空间直线异面关系的判定与度量
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空间两直线异面的判定方法空间中两直线的位置关系可以分为三种情况:重合、相交和异面。
判断两直线是否相交比较容易,而判断两直线是否异面则需要一定的数学知识和技巧。
本文将介绍空间中两直线异面的判定方法,希望对读者有所帮助。
一、异面直线的定义空间中的两条直线如果既不重合又不相交,则称它们为异面直线。
两条异面直线之间存在一个平面,这个平面称为它们的公共垂直平面。
1. 向量法向量法是判断异面直线位置关系的一种常见方法。
我们可以用两条直线上的向量来求它们的叉积,如果叉积不为零,就说明两条直线不在同一个平面上,也就是异面。
以空间直角坐标系为例,设两条直线分别为:l1: (x1,y1,z1) + t(a1,b1,c1)t和s为参数。
则l1上的向量为(a1,b1,c1),l2上的向量为(a2,b2,c2)。
这两个向量的叉积为:(a1,b1,c1) × (a2,b2,c2) = [(b1c2-b2c1),(a2c1-a1c2),(a1b2-a2b1)]如果叉积不为零,则说明两条直线不在同一平面上,从而可以判断它们为异面直线。
2. 交点法两条异面直线如果有交点,则交点一定不在任何一个直线所在的平面上。
可以通过求解两条直线的交点来判断它们是否异面。
如果两条直线有交点,则它们一定不是异面的;否则,它们就是异面的。
设两条直线为:它们的交点为P,则有:可以得到一个二元一次方程组:x1 + ta1 = x2 + sa2对它们进行变形,得到:t(b1-sb2)+s(b2-y1)+(y1-y2) = 0写成矩阵形式,有:\begin{bmatrix}a1-sa2 & a2-x1 \\b1-sb2 & b2-y1 \\c1-sc2 & c2-z1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t \\s \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x1-x2 \\y1-y2 \\z1-z2 \\\end{bmatrix}如果该方程组有解,则说明两条直线有交点,即不是异面的;否则,就是异面的。
空间直线异面关系的判定与度量考点动向空间直线的位置关系,除了初中就熟悉的相交与平行外,立体几何中新增加了异面关系,这部分是立体几何的传统重点知识,从客观小题到解答大题都会涉及到,有对异面关系的判定问题,也有对异面程度的度量问题,涉及异面成角与异面直线间的距离,这些问题可以充分考查考生的空间想象能力,解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等,可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度.方法范例例 如图1-1,已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为1和2,4AB =.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角;(Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解析 本题设置的三问,有证有算,由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的,故可以利用几何体的性质,构造空间直角坐标系,借助向量解答,对于求异面直线所成的角,也可利用定义实施平移解答.解法1 (I )连结AC BD ,,设AC BD O = .因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥,所以PO ⊥平面ABCD ,QO ⊥平面ABCD .从而P O Q ,,三点在一条直线上,所以PQ ⊥平面ABCD .(II )由题设知,ABCD 是正方形,所以AC BD ⊥.由(I ),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图1-2)由题设条件,相关各点的CABPDQ图1-1C图1-2几何精练坐标分别是(001)P ,,,0)(002)(0A Q B -,,,,,.所以(2)(01)AQ PB =--=- ,,.于是cos AQ PB AQ PB AQ PB<>==,. 从而异面直线AQ 与PB所成的角是arccos9. (III )由(II ),点D的坐标是(0-,,((003)AD PQ =--=-,,, 设()n x y z = ,,是平面QAD 的一个法向量,由00n AQ n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +=+=⎪⎩. 取1x =,得(11n =-,.所以点P 到平面QAD的距离PQ n d n==. 解法2 (I )取AD 的中点M ,连结PM QM ,.因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥,所以A D P M ⊥⊥,.从而AD ⊥平面PQM .又PQ ⊂平面P Q M ,所以P Q A D ⊥.同理PQ AD ⊥,所以PQ ⊥平面ABCD .(II )连结AC BD ,,设AC BD O = ,由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上,从而P A Q C ,,,四点共面.取OC 的中点N ,连结PN .因为1122PO NO NO OQ OA OC ===,,所以PO NOOQ OA=,从而AQ PN BPN ,∥∠(或其补角)是异面直线AQ 与PB 所成的角.连结BN .因为3PB ===,PN ===BN ===所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-===∠.图1-3从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos9. (III )由(I )知,AD ⊥平面PQM ,所以平面QAD ⊥平面PQM .过P 作PH QM ⊥于H ,则PH ⊥平面QAD ,所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离.连结OM ,因为122OM AB OQ ===,所以45MQP =︒∠.又3P Q P O Q O=+=,于是s i n 4P H P Q =︒=P 到平面QAD [规律小结](1)涉及异面直线的求夹角与距离的问题,求距离在高考最新大纲要求下,只要能解决异面直线的公垂线已知的问题,只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可.因此,求异面直线的夹角是很重要的问题,主要借助异面直线夹角的定义进行,注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化,常见的有外移,内移,补形等方法.注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角.(2)借助直线的方向向量求异面直线的夹角,注意选取点的坐标要容易确定,向量的夹角可以是钝角,而异面直线的夹角只能是锐角或直角.有时,也可以借助基向量的方法解答,而不是建立空间直角坐标系解答.考点误区分析(1)注意第一步的平移十分重要,不可随意而作,否则往往会带来繁杂的运算,要注意实施多次尝试平移,寻找最佳解题方案,此类问题显然需要构造辅助线解答,充分考查考生的空间想象能力,一般若平移能够很好解决,可以不考虑运用向量的方法.当借助直线的方向向量解决时,若不是特殊角,注意借助反三角函数表示角的基本知识.(2)向量之间的夹角公式cos ||||a ba b θ=求出的可能是钝角,不妨直接利用cos ||||||a ba b θ= .而若成角为直角,有时也用证明代替求解的特殊方法.如对正四面体ABCD ,求直线AB 与CD 所成的角,容易证明它们互相垂直,则成角为90︒.同步训练1.已知二面角l a b --的大小为60°,,m n 为异面直线,且m a ^、n b ^,则,m n所成的角为( ).()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°2.在四棱锥P ABCD -中,底面是边长为2的菱形.60DAB =∠,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成角为60.(1)求四棱锥P ABCD -的体积;(2)若E 是PB 的中点,求异面直线DE 与PA 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).3.如图5所示,AFDE ,分别是1O O ,的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,8AD =.BC 是O 的直径,6A B A C ==,OE AD ∥.(1)求二面角B AD F --的大小; (2)求直线BD 与EF 所成的角. 4.如图,四面体ABCD 中,O ,E 分别是BD ,BC的中点,2C A C B C D B====,AB AD ==(1)求证:AO ⊥平面BCD ;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (3)求点E 到平面ACD 的距离. [参考答案]1.[解析]直接作草图或想象,不难得出夹角为60°,注意120°的干扰. [答案]()B .2.[解析]对(1),底面菱形的形状确定,实际是两个正三角形拼接成的,求出其面积,再根据已知的线面角求出高,则借助锥体的体积公式13V Sh =可得;对(2),以O 为坐标原点,射线OB OC OP ,,分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.求A 图1-4CFBOAD1O E图1-5E图1-6出DE 与AP的夹角即为所求.或者,取AB 的中点F ,连接EF DF ,, FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角),在FED △中解出该角即可.[答案](1)2;(2)arccos4. 3.[解析]对(1),可知BAF ∠即为所求平面角;对(2),可以O 为原点,,,BC AF OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BD FE的坐标即可求出.[答案](1)45︒;(2)1082arccos. 4.[解析]对(1),可证,AO BD AO OC ⊥⊥;对(2),取AC 的中点M ,直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.对(3),由E ACD A CDE V V --=可得.(2),(3)也可借助向量解答,对(2),以O 为原点,,,BD OC OA 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BA CD的坐标即可求出.对(3),可得平面ACD的法向量为(=n ,又102EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,点E 到平面A C D 的距离7EC h ===n n .[答案](2).。
