2018届浙江省高考试题逐类透析——简单的线性规划

专题十一简单线性规划【母题原题1】【2018浙江，12】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】(1). -2(2). 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.【母题原题2】【2017浙江，4】若x,y满足约束条件x0{x+y-30z2x-2y0x y≥≥=+≤，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D【母题原题3】【2016浙江，理3】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB│=A ．．4 C ．．6 【答案】C【解析】如图PQR △为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段R Q ''，即AB ，而R Q PQ ''=，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得(1,1)Q -，由2x x y =⎧⎨+=⎩得(2,2)R -，AB QR ===C ．【母题原题5】【2016浙江，文4】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ABD【答案】B【命题意图】考查线性规划基础知识，考查利用数形结合思想解题的能力，考查作图视图能力.【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围等．题型为选择题或填空题，近两年主要考查截距型目标函数的最值问题，且目标函数中自变量的系数均为正数，属于教科书中同类问题的最低要求．【答题模板】以2018年题目为例，解答此类问题一般考虑如下三步：第一步：作图.即根据不等式组，画出可行域及直线0ax by +=；第二步：平移直线.根据0ax by +=，0b >时，直线的截距越大，z 越大；0b <时，直线的截距越大，z 越小；向上平移直线，寻找取得最大值的点，向下平移，寻找取得最小值的点；第三步：确定“最优解”及最值.通过解方程组，确定最优解，代入目标函数求得最值. 【方法总结】线性规划问题可分为两类，第一类是简单的线性规划，考题可分为三种，其一是考查可行域，如可行域的形状或面积的大小；其二就是截距型目标函数的最值或范围．其三是其他型目标函数，如有截距型、距离型、斜率型等；第二类是线性规划的逆向思维的考查，如提供可行域的面积，反求参数的值，或提供最优解的个数，反求参数的值，或提供目标函数的最值，反求参数的范围等． 近几年各地高考出现的常见目标函数： 1．截距型：(,)z ax by a b R =+∈ 几何意义：经过可行域的直线1a y x zb b=-+的纵截距的b 倍． 2．斜率型：y bz x a-=- （,a b R ∈） 几何意义：可行域内一点(,)x y 与定点(,)a b 连线的斜率． 3．距离型：22z x y ax by =+++（,a b R ∈）几何意义：可行域内一点(,)x y 与定点(,)22a b--的距离的平方，减去224a b +．说明：理解目标函数的几何意义，利用线性规划求最值或范围时，只需找到最优解代入目标函数即可．1．【2018届浙江省绍兴市3月模拟】若，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 0B.C.D. 【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域如下图所示：设z=3x+y,所以y=-3x+z，当直线y=-3x+z经过点B（1,0）时，直线的纵截距最大，z最大.此时，故选B.2．【2018届浙江省杭州市第二次检测】若实数满足不等式组，设,则( ）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出可行域区域，如图由解得故选3．【2018届浙江省温州市9月一模】若实数，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出表示的可行域，由，得，由，得，平移直线，当直线经过时分别取得最小值，最大值，故的取值范围是，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．【浙江省亳州市2017-2018学年度高二上期末】实数满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作可行域，则直线过点（1，0）时取最大值1，选A.5．【2018届浙江省诸暨市高三上期末】若满足约束条件，则的最大值等于（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(2,0)时取最大值6，选 B.6．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】若实数x ， y 满足约束条件0{20 20y x y x y ≥-+≥+-≥，则2z x y =-的取值范围是（ ）A. []44-，B. []24-，C. [)4-+∞，D. [)2-+∞， 【答案】D【解析】画出0{20 20y x y x y ≥-+≥+-≥表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线2y x z =-，由图可知，当直线经过()0,2时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时2z x y =-有最小值2-，无最大值， 2z x y ∴=-的取值范围是[)2-+∞，，故选A. 7．【2018届浙江省台州市高三上期末】已知实数,x y 满足不等式组0,{20, 30,x x y x y ≥-≤+-≤则()()2212x y -++的取值范围是（ ）A. []1,5B. ⎤⎦C. []5,25D. []5,26【答案】D【解析】画出0{20 30x x y x y ≥-≤+-≤表示的可行域，如图， ()()2212x y -++表示可行域内的动点(),x y 到()1,2-距离的平方，由图可知在()0,0处()()2212x y -++取最小值()()2201025-++=，在()0,3处取最大值()()22010226-++=，取值范围是[]5,26，故选D.8．【2018届浙江省嘉兴市上期末】实数,x y 满足1{210 0x x y x ky ≤+-≥-≥，若3z x y =+的最小值为1，则正实数k =A. 2B. 1C. 12D. 14【答案】C【解析】由311{1 2x y x k x ky+==⇒=-= ,舍; 由311{2 1 2x y x y k x ky +=+=⇒==作可行域,则直线过点A 12,55⎛⎫⎪⎝⎭取最小值1,满足题意,所以12k =,选C9．【2018届山东省肥城市高三适应性训练】实数对满足不等式组则目标函数当且仅当，时取最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．将目标函数z=kx-y对应的直线进行平移，当且仅当l经过点C（3，1）时目标函数z达到最大值，由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式，即可得到l斜率k的取值范围．详解：如图所示：，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设z=F（x，y）=kx-y，将直线l：z=kx-y进行平移，可得直线在y轴上的截距为-z，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值∵当且仅当l经过点C（3，1）时，目标函数z达到最大值∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，∴k的取值范围是故选C.10．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．详解：由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得，即；联立，解得，即.的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.∵，∴的取值范围是故选B.点睛：常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．11．【浙江诸暨中学2017-2018学年高二下学期期中】已知实数满足约束条件，的最大值为__________，的取值范围为__________．【答案】 20【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数的几何意义求最值，的最大值为直线在y轴上截距的最大值，表示坐标原点与可行域内任一点连线的斜率.详解：作可行域，则直线过点A(2,4)时取最大值20，的取值范围为12．【2018届福建省三明市第一中学模拟卷（一）】已知实数，满足约束条件，且的最小值为3，则常数__________．【答案】-2.详解：画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线,由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为可得，解得，故答案为.。

