空间点线面位置关系及平行判定及性质

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。

3 三个公理：(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：AB、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Yl平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角(0，);③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b;a//b2公理4：平行=>a //c④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角2.1.3 —2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2 )直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指岀：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示―a a a Qa =A a Ila2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

点线面的位置关系（１）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。

符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言://,////a l b l a b ⇒且。

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。

(注意:会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（４）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例１.(20１4辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )Ａ.若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则n ⊥α [答案] 1.B[解析] １.A 选项m 、ｎ也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.例2.(20１４山东青岛高三第一次模拟考试, ５) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ )Ａ.若则 B.若则C ．若则 D.若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确,因为是可能的;ﻫＢ选项不正确，因为,时,,都是可能的；C选项不正确，因为,时，可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.ﻫ故选D例3. (２０１4广西桂林中学高三２月月考,4) 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ )(A) (B)（C) （D)[答案] 3. D[解析] 3．若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误;若，则直线与平面垂直或相交或平行，故(C) 错误; 若,则直线，故（D）正确. 选D．例４.(2014周宁、政和一中第四次联考,7）设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥,且∥. 则∥;③若,则∥∥;④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是 （ )A ．1 Ｂ．2 C.3 D ．4 [答案] 4． B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系:直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a

a


a
b


b

总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .

第7课 空间点线面位置关系及平行判定及性质江南中个辅，林俊杰 【教学目标】一、知识目标1、了解空间中线、面的位置关系2、了解异面直线的定义，掌握判断异面直线的方法3、掌握平面的基本性质4、掌握线线平行，线面平行，面面平行的证明二、能力目标培养学生观察，发现的能力和空间想象能力，提高学生的逻辑证明能力，让学生了解空间与平面互相转换的数学思想，培养学生归纳总结能力和抽象概括能力，进而形成科学的思维方法。

