2011年海淀区高考一模数学(文)试题及答案

2011年海淀区中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的相反数是（ ）．A ．12-B ．12 C ．2- D ．22．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82000000000元．将82000000000用科学计数法表示为（ ）．A ．110.8210⨯B ．108.210⨯C ．98.210⨯D ．98210⨯3．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是（ ）．4．一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同．从袋中随机取出一个球，取到黄球的概率是（ ）．A ．18B ．38C ．13D ．125．用配方法把代数式245x x -+变形，所得结果是（ ）．A ．2(2)1x -+B ．2(2)9x --C ．2(2)1x +-D ．2(2)5x +-6．如图，平行四边形ABCD 中，10AB =，6BC =，E 、F 分别是AD 、 DC 的中点，若7EF =，则四边形EACF 的周长是（ ）． A ．20 B ．22C ．29D ．317．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复赛．若小新知道了自己的成绩，则由其他19名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是（ ）．A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差8．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cm AB =，3cm BC =，动点P 从点A 出发， 以每秒1cm 的速度，沿A B C →→的方向运动，到达点C 时停止．设2y PC =， 运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是（）．A BDCEF A PBCB C D A二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式14x -有意义，则x 的取值范围是 ．10．分解因式：269mx mx m -+= ．11．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点H ，若30D ∠=︒， 1cm CH =，则AB = cm ．12．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =．第一次将纸片折叠， 使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将 纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ， 第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，…． 按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ， 则1=BO ，=n BO ． …第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：0218(31)()4sin 452---+-︒．ABOC H DyO5tC 8916yO5t A 8916yO 5t B 8916yO5tD8916B ADCB A DC 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD CB ADC14．解不等式组：48011.32x x x -<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，15．如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，DE 与CF 相交于点O ，且A C B D =，CO DO =，A B ∠=∠．求证：AE BF =．16．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值．17．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于(2,1)A ，(1,)B n -两点． （1）求k 和b 的值；（2）结合图象直接写出不等式0mkx b x+->的解集．A C D BEFOxn1-2Oy1BAy kx b=+m y x=18．列方程或方程组解应用题：“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=︒，105ADC ∠=︒，6AD =，且A C A B ⊥，求AB 的长．20．如图，AB 为⊙O 的直径，4AB =，点C 在⊙O 上，CF OC ⊥，且CF BF =． （1）证明：BF 是⊙O 的切线；（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若6MC =，求MCF ∠的大小．积分兑换礼品表 兑换礼品 积分 电茶壶一个 7000分 保温杯一个 2000分 牙膏一支 500分ADCB AFCOBM21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整； （2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率；（3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？22．如图1，已知等边ABC △的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记DEF △的周长为p ．（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 ． 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示．则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥．老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．