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专题16反比例函数与几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一反比例函数中K 值的几何意义】 (1)【考向二反比例函数与三角形的综合问题】 (8)【考向三反比例函数与矩形的综合问题】 (15)【考向四反比例函数与菱形的综合问题】 (22)【考向五反比例函数与正方形的综合问题】 (32)【考向六反比例函数与圆的综合问题】 (42)【直击中考】【考向一反比例函数中K 值的几何意义】【答案】4【分析】设点C 的坐标为3382AEC S k ，由此即可求出【详解】4k ．故答案为：4 ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C 的坐标，利用点C 的横坐标表示出A 、E 点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．【变式训练】【答案】23【分析】过点B作BD再由三角形面积求解即可．【详解】解：过点B作BD【答案】7213【分析】先利用面积关系得到得到对应边的关系进一步转化即可得到【详解】解：过点C 作CN OC ∵平分AOB ，CN CD ，54OA OB ， 54OAC S S ，【答案】6【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得3COD S △，由系数k 的几何意义可得答案．【详解】解：如图，过点C 作CD y 轴于【答案】6【分析】根据反比例函数中k的几何意义：，根据图像均在第一象限可知【考向二反比例函数与三角形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点①求直线AC的解析式；②求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数的解析式为∵AO=AB，OA=5，OB=6．∴OD=BD=3，∴AD=22253OA OD∴A（3，4），把A（3，4）代入y=kx (x＞∴反比例函数的解析式为y=（2）(1)求反比例函数的解析式；(2)坐标平面内有一点D，若以【答案】(1)y＝3 x(2)（1，﹣3）或（﹣1，【分析】（1）过点B作BE是等边三角形，根据菱形的性质可知，需要分三种情况：当(1)求反比例函数的表达式；(2)求等边△ACD的边长．【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)等边△ACD的边长为458【分析】（1）根据等边三角形的性质以及在Rt△OFM中，∠OMF=90°-∴OF=1，FM=3，∴点M的坐标为（1，3），代入∴反比例函数的表达式为y=∵等边△ADC，∴AD=CD=AC，∠ADC=∠DCA ∴设AD=CD=AC=4a，∵点N是AD的中点，∴AN=DN=2a，同理，得：AE=a，NE=3a，统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点k的值．【答案】(1)B（1，3），C（3，(2)平移的距离为52，32k=【分析】（1）根据矩形性质得出【答案】（1）k＝﹣6连接AE，相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行【考向四反比例函数与菱形的综合问题】（1）求k 的值及AB 所在直线的函数表达式；（2）将这个菱形沿x 轴正方向平移，当顶点【答案】（1）32k ，354y x ；（2【分析】（1）根据点D 的坐标为（4k 的值；（2）根据D′F′的长度即可得出D′点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出∵点D 的坐标为（4,3）∴FO =4，DF =3∴DO =5∴AD =5∴A 点坐标为：（4,8）∴4832xy ∴32k的图像上m，求出(1)求一次函数与反比例函数的解析式；∵四边形AODC是菱形，∴AD⊥OA，AE＝DE，EC＝OE，∵D（1，−2），∴OE＝1，ED＝2，∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，∴A（1，2），将A（1，2）代入直线y＝k1x＋1可得解得k1＝1，∴OF＝1，∵S△OAF12 ×1×1＝12，当P在A的左侧时，S△FOP＝12（-a ∴a＝−3，a＋1＝−2，∴P（−3，−2），当P在A的右侧时，S△FOP＝12a•OF ∴a＝5，a＋1＝6，(1)求双曲线y2的函数关系式及(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；(3)若BA的延长线与双曲线y【答案】(1)y＝4；m=2∵A（2，0），C（2，m），∴E（2，1m），AC y 轴，【考向五反比例函数与正方形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形的坐标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为(2)B′（6，4），点B′在该反比例函数的图象上．