异面直线的判定用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.两直线平行的判定(1) 垂直于同一个平面的两直线平行②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b.⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b.两直线垂直的判定③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α,a⊥b.⑤如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,则a⊥b,b⊥c,c⊥a.直线与平面平行的判定②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α.③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,l⊂α,则l ∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β,l⊄α,则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即若A∉α,B∉α,A、B在α同侧,且A、B到α等距,则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α,则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若a⊥α,b⊄α,b⊥a,则b∥α.直线与平面垂直的判定②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α,n⊂α,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α⊥β,a∩β=α,l⊂β,l⊥a,则l⊥α.两平面平行的判定②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若a,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.两平面垂直的判定②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若l⊥β,l⊂α,则α⊥β.异面直线所成的角(1)定义:a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.0°<θ≤90°.直线和平面所成的角作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ0°≤θ≤90°二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图,∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质:(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面PCD⊥α,平面PCD ⊥β.。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1.异面直线(1)异面直线的定义:我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线,则不存在平面α,使a ⊂α且b ⊂α.(2)异面直线的画法:为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图:2.空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面. (1) ——同一平面内,有且只有一个公共点; (2) ——同一平面内,没有公共点;学!科网 (3) ——不同在任何一个平面内,没有公共点. 3. 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式: (1)从有无公共点的角度分类:⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点:相交直线平行直线两条直线无公共点:异面直线直线 (2)从是否共面的角度分类:⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线:异面直线二、公理4与等角定理 1.公理4(1)自然语言:平行于同一条直线的两条直线互相 .(2)符号语言:a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ,b ∥c . (3)作用:判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤(1)找到直线b ; (2)证明∥a b ,∥b c ; (3)得到∥a c .2.等角定理(1)自然语言:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . (2)符号语言:如图(1)(2)所示,在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中,OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′,则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图(1) 图(2)三、异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′,b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(1)在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′,b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便,点O 常取在两条异面直线中的一条上.(2)研究异面直线所成的角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线,即把求空间角问题转化为求平面角问题,这是研究空间图形的一种基本思路.2.异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角,则这个角α的取值范围为 . 3.两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4.构造异面直线所成角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线;(2)当异面直线依附于某几何体,且直接平移异面直线有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点;(3)构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意,若求得的角为钝角,则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5.求两条异面直线所成的角的步骤(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条,使其成为相交直线; (2)证明:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角度(常利用三角形的有关知识);(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.K 知识参考答案:一、1.(1)任何一个平面内2.(1)相交直线 (2)平行直线 (3)异面直线 二、1.(1)平行 (2)a ∥c 2.(1)相等或互补 三、1.锐角(或直角) 2.090α<≤ 3.直角K—重点掌握公理4及等角定理,异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义,并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1.空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形,因此对于空间两直线位置关系的判断,应由题意认真分析,进而确定它们的位置关系.【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM 与DD1是异面直线.其中正确的结论为A.③④B.①②C.①③D.②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故①错误;同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误.同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;同理,直线AM与DD1是异面直线,故④正确.故选A.