32%其他16%音乐12%美术%体育音乐美术体育其他024681012人数类别扇形统计图条形统计图A B D F C E 1图AB D FC E 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值．24．已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A ．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积．y xO1（备图）y x O 11（备图）yxO12（备图）25．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE AB ⊥于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1．设CF kEF =，则k = ；（2）若将图1中的ADE △绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：2BE DE CF -=；（3）若6BC =，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．B C A D E F B D EA FCBAC1图2图备图2011年海淀区中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCBACCA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 910 11 12答案4x ≠2(3)m x -23212332n n --三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=221422-+-=3．14．解：解不等式480x -<，得2x <， 解不等式1132x x+-<，得2263x x +-<， 即4x >-，所以，这个不等式组的解集是42x -<<．15．证明：在COD △中， ∵CO DO =， ∴ODC OCD ∠=∠． ∵AC BD =， ∴AD BC =．在ADE △和BCF △中， ∵A B AD BC EDA FCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE BCF ≅△△． ∴AE BF =．16．解：∵m 是方程220x x --=的一个根， ∴220m m --=．∴22m m -=，22m m -=． ∴原式222()(1)m m m m-=-+2(1)mm=⨯+ 224=⨯=．17．解：（1）∵反比例函数my x=的图象过点(2,1)A ， ∴2m =．∵点(1,)B n -在反比例函数2y x=的图象上， ∴2n =- ．∴点B 的坐标为(1,2)--．∵直线y kx b =+过点(2,1)A ，(1,2)B --， ∴21,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩（2）10x -<<或2x >．18．解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶． 设小华兑换了x 个保温杯和y 支牙膏， 依题意，得10,20005008200200.x y x y +=⎧⎨+=-⎩解得2,8.x y =⎧⎨=⎩答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：过点D 作DE AC ⊥于点E ，则90AED DEC ∠=∠=︒． ∵AC AB ⊥， ∴90BAC ∠=︒． ∵60B ∠=︒， ∴30ACB ∠=︒． ∵AD BC ∥，∴30DAC ACB ∠=∠=︒． ∴在Rt ADE △中，132DE AD ==，2233AE AD DE =-=，60ADE ∠=︒． ∵105ADC ∠=︒， ∴45EDC ∠=︒．∴在Rt CDE △中，3CE DE ==．A DCBE∴333AC AE CE =+=+．∴在Rt ABC △中，3tan (333)333AB AC ACB =⋅∠=+⨯=+．20．证明：连接OF ． （1）∵CF OC ⊥， ∴90FCO ∠=︒． ∵OC OB =， ∴BCO CBO ∠=∠． ∵FC FB =， ∴FCB FBC ∠=∠．∴BCO FCB CBO FBC ∠+∠=∠+∠． 即90FBO FCO ∠=∠=︒． ∴OB BF ⊥． ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BF 是⊙O 的切线． （2）∵90FBO FCO ∠=∠=︒，∴90MCF ACO ∠+∠=︒，90M A ∠+∠=︒． ∵OA OC =， ∴ACO A ∠=∠． ∴FCM M ∠=∠． 易证ACB ABM ∽△△， ∴AC ABAB AM=． ∵4AB =，6MC =， ∴2AC =．∴8AM =，2243BM AM AB =-=． ∴cos cos MCF M ∠=∠=BMAM32=． ∴30MCF ∠=︒．21．（1）（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人．记选择音乐类的4人分别是1A ，2A ，A 小音乐美术体育其他24681012人数类别扇形统计图条形统计图32%其他16%音乐12%美术40%体育AFCOBM丁；选择美术类的3人分别是1B ，2B 小李．可画出树状图如下：由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是112． 或列表：1A2A3A小丁 1B 1A ，1B 2A ，1B 3A ，1B 小丁，1B 2B1A ，2B 2A ，2B 3A ，2B 小丁，2B 小李1A ，小李2A ，小李3A ，小李小丁，小李由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是112． （3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占40%，得50040%200⨯=， 所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名．22．解：（1）32p =；（2）332p <≤．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0， 所以方程总有两个实数根．