理由见解析【分析】（1）通过证明△AOB≌△由正方形的性质可知AB =CB ，∠ABC ∴∠ABO +∠BAO =∠ABO +∠CBM ∴∠BAO =∠CBM ，在△AOB 和△BMC 中，90BAO CBM AOB BMC AB CB，同(1)可证△AOB ≌△DEA （AAS ），∴DE =OA =2，AE =OB =4，∴OE =2+4=6，(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形OAFM的面积．【答案】(1)2 yx(2)115【分析】（1）根据三角形的面积可得点（2）首先求出点F的坐标，根据利用待定系数法求出备用图(1)求k的值并直接写出∴四边形AEFO是矩形．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．(1)点B的坐标_________；(2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x两点的对应点B 、D¢正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时(3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点【答案】(1)(﹣3，1)∵点A （-6，0），D （-7，3），∴OA=6，OG =7，DG =3，∴AG =OG-OA=1．∵∠DAG+∠BAH =90°，∠DAG+∠GDA =90°∴∠GDA =∠BAH ．又∠DGA =∠AHB =90°，AD=AB ，∴△DGA ≌△AHB ，∴DG=AH =3，BH=AG =1，∴点B 的坐标是（-3，1）；（2）由（1），得点B （-3，1），D （-7，3），∴运动t 秒时，点(72,3)D t ，(32B t 设反比例函数的关系式为k y x，∵点B ，D ¢在反比例函数图象上，＝轴的另一个交点是【答案】（1）240k ；（2）四边形【分析】（1）解方程求出OA 、OB 的长，进而可得点求解即可；（2）易求PA ＝PB ＝20，设⊙M 的半径为证明四边形PAMB 是菱形；（3）连接PM 并延长，交⊙M 于点过点Q 作QF ⊥y 轴于点F ，首先求出【详解】解：（1）解方程t 2－16t ＋48∵OA 、OB 的长是方程t 2－16t ＋48＝∴OA ＝12，OB ＝4，即点A 、B 的坐标为（∵PA ⊥x 轴于点A ，∴设P 点坐标为12,k ，∴四边形PAMB 是菱形；（3）连接PM 并延长，交⊙M 于点过点Q 作QF ⊥y 轴于点F ，当圆心M 在y 轴上时，由（1）（2）可知∴ME ＝16+20＝36，∴PM ＝2212361210 ，∴1210sin 101210PE PME PM ，∴sin sin 20FQ FQ PME FMQ MQ∴210FQ ，∴点Q的坐标为（210，16610【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到解一元二次方程、圆的基本知识、勾股定理、两点间距离公式、菱形的判定、解直角三角形等知识，明确第（是本题解题的关键．。
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题03 反比例函数与几何图形的综合应用考点一 反比例函数与三角形的综合应用考点二 反比例函数与平行四边形的综合应用考点三 反比例函数与矩形的综合应用考点四 反比例函数与菱形的综合应用考点五 反比例函数与正方形的综合应用考点一 反比例函数与三角形的综合应用【答案】32-【分析】根据ABC V 是等腰直角三角形，A 点，C 点坐标，根据中点公式求出【详解】∵ABC V 是等腰直角三角形，∴909045ABO ABC Ð=°-Ð=°-∴AOB V 是等腰直角三角形．AB【变式训练】【答案】1 yx =-【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．【答案】42-【分析】过点B作BD∠CEO=45°，CE=22“AAS”可证△OAC≌△DCB∵点C(-2,0)，∴CO=2，∴CO=EO=2，∴∠CEO=45°，CE=2x(1)求反比例函数的关系式；(2)如图（2），M是线段AB上一点，连接OM交AC于点N，△AMN与△CON的面积相等，求出点标．(3)若P是y轴上一点，当△ACP是等腰三角形时，写出点P的坐标．（直接写出答案，不需要解答过程）【答案】(1)3 yx =-∵∠BCA＝90°，∵AMN CON S S =V V ，∴AMN AON CON AON S S S S +=+V V V V ∴AMO ACO S S =V V ，∴点M 到y 轴的距离等于点C ∴直线CM y ∥轴 ，若AP =AC 5=，当点P 在y 轴正半轴时，1OP ∴点()10,25P +；当点P 在y 轴负半轴时，2OP考点二反比例函数与平行四边形的综合应用(1)求出反比例函数的表达式；【变式训练】【答案】12【分析】作AM⊥y轴于M，延长∵四边形OABC是平行四边形，∴OA P BC，OA=BC，(1)求k 值和点D 的坐标；(2)求平行四边形OABC 【答案】(1)60k =，D (6(2)56OABC C =Y 【分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出(1)直接写出点C、D的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD的对角线AC(4)求平行四边形ABCD的面积S．【答案】(1)C(3，-2)；D（5，0）2222AO AE EO=+=+=2313∴2213==．