基础知识反馈卡·时间：分钟分数：分一、选择题(每小题分，共分)．不在＋<表示的平面区域内的点是( )．() ．() ．() ．()．下列命题中正确的是( )．点()在区域＋≥内．点()在区域＋＋<内．点()在区域>内．点()在区域－＋>内．不等式－＞表示的平面区域是( )．设，满足约束条件(\\(－＋≥，＋－≥，≤，))则＝－的最小值是( )．－．－．－．－．不等式组(\\(≥，＋≥，＋≤))所表示的平面区域的面积等于( )．已知点()和(－)在直线－＋＝的两侧，则的取值范围是( )．＜－或＞．－＜＜．－＜＜．＜－或＞二、填空题(每小题分，共分)．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图--中的阴影部分(包括边界)，那么这个不等式组是．图--．若实数，满足(\\(－＋≤，＞，≤，))则的最小值是．．设为不等式组(\\(≥，－≤，＋－≤))表示的平面区域，区域上的点与点()之间的距离的最小值为．三、解答题(共分)．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料吨，原料吨；生产每吨乙产品要用原料吨，原料吨，销售每吨甲产品可获得利润万元，每吨乙产品可获得利润万元．该企业在一个生产周期内消耗原料不超过吨，原料不超过吨，求该企业可获得的最大利润．基础知识反馈卡·．(\\(≤，≥－，－＋≥))())．解：设生产甲、乙两种产品分别为吨、吨，由题意，得(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))且获得利润＝＋.画出可行域如图，图由(\\(＋＝，＋＝，))解得()．由图可知，当直线＋＝经过点时，＝.故该企业可获得的最大利润为万元．。