（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：23(5)2m m x -±-=即：11x =，24xm =-，由题意，有448m <-<，即812m <<．（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为(0,4)M m -，由（2）可知抛物线与x 轴的交点为(1,0)和(4,0)m -，它们关于直线y x =-的对称点分别为(0,1)-和(0,4)m -， 由题意，可得：14m -=-或44m m -=-，即3m =或4m =．24．解：（1）由题意，可得8164(1)a a =-+及84k =，解得1a =，2k =，1A 1B 2B 小李2A 1B 2B 小李3A 1B 2B 小李1B 2B 小李小丁所以，抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =． （2）设点P 的坐标为4(,2)(0)t t t ≤≤，可得点Q 的坐标为2(,2)t t t -， 则2222(2)4(2)4PQ t t t t t t =--=-=--+ 所以，当2t =时，PQ 的长度取得最大值为4．（3）易知点M 的坐标为(1,1)-．过点M 作直线OA 的平行线交抛物线于点N ，如图所示，四边形AOMN 为梯形．直线MN 可看成是由直线OA 向下平移b 个单位得到，所以直线MN 的方程为2y x b =-． 因为点M 在直线2y x b =-上，解得3b =，即直线MN 的方程为23y x =-，将其代入22y x x =-， 可得2232x x x -=- 即2430x x -+= 解得11x =，23x = 易得11y =-，23y =所以，直线MN 与抛物线的交点N 的坐标为(3,3)．如图，分别过点M 、N 作y 轴的平行线交直线OA 于点G 、H ， 显然四边形MNHG 是平行四边形．可得点(1,2)G ，(3,6)H ． 113(10)[2(1)]222OMG S MG =⨯-⨯=⨯--=△113(43)(63)222ANH S NH =⨯-⨯=⨯-=△(31)236MNHG S NH =-⨯=⨯=△所以，梯形AOMN 的面积9OMG MNHG ANH AOMN S S S S =++=△△△梯形．25．解：（1）1k =；（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q ． 由题意，1tan 2BAC ∠=， ∴12BC DE AC AE ==． ∵D 、E 、B 三点共线， ∴AE DB ⊥．∵BQC AQD ∠=∠，90ACB ∠=︒， ∴QBC EAQ ∠=∠．∵90ECA ACG ∠+∠=︒，90BCG ACG ∠+∠=︒， ∴ECA BCG ∠=∠． ∴BCG ACE ∽△△． ∴12BC GB AC AE ==． ∴BG DE =． ∵F 是BD 中点，x1Oy(4,8)A 1MNHG 2图BD EAFCGQ∴F 是EG 中点．在Rt ECG △中，12CF EG =，∴2BE DE EG CF -==．（3）情况1：如图，当13AD AC =时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ，∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，且6BC =， ∴12AC =，65AB =．∵M 为AB 中点， ∴35CM =， ∵13AD AC =，∴4AD =．∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴122FM AD ==． ∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时235CF CM FM =+=+． 情况2：如图，当23AD AC =时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ， 类似于情况1，可知CF 的最大值为435+．综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CF 的长度取得最大值为435+．AD MFC BAD F CM B2011年海淀区中考一模数学试卷部分答案一、选择题 1. 【答案】D【解析】2-的相反数是2，故选D ．2. 【答案】B【解析】82000000000用科学记数法表示为108.210⨯，故选B ．3. 【答案】C【解析】主视图、左视图和俯视图形状都相同的只可能是正方体都为正方形，故选C ．4. 【答案】B【解析】一共有8个球，其中黄球3个，随机取出一个球，取到黄球的概率是38，故选B ．5. 【答案】A【解析】245=x x -+2(2)1x -+，故选A ．6. 【答案】C【解析】∵DE AE =，DF FC =，∴1=72EF AC =，14AC =， 又∵11522FC DC AB ===，11322AE AD BC ===， 四边形EACF 的周长为7+5+14+3=29，故选C ．7. 【答案】C【解析】小新能否进入复赛的主要判断他的成绩比中位数高还是低．若高于中位数，就能进入复赛；若低于中位数，就不能进入复赛，故选C ．8. 【答案】A【解析】当P 在AB 上运动，PC 先变小，当PC AB ⊥时，达到最小，然后PC 再变大； 当P 在BC 上运动，即5t ≥时，222(8)(8)y PC t t ==-=-，开口向上的抛物线．故选A ．二、填空题 9. 【答案】4x ≠【解析】分式14x -有意义，分母不为0，即40x -≠，4x ≠． 故答案为：4x ≠．10. 【答案】2(3)m x -【解析】分解因式22269=(69)(3)mx mx m m x x m x -+-+=-．故答案为：2(3)m x -．11. 【答案】23【解析】连结AO ，由圆周角定理可知260AOC D ∠=∠=︒，AOC △为等边三角形，AB CD ⊥，1CH =，由垂径定理可知3AH BH ==，23AB =． 故答案为：23．12. 【答案】2；12332n n --【解析】依题可知6AB =，10BC =，4BD =，1122BO BD ==． 1334BD BD ==，211322BO BD ==； 221233=42BD BD =，232313=22BO BD =；332433=42BD BD =，34351322BO BD ==；443633=42BD BD =，454713=22BO BD =；同理-1122233=42n n n n BD BD ---=，-11231322n n n n BO BD --==．故答案为：2；12332n n --．。