AC AO（4）(1)如图①连接AC 、DB 、CD ，当四边形CABD 为平行四边形且a ＝2时，求(2)如图②过C 、D 两点分别作CC y ¢∥轴DD ¢∥交直线AB 于C '，D '，当①对于确定的k 值，求证：a （a +m ）的值也为定值．②若k ＝6，且满足m ＝a ﹣4+d a ，求d 的最大值．【答案】(1)k ＝6x a=，求反比例函数的关系式．(1)若2．∵，∵，考点三反比例函数与矩形的综合应用(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；(2)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．【答案】(1)点P的坐标为24 55(,)(2)点Q的坐标为（11，411+）或（11，411-）或（－1，435+）或（－由菱形和矩形的性质可知，PC =BC =OA ∴236PC =，即22504()()c -+-=解得12411411c c =+=-，，∴点P 的坐标为（5，411+）或（5，∵PQ BC OA ∥∥，∴点Q 的纵坐标为12411b b =+=，由菱形和矩形的性质可知，PB =BC =OA ＝6，∴236PB =，即2256436()()c -+-=解得34435435c c =+=-，，∴点P 的坐标为（5，435+）或（5，∵PQ BC OA ∥∥，∴点Q 的纵坐标为435b b =+=，【变式训练】a=A．25【答案】B由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．∵AB=2，AD=4，平移前点(1)求k 的值及直线DE 的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求此时点(3)在（2）的条件下，求PDE △的面积．【答案】(1)4k =，直线DE 解析式为2y (2)PDE △的周长最小时，10,0Pæö【点睛】本题属于反比例综合题，主要考查了反比例函数解析式、最短路径以及三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．4．（2022·浙江湖州·八年级期末）矩形OABC个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数(1)如图1，若BE＝3AE．考点四反比例函数与菱形的综合应用；由题意，【变式训练】【答案】()3,2-【分析】过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，设DE =n ，则形的性质及含30°直角三角形的性质可求出n 的值，进而问题可求解．【详解】解：过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，如图所示：设DE =n ，由四边形ABCD 是菱形可知：//AD BC ∴点A 、D 的纵坐标为n ，∵顶点A ，D 分别在函数()160y x x =-<，(22y x x =∴6,A n n æö-ç÷èø，2,D n næöç÷èø，∴268CD AD BC n n næö===--=ç÷èø，∵150BCD Ð=°，将菱形ABCD沿考点五反比例函数与正方形的综合应用(1)若点C坐标为（2，3），则k的值为______；(2)若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；①则k的值为______；②此时点D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；(3)若C、D两点都在函数2yx=的图象上，直接写出点C的坐标为∵A 、B 两点坐标分别A （2，0∴OA =OB =2∵90AOB Ð=°∴45OAB OBA Ð=Ð=°，AB =在正方形ABCD 中，AC 为对角线∵CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，∴90CEB DFA Ð=Ð=°，∵正方形ABCD ，∴90CBA BAD Ð=Ð=°∴90ECB EBC Ð+Ð=°，ABO Ð【变式训练】【答案】-9。
中考数学总复习《反比例函数与几何综合》专项提升练习题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知反比例函数k y x =的图象与正比例函数12y x =的图象相交于点A 、B ，与另一个正比例函数的图象相交于点C 、D ，其中点A 、C 在第一象限，且点A 横坐标为4．若四边形ACBD 的面积为24，求点C 的坐标．2．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线52y kx =+与双曲线12y x=交于A ，B 两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点，且254COD S =△．(1)求一次函数的解析式；(2)如图2，E 的坐标为()6,0，将线段DO 沿y 轴向上（或向下）平移得线段D O ''，在移动过程中，是否存在某个位置使AD EO ''+的值最小？若存在，求出AD EO '+'的最小值及此时点O '的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，将直线OA 沿x 轴平移，平移过程中在第一象限交12y x=的图象于点M （M 可与A 重合），交x 轴于点N ．