面A 1ACC 1， ∴AB ⊥AC.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)．设点D 的坐标为(x ，y ，z)，A 1D ―→＝λA 1B 1―→，且λ∈[0，1]， 则(x ，y ，z －1)＝λ(1，0，0)， ∴点D 的坐标为(λ，0，1)， ∴DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1.又AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴DF ―→·AE ―→＝12－12＝0.∴DF ⊥AE.(2)假设存在，设平面DEF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·FE ―→＝0，n·DF ―→＝0， ∵FE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＋12z 1＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx 1＋12y 1－z 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32（1－λ）z 1，y 1＝1＋2λ2（1－λ）z 1.令z 1＝2(1－λ)，则n ＝(3，1＋2λ，2(1－λ))． 由题可知平面ABC 的一个法向量m ＝(0，0，1)． ∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝1414，即|2（1－λ）|9＋（1＋2λ）2＋4（1－λ）2＝1414， 解得λ＝12或λ＝74(舍)．∴当点D 为A 1B 1的中点时，满足要求．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《空间立体几何点线面关系》同步测试题一、选择题1、以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b其中正确命题的个数是（ ）（A ）0个（B ）1个 （C ）2个（D ）3个2、已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个3、如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂α4、已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ）（A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交（C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交5、已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1 C.2 D ．36、若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是( )A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( )A ．若,,m m n α⊥⊥则n α∥B ．若m αα∥,n ∥,则m ∥nC ．若,m n αα⊂∥,则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n9、若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）A ．只有一条B ．有无数条C ．所有直线D ．不存在10、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个11、已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（ ）A ．若b a b a //,,//则αα⊂B ．若b a b a //,//,//则ααC ．若αα//,,//a b b a 则⊂D ．若ααα//,//,//b b a b a 或则⊂12、已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有（ ）①若n m ⊥则,//βα②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若βα//,则n m ⊥ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ） A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交14、经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至少有一个 C ．可能没有D ．有无数个 15、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖16、对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得( )A.αα⊂⊂b a ,B.b a ,α⊂∥αC.αα⊥⊥b a ,D.αα⊥⊂b a ,17、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是( )A ．若b ⊂α,c ∥α，则b ∥cB ．若b ⊂α,b ∥c ，则c ∥α 或α⊆cC ．若c ∥α c ⊂β，则α⊥βD ．若c ∥α α⊥β c ⊂β18、设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )A ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥lB ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ， m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β， m ⊥α19、设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂； 其中正确的命题是( )Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④；20、已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ）A .①③B .②④C .③④D .①21、已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下命题不正确的是（ ）.A ．若m ∥n , m ⊥α, 则n ⊥α B. 若,m ⊥α, m ⊥β, 则α∥βC.若m ⊥α, m ∥n , n ⊂β, 则α⊥βD. .若m ∥α, α ∩β=n 则m ∥n22、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是( ) A. ③ B. ④ C. ①③ D. ②④23、直线a ∥平面α的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线b ，b ∥α，a ∥bB ．存在一个平面β，,β⊆a α∥βC ．存在一个平面β，a ∥β，α∥βD ．存在一条直线b ，b ⊂α，a ∥b24、已知直线m 、l ,平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ,则α∥β；④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）425、设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，下列命题中，逆命题不成立．．．的是( ）A.当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB.当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bC ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c26、直线l ,m 与平面γβα,,，满足l =γβ⋂, l //α,α⊂m ,γ⊥m ,则必有（ ）A. γα⊥且β//mB. γα⊥且m l ⊥C. β//m 且m l ⊥D. βα//且γα⊥27、已知直线m ，n 和平面α，则m//n 的必要非充分条件是（ ）A m//α且n//αB m ⊥α且 n ⊥αC m//α且α⊂nD m ，n 与α成等角28、设βα、是两个平面，m l 、是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l m l 且,,αα⊂⊂∥β，m ∥βB ．l m l 且,,βα⊂⊂∥mC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．,,βα⊥⊥m l 且 l ∥m29、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题①若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α,m ⊥β，则α//β；③若m ⊥α，m //n ，n ⊂ β，则α⊥β； ④若m //α，α⋂β=n ，则m //n .