2011年北京市各区一模（文）：数列1(2011西城一模文14). 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,，当53=a 时，1a 的最小值为______； 当11=a 时，1220S S S +++= ______.2（2011东城一模文10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++=． 3 (2011朝阳一模文4)已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是（）（A ）692（B ） 69 （C ）93 （D ）1894(2011丰台文10)．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= ． 5(2011门头沟一模文3).等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于（）A. 7B. 14C. 28D. 3.5 6(2011石景山一模文3)．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ．54B ．68C ．90D ．72 7(2011石景山一模文14)．函数)0(2>=x xy 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．8（2011西城一模文17）.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且12323a a a +=.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为n T . 当2n ≥时，试比较n b 与n T 的大小.9(2011朝阳一模文20)．（本小题满分14分）有n (3, )n n *∈N ≥个首项为1，项数为n 的等差数列，设其第m (, )m n m *∈N ≤个等差数列的第k 项为mka (1,2,3,,)k n = ，且公差为m d . 若11d =，23d =，123,,,,n n n nn a a a a 也成等差数列．（Ⅰ）求m d （3m n ≤≤）关于m 的表达式；（Ⅱ）将数列{}m d 分组如下：1()d ，234(,,)d d d ，5(d ，6d ，7d ，8d ，9d ）…， （每组数的个数组成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50nn S d ->成立的所有N 的值．10(2011丰台文17)．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．11(2011海淀一模文16). （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12nn S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.12(2011海淀一模文20). （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ， 设j jk k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)gg gg；(II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值.13(2011门头沟一模文19).（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足以下两个条件： ①点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上， ②首项1a 是方程01432=+-x x的整数解，（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，解不等式n n S T ≤.14(2011石景山一模文20)．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a ，a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a ，且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ，其中a ，k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值； （Ⅱ）令n n na ab -=+1)(*∈N n ，若11=b ，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数)(x f 的解析式．答案解析选择填空1. 5 9102. 423. C4. 215. B6. D7.5 52n -解答题8解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………2分因为{}n a 是等比数列，所以23210q q --=. ……………………3分解得1q =或13q =-. ……………………5分（Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232n n nT +=， (7)分所以，当2n ≥时，2202n n n n T b +--=>. 即当1q =时，(2)n n T b n >≥. ……………………8分②当13q =-时，72(1)()33n nb n 1-=+--=， (9)分2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， (10)分(1)(14)6n n n n T b ---=-， (12)分所以，当14n >时，nn T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，nn T b >. (13)分综上，当1q =时，(2)nn T b n >≥.当13q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，n n T b >.9. 解（Ⅰ）由题意知，1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理， 3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n nn n nn n n a a a a a a --=-==- ，故21321n n d d d d d d --=-==- .即{}n d 是公差是21312d d -=-=的等差数列． 所以，21md m =-（3m n ≤≤，*,m n ∈N ）． ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知*2 1 ()md m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，…． 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ， 所以前2m 个奇数的和为224()m m =，即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =． 因为0mc >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m md m m =-⋅∈N ．所以234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，故2341222222222(21)2n n nS n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--，所以1(23)26n n S n +=-+． ……………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()nd n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .故不等式1(6)50n n S d -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50nn S d ->成立． 所以满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ．…………………………………14分10. 解：（I ）当n=1时，11312a a =-， ∴ a1=2当2n ≥时，∵312n n S a =- ①1131(2)2n n S a n --=-≥ ②①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13nn a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列．123n n a -=⋅（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n nn b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅相加得12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+- ． （相加1分，求和1分，结果1分）当n=1时，111345b -+== ∴134n n b -=+ 11. 解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分即2na n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分所以有212nna a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2na n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分所以由112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分12. 解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++ ，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分 13. 解 （I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，…………2分所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n…………4分 （II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n =…………6分等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，13-=n n b …………9分数列}{n b 的前n 项和2133131-=--=n n n T…………11分n n S T ≤即2213n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 …………14分14. 解：（Ⅰ）由已知)(1-=n na f a ，)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得=-+nn a a 1)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．由数列{}n a 是等差数列，得=-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．所以，1--n n a a )(1--=n n a a k ，),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，所以1=k． ………………4分（Ⅱ）由0121≠-=a a b ，可得=-=232a ab .0)()()(1212≠-=-a a k a f a f且当2>n 时，=-=+n n n a a b 10)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n ．所以，当2≥n 时，11111()()n n n n n n n n n n b a a f a f a k b a a a a +------===--， ……………7分 因此，数列{}n b 是一个首项为1b ，公比为k 的等比数列． 所以 数列{}n b 的通项公式是111n n nb bk k --==)(*∈N n ．……………………8分（Ⅲ）若{}n a 是等比数列，由（Ⅱ）知，)(121a a k b n n -=-)(*∈N n ，121213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n --+++=-+-++-=-≥ ， )(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a ． …………………………………………10分当1=k 时，)1)((121--+=n a a a a n)2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为：)1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n ．所以，当1=k 时，数列{}n a 是以a 为首项，a a f -)(为公差的等差数列．所以，1≠k ． ……………………………………………………………………12分当1≠k 时，kk a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以 k k a a f a a n n ---+=-11))((1kk a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(1所以01)(=--+kaa f a ka a f =⇒)(．所以 等式ka a f =)(对于任意实数a 均成立．所以kx x f =)()1(≠k ． ………………………………………………………14分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l = αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中 错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m 6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，BD AC =的直0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 21x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x 输出结束112yOx10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ，△CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ；'()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.ACBOD EA C P BDO 元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O 元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O 元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲10001500200025003000350016. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ， 24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅， 设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j = ，12()m g m b b b nm =+++- (1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-= ，求函数)(m g 的最小值.A DFEB G C一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCACDBBD非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70 ； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , …………………4分 所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A << ，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分 所以5sin ,5B =10sin 10C =. …………9分由sin sin a cA C=得5a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分HADFEB G C(Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又,AE EB EB EF E ⊥= ，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BH DH H BH =⊂ 平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥， 又AE EB ⊥, ∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-，………7分∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分 设二面角C DF E --的大小为θ，则26cos cos ,626EB -=<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6.6-…………………………14分 x zyA D F EBG C17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分… ……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分X 0 1 2 3P301103 21 61 x(0,1)1 (1,)+∞()f x ' — 0 + ()f x极小（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分 综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C 上，解得32m =±，所以||3OP =. ……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分 又22222022226436||(34)(34)k m m OP x y k k =+=+++2222224(169)169(34)43m k k k k ++==++234.43k =-+ ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+， 故1332OP <≤. ………………………13分 综上，所求OP 的取值范围是13[3,]2. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB =+ ，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故1332OP ≤≤. ………………………13分 所求OP 的取值范围是13[3,]2. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a = ，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n=-+++++…………………12分∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分。