在平移过程中，是否存在某个位置使以M ，N ，E 和平面内某一点P 为顶点的四边形为菱形且以MN 为菱形的边？若存在，请直接写出P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y x b =+的图象交于,A B 两点，点B 的纵坐标为2-．(1)求一次函数的表达式及其图像与y 轴的交点C 的坐标．(2)若点A 与点D 关于原点对称，求BCD △的面积．4．如图，一次函数1y ax b 的图象与反比例函数2k y x =的图象相交于(),3A n 和()3,1B -两点，一次函数1y ax b 图象分别与x 轴，y 轴交于E ，D 两点．过A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，连接OB ．(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；(2)点P 为反比例函数图象上一点，若BOD PCE S S =△△，求点P 的坐标；(3)直接写出不等式k ax b x +<的解集． 5．如图，反比例函数()0k y k x=≠的图象经过等边BOC 的顶点,2B OC =，点A 在反比例函数的图象上，连接,AC AO ．(1)求反比例函数的表达式；(2)若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标．6．如图点()1,6A 和(),2B n 是一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数()20m y x x=>的图象的两个交点，直线AB 交y 相于是C ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB 面积；(3)设y 轴上有一点()0,5P ，点D 是坐平面内一个动点，当以点A ，B 、P ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D 的标．7．如图，双曲线()0k y x x=>经过OAB 的顶点A ，交OB 于点C ，点A 的坐标为()4,m ，点C 的坐标为()23m +，．(1)确定k 的值；(2)若点C 为OB 中点，求OAB 的面积．8．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图像相交于()1,6A 、()2,B p -两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)直接写出不等式m kx b x+＞的解集； (3)求AOB 面积．9．如图，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()2,3A ，直线l 经过点A 和点()0,4B ，与x 轴交于点C ，直线l 的表达式为y mx n =+．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与OBC △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数3y x 的图像与反比例函数()0k y k x=≠的图像交于点A 与点(),1B a -．(1)求反比例函数的表达式； (2)若点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线，与直线AB 相交于点C ，连接OC ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标．11．如图，一次函数142y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x =<的图象交于点(),6A m ，与x 轴交于点B ，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ．(1)求m 和k 的值；(2)点D 在反比例函数的图象上且位于直线AB 下方，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，若以点D ，E ，C 为顶点的三角形与ACB △相似，请求出所有符合条件的点D 坐标． 12．如图，在ABCD 中(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)D ，反比例函数k y x=在第一象限内的图象经过点C ．(1)点C 的坐标为 ．(2)求反比例函数的解析式．(3)点E 是x 轴上一点，若BCE 是直角三角形，请直接写出点E 的坐标．13．如图，在矩形OABC 中4OA =，2AB =点D 是边BC 的中点，反比例函数()10k y x x=>的图象经过点D ，交AB 边于点E ，直线DE 的解析式为2y mx n =+()0m ≠．(1)求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时PDE △的周长最小值和点P 的坐标． 14．如图，点(),4M n 为反比例函数m y x =的图象在第一象限内一点，在x 轴正半轴上有一点C ，且6OC =，连接OM ，CM 且OM CM =，在y 轴上有一点()0,2A -，直线AM 交x 轴于点B ．