其中正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个30、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是（ ）A.①②B.③④C.②④D.①③ 31、若αβ、是两个不重合的平面，给定以下条件：①αβ、都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③l m 、是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；④l m 、是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判断α∥β的是（ ）A.①②B.②③C.②④D.④32、已知βα,是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．133、已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．434、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若α∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥n B ．若α⊥β，l a ⊂，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α， l ∥β，则α⊥β。

立体几何1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[解析] 因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/ l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．2．已知a，b，c是不同的直线，α，β是不同的平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是()A．a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥αD[解析] a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂α，当b，c相交时，直线a⊥平面α，当b，c 平行时，直线a与平面α不一定垂直，故A错误；由a⊥b，b∥α，得直线a与平面α相交、平行或a⊂α，故B错误；由α⊥β，a∥β，得直线a与平面α相交、平行或a⊂α，故C错误；因为a∥b，b⊥α，所以由直线与平面垂直的判定定理得直线a⊥平面α，故D正确．3．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点P是A1B1上一动点(异于A1，B1)，则该三棱柱的侧视图是()C[解析] 由正视图与俯视图知，A1B1垂直于投影面，且侧视图为长方形，PC的投影线为虚线．4．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m ，n 为异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [解析] 因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A ．三棱台B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥B [解析] 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．6．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于( )A.33 B.233 C.64 D.612A [解析] 由题意可得，三棱锥的底面为等腰直角三角形，底面三角形的斜边为2，斜边上的高为1，故正视图的边长为2，正视图的高h ＝2×sin 60°＝3，正视图的高即为三棱锥的高，所以三棱锥的体积V ＝13×12×2×1×3＝33，选A. 7．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2πC [解析] 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 8.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2A [解析] 根据题意，三棱锥P -BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.9.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，8B [解析] 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．112B [解析] 根据三视图，该几何体下面是一个立方体、上面是两个三棱锥，所以V ＝4×4×4＋2×13×⎝⎛⎭⎫12×4×2×3＝72. 11．设点A ，B ，C 为球O 的球面上三点，O 为球心．球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为43的正三角形，则三棱锥O -ABC 的体积为( )A ．12B ．12 3C ．24 3D ．36 3B [解析] 因为球O 的表面积为100π＝4πr 2，所以球O 的半径为5.如图，取△ABC 的中心H ，连接OH ，连接并延长AH 交BC 于点M ，则AM ＝（43）2－⎝⎛⎭⎫4322＝6，AH ＝23AM ＝4，所以OH ＝OA 2－AH 2＝52－42＝3，所以三棱锥O -ABC 的体积为V ＝13×34×(43)2×3＝12 3.12.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值C [解析] 连接BD ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，而BE ⊂平面BDD 1B 1，故AC ⊥BE ，所以A 项正确；根据线面平行的判定定理，知B 项正确；因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值，且点A 到平面BDD 1B 1的距离是定值22，所以三棱锥A -BEF 的体积为定值，故D 正确；很显然，点A 和点B 到EF 的距离是不相等的，故C 是错误的．所以选C.13．一个正四棱柱的8个顶点在一个直径为2 cm 的球的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该四棱柱的表面积为________cm 2.[解析] 设正四棱柱的高为h ，由题意知正四棱柱的对角线AB 为球的直径，如图，则AB ＝2＝h 2＋1＋1，所以h ＝2(cm)．设四棱柱的表面积为S ，则S ＝4×(2×1)＋2×1×1＝(2＋42) cm 2.[答案] 2＋4 214.如图，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出的下列结论正确的是________．①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .[解析] 由题意知P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .所以BC ⊥AF .因为AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，所以AF ⊥平面PBC ，所以AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PB ⊥EF .故①②③正确．[答案] ①②③15．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________ cm.[解析] 作出圆锥的轴截面如图，设SA ＝y ，O ′A ′＝x ，利用平行线截线段成比例，得SA ′∶SA ＝O ′A ′∶OA ，则(y －10)∶y ＝x ∶4x ，解得y ＝403. 所以圆锥的母线长为403cm. [答案] 40316．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是线段B 1C 的中点，则三棱锥A -DED 1外接球的体积为________．[解析] 三棱锥E -ADD 1中，底面三角形ADD 1的外接圆的圆心为斜边AD 1的中点O 1，且EO 1⊥平面ADD 1，所求外接球球心O 在垂线EO 1上，设所求外接球的半径为R ，则R 2＝(1－R )2＋⎝⎛⎭⎫222，解得R ＝34，故所求球的体积V ＝43πR 3＝916π. [答案]916π。