【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法:1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法:一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法:证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步:第一步是提出与结论相反的假设;第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步是推翻假设,从而原命题成立. 2.公理4的应用证明两条直线平行的方法: (1)平行线的定义;(2)利用平面几何的知识,如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等; (3)利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下: ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为 A .60° B .120° C .30°D .60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α,β的两边对应平行,∴这两个角相等或互补,∵α=60°,∴β=60°或120°.故选D . 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时,得到这两个角相等或互补,根据所给的角的度数,即可得到β的度数.【例4】如图所示,已知棱长为a 的正方体中,M ,N 分别是棱的中点.(1)求证:四边形是梯形; (2)求证:(2)由(1)知MN ∥A 1C 1,又∵ND ∥A 1D 1,∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补,而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角,∴∠DNM =∠D 1A 1C 1. 4.两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角,是数学中转化思想的运用,也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图,四棱锥P ABCD -中,90ABC BAD ∠=∠=,2BC AD =,PAB △和PAD △都是等边三角形,则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A.90B.75C.60D.45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解,其中根据空间几,放置在三角形中,利用何体的结构特征,把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键,着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力,试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图,已知空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前,不能断定它就是两异面直线所成的角,因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤,如果∠MEN 为钝角,那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解,求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候,要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1.若,a b 为异面直线,直线c a ∥,则c 与b 的位置关系是 A .相交 B .异面 C .平行 D .异面或相交 2.已知∥AB PQ ,∥BC QR ,∠ABC =30°,则∠PQR 等于 A .30° B .30°或150° C .150° D .以上结论都不对 3.已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内,且c αβ=,那么直线c 一定A .与a b ,都相交B .只能与a b ,中的一条相交C .至少与a b ,中的一条相交D .与a b ,都平行 4.如图所示,在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中,异面直线共有A .2对B .3对C .4对D .6对5.如图,四面体ABCD 中,AD BC =,且AD BC ⊥,E F 、分别是AB CD 、的中点,则EF 与BC 所成的角为A .30B .45C .60D .906.如果OA //O A '',OB //O B '',那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 . 7.下列命题中不正确的是________.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.8.如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证:△∽△ABC A B C '''.9.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.10.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A.相交B.异面C.异面或相交D.平行11.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为A.相交B.平行C .异面而且垂直D .异面但不垂直12.如图,正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等,E 是PC 的中点,那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13.如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证:PN 与MC 为异面直线.14.(2016上海)如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A .直线AA 1B .直线A 1B 1C .直线A 1D 1 D .直线B 1C 115.(2015广东)若直线l 1与l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是 A .l 与l 1,l 2都不相交B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交16.(2015浙江)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1,BC =2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A .30°B .45°C .60°D .90°17.(2014广东)若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1.【答案】D【解析】c a ∥,a b ,为异面直线,所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4.【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形,可知有三对异面直线,分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ,故选B. 5.【答案】B【解析】如图,设G 为AC 的中点,连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ,所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角,且三角形GEF 为等腰直角三角形,所以45GEF ∠=.6.【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7.【答案】①②8.【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9.【解析】如图,取AC 的中点G ,连接EG 、FG ,则EG ∥AB ,GF ∥CD ,且由AB =CD 知EG =FG ,∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角,∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为60°,∴∠EGF =60°或120°. 由EG =FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF =60°时,∠GEF =60°;当∠EGF =120°时,∠GEF =30°.学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°.10.【答案】C【解析】(1)若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图(1),两条直线异面;(2)若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图(2),两条直线相交.故选C.(1) (2)【误区警示】在判断两直线的位置关系时,要全面思考问题,可通过画出相关图形帮助分析,从而防止遗漏.本题中,没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11.【答案】D【解析】将展开图还原为正方体,如图所示.AB与CD所成的角为60°,故选D.13.【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16.【答案】C【解析】根据题意,得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图,连接A 1B ,在△A 1BC 中,BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17.【答案】D【解析】如下图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,取1AA 为2l ,1BB 为3l ,取AD 为1l ,BC 为4l ,则14l l ∥;取AD 为1l ,AB 为4l ,则14l l ⊥;取AD 为1l ,11A B 为4l ,则1l 与4l 异面,因此14,l l 的位置关系不确定,故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