(1)求反比例函数的表达式；(2)设点()0,P t ()0t >是y 轴上一动点，过点P 作PQ AM ⊥交直线AM 于点Q ，连接BP ，设25T PQ BP =- ①用含t 的代数式表示T ；②求T 取最大值时P 点坐标．15．如图1，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点()3A a ，，与y 轴交于点B ．(1)求a ，k 的值．(2)如图1，利用图象信息，直接写出不等式112k x x -≥的解集． (3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接OA OC ，，求OAC 的面积．参考答案： 1．点C 的坐标为()2,4C 或()8,1C2．(1)1522y x =+ (2)存在 3372()0,1O ' (3)存在，点P 的坐标为()3,4-或39333333,82⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或2133,6232⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或2133,6232⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭3．(1)1y x =-，点C 的坐标为()0,1-(2)14．(1)12y x =-+ 23y x -=(2)322P(,)-或3(,2)2P -(3)10x -<<或3x >5．(1)3y x =(2)1,232⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)128y x =-+ ()260y x x =>(2)AOB 面积为8(3)点D 的坐标为()2,9-或()2,1或()4,37．(1)24(2)368．(1)反比例函数解析式为6y x =，一次函数解析式为33y x =+(2)20x ＜＜-或1x ＞(3) 4.5AOB S ∆=9．(1)6y x = 142y x =-+ (2)P 点坐标为(0,3)或(0,1)-．10．(1)4y x =(2)()2,211．(1)4m =-；24k =-(2)6,4或()2213,131---12．(1)()3,2(2)6y x = (3)(3,0)或(7,0)13．(1)反比例函数的解析式为14(0)y x x =>，直线DE 的解析式为2132y x =-+； (2)PDE △的周长最小值是135+，点P 的坐标为10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．14．(1)12y x=； (2)①21T t t =-++ ②10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．15．(1)4a = 12k =；(2)04x <≤(3)OAC 的面积为9．。
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题11反比例函数与几何图形的综合问题【专题训练】一、解答题1．(2020·新疆九年级三模)如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与AD边交于E(﹣4，12)，F(m，2)两点．(1)求k，m的值；(2)写出函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围．【答案】解：(1)∵点E(﹣4，12)在y=kx上，∵k=﹣2，∵反比例函数的解析式为y=﹣2x．∵F(m，2)在y=2x上，∵m=﹣1．(2)函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．(2020·江西九年级三模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为，点B在x负半轴上，反比例函数的图象经过C点．(1)求该反比例函数的解析式；(2)若点P是反比例函数上的一点，且∵PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．【答案】解：(1)连接AC ，交x 轴于点D ．∵四边形ABCO 为正方形，∵AD =DC =OD =BD ，且AC ∵OB ．∵正方形ABCO的边长为，∵DC =OD=4，∵C (﹣4，﹣4)，把C 坐标代入反比例函数解析式得：k =16，则反比例函数解析式为y =16x；(2)∵正方形ABCO 的边长为，∵正方形ABCO 的面积为32，分两种情况考虑：若P 1在第一象限的反比例函数图象上，连接P 1B ，P 1O ．∵S ∵P 1BO =12BO •|y P |=S 正方形ABCO =32，而OB CO =8，∵12×8×|y P |=32，∵y P 1=8，把y =8代入反比例函数解析式得：x =2，此时P 1坐标为(2，8)； 若P 2在第三象限反比例图象上，连接OP 2，BP 2，同理得到y P 2=﹣8，把y =﹣8代入反比例函数解析式得：x =﹣2，此时P 2(﹣2，﹣8)．综上所述：点P 的坐标为(2，8)或(﹣2，﹣8)．点睛：本题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．3．