1．已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由k 1＝k 2，1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2，知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2．(2016·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．－6或12B ．－12或1 C ．－12或12 D ．0或12解析：选A.法一：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12. 法二：当A ，B 两点在直线同侧，则－m ＝4－2－1－3，即m ＝12；当A ，B 两点在直线异侧，则A ，B 的中点在直线上，即m ×3－12＋4＋22＋3＝0，即m ＝－6. 4．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m m ＋2＝－2. 解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2， 所以m ＋n ＝－10.5．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B ．5 2C.1522D ．15 2 解析：选B.由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，因为原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.6．(2016·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0，故选B.7．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________． 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35. 答案：358．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2， 解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝09．设直线l 经过点A (－1，1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， 所以直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)， 即3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝010．(2016·淮安调研)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝011．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.12．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)，所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)， 所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.1．(2016·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0，1，2.答案：0，1，23．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0， 解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．所以d max ＝|P A |＝10.4．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300，由勾股定理得BC ＝400，所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400. 令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

第14练空间线面关系的判断[明考情]空间线面关系的判断是高考的必考内容，主要以选择题形式出现，属于基础题.[知考向]1.空间线面位置关系的判断.2.空间中的平行、垂直关系.考点一空间线面位置关系的判断方法技巧(1)判定两直线异面的方法：①反证法；②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线.(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.2.(2017·常德一中模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则( )A.若α∥β，则l∥mB.若l∥m，则α∥βC.若α⊥β，则l⊥mD.若l⊥β，则α⊥β答案 D解析选项A，若α∥β，则直线l，m平行或异面，错误；选项B，若l∥m，则平面α，β平行或相交，错误；选项C，若α⊥β，则直线l，m平行、相交或异面，错误；选项D，若l⊥β，则由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确，故选D.3.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线答案 D解析在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行.4.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交成60°角D.异面且成60°角答案 D解析如图，直线AB，CD异面.因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE 为等边三角形，故∠ECD＝60°.5.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.则上述结论中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n与β斜交或n∥β，所以①不正确；∀n⊂β，m⊥n，所以②正确；∀n⊂α，m与n可能平行、相交或异面，所以③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，所以④正确.考点二空间中的平行、垂直关系方法技巧(1)利用平面图形中的线的平行判断平行关系：①比例线求证平行，特别是三角形中位线定理；②平行四边形的对边互相平行；③同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行.(2)熟练把握平面图形中的垂直关系①等腰三角形的底边上的中线和高重合；②菱形的对角线互相垂直；③圆的直径所对的圆周角为直角；④勾股定理得垂直.(3)空间中平行与垂直的实质是转化与化归思想在空间中的体现.6.(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ， ∴AB ∥平面MNQ . 故选A.7.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是( ) A.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C.若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β D.若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n 答案 D解析 易知A ，B 正确；对于C ，因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α.又n ⊂β，所以β⊥α，即C 正确；对于D ，因为m ∥α，α∩β＝n ，所以m ∥n 或m 与n 是异面直线，故D 不正确. 8.(2017·全国Ⅲ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A.A 1E ⊥DC 1 B.A 1E ⊥BD C.A 1E ⊥BC 1 D.A 1E ⊥AC 答案 C解析 方法一 如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的射影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B，D 错；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的射影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1.)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的射影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错. 故选C.方法二 (空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DC 1→＝(0，1，1)，BD →＝(－1，－1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)，AC →＝(－1，1，0)，∴A 1E →·DC 1→≠0，A 1E →·BD →≠0，A 1E →·BC 1→＝0，A 1E →·AC →≠0，∴A 1E ⊥BC 1.故选C.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面.其中不正确的结论是( )A.①B.②C.③D.④答案 B解析作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确.10.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________.