三、情感目标通过类比，归纳，总结的训练，增强学生探寻事务规律的强烈愿望；通过体验逻辑证明的应用过程，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的信心【教学重点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理【教学难点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理及其应用【考点分析】从近几年高考的形式来看，高考对本部分内容考查以理解和掌握为主，一般为中等难度题，考查形式主要为：①“共点，共线，共面问题”；②“证明异面直线垂直”；③“直线与平面的判定和性质应用”；④“平面与平面的判定和性质应用”【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒l A lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD（2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行//l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行//αβ，a αγ=，//b a b βγ=⇒（5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒（2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面//αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a α⊂，b α⊂，a b A =，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1．2009广东高考（文）改给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥③,//l m l n m n ⊥⊥⇒④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④答案：D解析：了解题目中点线面关系的符号表示，理解其中文意思，根据相关定理判断正确的命题 ①在平面α内有两条直线,a b ，直线,a b 分别平行平面β，则平面α平行平面β 该命题错误，根据“面面平行的判定定理”，这两直线,a b 应为相交直线②直线a 为平面α的垂线，平面β经过直线a ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的判定定理”可得③直线l 垂直直线m ，直线l 垂直直线n ，则直线m 平行直线n该命题错误，在空间中，平行同一直线的两直线不一定平面，可垂直可成一定的夹角④平面α垂直平面β，且有交线l ，在平面内有直线a ，直线a 垂直交线l ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的性质定理”可得点评：对于空间中点线面的关系以及各判定定理和性质定理，要掌握中文与数学符号之间的转化，并掌握好各个定理的含义给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C解析：由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误 由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确点评：通过数学符号，了解线面之间的位置关系，应用相关定理判断命题题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2．2011北京高考（文）如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：//DE 平面BCP答案：证明： 在ACP ∆中，,D E 分别是,AP AC 的中点所以，//DE PC （中位线定理）因为，DE ⊄平面PCB ，PC ⊂平面PCB所以，//DE 平面PCB点评：在图形中寻找三角形的中位线，即两腰的中点的连线，通过中位线定理证明线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行（注意判定定理的证明规范）变式1．2011北京高考（文）改如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：四边形EEFG 为平行四边形证明： 在ACP ∆中，,D E 分别是,AP AC 的中点所以，//DE PC 且12DE PC =（中位线定理）同理，在BCP ∆中，,F G 分别是,BC PB 的中点所以，//FG PC 且12FG PC =（中位线定理） 所以，//,FG ED FG ED =所以，四边形EEFG 为平行四边形点评：与例1相比，改变了证明的问题，但是关键的技巧都是：运用中位线，特别是中位线定理中数值大小的结论的应用，从而通过“对边平行且相等”证明四边形为平行四边形变式2．2011四川高考（文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11AC 至点P ，使111C P AC =，连接AP 交棱1CC 于D ．求证：1//PB 平面1BDA ；答案：证明： 连接11,BA AB ，交于点E ，连接ED在矩形11AA BB 中，E 为1AB 中点由题知，1C 为1A P 中点，11//AA C D所以，在1AA P ∆中，D 为AP 的中点所以，在1AB P ∆中，,E D 分别是1AB ，AP 的中点所以，1//ED B P （中位线定理）因为，DE ⊂平面1BDA ，1B P ⊄平面1BDA所以，1//B P 平面1BDA点评：运用中位线定理，关键在于两腰的中点的寻找或证明，找好了中点即可运用中位线定理证明线线平行，从而证明线面平行题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3．2010北京高考（文）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，//EF AC ，AB ，1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE答案：证明： 设AC 于BD 交于点G在正方形ABCD 中，AB =，可得2AC =因为，//EF AG ，且112EF AG AC ===所以，四边形AGEF 为平行四边形 所以，//AF EG （平行四边形的性质）因为，EG ⊂平面1BDA ，AF ⊄平面1BDA所以，//AF 平面BDE点评：运用对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再运用平行四边形的性质，证明另一对边平行，从而证明线面平行变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中点．