2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分40分）1. 已知集合A ={x ∈R|0<x <3}，B ={x ∈R|x 2≥4}，则A ∩B =( )A {x|2<x <3}B {x|2≤x <3}C {x|x ≤−2或2≤x <3}D R2. 设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则（ ） A c <b <a B c <a <b C a <b <c D b <c <a3. 函数f(x)=x+1x 图象的对称中心为（ ）A (0, 0)B (0, 1)C (1, 0)D (1, 1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为（ ）A 25B 24C 23D 225. 从集合A ＝{−1, 1, 2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{−2, 1, 2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx +b 不经过第三象限的概率为（ ）A 29B 13C 49D 59 6. 在同一个坐标系中画出函数y =a x ，y =sinax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A B CD7. 已知函数f(x)={x 2+ax +1，x ≥1ax 2+x +1，x <1则“−2≤a ≤0”是“f(x)在R 上单调递增”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要8. 若直线l 被圆C:x 2+y 2=2所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（ ）A (x −1)2+y 2=1B x 22+y 2=1C y =x 2D x 2−y 2=1二、填空题（共6小题，每小题3分，满分30分）9. 计算21+i =________．10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________．（用“>”连接）11. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P −ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．12. 已知函数f(x)=xe x ，则f′(x)=________；函数f(x)图象在点（0, f(0)）处的切线方程为________．13. 已知向量a →=(x, 2)，b →=(l, y)，其中x ，y ≥0．若a →⋅b →≤4，则y −x 的取值范围为________． 14. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，△CPD 的面积为f(x)．则f(x)的定义域为________；f(x)的最大值为________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanB =12，tanC =13，且c =（1）求tan(B+C)；（2）求a的值．16. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2且S n=S n−1+2n(n≥2, n∈N∗)．（1）求S n；（2）是否存在等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9？若存在，则求出数列{b n}的通项公式；若不存在，则说明理由．17. 如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB // DC，AD=CD=12AB，且O为AB中点．(I)求证：BC // 平面POD；(II)求证：AC⊥PD．18. 已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0, a∈R)（I）若a=1，求函数f(x)的极值和单调区间；（II）若在区间[1, e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1,32)，其离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．20. 已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有k i个(i＝1, 2, 3…)，设b j＝k1+k2+...k j(j＝1, 2, 3…)，g(m)＝b1+b2+...b m−100m(m＝1, 2, 3…)．(Ⅰ)设数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，k5＝…＝k100＝0，求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)；(II)若a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，比较g(m)，g(m+1)的大小；(Ⅲ)若a1+a2+...a100＝200，求函数g(m)的最小值．2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. A3. B4. C5. A6. D8. B9. 1−i10. s 1>s 2>s 311. 112. (1+x)e x ,y =x13. [−4, 2]14. (2, 4),2√215. 解：（1）因为tanB =12，tanC =13，tan(B +C)=tanB+tanC 1−tanBtanC ， 代入得到，tan(B +C)=12+131−12×13=1；（2）因为A =180∘−B −C ，所以tanA =tan[180∘−(B +C)]=−tan(B +C)=−1，又0∘<A <180∘，所以A =135∘．因为tanC =13>0，且0∘<C <180∘， 所以sinC =√1010， 由a sinA =c sinC ，得a =√5．16. 解：（1）因为S n =S n−1+2n ，所以有S n −S n−1=2n 对n ≥2，n ∈N ∗成立即a n =2n 对n ≥2成立，又a 1=S 1=2⋅1，所以a n =2n 对n ∈N ∗成立所以a n+1−a n =2对n ∈N ∗成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n =a 1+a n 2⋅n =n 2+n ，n ∈N ∗（2）存在．由（1），a n =2n ，n ∈N ∗对成立所以有a 3=6，a 9=18，又a 1=2，所以由b 1=a 1，b 2=a 3，b 3=a 9，则b 2b 1=b3b 2=3 所以存在以b 1=2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n =2⋅3n−1．17.证明：(I)因为O 为AB 中点，所以BO =12AB ，又AB // CD，CD=12AB，所以有CD=BO，CD // BO，所以ODCB为平行四边形，所以BC // OD，又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC // 平面POD．(II)连接OC．因为CD=BO=AO，CD // AO，所以ADCO为平行四边形，又AD=CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为正三角形PAB，O为AB中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD．18. 解：(I)因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，当a=1，f′(x)=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，又f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：f(x)的单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(0, 1)；（II）因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，且a≠0，令f′(x)=0，得到x=1a，若在区间[1, e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0即可．