求证空间两条直线异面的方法宝子,咱今天就来唠唠怎么求证空间里两条直线异面这个事儿。
一、反证法。
要是想证明两条直线异面,反证法可好用啦。
假设这两条直线共面,然后根据平面几何的知识去推导。
比如说有直线a和直线b,咱假设它们在同一个平面内。
那如果按照平面内直线的关系,应该满足一些条件。
要是在推导过程中,出现了和已知条件矛盾的情况,就像得出的角度关系或者长度关系和题目给的不一样,那这个假设就不成立呀,这就说明直线a和直线b是异面直线呢。
就好比两个人,你以为他们在一个小圈子(平面)里,但是按照这个小圈子里的规则一推,发现完全不合理,那他们肯定就不在这个小圈子里,是异面关系啦。
二、定义法。
咱也可以直接从异面直线的定义出发。
异面直线就是不同在任何一个平面内的两条直线。
那咱就去看这两条直线能不能放到一个平面里。
要是怎么找都找不到一个平面能同时包含这两条直线,那它们就是异面直线呗。
这就像两个性格迥异的小动物,你怎么都找不到一个合适的小窝(平面)能把它们俩一起装进去,那它们就是处在异面的关系啦。
三、判定定理法。
还有判定定理这个好帮手呢。
如果一条直线与一个平面相交,而另一条直线在这个平面内,并且这两条直线不平行,那这两条直线就是异面直线。
想象一下,一条直线像小树枝插在地上(平面),另一条直线在地面这个平面里,它们又不平行,就像两个特立独行的家伙,一个在平面里,一个穿过平面,那肯定异面呀。
宝子,这几种方法都很有用呢。
在做具体题目的时候,你就可以根据题目给的条件,灵活地选择方法。
有时候可能反证法好用,有时候定义法或者判定定理法能让你一下子就找到答案。
加油哦,空间几何虽然有点小复杂,但只要掌握了这些方法,就像有了小魔法一样,解决问题不在话下!。
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候,大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单,因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内,但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路:定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道,异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系:重合、平行、相交和异面.所以,根据定义,我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能,就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单,但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作,所以,一般情况下,我们不常使用这种思路.(除非,你真的想不到其它的证明方法)反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路,也就是先假定命题的结论不成立,然后进行推理,如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况,就可以说明我们的假定不成立,也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法,也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单,根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面,就可以推导出与已知条件矛盾;还有一类题目就需要我们分情况来讨论,假定两直线共面,分为两种情况,平行和相交,要分别针对这两种情况进行推导,找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法,就是应用异面直线的判定定理,平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说,如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ,那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.(这种思路是很直观的,应用这种思路时,我们只需要找到一个平面,使一条直线n 在平面上,另一条直线m 与该平面相交于P 点,然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法,下面我们就一起来实践几道题目,看一下每道题目应该用哪种思路,并且也检验一下,刚刚我们介绍的三种不同的思路,你是不是已经真正掌握了.实践1:四面体ABCD 中,,AC BC AD BD =≠,DM AB ⊥于M ,CN AB ⊥于N ,求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津:这里要我们证明DM 和CN 为异面直线,很显然,DM 是在平面ABD 上的,而CN 与平面ABD 交于点N ,所以,根据判定定理,我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =,CN AB ⊥,所以N 为AB 的中点,而AD BD ≠,DM AB ⊥,所以M 不是AB 的中点,也就是说,DM 不会过点N ,所以,DM 和CN 为异面直线.实践2:已知直线a上有两点A、B,直线b上有一点C,若AC、BC都与直线b垂直,A、B、C不共线,求证直线a与b为异面直线.指点迷津:这道题我们可以用两种思路来证明.(一)定理法.用定理法的关键是找到一个平面,而这里,如图所示,直线a是在A、B、C所确定的平面上的,而直线b与平面ABC相交于一点C,现在只需要证明,直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线,所以,C不在直线a上,即a与b为异面直线.(二)>(三)反证法.假设a、b不是异面直线,则a、b共面,即A、B、C也都在这个平面内,根据已知条件,⊥⊥,那么这个平面内,过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直,这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误,a、b为异面直线.。
空间两直线异面的判定方法空间中的两条直线可以分为以下四种情况:1.直线平行但不重合:设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。
若直线l1与l2平行,则方向向量D1与D2平行。
我们可以通过计算两个方向向量的叉积来判断它们是否平行。
即D1×D2=0,其中“×”表示叉积运算。
若叉积为零向量,则两直线平行。
2.直线相交:设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。
若直线l1与l2相交,则它们的方向向量D1和D2不平行。
我们可以通过计算两个方向向量的向量积来判断它们是否相交。
即D1×D2≠0,其中“×”表示叉积运算。
若叉积不为零向量,则两直线相交。
3.直线重合:设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。
若直线l1与l2重合,那么它们上的任意两点之间的向量差称为零向量。
即存在点A属于l1,点B属于l2,使得AB=0。
因此,我们只需找到两个满足这个条件的点,即可判断两直线重合。
4.直线异面:若两直线既不平行也不相交,那么它们就是异面的。
这种情况下,我们可以通过判断两直线上的任意两个不共线的向量是否平行来得出结论。
首先,我们可以分别取两直线上的两点,分别计算它们之间的向量差。
若这两个向量差都与两直线的方向向量都不平行,则两直线异面。
综上所述,判断空间中的两条直线是否异面,我们可以使用以下步骤:1.分别求出两条直线的方向向量D1和D22.计算D1×D2、若叉积结果为零向量,则两直线平行。
3.计算D1×D2、若叉积结果不为零向量,则两直线相交。
4.分别找出两条直线上的两个点A和B,计算向量AB。
若AB=0,则两直线重合。
5.若既不平行也不相交,计算任意两个不共线的向量AB和CD。
若AB 与CD都不平行,则两直线异面。
注意:以上判断方法适用于三维空间中的直线。
如果是二维平面上的直线,只需考虑两种情况:平行和相交。
空间判断两直线是否为异面直线的方法
在三维空间中,判断两条直线是否为异面直线可以采用空间向量的方法。
对于两条直线,如果它们不在同一个平面上,则可以认为它们是
异面直线。
假设有两条直线L1和L2,它们的参数方程分别为:
L1: P1 = A1 + t1B1
L2: P2 = A2 + t2B2
其中,A1、A2分别为两条直线上的任意一点,B1、B2分别为两条直线的方向向量,t1、t2为参数。
由于两个不同平面的法向量一定不共线,因此可以用向量计算法线向量,然后通过点乘检验两个法向量是否共线来判断两条直线是否共面。
向量n = B1 × B2即为两条直线所在平面的法向量。
其中,×表示叉
积运算符。
如果n = 0,则两个向量共线,即两条直线在同一平面上;如果n ≠ 0,则两个向量不共线,即两条直线不在同一个平面上。