求证：//DE 平面ABC ；答案：证明： 取AB 中点G ，连接,DG CG在1ABB ∆中，,D G 分别是1,AB AB 的中点所以，111//,2DG BB DG BB =（中位线定理）在三棱柱中，E 为1CC 中点，即111122EC CC BB == 所以，//,EC DG EC DG =所以，四边形ECGD 为平行四边形所以，//CG DE （平行四边形的性质）因为，CG ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC所以，//DE 平面ABC 点评：运用中位线定理，证明111//,2DG BB DG BB =，再运用平行的递推原理，证明//,EC DG EC DG =从而证明四边形ECGD 为平行四边形，根据平行四边形的性质得线线平行，最终证得线面平行题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ；答案：证明： 在PAD ∆中，,E F 分别是,PA PD 的中点所以，//EF AD （中位线定理）在矩形ABCD 中，//AD BC 所以，//EF BC因为，BC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC所以，//EF 平面PBC同理，在PCD ∆中，有//EG PC （中位线定理）因为，PC ⊂平面PBC ，FG ⊄平面PBC所以，//FG 平面PBC因为，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF FG F =所以，平面//EFG 平面PBC因为，PB ⊂平面PBC所以，//PB 平面EFG （面面平行的性质定理）点评：运用中位线定理，证得两直线分别平行两平面，根据面面平行的判定定理证得平面//EFG 平面PBC ，再运用面面平行的性质定理证得线面平行，综合运用线线，线面，面面三者平行关系解题变式1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A答案：证明： 取PE 中点F ，连接,NF MF由题可得，11//,PD EC PD EC =，即四边形1PD EC 为平行四边形 因为，,N F 分别为1,CD PE 中点，可得1//NF PD因为，1PD ⊂平面11ADD A ，NF ⊄平面11ADD A所以，//NF 平面11ADD A在PAE ∆中，,M F 分别为,AE PE 的中点 所以，//MF PA因为，PA ⊂平面11ADD A ，MF ⊄平面11ADD A所以，//MF 平面11ADD A因为，NF ⊂平面NMF ，MF ⊂平面NMF ，NF MF F =所以，平面//NMF 平面11ADD A因为，MN ⊂平面NMF 所以，//MN 平面11ADD A （面面平行的性质定理）点评：设取中点，从而找到两条相交的直线分别平行同一平面，证得面面平行，再运用面面平行的性质定理得到线面平行题型五：探究性问题例5．如图所示，直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，2AB =，1AD CD ==，在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//CP 平面1111A B C D ？证明你的结论答案：证明： 由题可知，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D因为，点P 在线段AB 上所以，CP ⊂平面ABCD 所以，//CP 平面1111A B C D （面面平行的性质定理）点评：直线AB 在平面ABCD 内，则直线AB 上的所有点都在平面ABCD 内，所以CP ⊂平面ABCD ，再由面面平行的性质定理可证得变式1．如图，直三棱柱11ABB DCC -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC CC ===，DC 上有一动点P ，1CC 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论答案：证明： 点P 在DC 上，点Q 在1CC 上，则PQ ⊂平面1DCC由题可知，在直三棱柱11ABB DCC -中，平面1//ABB 平面1DCC所以，//PQ 平面1ABB点评：由公理1，说明PQ ⊂平面1DCC ，再由面面平行的性质定理得，无论,P Q 在何处，总有//PQ 平面1ABB【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题是真命题的是A ．若,//b c αα⊂，则//c bB ．若,//b c b α⊂，则//c αC ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ//B ．若,m n αα⊥⊥，则m n //C ．若,m n αα////，则m n //D ．若,m m αβ////，则αβ//3．关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是A ．若//,l m ααβ=，则//l m ； B ．若//,//l m αα，则//l m ； C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥； D ．若//,l m l α⊥，则m α⊥．4．已知,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面,下列命题中正确的是A. //,//a b b α，则//a αB. ,,//,//a b a b αββ⊂，则//αβC. ,//a b αα⊥，则a b ⊥D. 当a α⊂，且b α⊄时，若//b α，则//a b5．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题中正确的个数是 ①//,m n n α⊂ ⇒ //m α； ②,,//,//m n m n ααββ⊂⊂ ⇒ //αβ；③,,//l m l m αβ⊥⊥ ⇒ //αβ； ④,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥ ⇒n α⊥A. 1B. 2C. 3D. 46．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点。

