多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
三：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °
（n 2) 180 n
内角=
;外角=
360 n
专题复习 专题复习
专题一 三角形的三边关系
【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三 角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= A ∠C,求∠1的度数. ) 1 D 2 4 3 C
【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为
∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x. 在△ABC中，根据三角形内角和定理，得 B x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
2.△ABC中，∠A＝80°，∠B-∠C＝20°，则∠B=60 ，° ∠C = . 锐角 按角分类这个三角形属于三角形． 40 ° 3.在△ABC中，已知：3∠A=∠C，3∠B=2∠C，则△ABC 直角 是三角形（提示设最小角 ∠A=x °).
4.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周
周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则 三角形的周长是 24 ．
【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也 别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想 如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像 数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第
三边得: 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11. 又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条
线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边 的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第 三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的 不等关系中有着重要的作用. 【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值 范围是. 6<x<12
则∠ADC的度数是.
100 °
A
D B
C
专题三 多边形的内角和与外角和
求这个多边形的边数.
1 【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ， 4
【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为 4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题 中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求
【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是 D
等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以 B E C
∠C=75°. 【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外 角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角
的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰
三角形.
分类讨论思想 【例5】已知等腰三角形的两边长分别为10 和6，则
三角形的周长是
26或22 ．
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以 要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时
边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其 边数是. 6
【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所 以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
专题四 本章中的思想方法
方程思想 【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE ⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. A
学练优八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章
三角形
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课堂训练
知识网络 知识网络
三角形的边：三边关系定理 与三角形有 关的线段 高线 中线：把三角形面积平分 角平分线 三角形内角和：180° 与三角形有 关的角 三角形的分类 定义 对角线 三角形外角和：360° 内角与外角关系
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我
们称它为“8字型”图. A C
O B
D
【例6】如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数. A 【解析】 所求问题不是常见的求
多边形的内角和问题，我们发现，
只要连结CD便转化为求五边形的内 B 角和问题，由“8字型”模型图可 知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所 以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ C G F
D 2
【归纳拓展】这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，
故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间
的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高 我们解题的准确性和速度.
其他证法:如下图
A A
D B
E 证法二 C
D B 证法三
C
【配套训练】如图所示，∠B＝45°，∠A=30°,∠C＝25°，
E
D
∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
课堂小结 课堂小结
等腰三角形有 关计算问题 重 要 线 段
分类讨论和三边关系检验 中线性质 的 应 用
三 角 形
飞镖模型 常见几何 模 型 8 字 型 角平分线 夹角模型
课堂训练 课后训练
1.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条， 根据是 三角形具有稳定性 .
专题二 三角形内角和及其相关定理
【例2】如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
【证明】如图，作射线BD. 根据三角形外角的性质，则 A 3 1 B E 4 C
有∠3= ∠1+ ∠A ① ；∠4=
∠2+ ∠C ②.由①+ ②得∠3+ ∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C， 故∠A+∠B+∠C=∠ADC获证.