(2020·河南郑州市·郑州外国语中学九年级其他模拟)如图，平面直角坐标系中，点A (0，2)，点B (3，﹣2)，以AB 为边在y 轴右侧作正方形ABCD ，反比例函数k y x(x ＞0)恰好经过点D ． (1)求D 点坐标及反比例函数解析式；(2)在x 轴上有两点E ，F ，其中点E 使得ED +EA 的值最小，点F 使得|FD ﹣F A |的值最大，求线段EF 的长．【答案】(1)作DM ∵y 轴于M ，BN ∵y 轴于N ，∵点A (0，2)，点B (3，﹣2)，∵OA =2，ON =2，∵AN =4，BN =3，∵四边形ABCD 是正方形，∵∵BAD =90°，AB =AD ，∵∵NAB +∵DAM =90°，∵∵NAB +∵ABN =90°，∵∵DAM =∵ABN ，在∵ANB 和∵DMA 中，90ABN DAM ANB DMA AB AD ∠=∠⎧⎪∠+∠=︒⎨⎪=⎩，∵∵ANB ∵∵DMA (AAS )，∵AM =BN =3，DM =AN =4，∵OM =5，∵D (4，5)，∵反比例函数k y x =(x ＞0)恰好经过点D ． ∵k =4×5=20，∵双曲线为20y x=； (2)如图2所示：作A 点关于x 轴对称点A ′，连接DA ′，交x 轴于点E ，此时ED +EA 的值最小，∵A (0，2)，∵A ′(0，﹣2)，设直线DA ′的解析式为：y ax b =+，把A (0，﹣2)，D (4，5)代入得245b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：742a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线DA ′解析式为：724y x =-， 当0y =则87x =， 故E 点坐标为：(87，0)， 延长DA 交x 轴于F ，此时|FD ﹣F A |的值最大，设直线AD 的解析式为y mx n =+，把A (0，2)，D (4，5)代入得245n m n =⎧⎨+=⎩， 解得342m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∵直线AD 的解析式为324y x =+， 当0y =则83x =-， ∵F (83-，0)， ∵88807321EF =+=． 【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及最短路线问题等知识，根据题意得出E ，F 点坐标是解题关键．4．(2020·河南九年级零模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为(0，3)，点B 的坐标为(0，﹣4)，反比例﹣函数y ＝k x(k ≠0)的图象经过点C ． (1)求反比例函数的解析式；(2)点P 是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若∵PBC 的面积等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．【答案】解：(1)∵点A 的坐标为(0，3)，点B 的坐标为(0，﹣4)，∵AB ＝7，∵四边形ABCD 为正方形，∵点C 的坐标为(7，﹣4)，代入y ＝k x，得k ＝﹣28，) ∵反比例函数的解析式为y ＝﹣28x ； (2)设点P 到BC 的距离为h ．∵∵PBC 的面积等于正方形ABCD 的面积，∵12×7×h ＝72，解得h ＝14， ∵点P 在第二象限，y P ＝h ﹣4＝10，此时，x P ＝﹣2810＝﹣145 ∵点P 的坐标为(﹣145，10)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k 的几何意义，正方形的性质以及三角形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得C 的坐标是解题的关键．5．(2020·江西中考真题)如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，OA =(1)求反比例函数的解析式；(2)求EOD ∠的度数．【答案】(1)∵AD ∵x 轴，∵AOD =45°，OA =∵AD =OD =2，∵A (2，2)，∵点A 在反比例函数图象上，∵k =2×2=4， 即反比例函数的解析式为4y x=． (2)∵∵ABC 为直角三角形，点E 为AB 的中点，∵AE =CE =EB ，∵AEC =2∵ECB ，∵AB =2OA ，∵AO =AE ，∵∵AOE =∵AEO =2∵ECB ，∵∵ACB =90°，AD ∵x 轴，∵BC //x 轴，∵∵ECB =∵EOD ，∵∵AOE =2∵EOD ，∵∵AOD =45°，∵∵EOD =13∵AOD =1453⨯︒=15︒． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．6．(2020·湖南湘潭市·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(3,4)． (1)求过点B 的反比例函数k y x=的解析式； (2)连接OB ，过点B 作BD OB ⊥交x 轴于点D ，求直线BD 的解析式．