空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。

3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

点线面平行关系总结点线面的定义- 点：是指空间中没有长度、宽度和高度的几何对象。

- 线：是由点形成的集合体，具有长度但没有宽度和高度。

- 面：是由线形成的集合体，具有长度和宽度但没有高度。

平行关系的定义- 平行：是指两个或多个线或面在同一平面上没有交点的关系。

两个平行线之间的距离始终保持相等。

点线平行关系- 点与线的关系：一个点可以与一条直线平行。

当一条直线上有多个点与另一条直线平行时，这些点与另一条直线也是平行的。

线线平行关系- 线与线的关系：两条直线如果在同一个平面上且没有交点，那么这两条直线是平行的。

- 线与曲线的关系：直线和曲线之间一般不会存在平行关系。

面面平行关系- 面与面的关系：如果两个平面没有交点且在同一个平面上，那么这两个平面是平行的。

平行关系的性质- 平行性质1：平行线截取同一平行线段的比例相等。

- 平行性质2：平行线与一条横截直线所截取的对应角相等。

- 平行性质3：平行线所夹带的平行线也相互平行。

应用举例- 平面几何学中，平行关系有广泛的应用。

例如在研究多边形、三角形等图形时，需要考虑边之间的平行关系。

- 在建筑设计中，平行线的概念可以帮助建筑师确定平行墙面的布局和设计。

- 在地理学中，平行线用于描述纬度线和经度线在地球表面上的关系。

总结- 点线面的形成依次是由点到线，再由线到面。

- 点线面之间存在平行关系，即两个或多个点、线、面在同一平面上没有交点的关系。

- 平行关系具有一些性质，例如截取同一平行线段的比例相等、对应角相等等。

- 平行关系在几何学、建筑设计和地理学等领域具有实际应用。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
随堂即时巩固
点击进入
课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分