通过这种方法,可以准确快速地判断两条直线是否为异面直线。
需要注意的是,如果两条直线重合,也可以认为它们在同一平面上。
此时向量n为0,需要进行特判处理。
总之,空间向量法是一种可靠的判断两条直线是否异面的方法,可以在三维空间中进行精准计算,具有很高的实用价值。
《空间直线异面关系的判定与度量》考点动向空间直线的位置关系,除了初中就熟悉的相交与平行外,立体几何中新增加了异面关系,这部分是立体几何的传统重点知识,从客观小题到解答大题都会涉及到,有对异面关系的判定问题,也有对异面程度的度量问题,涉及异面成角与异面直线间的距离,这些问题可以充分考查考生的空间想象能力,解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等,可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度.方法范例例 如图1-1,已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为1和2,4AB =.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角;(Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解析 本题设置的三问,有证有算,由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的,故可以利用几何体的性质,构造空间直角坐标系,借助向量解答,对于求异面直线所成的角,也可利用定义实施平移解答.解法1 (I )连结AC BD ,,设ACBD O =.因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥,所以PO ⊥平面ABCD ,QO ⊥平面ABCD .从而P O Q ,,三点在一条直线上,所以PQ ⊥平面ABCD .(II )由题设知,ABCD 是正方形,所以AC BD ⊥.由(I ),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图1-2)由题设条件,相关各点的CABPDQ图1-1C图1-2坐标分别是(001)P ,,,0)(002)(0A Q B -,,,,,.所以(2202)(021)AQ PB =--=-,,,,.于是3cos 9AQ PB AQ PB AQ PB<>==,. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos9. (III )由(II ),点D 的坐标是(0-,,(22220)(003)AD PQ =--=-,,,,,, 设()n x y z =,,是平面QAD 的一个法向量,由00n AQn AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +=+=⎪⎩. 取1x =,得(11n =-,.所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n==. 解法2 (I )取AD 的中点M ,连结PM QM ,.因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥,所以A D P M ⊥⊥,.从而AD ⊥平面PQM .又PQ ⊂平面P Q M ,所以P Q A D ⊥.同理PQ AD ⊥,所以PQ ⊥平面ABCD .(II )连结AC BD ,,设AC BD O =,由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上,从而P A Q C ,,,四点共面.取OC 的中点N ,连结PN .因为1122PO NO NO OQ OA OC ===,,所以PO NOOQ OA=,从而AQPN BPN ,∥∠(或其补角)是异面直线AQ 与PB 所成的角.连结BN .因为3PB ===,PN ===BN ===所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-===∠.图1-3从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos9. (III )由(I )知,AD ⊥平面PQM ,所以平面QAD ⊥平面PQM .过P 作PH QM ⊥于H ,则PH ⊥平面QAD ,所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离.连结OM ,因为122OM AB OQ ===,所以45MQP =︒∠.又3P Q P O Q O=+=,于是s i n 4P H P Q =︒=P 到平面QAD [规律小结](1)涉及异面直线的求夹角与距离的问题,求距离在高考最新大纲要求下,只要能解决异面直线的公垂线已知的问题,只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可.因此,求异面直线的夹角是很重要的问题,主要借助异面直线夹角的定义进行,注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化,常见的有外移,内移,补形等方法.注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角.(2)借助直线的方向向量求异面直线的夹角,注意选取点的坐标要容易确定,向量的夹角可以是钝角,而异面直线的夹角只能是锐角或直角.有时,也可以借助基向量的方法解答,而不是建立空间直角坐标系解答.考点误区分析(1)注意第一步的平移十分重要,不可随意而作,否则往往会带来繁杂的运算,要注意实施多次尝试平移,寻找最佳解题方案,此类问题显然需要构造辅助线解答,充分考查考生的空间想象能力,一般若平移能够很好解决,可以不考虑运用向量的方法.当借助直线的方向向量解决时,若不是特殊角,注意借助反三角函数表示角的基本知识.(2)向量之间的夹角公式cos ||||a ba b θ=求出的可能是钝角,不妨直接利用cos ||||||a ba b θ=.而若成角为直角,有时也用证明代替求解的特殊方法.如对正四面体ABCD ,求直线AB 与CD 所成的角,容易证明它们互相垂直,则成角为90︒.同步训练1.已知二面角l a b --的大小为60°,,m n 为异面直线,且m a ^、n b ^,则,m n所成的角为( ).()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°2.在四棱锥P ABCD -中,底面是边长为2的菱形.60DAB =∠,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成角为60.(1)求四棱锥P ABCD -的体积;(2)若E 是PB 的中点,求异面直线DE 与PA 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).3.如图5所示,AFDE ,分别是1O O ,的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,8AD =.BC 是O 的直径,6A B A C ==,OE AD ∥.(1)求二面角B AD F --的大小; (2)求直线BD 与EF 所成的角. 4.如图,四面体ABCD 中,O ,E 分别是BD ,BC的中点,2C A C B C D B====,AB AD ==(1)求证:AO ⊥平面BCD ;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (3)求点E 到平面ACD 的距离. [参考答案]1.[解析]直接作草图或想象,不难得出夹角为60°,注意120°的干扰. [答案]()B .2.[解析]对(1),底面菱形的形状确定,实际是两个正三角形拼接成的,求出其面积,再根据已知的线面角求出高,则借助锥体的体积公式13V Sh =可得;对(2),以O 为坐标原点,射线OB OC OP ,,分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.求A 图1-4CFBOAD1O E图1-5E图1-6出DE 与AP 的夹角即为所求.或者,取AB 的中点F ,连接EF DF ,, FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角),在FED △中解出该角即可.[答案](1)2;(2)arccos4. 3.[解析]对(1),可知BAF ∠即为所求平面角;对(2),可以O 为原点,,,BC AF OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BD FE 的坐标即可求出.[答案](1)45︒;(2)1082arccos. 4.[解析]对(1),可证,AO BD AO OC ⊥⊥;对(2),取AC 的中点M ,直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.对(3),由E ACD A CDE V V --=可得.(2),(3)也可借助向量解答,对(2),以O 为原点,,,BD OC OA 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BA CD 的坐标即可求出.对(3),可得平面ACD的法向量为(=n ,又102EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,点E 到平面A C D 的距离37EC h ===n n.[答案](2).。