（1）当a<0时，f′(x)<0对x∈(0, +∞)成立，所以，f(x)在区间[1, e]上单调递减，故f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne=1e+a，由1e +a<0，得a<−1e，即a∈(−∞,−1e)（2）当a>0时，①若e ≤1a ，则f ′(x)≤0对x ∈[1, e]成立， 所以f(x)在区间[1, e]上单调递减，所以，f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne =1e +a >0， 显然，f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0不成立②若1<1a <e ，即1>a >1e 时，则有所以f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(1a )=a +aln 1a ，由f(1a )=a +aln 1a =a(1−lna)<0， 得1−lna <0，解得a >e ，即a ∈(e, +∞)舍去；当0<1a <1，即a >1，即有f(x)在[1, e]递增，可得f(1)取得最小值，且为1，f(1)>0，不成立．综上，由（1）（2）可知a <−1e 符合题意．19. 解：（1）由已知，e 2=a 2−b 2a 2=14， 所以3a 2=4b 2，①又点M(1,32)在椭圆C 上， 所以1a 2+94b 2=1，②由①②解之，得a 2=4，b 2=3．故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1． （2）当直线l 有斜率时，设y =kx +m 时， 则由{y =kx +mx 24+y 23=1.消去y 得，(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0，③ 设A 、B 、P 点的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 0, y 0)，则：x 0=x 1+x 2=−8km 3+4k 2，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m3+4k 2， 由于点P 在椭圆C 上，所以x 024+y 023=1．从而16k 2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．又点O到直线l的距离为：d=√1+k2=√34+k2√1+k2=√1−14(1+k2)≥√1−14=√32．当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(−2, 0)，(2, 0)，直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，所以点O到直线l的距离最小值为√32．20. （I）∵ 数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴ b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴ g(1)＝−60，g(2)＝−90，g(3)＝−100，g(4)＝−100；(II)∵ g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴ g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵ a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴ 当m≥50时，b m＝100，∴ g(1)>g(2)>...>g(49)＝g(50)＝g(51)＝…，即当1<m<49时，g(m)>g(m+1)，当m≥49时，有g(m)＝g(m+1)；(III)设M为{a1, a2, ...a100}中的最大值，由(II)知，g(m)的最小值为g(M)；则g(M)＝b1+b2+b3+...+b M−100M＝(b1−100)+(b2−100)+(b3−100)+...+(b M−1−100)＝(−k2−k3−...−k M)+(−k3−k4−...−k M)+(−k4−k5...−k M)+...+(−k M)＝−[k2+2k3+...+(M−1)k M]＝−(k1+2k2+3k3+...+Mk M)+(k1+k2+...+k M)＝−(a1+a2+a3+...+a100)+b M＝−(a1+a2+a3+...+a100)+100∵ a1+a2+a3+...+a100＝200，∴ g(M)＝−100，∴ g(m)最小值为−100．另由题易知M的最大值为101，∴ g(m)的最小值为g(101)＝−100．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2011.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；ACP BD A DFE(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值. 17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围. 19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围. 20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2011．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . (3)分因为180A B C =-- , …………………4分 所以t A B=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . ............8分 所以sin B =sin C =. (9)分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分… ……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=. (13)分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分 ………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知 ①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP===………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，OP<≤. (13)分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得O P=+，所以12120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+， 故2OP ≤≤. ………………………13分所求OP 的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：123()n a a a a n=-+++++…………………12分∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．32-D ．322. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．27. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图222112218. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）开始0;0S n ==n i<21n S S =++是否1n n =+S输出结束i 输入设函数13()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且32a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F高中 45 30 a初中151020为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为23，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAACBDBD第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分 32s i n 32b b B ∴=, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，x(1,)a a(,2)a()f x ' － 0 ＋ ()f x极小由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分....................................10分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242(23)t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。