空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A,B llA,B2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2 的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A I lA A l5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，AB//CD ，BC//AD（2）三角形的中位线E, F分别是AB, AC的中点中位线平行且等于底边的一半，EF//BC（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行l // ，l ，I m l //m（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行/ / ，I a ，I b a/ /b5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a ，b a//b7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行a ，b ，a//b a//（2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面/ / ，a a/ /8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a ，b ，aI b A，a// ，b// //（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行a ，a / /【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1．给定下列四个命题①a, b ,a// , b////②a,a③丨m, 丨 nm/ /n④,I丨, a , a 丨a其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④变式1．给出下列关于互不相同的直线l,m, n和平面, , 的三个命题①若l, m为异面直线，丨m ，则/ / ；②若/ / , 丨, m，则丨 / /m ；③若I 丨, I m,I n, 丨 / /，则m/ /n其中真命题的个数为A．3 B．2C．1D．0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2 .如图，在四面体PABC中, AP, AC，BC, PB的中点，求证：PC AB, PA BC，点D, E, F, G分别是棱DE//平面BCP变式1.如图，在四面体PABC中，PC AP, AC , BC, PB的中点，求证：四边形行四边形AB, PAEEFG为平BC，点D, E, F, G分别是棱变式2.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中, BAC 90°, AB AC AA1 1 ,延长AG 至点P，使C1P A1C1，连接AP交棱CC1于D •求证：PB //平面BDA1；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3•如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC , AB ,2 ,CE EF 1，求证：AF //平面BDE变式1 •在三棱柱ABC A1B1C1中，直线AA与底面ABC所成的角是直角，直线AB与3G所成的角为45°, BAC 90°，且AB AA1, D,E,F分别为BA C®, BC的中点.求证：DE //平面ABC ；题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4.如图所示，圆柱的高为2, PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB 2, BC 4 ,E,F,G分别是线段PA, PD, CD的中点，求证:PB//面EFG ;C变式1如图，在长方体ABCD A, B1C1D1中，E, P分别是BC’AQ的中点，M,N分别是AE,D i C 的中点，AB 2a , AD AA i a，求证：MN //面ADD i A i题型五：探究性问题例5.如图所示，直棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BAD 90°, AB 2 , AD CD 1，在线段AB上是否存在点P （异于A, B两点），使得CP//平面ABiGD i ?证明你的结论变式1.如图，直三棱柱ABB1 DCC1中，ABB i 90°, AB 4, BC 2, CC i 1 , DC 上有一动点P , CC i上有一动点Q，讨论：无论P,Q在何处，都有PQ//平面ABB i，并证明你的结论【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．下面命题中正确的是( )．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行.A •①③B •②④C •②③④ D•③④2. 平面a//平面B, a? a, b? B,贝U直线a，b的位置关系是().A .平行B .相交C .异面D .平行或异面3. 在空间中，下列命题正确的是( ).A.若a / a, b/ a，则b/ aB.若a/ a, b/ a, a? B b? B 贝U aC.若all B b / a,则b / BD.若all B a? a,则a / B4. 已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，贝U下列命题中正确的是( ).A. m l n, m l a? n丄aB. all B, m? a, n? B? m/ nC. m± a, m±n? n// aD. m? a, n? a, m// B, n// B? all B5. 在正方体ABCDA i B i C i D i中,E是DD i的中点,贝U BD i与平面ACE的位置关系为_________ .解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为AC的中点，M为PD的中点.求证：PB//平面ACM.2、如图，若PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF//平面PCE.3、如图，在正方体ABCDA i B i C i D i中，M、N、P分别为所在边的中点. 求证：平面MNP //平面A i C i B;岛__________ U4、如图，在三棱柱ABCA i B i C i 中，E, F, G, H 分别是AB, AC, A1B1, A1C1 的中点，求证：（1）B, C, H , G四点共面；（2）平面EFA i II平面BCHG.5、如图所示，在三棱柱ABCA i B i C i中，A i A丄平面ABC,若D是棱CC i的中点, 问在棱AB上是否存在一点E,使DE I平面AB i C i?若存在，请确定点E的位置; 若不存在，请说明理由.6如图，在四棱锥FABCD中，底面是平行四边形，PA丄平面ABCD，点M、N 分别为BC、FA的中点•在线段PD上是否存在一点E,使NM I平面ACE? 若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.。

空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。

2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。

3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。

高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理一．空间点、直线、平面的位置关系 1．空间点、直线、平面之间的位置关系2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。

(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．即，若l B l B A ∉⊂∈∉,,,ααα 则AB 与l 异面。

4.异面直线所成的角的求解方法：方法一，定义法： 异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为。

90，也是不可忽视的方法。

其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-----证明它符合定义即认定----通过解三角形求角。

简言之，“一做，二证，三算”注意：第二步认定的表述为：Λ∠或其补角就是异面直线----与----所成的角。

方法二，三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。

【真题再现】1.（2014全国二）:正方体1111D C B A -ABCD 中，若E 、F 分别为11B A 和1BB 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值是 .2.(2017理科全国三)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是 ________ .(填写所有正确结论的编号)推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。

空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面，那么这条直线上的所有点都在这个平面,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面一点的直线，与平面不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a αγ=，//b a b βγ=⇒（5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理 如果一个平面有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，ab A =，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1．给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒ ②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥⇒ ④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥其中，为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④变式1．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n 其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2．如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：//DE 平面BCP变式1．如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：四边形EEFG 为平行四边形变式2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ，使111C P A C =，连接AP 交棱1CC 于D ．求证：1//PB 平面1BDA ；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，//EF AC ，2AB =，1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中点．求证：//DE 平面ABC ；题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ；变式1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A题型五：探究性问题例5．如图所示，直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，2AB =，1AD CD ==，在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//CP 平面1111A B C D ？证明你的结论变式1．如图，直三棱柱11ABB DCC -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC CC ===，DC 上有一动点P ，1CC 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．下面命题中正确的是( )．①若一个平面有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是( )．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．在空间中，下列命题正确的是( )．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M 为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.2、如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；4、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.5、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．6、如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．。