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候,大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单,因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内,但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路:定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道,异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系:重合、平行、相交和异面.所以,根据定义,我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能,就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单,但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作,所以,一般情况下,我们不常使用这种思路.(除非,你真的想不到其它的证明方法)反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路,也就是先假定命题的结论不成立,然后进行推理,如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况,就可以说明我们的假定不成立,也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法,也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单,根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面,就可以推导出与已知条件矛盾;还有一类题目就需要我们分情况来讨论,假定两直线共面,分为两种情况,平行和相交,要分别针对这两种情况进行推导,找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法,就是应用异面直线的判定定理,平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说,如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ,那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.这种思路是很直观的,应用这种思路时,我们只需要找到一个平面,使一条直线n 在平面上,另一条直线m 与该平面相交于P 点,然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法,下面我们就一起来实践几道题目,看一下每道题目应该用哪种思路,并且也检验一下,刚刚我们介绍的三种不同的思路,你是不是已经真正掌握了.实践1:四面体ABCD 中,,AC BC AD BD =≠,DM AB ⊥于M ,CN AB ⊥于N ,求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津:这里要我们证明DM 和CN 为异面直线,很显然,DM 是在平面ABD 上的,而CN 与平面ABD 交于点N ,所以,根据判定定理,我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =,CN AB ⊥,所以N 为AB 的中点,而AD BD ≠,DM AB ⊥,所以M 不是AB 的中点,也就是说,DM 不会过点N ,所以,DM 和CN 为异面直线.实践2:已知直线a上有两点A、B,直线b上有一点C,若AC、BC都与直线b垂直,A、B、C不共线,求证直线a与b为异面直线.指点迷津:这道题我们可以用两种思路来证明.(一)定理法.用定理法的关键是找到一个平面,而这里,如图所示,直线a是在A、B、C所确定的平面上的,而直线b与平面ABC相交于一点C,现在只需要证明,直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线,所以,C不在直线a上,即a与b为异面直线.(二)反证法.假设a、b不是异面直线,则a、b共面,即A、B、C也都在这个平面内,根据已知条件,⊥⊥,那么这个平面内,过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直,这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误,a、b为异面直线.。
1.异面直线定义.2.空间直线与直线的位置关系3.异面直线所成角定义、范围 4.求解异面直线所成角大小(1)平移作角(2)证(说)角(3)平面图形中求角 1、定义:把不能置于同一平面的两条直线,称为异面直线. 2、与平行直线、相交直线的区别:相交直线:在同一平面内,有且只有一个交点. 平行直线:在同一平面内,没有公共点.异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 3、异面直线的画法:过渡:用两张图例说明,分别在两个平面内的直线,并不一定是异面直线.4、异面直线的判定 :不平行、不相交的直线.5、空间直线的位置关系 (一) 证明异面直线复习:反证法:假设否定的结论,从假设出发,引出矛盾——与条件矛盾,或者与已知的公理、定理矛盾.复习例题:l 上有且只有一点A α∈,求证:l α⊄证明:假设lα⊂⇒l 上所有的点都属于α,与已知:l 上有且只有一点A α∈矛盾.lα∴⊄通过例题学习如何证明异面直线.(详见例3 ) (三)异面直线所成角1、异面直线a 与b 所成的角:在空间内任取一点P ,过P 分别作a 和b 的平行线''a b 和,则''a b 和所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角. 问题1: 理论依据—等角定理.问题2:为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角?答:因为两条相交直线交出四个角,只要知道其中一个,就可以知道其他所有的角,因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.2、异面直线所成角范围 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦αaαaαab βb bα aβb αaβb(四)例题分析例1 两条异面直线指的是( D )(A )空间不相交的两条直线(B )分别位于两个不同平面上的两条直线 (C )某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线 (D )不能同在一个平面上的直线 [例题解析]:异面直线概念掌握例2 若a 、b 是两条异面直线,且分别在平面αβ、内,若l αβ⋂=,则直线l 必定( B )A .分别与a 、b 相交; B. 至少与a 、b 之一相交; C. 与a 、b 都不相交; D. 至多与a 、b 之一相交. [例题解析]:异面直线的概念掌握.例3 书第10页例2:直线l 与平面α相交于点A ,直线m 在平面α上,且不经过点A ,求证:直线l 与m 是异面直线.证明:书第10页[例题解析]学习用反证法证明异面直线.例4(1)正方体1111ABCD A BC D -中,哪些棱所在直线与直线1BC 成异面直线? 答:共有6条棱.(2)如图所示,空间四边形ABCD 中,H 、F 是AD 边上的点,G 、E 是BC 边上的点.与AB 成异面直线的线段有:HG 、EF 、CD 与CD 成异面直线的线段有:AB 、HG 、EF 与EF 成异面直线的线段有:HG 、AB 、EF 、CD[例题解析]:在空间中能确定异面直线. 例5 书第11页例3(详见书第11页) [例题解析]求异面直线所成角大小和解题规范格式.(四)、问题拓展 1、空间内两直线所成角范围 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦当空间两直线12l l 、所成角为直角时,12l l ⊥当空间两直线12l l 、所成角为零角时,若12l l ⋂=∅,则12l l 若12l l ⋂≠∅,则12l l = 2、异面垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直(2)记法:异面直线a,b 互相垂直,记为a ⊥b (3)分类: ⎧⎨⎩共面垂直(相交)两直线垂直异面垂直3、异面直线所成角例题CA BD EHGF例6在长方体1111ABCD A BC D -中,AB=5,BC=4,1CC =3.(1)11DD B C 和所成角大小. (2)11A BC C 和所成角大小; (3)11AD B C 和所成角大小. 解:(1)11C C D D11B CC ∴∠为异面直线11DD B C 和所成角,在11RT B C C 中,1114,3B C BC C C ===,114tan 3B CC ∴∠= 114arctan3B CC ∠=, ∴异面直线11DD B C 和所成角大小为4arctan 3.(2)11BC B C ,111AC B ∴∠为异面直线11A BC C 和所成角, 在11RT B C C 中,11115,4A B AB B C BC ====,1115tan 4AC B ∴∠=, 1115arctan 4A CB ∠=, ∴异面直线11A BC C 和所成角大小为5arctan 4(3)11AD BC ,设11B C BC 和 相交于O ,11C OB ∴∠为异面直线11A B C D 和所成角(或其补角)在11BOC 中,1111542B C B O C O ===, 利用余弦定理,111177cos arccos 2525B OC B OC π∠=-⇒∠=- 异面直线11A B CD 和所成角大小为7arccos 25例7 在空间四边形ABCD 中,AB=CD=6,M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点且MN=5,求异面直线AB 、CD 所成角大小.解:取AD 中点,在ABD 中,11,22NE AB NE AB =在ADC 中, N E M ∠为异面直线AB 、CD 所成角(或其补角)在NEM 中,53MN ME ===,NE ,利用余弦定理,77cos arccos 1818NEM NEM π∠=-⇒∠=- 异面直线CD AB 和所成角大小为7arccos 18ABCD1A 1B 1C 1D[说明]在空间四边形中,求解异面直线所成角是一种典型问题.、选择题:1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点,直线MN与PQ所成的度数是()(A)(B)(C)(D)2.