答案异面垂直解析∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.又侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，又AO∩BO＝O，∴B1C⊥平面ABO.∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A.2 3B.4 3C.6 3D.12 3答案 D 解析 如图所示.取正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1的中点L ，K ，Q ，连接NL ，LK ，KQ ，QP ， 则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面， 该六边形是正六边形，其边长为12NQ ＝22，其面积为6×12×(22)2×32＝12 3.2.给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行. 其中正确的命题为( ) A.① B.②C.③ D.①③ 答案 C解析 ①错，c 可与a ，b 都相交；②错，因为a ，c 也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a ，b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件. 3.已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B解析 对A ，m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确； 对C ，n 还可能在平面α内，故C 不正确；对D ，n 可能平行于平面α，还可能在平面α内，故D 不正确； 对B ，由线面垂直的定义可知正确.4.(2017·包头模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A.0＜θ＜π2B.0＜θ≤π2C.0≤θ≤π3D.0＜θ≤π3答案 D解析 ∵A 1B ∥D 1C ，∴CP 与A 1B 所成的角可化为CP 与D 1C 所成的角. ∵△AD 1C 是正三角形，当P 与A 重合时所成的角为π3，∵P 不能与D 1重合，此时D 1C 与A 1B 平行而不是异面直线，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.解题秘籍 (1)平面的基本性质公理是几何作图的重要工具. (2)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].(3)线面关系的判断要结合空间模型或实例，以定理或结论为依据进行推理，绝不能主观判断.1.l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( ) A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C.p 是q 的充要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案 A解析 由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇏p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选A. 2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为( ) A.62＋4 5 B.62＋2 5 C.32＋4 5 D.32＋2 5答案 A解析∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，∴EF∥AD1∥BC1.∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，∴EF∥平面BCC1.由正方体的边长为4，可得截面是以BE＝C1F＝25为腰，EF＝22为上底，BC1＝2EF＝42为下底的等腰梯形，故周长为62＋4 5.故选A.3.(2017·唐山一模)下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行答案 C解析A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；B选项中两垂直平面与l所成的角都是45°；D选项中两平面也可能相交.C正确.4.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面答案 A解析取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，∴BFOE是平行四边形，∴BF∥EO.∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是( )A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC答案 D解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是( )A.①③B.②④C.①④D.②③答案 C解析对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.7.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝22，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为( )A.64B.63C.36D.33答案 C解析连接BD，OB，则OM∥DB，∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角. 由条件PO⊥平面ABCD可知，OB＝3，PO＝3，BD＝23，PB＝23，在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB＝4＋12－12 2·2·23＝36.8.如图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE 与直线CF 异面，不正确，因为E ，F 是PA 与PD 的中点，可知EF ∥AD ，所以EF ∥BC ，直线BE 与直线CF 是共面直线；②直线BE 与直线AF 异面，满足异面直线的定义，正确；③由E ，F 分别是PA 与PD 的中点可知，EF ∥AD ，所以EF ∥BC .因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以直线EF ∥平面PBC ，正确.④因为△PAB 与底面ABCD 的关系不是垂直关系，BC 与平面PAB 的关系不能确定，所以平面BCE ⊥平面PAD ，不正确.故选B.9.如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________.答案 平行解析 由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD . 而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则直线D 1P 与BC 1所成角的余弦值为______.答案 105解析 连接AD 1，AP (图略)，则∠AD 1P 就是所求角，设AB ＝2，则AP ＝D 1P ＝5，AD 1＝22，∴cos∠AD 1P ＝12AD 1D 1P ＝105. 11.(2016·全国Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的序号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.12.设α，β，γ为两两互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)答案①②解析①②均正确.③中，直线l应与α内所有直线垂直，而不是无数条；④中，α内不共线的三点到β的距离相等，则平面α与β也可能相交，故③④不正确.。