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a b P=⇒有且只有一个平面α，使aα⊂，bα⊂推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面∥a b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β=l ，P ∈l ，且l 是唯一的公理4———l 1———l 2———l平行于同一条直线的两条直线互相平行l 1∥l ，l 2∥l ⇒l 1∥l 22．等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,OA O A OB O B ''''∥∥，则AOB A O B ∠=∠'''或180AOB A O B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2）二、空间两直线的位置关系 1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点α=1个直线a与平面α相交a A∥0个直线a与平面α平行aα⊂无数个直线a在平面α内aα∥0个平面α与平面β平行αβαβ=无数个平面α与平面β相交l3．常用结论（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；学#②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1（1）在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）A （2）B1．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 学@典例2 如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③D ．②④【答案】A故选A ．2．若直线l与平面α相交，则A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交典例3如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.3．如图，平面,,,a b b a A c αβαβ=⊂=⊂平面,且c a ∥，求证:b ,c 是异面直线.考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=，故选A. #网【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.4．如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.（1）求MN与A1C1所成角的正切值;（2）求B1D与A1C1所成角的大小.1．在正方体中，与成异面直线的棱共有A．条B．条C．条D．条2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A．空间中任意三点B．空间中两条直线C．一条直线和一个点D．两条平行直线3．已知直线平面,直线平面,则A．B．异面C．相交D．无公共点4．若直线a α,给出下列结论：①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线其中成立的个数是A．0 B．1C．2 D．35．如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对6．在空间中,下列命题正确的是A ．若平面内有无数条直线与直线l 平行,则l α∥B ．若平面内有无数条直线与平面平行,则αβ∥C ．若平面内有无数条直线与直线l 垂直,则l α⊥D ．若平面内有无数条直线与平面垂直,则αβ⊥ 7．给出下列四种说法:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面． 正确说法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知,m n 为异面直线,平面平面，直线满足,则A ．αβ∥且l α∥B ．且C ．与相交,且交线垂直于D ．与相交,且交线平行于9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定 10．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．147 B ．57C ．105D ．25511．已知在正方体1111ABCD A BC D -中（如图），l ⊂平面1111A B C D ，且l 与11B C 不平行，则下列一定不可能的是A ．l 与AD 平行B ．l 与AB 异面C ．l 与CD 所成的角为30°D ．l 与BD 垂直12．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为A ．238a B ．234a C ．232a D ．23a13．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．14．如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．415．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .16．如图所示，1111ABCD A BC D 是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面． 其中正确结论的序号为____________．17．已知m ,n 是两条不同的直线，,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若⊥β,∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β; ②若α∩β=m ,n //α,n //β,则n //m ;③若m 不垂直于平面α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线; ④若m ⊥α,n ⊥β, α//β,则m //n .其中正确的是__________.(填上所有正确的序号) 18．在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为__________. 19．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且13PG PD.证明:点四点共面.20．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.21．如图,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA＝1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D 2 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155C ．105D ．333．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22C 3D ．135．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）6．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．7．（2016上海理科）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【解析】（1）如图,连接EF ,CD 1,BA 1.因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以EF ∥BA 1. 又BA 1∥CD 1,所以EF ∥CD 1. 所以E ,C ,D 1,F 四点共面.（2）因为EF ∥CD 1,EF <CD 1,所以CE 与D 1F 必相交,设交点为P ,如图所示.2．【答案】A【解析】当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误；平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A ． 学@ 3．【解析】反证法：若b 与c 不是异面直线,则或b 与c 相交.①若,∵,∴,这与矛盾. ②若b ,c 相交于点B ,则.∵,∴，∴AB β⊂,即b β⊂,这与矛盾.∴b ,c 是异面直线.变式拓展4．【解析】（1）如图,取B1C1的中点Q,连接MQ,∵M是A1B1的中点,∴MQ//A1C1,∴MQ与MN所成的角为MN与A1C1所成的角,即∠NMQ.连接QN,则QN⊥平面A1B1C1D1,而MQ⊂平面A1B1C1D1,∴QN⊥MQ.在Rt△MQN中,QN=a,MQ =a,∴tan∠NMQ =.即MN与A1C1所成角的正切值为.（2）如图,连接BD,B1D1.∵DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴DD1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1,DD1∩B1D1=D1,∴A1C1⊥平面BDD1B1.∵B1D⊂平面BDD1B1,∴A1C1⊥B1D,∴B1D与A1C1所成角的大小为90°.考点冲关1．【答案】A【解析】如图，与成异面直线的棱有、、、，共4条.故选A.2．【答案】D3．【答案】D【解析】若直线平面,直线平面,则或异面,即无公共点.故选D．4．【答案】A【解析】∵直线a α,∴a∥α或a∩α=A.如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.5．【答案】A【解析】根据条件可知,和的交点都在平面ABD与平面BCD中,故和相交于两平面的交线BD上.故选A.6．【答案】D【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D．7．【答案】A8．【答案】D【解析】若，则由平面，知平面，而平面，所以，与为异面直线矛盾，所以平面与平面相交.由平面，且，可知,，同理可知，所以与两平面的交线平行.故选D ． 9．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l .若取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；若取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；若取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA10．【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG 是异面直线与所成的角或其补角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3,cos ∠FBG 255235=⨯⨯. 11．【答案】A【解析】假设l AD ∥，则由11AD BC B C ∥∥，可得11l B C ∥，这与“l 与11B C 不平行”矛盾，所以l 与AD 不平行． 12．【答案】A13．【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以,故选B.14．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：15．【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面. 学……16．【答案】①③【解析】连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．17．【答案】②④【解析】若,则与的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若不垂直于平面,则可垂直于内的无数条直线,即③错误;若,则,又,所以,即④正确.故填②④.18．【答案】19．【解析】在平面内,连接并延长，交的延长线于点,则有, 在平面内,连接并延长，交于点．取中点,连接,AF，20．【解析】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. @网所以BC与AD是异面直线.(2),因此;同理,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是平行四边形的对角线,所以EG与HF相交.21．【解析】取AC的中点F,连接BF、EF,1．【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅.故选C.2．【答案】C直通高考【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A BC D -， 则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BDC D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； 学@④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3．【答案】D4．【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11BF 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60 ， 故,m n 所成角的正弦值为32，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 5．【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.6．【答案】87【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC∠即为异面直线AN，CM 所成角（或其补角），易得122EM AN==22213EC EN CN+=+2222=-=AMACCM，∴7 cos82222EMC∠==⨯⨯，31 即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87. 7．【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 长为π3，可知111π3ΑΟΒ∠=． 111111111113sin 24ΟΑΒS ΟΑΟΒA ΟΒ=⋅⋅∠=△， 11111113312C O A B ΟΑΒV S h -=⋅=△．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.。