下列命题中,正确的命题是()(A)直线a、b异面,过空间任一点O,作OA∥a,OB∥a,则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角(B)如果∠CBA=∠B AD,那么BC∥AD(C)和两条异面直线都垂直的直线,叫做这两条异面直线的公垂线(D)两条异面直线所成的角只能是锐角或直角3.已知a、b为两条异面直线,在a上有3个点,在b上有5个点,这些点最多可确定平面的个数是()(A)8 (B)15 (C)24 (D)304.AB为异面直线a、b的公垂线,直线l∥AB,则l与a、b两直线交点的个数是()(A)0个(B)1个(C)最多一个(D)最多两个5.已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线,d为b、c公垂线,则()(A) d与a是不互相垂直的异面直线(B) d与a是相交直线(C) d与a是平行直线(D) d与a是互相垂直的异面直线6.空间三条直线满足条件a∥b,a⊥c,则b与c的位置关系是()(A)垂直(B)平行(C)相交(D)异面7.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角()(A)相等(B)相等或互补(C)相交(D)无确定的关系8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G分别为AB、BC、CC的中点,则EF与BG所成角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)-1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则BD1与CC1所成角的正切值为__,BD1与CC1的距离为__.2.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2a,AA1=a,M、N分别是A1B1、BB1的中点,则A1D与MN所成角的余弦值是__________.3.已知异面直线a与b所成的角为,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是的直线有且仅有_____条.4.对于已知直线a,如果直线b满足条件:与a为异面直线,与a所成的角为定值θ(),与a的距离为定值m,(m>0),那么这样的直线b可以有______条.三、解答题:1.过一定点与给定的两条异面直线成等角的直线存在吗?如果不存在,说明理由;如果存在,这样的直线有多少条?2.已知平面α∩β=BD,ABα,CDβ,∠ABD=∠CDB,如图2—10,试判断AB和CD的位置关系,并说明你的理由.3.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=1,AD、BC成角.M、N分别为AB、CD中点.求线段MN的长.一、选择题:1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点,直线MN与PQ所成的度数是()(A)(B)(C)(D)2.下列命题中,正确的命题是()(A)直线a、b异面,过空间任一点O,作OA∥a,OB∥a,则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角(B)如果∠CBA=∠BAD,那么BC∥AD(C)和两条异面直线都垂直的直线,叫做这两条异面直线的公垂线(D)两条异面直线所成的角只能是锐角或直角3.已知a、b为两条异面直线,在a上有3个点,在b上有5个点,这些点最多可确定平面的个数是()(A)8 (B)15 (C)24 (D)304.AB为异面直线a、b的公垂线,直线l∥AB,则l与a、b两直线交点的个数是()(A)0个(B)1个(C)最多一个(D)最多两个5.已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线,d为b、c公垂线,则()(A) d与a是不互相垂直的异面直线(B) d与a是相交直线(C) d与a是平行直线(D) d与a是互相垂直的异面直线6.空间三条直线满足条件a∥b,a⊥c,则b与c的位置关系是()(A)垂直(B)平行(C)相交(D)异面7.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角()(A)相等(B)相等或互补(C)相交(D)无确定的关系8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G分别为AB、BC、CC的中点,则EF与BG所成角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)-二、填空题:1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则BD1与CC1所成角的正切值为_____,BD1与CC1的距离为_____.2.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2a,AA1=a,M、N分别是A1B1、BB1的中点,则A1D与MN所成角的余弦值是__________.3.已知异面直线a与b所成的角为,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是的直线有且仅有_____条.4.对于已知直线a,如果直线b满足条件:与a为异面直线,与a所成的角为定值θ(),与a的距离为定值m,(m>0),那么这样的直线b可以有______条.1.过一定点与给定的两条异面直线成等角的直线存在吗?如果不存在,说明理由;如果存在,这样的直线有多少条?2.已知平面α∩β=BD,ABα,CDβ,∠ABD=∠CDB,如图2—10,试判断AB和CD的位置关系,并说明你的理由.3.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=1,AD、BC成角.M、N分别为AB、CD中点.求线段MN的长.两条直异面直线所成的角(B)答案一、B D A C C A B C二、1., 2.; 3.2条; 4.无数多条.三、1.存在无数多条; 2.AB 与CD 异面(判定定理); 3.提示:取BD 中点G ,连结MG ,NG ,则∠MGN =或∠MGN=,MN=或MN=.异面直线所成的角(教师版)(1) ;(2) ;(3) ; 答案:(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义;(3)求角. 一.例题与课堂练习题1.在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF =3,求AD 、BC 所成角的大小.解:设BD 的中点G ,连接FG ,EG 。
空间直线1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.3.异面直线所成的角直线a,b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.4.异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.[要点内容]1.空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。
相交直线和平行直线都是共面直线,异面直线是立体图形。
2.空间两直线的位置关系分类从有无公共点的角度看,可分为两类:(1)两条直线有且仅有一个公共点—相交直线;3.异面直线概念的理解“不同在任何一个平面内的两条直线”,是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。
注意:分别在某两个平面内的两条直线,不一定是异面直线,它们可能是相交直线,也可能是平行直线,如图。
4.异面直线的画法及判定画异面直线时,以平面为衬托,可使两直线不能共面的特点显示得更清楚,如图判定两条直线是异面直线的方法:方法一,利用:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
”方法二,利用反证法,假设这两条直线不是异面直线,推导出矛盾。
这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。
5.对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点:(1)取直线a′、b′所成的锐角(或直角)作为异面直线a、b所成的角。
(2)在这个定义中,空间一点是任意选取的,根据等角定理,可以判定异面直线a和b 所成的角和a′和b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关。
(3)由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关,一般情况下,可将点O取在直线a或b上。
空间直线异面关系的判定与度量
考点动向
空间直线的位置关系,除了初中就熟悉的相交与平行外,立体几何中新增加了异面关系,这部分是立体几何的传统重点知识,从客观小题到解答大题都会涉及到,有对异面关系的判定问题,也有对异面程度的度量问题,涉及异面成角与异面直线间的距离,这些问题可以充分考查考生的空间想象能力,解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等,可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度.
方法范例
例 如图1-1,已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为1
和2,4AB =.
(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角;
(Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解析 本题设置的三问,有证有算,
由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的,故可以利用几何体的性质,构造空间直角坐标系,借助向量解答,对于求异面直线所成的角,也可利用定义实施平移解答.