单元滚动检测八立体几何与空间向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·济宁一模)直线l1，l2平行的一个充分条件是()A．l1，l2都平行于同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面2．(2016·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的主视图与左视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶23．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是() A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γD．如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余4.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是侧棱长的2倍，D，E分别是A1C1，AC的中点，则下面判断不正确的是()A．直线A1E∥平面B1DCB．直线AD⊥平面B1DCC．平面B1DC⊥平面ACC1A1D．直线AC与平面B1DC所成的角为60°5．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.226．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，mβ，则α⊥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果mα，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上部分，则剩余几何体的左视图为()8.如图所示，已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°9.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的投影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③10．(2016·山西四校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.πa 36B.πa 33C.2πa 33 D ．πa 3 11．(2016·江西五校联考)如图三棱锥V －ABC ，VA ⊥VC ，AB ⊥BC ，∠VAC ＝∠ACB ＝30°，若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为( ) A ．4∶ 3 B ．4∶7 C.3∶7 D.7∶ 3 12．(2016·北京东城区模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，点M 是BB 1上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱DD 1交于点N ，设BM ＝x ，平行四边形EMFN 的面积为S ，设y ＝S 2，则y 关于x 的函数y ＝f (x )为( ) A ．f (x )＝2x 2－2x ＋32，x ∈0,1] B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32－x ，x ∈[0，12)，x ＋12，x ∈[12，1]C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋32，x ∈[0，12]，－2(x －1)2＋32，x ∈(12，1]D．f(x)＝－2x2＋2x＋32，x∈0,1]第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，四棱锥A－BB1D1D的体积为6，则AA1＝________.14.如图所示，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且a2＋b2＋c2＝1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为________．16．如图是物理实验装置，它由两块互相垂直的正方形木板构成．已知两个正方形的边长都为1，在正方形ABCD的对角线AC上有一滑片M，在正方形ABEF的对角线BF上有一滑片N，无论两个滑片如何滑动，始终满足滑片M到点C的距离等于滑片N到点B的距离．当两滑片的距离最小时，滑片M到点C的距离为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017·海口一中质检)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请在图2中补充完整该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.18.(12分)(2016·江西师大附中第一次月考)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC.19.(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF；(3)设AB＝a，求三棱锥D－AEF的体积．20.(12分)(2016·兰州一中第一次月考)在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，AC＝AP＝2.(1)求证：PC⊥AE；(2)求二面角A－CE－P的余弦值.21.(12分) 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.－A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD＝2AB＝2AD，AD＝1，AA1＝ 2.(1)求证：EA1⊥平面BDC1；(2)求二面角D－BC1－D1的余弦值．答案解析1．D 对A ，当l 1，l 2都平行于同一个平面时，l 1与l 2可能平行、相交或异面；对B ，当l 1，l 2与同一个平面所成角相等时，l 1与l 2可能平行、相交或异面；对C ，l 1与l 2可能平行，也可能异面，只有D 满足要求，故选D.]2．A 由题意可得正视图的面积等于矩形ADD 1A 1面积的12，侧视图的面积等于矩形CDD 1C 1面积的12，又底面ABCD 是正方形，所以矩形ADD 1A 1与矩形CDD 1C 1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是1∶1，故选A.]3．D 对于A ，若α⊥β，那么α内平行交线的直线平行于β，故A 为真命题； 对于B ，根据面面垂直的判定定理可知，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β，与已知矛盾，故B 为真命题；对于C ，如果α⊥γ，β⊥γ，设α，β的交线为a ，β，γ的交线为b ，在γ内取a ，b 外的一点O ，作OA ⊥a 于A ，OB ⊥b 于B ，∵α⊥γ，α∩γ＝A ，OA γ，OA ⊥a ，∴OA ⊥α，∵α∩β＝l ⇒l α，∴OA ⊥l ，同理OB ⊥l ，∵OA ，OB γ，OA ∩OB ＝O ， ∴l ⊥γ，故C 为真命题；对于D ，只要当l 与两面的交线垂直时，该结论才成立， 故D 为假命题．]4．D ∵A 1E ∥DC ，A 1 E平面B 1DC ，DC平面BDC ，∴A 1E ∥平面B 1DC ，故A 正确； ∵底面边长是侧棱长的2倍，∴AD 2＋DC 2＝2AD 2＝2(A 1D 2＋A 1A 2)＝4A 1D 2＝AC 2， 即AD ⊥DC ，易得B 1D ⊥平面A 1ACC 1， ∴B 1D ⊥AD ，则AD ⊥平面B 1DC ，故B 正确；结合B 中结论，由面面垂直的判定定理可得平面B 1DC ⊥平面ACC 1A 1，故C 正确； 由B 中结论知，∠ACD ＝45°，∠ACD 即直线AC 与平面B 1DC 所成的角，故D 错误．]5．A 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2， 所以SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌△SBC ，所以BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ， 且平面ABD 为等腰三角形，因为∠ASC ＝30°， 所以AD ＝12SA ＝32， 则△ABD 的面积为12×1×AD 2－(12)2＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.]6．D 根据面面垂直的判定定理知①正确；②若m ∥n ，则得不出α∥β，错误；③n 与α还可能平行，错误；易知④正确．] 7．C设过点A ，E ，C 1的截面与棱DD 1相交于点F ， 则F 是棱DD 1的中点，该正方体截去上半部分后，剩余几何体如图所示， 则它的左视图应选C.]8．B 连接AC ，BD ，设AC ，BD 交于点O ， 连接EO ，则EO ∥SC ，所以直线BE 与SC 所成的角等于直线BE 与EO 所成的角，即∠BEO . 在△EBO 中，通过计算可知EO ＝22， BE ＝2，OB ＝62， 所以EO 2＋OB 2＝BE 2，所以EO ⊥OB ，cos ∠BEO ＝OE BE ＝12， 所以∠BEO ＝60°.]9．C ①中由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ，所以点A ′在面ABC 上的投影在线段AF 上． ②中BC ∥DE ，根据线面平行的判定定理可得BC ∥平面A ′DE . ③中当面A ′DE ⊥面ABC 时， 三棱锥A ′－FED 的体积达到最大．]10．A 由三视图可知该几何体为一个圆锥的14，其中圆锥的底面圆的半径为a ，高为2a ，所以该几何体的体积V ＝13×πa 2×2a ×14＝πa 36.故选A.] 11．A 因为△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝30°，故BC AC ＝32. 记三棱锥V －ABC 的高为h ，故正视图面积S 1＝12·AC ·h ； 侧视图面积S 2＝12·CB ·sin ∠ACB ·h ＝38·AC ·h ， 故S 1∶S 2＝4∶3，故选A.]12．A 由题意得四边形EMFN 为菱形， 且EF ＝AB 2＋BC 2＝ 2.