第7课 空间点线面位置关系及平行判定及性质江南中个辅，林俊杰【教学目标】 一、知识目标1、了解空间中线、面的位置关系2、了解异面直线的定义，掌握判断异面直线的方法3、掌握平面的基本性质4、掌握线线平行，线面平行，面面平行的证明 二、能力目标培养学生观察，发现的能力和空间想象能力，提高学生的逻辑证明能力，让学生了解空间与平面互相转换的数学思想，培养学生归纳总结能力和抽象概括能力，进而形成科学的思维方法。

三、情感目标通过类比，归纳，总结的训练，增强学生探寻事务规律的强烈愿望；通过体验逻辑证明的应用过程，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的信心【教学重点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理【教学难点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理及其应用【考点分析】从近几年高考的形式来看，高考对本部分内容考查以理解和掌握为主，一般为中等难度题，考查形式主要为：①“共点，共线，共面问题”；②“证明异面直线垂直”；③“直线与平面的判定和性质应用”；④“平面与平面的判定和性质应用”【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形A B C D （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//A B C D ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//E F B C （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行//l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a αγ= ，//b a b βγ=⇒ （5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A = ，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1．2009广东高考（文）改 给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒ ②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥⇒④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ 其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④答案：D解析：了解题目中点线面关系的符号表示，理解其中文意思，根据相关定理判断正确的命题 ①在平面α内有两条直线,a b ，直线,a b 分别平行平面β，则平面α平行平面β 该命题错误，根据“面面平行的判定定理”，这两直线,a b 应为相交直线 ②直线a 为平面α的垂线，平面β经过直线a ，则平面α垂直平面β 该命题正确，由“面面垂直的判定定理”可得③直线l 垂直直线m ，直线l 垂直直线n ，则直线m 平行直线n该命题错误，在空间中，平行同一直线的两直线不一定平面，可垂直可成一定的夹角 ④平面α垂直平面β，且有交线l ，在平面内有直线a ，直线a 垂直交线l ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的性质定理”可得点评：对于空间中点线面的关系以及各判定定理和性质定理，要掌握中文与数学符号之间的转化，并掌握好各个定理的含义给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ=== ，则//m n 其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：C 解析：由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误 由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误 由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确点评：通过数学符号，了解线面之间的位置关系，应用相关定理判断命题题型二：以中位线为突破口的平行证明问题 例2．2011北京高考（文）如图，在四面体P A B C 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,A P A C ，,BC PB 的中点，求证：//D E 平面B C P答案：证明： 在A C P ∆中，,D E 分别是,A P A C 的中点 所以，//D E P C （中位线定理）因为，D E ⊄平面P C B ，P C ⊂平面P C B所以，//D E 平面P C B点评：在图形中寻找三角形的中位线，即两腰的中点的连线，通过中位线定理证明线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行（注意判定定理的证明规范）变式1．2011北京高考（文）改如图，在四面体P A B C 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,A P A C ，,BC PB 的中点，求证：四边形E E F G 为平行四边形证明： 在A C P ∆中，,D E 分别是,A P A C 的中点 所以，//D E P C 且12D E P C =（中位线定理）同理，在B C P ∆中，,F G 分别是,BC PB 的中点 所以，//F G P C 且12F G P C =（中位线定理）所以，//,F G E D F G E D =所以，四边形E E F G 为平行四边形点评：与例1相比，改变了证明的问题，但是关键的技巧都是：运用中位线，特别是中位线定理中数值大小的结论的应用，从而通过“对边平行且相等”证明四边形为平行四边形变式2．2011四川高考（文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠= ，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ，使111C P A C =，连接A P 交棱1C C 于D ．求证：1//PB 平面1B D A ；答案：证明： 连接11,B A A B ，交于点E ，连接E D 在矩形11A A B B 中，E 为1A B 中点 由题知，1C 为1A P 中点，11//AA C D 所以，在1A A P ∆中，D 为A P 的中点所以，在1A B P ∆中，,E D 分别是1A B ，A P 的中点 所以，1//ED B P （中位线定理）因为，D E ⊂平面1B D A ，1B P ⊄平面1B D A所以，1//B P 平面1B D A点评：运用中位线定理，关键在于两腰的中点的寻找或证明，找好了中点即可运用中位线定理证明线线平行，从而证明线面平行题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题 例3．2010北京高考（文）如图，正方形ABCD 和四边形A C E F 所在的平面互相垂直，//E F A C ，AB =，1C E E F ==，求证：//A F 平面BD E答案：证明： 设A C 于B D 交于点G在正方形A B C D 中，AB =2A C =因为，//EF AG ，且112E F A G A C ===所以，四边形A G E F 为平行四边形所以，//AF EG （平行四边形的性质） 因为，E G ⊂平面1B D A ，A F ⊄平面1B D A 所以，//A F 平面BD E点评：运用对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再运用平行四边形的性质，证明另一对边平行，从而证明线面平行 变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1A A 与底面ABC 所成的角是直角，直线A B 与11B C 所成的角为45 ，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点．求证：//D E 平面ABC ；答案：证明： 取A B 中点G ，连接,D G C G在1ABB ∆中，,D G 分别是1,AB AB 的中点所以，111//,2D G BB D G BB =（中位线定理）在三棱柱中，E 为1C C 中点，即111122E C C C B B ==所以，//,E C D G E C D G =所以，四边形E C G D 为平行四边形所以，//C G D E （平行四边形的性质） 因为，C G ⊂平面ABC ，D E ⊄平面ABC 所以，//D E 平面ABC点评：运用中位线定理，证明111//,2D G BB D G BB =，再运用平行的递推原理，证明//,E C D G E C D G =从而证明四边形E C G D 为平行四边形，根据平行四边形的性质得线线平行，最终证得线面平行题型四：三种平行之间的相互关系与转化 例4．