解法1 (I )连结AC BD ,,设AC
BD O =.因为P ABCD -与Q ABCD -都是
正四棱锥,所以PO ⊥平面ABCD ,QO ⊥平面ABCD .从而P O Q ,,三点在一条直线上,所以PQ ⊥平面ABCD .
(II )由题设知,ABCD 是正方形,所以AC BD ⊥.由(I ),PQ ⊥平面
ABCD ,故可分别以直线CA DB QP
,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图1-2)由题设条件,相关各点的
C
A
B
P
D
Q
图1-1
C
图1-2
几何精练
坐标分别是(001)P ,,
,0)(002)(0A Q B -,,,,,. 所以(2202)(021)AQ PB =--=-,,,,.于是3
cos 9
AQ PB AQ
PB AQ PB
<>=
=
,. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是
. (III )由(II ),点D 的坐标是(0-,,(22220)(003)AD PQ =--=-,,,,,,
设()n x y z =,,是平面QAD 的一个法向量,由00n
AQ n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +
=+=⎪⎩.
取1x =,得(1
1n =--,,.所以点P 到平面QAD 的距离32
2
PQ n d n
==
. 解法2 (I )取AD 的中点M ,连结PM QM ,.因为P ABCD -与Q ABCD -都是
正
四
棱
锥
,
所
以
A D P M ⊥⊥,.从而AD ⊥平面
PQM .又PQ ⊂平面P Q M ,所以P Q A D ⊥.同理PQ AD ⊥,所以PQ ⊥平
面ABCD .
(II )连结AC BD ,,设A
C B
D O =,
由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知
O 在PQ 上,从而P A Q C ,,,四点共面.
取OC 的中点N ,连结PN .因为
1122PO NO NO OQ OA OC ===,,所以PO NO
OQ OA
=,从而AQ
PN BPN ,∥∠(或其补角)是异面直线AQ 与PB 所成的角.连结
BN . 因为
3PB =
==
,
PN ===,
BN
=== 所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-===
∠.
图1-3
从而异面直线AQ 与PB 所成的角是. (III )由(I )知,AD ⊥平面PQM ,所以平面QAD ⊥平面PQM .过P 作PH QM ⊥于H ,则PH ⊥平面QAD ,所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离.连结OM ,因为
1
22
OM AB OQ ===,所以45MQP =︒∠.又3P Q
P O Q O
=+=,于是
s i n 45P H P Q =
︒=2.即点P 到平面QAD 的距离是2
.
[规律小结]
(1)涉及异面直线的求夹角与距离的问题,求距离在高考最新大纲要求下,只要能解决异面直线的公垂线已知的问题,只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可.因此,求异面直线的夹角是很重要的问题,主要借助异面直线夹角的定义进行,注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化,常见的有外移,内移,补形等方法.注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角.
(2)借助直线的方向向量求异面直线的夹角,注意选取点的坐标要容易确定,向量的夹角可以是钝角,而异面直线的夹角只能是锐角或直角.有时,也可以借助基向量的方法解答,而不是建立空间直角坐标系解答.
考点误区分析
(1)注意第一步的平移十分重要,不可随意而作,否则往往会带来繁杂的运算,要注意实施多次尝试平移,寻找最佳解题方案,此类问题显然需要构造辅助线解答,充分考查考生的空间想象能力,一般若平移能够很好解决,可以不考虑运用向量的方法.当借助直线的方向向量解决时,若不是特殊角,注意借助反三角函数表示角的基本知识.
(2)向量之间的夹角公式cos ||||
a b
a b θ=
求出的可能是钝角,不妨直接利用
cos |
|||||
a b
a b θ=.而若成角为直角,有时也用证明代替求解的特殊方法.如对正四面体
ABCD ,求直线AB 与CD 所成的角,容易证明它们互相垂直,则成角为90︒.
同步训练
1.已知二面角l a b --的大小为60°,,m n 为异面直线,且m a ^、n b ^,则,m n
所成的角为( ).
()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°
2.在四棱锥P ABCD -中,底面是边长为2的菱形.60DAB =∠,对角线AC 与BD 相交于点
O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成
角为60.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积;
(2)若E 是PB 的中点,求异面直线DE 与PA 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
3.如图5所示,AF DE ,分别是1O O ,的直径,AD 与两圆所在的平面均
垂直,8AD =.BC 是
O 的直径,
6A B A C ==,OE AD ∥.
(1)求二面角B AD F --的大小; (2)求直线BD 与EF 所成的角. 4.如图,四面体ABCD 中,O ,E 分别
是
BD ,
BC
的中点,2C A C B C D B
====,AB AD == (1)求证:AO ⊥平面BCD ;
(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (3)求点E 到平面ACD 的距离. [参考答案]
1.[解析]直接作草图或想象,不难得出夹角为60°,注意120°的干扰. [答案]()B .
2.[解析]对(1),底面菱形的形状确定,实际是两个正三角形拼接成的,求出其面积,再根据已知的线面角求出高,则借助锥体的体积公式1
3
V Sh =
可得;对(2),以O 为坐标原点,射线OB OC OP ,,分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.求
A 图1-4
C
F
B
O
A
D
1
O E
图1-5
E
图1-6
出DE 与AP 的夹角即为所求.或者,取AB 的中点F ,连接EF DF ,, FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角),在FED △中解出该角即可.
[答案](1)2;(2). 3.[解析]对(1),可知BAF ∠即为所求平面角;对(2),可以O 为原点,,,BC AF OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BD FE 的坐标即可求出.
[答案](1)45︒;(2)10
82
arccos
. 4.[解析]对(1),可证,AO BD AO OC ⊥⊥;对(2),取AC 的中点M ,直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.对(3),由E ACD A CDE V V --=可得.(2),(3)也可借助向量解答,对(2),以O 为原点,,,BD OC OA 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定,BA CD 的坐标即可求出.对(3),可得平面ACD
的法向量
为(=n ,又1022
EC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
,,点E 到平面A C D 的距
离
37EC h =
=
=n n
.
[答案](2)arccos 4;(3)7
.。