2018年高考数学新课标Ⅰ卷文科第14题理科第13题22≤--yx若x，y满足约束条件01≥+-yx，则yxz23+=的最大值为。

≤y本题解答：约束条件一：022≤--yx。

直线方程：022=--yx。

令)1,0(1220-⇒-=⇒=--⇒=yyx；令)0,2(220⇒=⇒=-⇒=xxy。

验证点)0,0(，验证不等式0222≤-⇒≤--yx成立。

约束条件二：01≥+-yx。

直线方程01=+-yx。

令)1,0(110⇒=⇒=+-⇒=yyx；令)0,1(110-⇒-=⇒=+⇒=xxy。

验证点)0,0(，验证不等式011≥⇒≥+-yx成立。

约束条件三：0≤y在直线0=y（x轴）的下方。

如下图所示：端点)0,1(-A；端点B：联立01=+-yx和022=--yx得到端点)3,4(--B；端点)0,2(C。

目标函数yxz23+=。

端点)0,1(-A端点)3,4(--B端点)0,2(C32)1(3-=⨯+-⨯=Az18612)3(2)4(3-=--=-⨯+-⨯=Bz6223=⨯+⨯=Cz所以：目标函数yxz23+=的最大值为6。

2018年高考数学新课标Ⅱ卷文科第14题理科第14题若满足约束条件 则的最大值为 。

本题解答：约束条件一：052≥-+y x 。

直线方程：052=-+y x 。

令)25,0(250520⇒=⇒=-⇒=y y x ；令)0,5(5050⇒=⇒=-⇒=x x y 。

验证点)0,0(，验证不等式052≥-+y x 05≥-⇒不成立。

约束条件二：032≥+-y x 。

直线方程032=+-y x 。

令)23,0(230320⇒=⇒=+-⇒=y y x ；令)0,3(3030-⇒-=⇒=+⇒=x x y 。

验证点)0,0(，验证不等式032≥+-y x 03≥⇒成立。

约束条件三：505≤⇒≤-x x 在直线5=x 的左侧。

如下图所示：端点A ：联立032=+-y x 和052=-+y x 得到端点)2,1(A ；端点B ：联立5=x 和032=+-y x 得到端点)4,5(B ；端点)0,5(C 。

【母题原题1】【2018新课标1，文14】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.【母题原题2】【2017新课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【母题原题3】【2016新课标1，文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品和产品的件数分别为件，利润之和为元，则根据题意可得考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题是结合实际应用的线性规划问题，根据条件列出限制条件，即得到可行域，根据问题明确目标函数；线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 【命题规律】1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 2．二元一次不等式所表示的平面区域一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线． 3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，直线l 的同一侧点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0. 4．线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组； 目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等； 线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数. 可行解：满足线性约束条件的解. 可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 【方法总结】1．求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－b x－a.3．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．1．【2018年北京市石景山区高三统一测试】设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C2．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考】记不等式组的解集为，若，则实数的最小值是( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：首先根据题干所给的约束条件，画出相应的可行域，再分析可得目标函数所表示的直线经过定点，分析参数的几何意义可知当直线经过点时，取最小值为.详解：作出约束条件所表示的可行域,如图所示,直线经过点,而经过两点的直线的斜率为,所以要使得, 成立,则,所以实数的最小值是,故选C.点睛：本题在求解时，首先要根据约束条件正确画出可行域，之后根据目标函数的形式，判断参数的几何意义，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值即可.4．【北京市十一学校2018届高三三模】已知实数满足若的最小值是-5，则实数取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B的最小值是-5，此时-5，此时目标函数过定点，作出-5的图象，由图象知当时，直线经过B时，取得最小值-5；当时，由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最小值-5，此时满足条件，点睛：与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围进行讨论；(2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．5．【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】设关于,的不等式组,表示的平面区域内存在点，满足,求得取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据约束条件，画出可行域，要使可行域存在，必有，要求可行域包含直线上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线下方，从而建立关于的不等式组，解之可得结论.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.6．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考】已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.7．【湖北省2018届高三5月冲刺】已知实数、满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 1【答案】A点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min＝5×1 600＋2 400×12＝36800，故租金最少为36800元．选C.9．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，在直线上时，有最大值，即，，目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．11．【福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟考试】若变量、满足约束条件，则的最大值为______________.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.详解：画出可行域，如图：点睛：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，是基础题.12．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是__________．【答案】.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.13．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】已知实数，满足约束条件，且的最小值为3，则常数__________．【答案】-2.【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为列方程求解即可.详解：点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素/分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为__________．【答案】.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.。