当x ∈0，12]时，在线段DN 上截取DG ＝BM ，连接MG ，BD ，则四边形BMGD 为矩形，NG ＝1－2x ，NG ⊥MG ， 所以MN ＝NG 2＋MG 2＝(1－2x )2＋2， 则f (x )＝(12MN ·EF )2＝2x 2－2x ＋32，x ∈0，12]； 当x ∈(12，1]时，在线段D 1N 上截取D 1G ＝B 1M ，连接MG ，B 1D 1， 则四边形B 1MGD 1为矩形，NG ＝2x －1，NG ⊥MG ， 所以MN ＝NG 2＋MG 2＝(2x －1)2＋2， 则f (x )＝(12MN ·EF )2＝2x 2－2x ＋32，x ∈(12，1]． 综上所述，f (x )＝2x 2－2x ＋32，x ∈0,1]，故选A.] 13．2 解析连接AC ，设AC ∩BD ＝O ， 则AO 是四棱锥的高． 由题意可得BD ＝AC ＝32， 则AO ＝322，所以四棱锥A －BB 1D 1D 的体积V ＝13·S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13·BD ·BB 1·AO ＝13×32×BB 1×322＝6， 解得BB 1＝2，所以AA 1＝2. 14．π解析 因为球心到球面的点的距离相等，可以找出一点到ABCD 四个点的距离相等，在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知AD 中点O 到A ，B ，C ，D 的距离相等，因为AD ＝1，所以S ＝4π(12)2＝π. 15.π6 解析记点B 到平面AB 1C 1的距离为d ，BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ，连接BC 1，利用等体积法，VA －BB 1C 1＝VB －AB 1C 1，即13×3×12×2×3＝13d ×12×2×23，得d ＝32， 则sin θ＝d BB 1＝12，所以θ＝π6. 16.22解析作MP ∥AB 交BC 于点P ，作NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ . 依题意可知MP ∥NQ 且MP ＝NQ ，即四边形MNQP 是平行四边形， 所以MN ＝PQ .设CM ＝BN ＝a (0≤a ≤2)， 又CB ＝AB ＝BE ＝1， 所以AC ＝BF ＝2， 所以CP CB ＝CM AC ＝BQ BE ， 即CP 1＝a 2＝BQ 1，所以CP ＝BQ ＝a 2＝22a ， 所以MN ＝PQ ＝BP 2＋BQ 2＝(1－CP )2＋BQ 2 ＝ (1－22a )2＋(22a )2＝a 2－2a ＋1＝(a －22)2＋12(0≤a ≤2)，所以当a ＝22时，MN ＝22，即滑片M 、N 分别滑动到AC 、BF 的中点时，滑片M 到点C 的距离为22，两滑片的距离最小． 17．(1)解由三视图得几何体的直观图如图．四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.(3)解DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可得FD∥平面AB1C1.又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.18．证明(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，∴CB⊥AF，∵AB＝2AF，设AF＝a，则AB＝2a.又∠BAF＝60°，根据余弦定理得BF＝3a，∴AB2＝AF2＋BF2，从而AF⊥BF，又CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF，又AF平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.(2)取BF 的中点Q ，连接PO ，PQ ，OQ . ∵P ，O ，Q 分别是CB ，AB ，BF 的中点， ∴PO ∥AC ，PQ ∥CF ，又PO平面AFC ，PQ平面AFC ，从而PO ∥平面AFC ，PQ ∥平面AFC ， 又PO ∩PQ ＝P ，AC ∩CF ＝C ， ∴平面POQ ∥平面AFC ，∵M 为底面△OBF 的重心，∴M ∈OQ ， 从而PM 平面POQ ，∴PM ∥平面AFC . 19．(1)证明 取AB 中点O ，连接CO ，DO .∵DO ∥AA 1，DO ＝12AA 1， ∴DO ∥CE ，DO ＝CE ， ∴四边形DOCE 为平行四边形，∴DE ∥CO ，DE 平面ABC ，CO平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)证明 等腰直角△ABC 中F 为斜边的中点， 连接AF ，∴AF ⊥BC .又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥B 1F ， 设AB ＝AA 1＝1，∴B 1F ＝62，EF ＝32，B 1E ＝32， ∴B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，∴B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(3)解 由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 1到平面AEF 距离的12， B 1F ＝a 2＋(22a )2＝62a ，所以三棱锥D －AEF 的高为64a ， 在Rt △AEF 中，EF ＝32a ，AF ＝22a ， 所以三棱锥D －AEF 的底面面积为68a 2， 故三棱锥D －AEF 的体积为13×68a 2×64a ＝116a 3.20．(1)证明 取PC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥CD . 因为AC ＝AP ＝2，所以PC ⊥AF . 因为P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC . 因为PC平面P AC ，所以CD ⊥PC .又EF ∥CD ，所以EF ⊥PC . 又因为PC ⊥AF ，AF ∩EF ＝F ， 所以PC ⊥平面AEF . 因为AE 平面AEF ，所以PC ⊥AE .(2)解以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，过点B 平行AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (0,1,0)，C (3，0,0)，D (23，3,0)， E (3，2,1)，P (0,1,2)， AC→＝(3，－1,0)， CE→＝(0,2,1)． 设平面ACE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n 1＝0，CE →·n 1＝0，即⎩⎨⎧3x －y ＝0，2y ＋z ＝0，令x ＝1，得平面ACE 的一个法向量为 n 1＝(1，3，－23)． 由(1)知，CD ⊥平面P AC ，AF 平面P AC ，所以CD ⊥AF .同理PC ⊥AF ，PC ∩CD ＝C ，CD 平面PCE ， 所以AF ⊥平面PCE ，所以平面PCE 的一个法向量n 2＝AF→＝(32，－12，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－64，由图可知二面角A －CE －P 为锐角， 所以二面角A －CE －P 的余弦值为64. 21．(1)证明 方法一如图①，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， 又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB . 又F 是CD 的中点， 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF∥平面ADE.方法二如图②，取AB的中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)解如图③，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC.因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (0,0,0)，E (2,0,0)， F (2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以BA→＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量， 又AE→＝(2,0，－2)，AF →＝(2,2，－1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0. 取z ＝2，得n ＝(2，－1,2)．从而cos 〈n ，BA →〉＝n ·BA →|n ||BA→|＝43×2＝23，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23. 22．(1)证明由题意得DA ，DD 1，DC 两两垂直．以D 为坐标原点，分别以DA ，DD 1，DC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E (0,0,1)，A 1(1，2，0)，B (1,0,1)，C 1(0，2，2)，D 1(0，2，0)． EA 1→＝(1，2，－1)，DB →＝(1,0,1)，DC 1→＝(0，2，2)． ∵EA 1→·DB →＝1－1＝0，∴EA 1→⊥DB →，即EA 1⊥DB . ∵EA 1→·DC 1→＝2×2－1×2＝0， ∴EA 1→⊥DC 1→，即EA 1⊥DC 1. 又DB ∩DC 1＝D ，∴EA 1⊥平面BDC 1.(2)解 设平面BD 1C 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． ∵BC 1→＝(－1，2，1)，D 1C 1→＝(0,0,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧D 1C 1→·n ＝0，BC 1→·n ＝0得⎩⎨⎧2z 1＝0，－x 1＋2y 1＋z 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝1，z 1＝0，∴n ＝(2，1,0)． 由(1)知EA 1⊥平面BDC 1，∴平面BDC 1的一个法向量为EA 1→＝(1，2，－1)． ∴cos 〈EA 1→，n 〉＝EA 1→·n |EA 1→||n |＝2＋2－02×3＝63.由图知二面角D －BC 1－D 1为锐二面角， ∴二面角D －BC 1－D 1的余弦值为63.。