2011年北京市海淀区高三一模试题及答案（语文）被高三学生誉为最好的高考复习资料和高考辅导资料的高考宝典为为了减少电磁辐射的伤害，在日常生活中应该注意自我防护。

远离辐射源，尽量缩短使用电器的时间，适当多吃一些富含维生素A、C和蛋白质的食物。

14．下列说法不符合文意的一项是（3分）A．在日常生活中，那些不易被人感知的电离辐射、电磁辐射、次声等都属于“能量流污染物”。

B．太阳发出光发热，也是一种电磁辐射现象，不仅产生电磁能量，也产生电磁污染。

C．电磁辐射污染带来的头疼、失眠、皮肤病等问题，都是电磁辐射对人体造成的器质性损害。

D．电磁辐射对人体的损害程度与人的神经系统和免疫系统的发育程度是密切相关的。

15．在生活中，为什么对“电磁污染”必须给予足够的重视？（5分）五、本大题共4小题，共25分。

阅读下面的作品，完成16—19题。

园缘老编辑朱慨然的家在古双巷的尾端，再过去几十步，就是雨湖，水光波影一直通到小巷中来。

他家进门是一个极小的院子，一堵花墙，把前后隔成两半。

花墙正中有一个六角形的门，门两侧上方嵌两个漏窗；门楣上置一块汉隶小匾，上书“置足园”。

园子长约五十步，宽仅二十步许。

前面是幽静的庭院，后面是三间小瓦屋。

庭院的东北角，叠几块玲珑山石；庭中植几丛花木，红绿相映；西侧贴墙筑半廊，与一个半亭相连，亭墙上凿出一个扇形窗，伸颈可餐雨湖秀色。

亭子旁边耸几竿瘦竹，一如郑板桥之画意。

庭园虽仅可置足，却似唐人绝句与宋人小令，堪可咀嚼。

这园子是他的挚友胡令行设计的，而远在湘南山地的令行却于几日前溘然长逝了。

在大学里，他们读的是中文系，同班，且穷。

朱慨然喜欢写些小说、诗歌。

令行则在课余苦研园林建筑，把一本明人撰著的《园治》读得滚瓜烂熟，又经实地考察，积累了许多经验。

毕业后，朱慨然到书局当编辑，令行在一个营造厂做了技师。

当朱慨然东凑西借，买下这个又小又破的园子时，令行喜得眉飞色舞。

他苦思冥想，精心算计，用极少的钱置办了砖、瓦、木、石，和请来的两个工匠一起将园子修葺一新，又亲自携锄到荒野，挖来几竿瘦竹几株花草，植在园中。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。

若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 2011．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分（II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分 又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin C =， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a = …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ， 其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =，所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分 又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD平面PAB AB = ，BACDOPBA CD OP所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分18. （共14分）新 课 标 第 一网解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x -=-+= ， …………………2分 当1a =， 21'()x f x x-= ，令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一：因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a= ，若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e =+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分（2）当10x a =>，即0a >时， ① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e<<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e =…………………9分 （1）当0a <时：因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+，只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分从而222222216121(34)(34)k m mk k+=++，化简得22434m k=+，经检验满足③式.………10分又点O到直线l的距离为：d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(2,0),(2,0)-，直线l为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分所以点O到直线l……14分20.（共13分）新课标第一网解: (I)因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-. …………………3分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①…………………5分当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m<<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+.…………………7分（III）设M为{}12100,,,a a a中的最大值.由（II）可以知道，()g m的最小值为()g M. 下面计算()g M的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。