如图所示，圆柱的高为2，P A 是圆柱的母线，A B C D 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G分别是线段,,P A P D C D 的中点，求证：//P B 面EFG ；答案：证明： 在PAD ∆中，,E F 分别是,P A P D 的中点 所以，//E F A D （中位线定理） 在矩形A B C D 中，//AD BC所以，//E F B C因为，B C ⊂平面PBC ，E F ⊄平面PBC 所以，//E F 平面PBC同理，在P C D ∆中，有//E G P C （中位线定理） 因为，P C ⊂平面PBC ，F G ⊄平面PBC所以，//F G 平面PBC因为，E F ⊂平面EFG ，F G ⊂平面EFG ，EF FG F = 所以，平面//EFG 平面PBC 因为，PB ⊂平面PBC所以，//P B 平面EFG （面面平行的性质定理）点评：运用中位线定理，证得两直线分别平行两平面，根据面面平行的判定定理证得平面//EFG 平面PBC ，再运用面面平行的性质定理证得线面平行，综合运用线线，线面，面面三者平行关系解题 变式1．如图，在长方体1111ABC D A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,A E D C 的中点，2A B a =，1AD AA a ==，求证: //M N 面11AD D A答案：证明： 取P E 中点F ，连接,N F M F 由题可得，11//,PD EC PD EC =，即四边形1PD EC 为平行四边形因为，,N F 分别为1,C D P E 中点，可得1//NF PD 因为，1PD ⊂平面11AD D A ，N F ⊄平面11AD D A 所以，//N F 平面11AD D A在PAE ∆中，,M F 分别为,AE PE 的中点所以，//M F P A因为，PA ⊂平面11AD D A ，M F ⊄平面11AD D A 所以，//M F 平面11AD D A因为，N F ⊂平面N M F ，M F ⊂平面N M F ，NF MF F = 所以，平面//N M F 平面11AD D A 因为，M N ⊂平面N M F所以，//M N 平面11AD D A （面面平行的性质定理）点评：设取中点，从而找到两条相交的直线分别平行同一平面，证得面面平行，再运用面面平行的性质定理得到线面平行题型五：探究性问题 例5．如图所示，直棱柱1111ABC D A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，90BAD ∠=，2A B =，1A D C D ==，在线段A B 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//C P 平面1111A B C D ？证明你的结论答案：证明： 由题可知，在直棱柱1111ABC D A B C D -中，平面//A B C D 平面1111A B C D 因为，点P 在线段A B 上 所以，C P ⊂平面A B C D所以，//C P 平面1111A B C D （面面平行的性质定理）点评：直线A B 在平面A B C D 内，则直线A B 上的所有点都在平面A B C D 内，所以C P ⊂平面A B C D ，再由面面平行的性质定理可证得变式1．如图，直三棱柱11ABB D C C -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC C C ===，D C 上有一动点P ，1C C 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1A B B ，并证明你的结论 答案：证明： 点P 在D C 上，点Q 在1C C 上，则PQ ⊂平面1D C C 由题可知，在直三棱柱11ABB D C C -中，平面1//ABB 平面1D C C所以，//PQ 平面1A B B点评：由公理1，说明PQ ⊂平面1D C C ，再由面面平行的性质定理得，无论,P Q 在何处，总有//PQ 平面1A B B【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题是真命题的是 A ．若,//b c αα⊂，则//c b B ．若,//b c b α⊂，则//c α C ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥ D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ//B ．若,m n αα⊥⊥，则m n //C ．若,m n αα////，则m n //D ．若,m m αβ////，则αβ//3．关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是A ．若//,l m ααβ= ，则//l m ；B ．若//,//l m αα，则//l m ；C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥；D ．若//,l m l α⊥，则m α⊥．4．已知,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 A. //,//a b b α，则//a αB. ,,//,//a b a b αββ⊂，则//αβC. ,//a b αα⊥，则a b ⊥D. 当a α⊂，且b α⊄时，若//b α，则//a b5．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题中正确的个数是 ①//,m n n α⊂ ⇒ //m α；②,,//,//m n m n ααββ⊂⊂ ⇒ //αβ；③,,//l m l m αβ⊥⊥ ⇒ //αβ；④,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥ ⇒n α⊥A. 1B. 2C. 3D. 46．在三棱锥P A B C -中，P A C ∆和P B C ∆2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点。

空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。

它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。

本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。

一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。

点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。

1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。

点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。

1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。

点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。

1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。

点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。

二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。

点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。

点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。

2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。

点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。

三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。

线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。

平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。

3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。

线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。

四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。