题组层级快练(五十二)1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( ) A ．平行于同一平面的两个平面一定平行 B ．平行于同一直线的两条直线一定平行 C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行答案 C解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．2．设α，β，γ为平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b. 其中能推出α∥β的条件是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④答案 C3．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．8 D ．4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．(2017·武汉市二中月考)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 D解析 连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，则OE ∥AC 1.∴AC 1到平面BED 的距离，即为C 1点到平面BED 的距离，又C 1E ＝CE 且CC 1∩平面BED ＝E ，∴点C 1到平面BED 的距离等于C 点到平面BED 的距离．又BD ⊥平面ECO.∴平面BED ⊥平面ECO ，过点C 作CH ⊥EO 于点H ，则CH 即为点C 到平面BED 的距离，∴CH ＝CE·CO EO ＝2×22＝1.5．(2017·吉林省实验中学一模)已知两条不同直线l ，m 和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α.其中正确的命题是________．答案②解析若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错误．6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC和平面ABD解析连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E.由EMMA＝ENNB＝12，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.7．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．8.如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．(在平行四边形，梯形中选一个)答案平行四边形解析由题意知，直线a与AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．9.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2.∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE. 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB.故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF. ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB.又由(1)知，A 1G ∥BE ，且A 1G ⊂平面A 1GH ，HG ⊂平面A 1GH ，BF ⊄平面A 1GH ，BE ⊄平面A 1GH ，∴BF ∥平面A 1GH ，BE ∥平面A 1GH. 又∵BF ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F.10.(2013·福建，文)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积． 答案 (1)略 (2)略 (3)8 3 解析 方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3.在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6. 又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2)取PB 中点N ，连接MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD. ∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN.又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2)取AB 的中点E ，连接ME ，DE. 在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC.又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC. 又在△PAB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴ME ∥平面PBC.又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC. 又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC. (3)同方法一．11.如图所示，三棱柱ABC －A1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB.当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF? 答案 当M 为AC 中点时，BM ∥平面AEF.解析 方法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC. ∴OM ⊥底面ABC.又∵EC ＝2FB ，∴OM ∥FB 綊12EC.∴四边形OMBF 为矩形．∴BM ∥OF.又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点． 方法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ.∴PQ ∥AE.∵EC ＝2FB ，∴PE 綊BF ，PB ∥EF. ∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF. 又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF. 又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF.故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．12．(2017·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱， 且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知NG ∥CF ，MG ∥EF.又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝ 2.∴V A－CDEF＝13S四边形CDEF·AH＝13×2×22×2＝83.13.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.答案(1)略(2)略证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．答案⑤⑥解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；a ∥b ，b ∥α时，a ∥α或a ⊂α，故④错；l ∥α，则l 与α无公共点，∴l 与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．