第三节 简单的线性规划考点一 简单的线性规划问题1．(2015·广东，6)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B ．6C.235D ．4解析 不等式组所表示的可行域如图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题当目标函数直线l ：y ＝－32x＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C. 答案 C2．(2015·北京，2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C.32D ．2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z ，过点A (0，1)时，z 取得最大值2. 答案 D3．(2015·福卷，5)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( ) A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.答案 A4．(2015·山东，6)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 B5．(2015·陕西，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析 设甲、乙的产量分别为x 吨，y吨，由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 答案 D6．(2014·广东，3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x＋z 经过点B时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6.答案 B7．(2014·安徽，5)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析 法一 由题中条件画出可行域，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案 D。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试卷卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前,请务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试卷卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试卷卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则 若事件A ,B 相互独立,则 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上,下底面积,表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高 球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一,选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则A ．B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．双曲线的焦点坐标是A ．,0)B ．(−2,0),(2,0)C ．)D ．(0,−2),(0,2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积（单位：cm 3）是()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=121()3V S S h =12,S S h V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R =π343V R =πR =UA ∅221 3=x y -A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α,直线m ,n 满足m α,n α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1,随机变量ξ的分布列是则当p 在（0,1）内增大时. A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点（不含端点）,设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S −AB −C 的平面角为θ3,则俯视图正视图21i-||2x ⊄⊂A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知a,b,e是平面向量,e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是A1B+1 C．2 D．210．已知成等比数列,且．若,则A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二,填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

2018高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（18全国卷I，文数14，理数13题）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为．解析：不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示可行域如图中阴影部分所示。

目标函数32z x y =+可化为31y x z =-+，作3y x =-即320x y +=图象，32z x y =+的最大值点应为使3122y x z =-+的截距最大的点，由图易知为点(2,0)。

∴把(2,0)代入32z x y =+得max 32206z =⨯+⨯=。

答案：62.（18全国卷Ⅱ，文数、理数14）若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为．解析：不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，表示的可行域如图中阴影部分所示。

目标函数z x y =+可化为y x z =-+，作y x =-即0x y +=的图象（虚线所示），易知z x y =+中z 取最大值的点应为使y x z =-+截距最大的点，为点()5,4A ，把()5,4A 坐标代入z x y =+中得max 549z =+=答案：93.（18全国卷Ⅲ，文数15）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．解析：不等式组23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，所表示的可行域如右图中阴影部分所示，目标函数13z x y =+可化为33y x z =-+，作出函数3y x =-即30x y +=的图象（图中虚线所示），易知13z x y =+的最大值点为33y x z =-+在y 轴截距的最大值点，为点()2,3A ，把()2,3A 代入目标函数13z x y =+中，得max 12333z =+⨯=答案：34.（18年北京卷文数13、理数12）若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是．解析：不等式12x y x +≤≤等价于12y x y x ≥+⎧⎨≤⎩，其可行域如图中阴影部分所示。

五、不等式（二）简单的线性规划一、高考考什么？[考试说明]3．了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题。

[知识梳理]1.步骤：（1）作出可行区域；（2）确定最优解（一般在端点）2.常见的几何意义[全面解读]线性规划问题应该抓住两个前提，一个是简单，一个是线性，因此线性规划问题注定不会很难，但线性规划问题又是高考的必考内容，掌握基本题型和一些表达式的几何意义是必须的。

[难度系数] ★★☆☆☆二、高考怎么考？[原题解析] [2004年]（5）设z x y =-,式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为( )A ．1B ．-1C ．3D ．-3 [2005年]（7）设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面 区域(不含边界的阴影部分)是( )[2006年]（4）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A．．4 C． D ．2 [2007年]（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．[2008年]（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于___________。

[2009年]（13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪-≤+⎨⎪-≥⎩，，则，的最小值是__________.[2010年]（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 [2011年]（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）A ．14B ．16C ．17D ．19 [2013年]（13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

2018年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4.00分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）1A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（4.00分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）2A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．（4.00分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A ．﹣1B ．+1 C．2 D．2﹣10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。