2．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H.D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________． 答案452解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB.因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD.同理SB ∥FE.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF·HD ＝(12AC)·(12SB)＝452.3．(2017·江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积． 答案 (1)略 (2)1解析 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又∵D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF.∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD. (2)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥CD. ∵AC ＝CB ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB. 又∵AA 1∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°.∴CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3. ∵A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，∴DE ⊥A 1D. ∴VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.4.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ.求证：PQ ∥平面BCE.思路 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明 方法一：(判定定理法)如图所示．作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN. ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD. 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB.又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQ BD .∴PM AB ＝QNDC .∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形．∴PQ ∥MN.又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.方法二：(判定定理法)如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK.∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQBQ .又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK ，∴AP PE ＝AQQK ，∴PQ ∥EK.又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE.方法三：(性质定理法)如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM.∴PM ∥平面BCE.∵PM ∥BE ，∴AP PE ＝AMMB.又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ.∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB .∴MQ ∥AD.又AD ∥BC ， ∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE.又PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE.又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE.5．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB.证明 连接MF ，∵M ，F 是A 1B 1，C 1D 1的中点，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形， ∴MF 綊A 1D 1.又A 1D 1綊AD ，∴MF 綊AD. ∴四边形AMFD 是平行四边形．∴AM ∥DF.∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ，∴AM ∥平面EFDB ，同理AN ∥平面EFDB. 又AM ⊂平面ANM ，AN ⊂平面ANM ，AM ∩AN ＝A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB.6.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P —EFG 的体积． 答案 (1)略 (2)16解析 (1)证明 如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH.∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD.∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD.∴EF ∥GH. ∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH. ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG . (2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥CG. 又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD. ∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.7．(2017·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．答案 当点E 是AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1解析 方法一：存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1，下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二：假设在棱AB 上存在点E ，使得DE ∥平面AB 1C 1.如图，取BB 1的中点F ，连接DF 、EF ，则DF ∥B 1C 1，又DF ⊄平面AB 1C 1，∴DF ∥平面AB 1C 1， 又DE ∥平面AB 1C 1，DE ∩DF ＝D ，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1， ∵EF ⊂平面DEF ，∴EF ∥平面AB 1C 1，又∵EF ⊂平面ABB 1，平面ABB 1∩平面AB 1C 1＝AB 1，∴EF ∥AB 1， ∵点F 是BB 1的中点，∴点E 是AB 的中点． 即当点E 是AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.8.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．第 11 页 共 11 页(1)求三棱锥A －PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．答案 (1)83(2)AM ＝5时，PA ∥平面EDM 解析 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD.又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A －PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×(12×4×4)＝4. 又AD ＝2，所以V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83. (2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥PA.又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面EDM.所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。