【答案】(1)过点A 作AE x ⊥轴，过B 作BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，如图，(3,4)A3OE ∴=，4AE =，5AO ∴==∵四边形OABC 是菱形，5AO AB OC ∴===，//AB x 轴，5EF AB ∴==，358OF OE EF ∴=+=+=，(8,4)B ∴，设过B 点的反比例函数解析式为k y x =把B 点坐标代入得，k =32, 所以，反比例函数解析式为32y x =； (2)OB BD ⊥，90OBD ∴∠=︒，90OBF DBF ∴∠+∠=︒，90DBF BDF ∠︒∠+=，OBF BDF ∴∠=∠，又90OFB BFD ∠=∠=︒，OBFBDF ∴， OF BF BF DF∴=， 844DF∴=， 解得，2DF =，8210OD OF DF ∴=+=+=(10,0)D ∴设BD 所在直线解析式为y kx b =+，把(8,4)B ，(10,0)D 分别代入，得：84100k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，220k b =-⎧⎨=⎩ ∵直线BD 的解析式为220y x =-+．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．7．(2020·黑龙江绥化市·中考真题)如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠． (1)求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式； (2)在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，PDE △的周长最小值是______．【答案】解：(1)∵D 为AB 的中点，2AB =， ∵112AD AB ==． ∵四边形OABC 是矩形，4BC =，∵D 点坐标为()1,4．∵()1,4D 在1(0)k y x x=>的图象上， ∵4k =．∵反比例函数解析式为14(0)y x x=>． 当2x =时，2y =．∵E 点坐标为()2,2．∵直线2(0)y mx n m =+≠过点()1,4D 和点()2,2E ∵4,22m n m n=+⎧⎨=+⎩ 解得2,6.m n =-⎧⎨=⎩∵直线DE 的解析式为226y x =-+． ∵反比例函数解析式为14(0)y x x=>， 直线DE 的解析式为226y x =-+．(2)作点D 关于y 轴的对称点D ，连接D E '，交y 轴于点P ，连接PD ． 此时PDE △的周长最小．∵点D 的坐标为()1,4， ∵点D 的坐标为()1,4-．设直线D E '的解析式为(0)y ax b a =+≠． ∵直线(0)y ax b a =+≠经过()1,4D '- ∵4,22.a b a b =-+⎧⎨=+⎩ 解得2,310.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵直线D E '的解析式为21033y x =-+．令0x =，得103y =． ∵点P 坐标为100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)由(1)(2)知D (1，4)，E (2，2)，D (-1,4).又B (2,4),∵BD =1,BE =2,D B =3.在Rt ∵BDE 中，由勾股定理，得DE在Rt ∵B D E 中，由勾股定理，得D EPDE △的周长的最小值为D E '+DE【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P 是解题的关键. 8．(2020·吉林中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数k y x=()0x >的图象上(点B 的横坐标大于点A 的横坐标)，点A 的坐示为()2,4，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接OA ，AB ．(1)求k 的值．(2)若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．【答案】解：(1)将点A 的坐标为(2,4)代入(0)k y x x=>，可得248k xy ==⨯=，k ∴的值为8；(2)k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x =， D 为OC 中点，2OD =，4OC ∴=，∴点B 的横坐标为4，将4x =代入8y x=， 可得2y =， ∴点B 的坐标为(4,2)，()11242421022AOD OABC ABCD S S S ∆∴=+=⨯⨯++⨯=四边形四边形． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k 的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．9．(2020·河南九年级二模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点A (0，4)，B (﹣3，0)反比例函数k y x=(k 为常数，k ≠0，x ＞0)的图象经过点D ． (1)填空：k ＝ ． (2)已知在k y x =的图象上有一点N ，y 轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求点M 的坐标．【答案】(1)∵点A (0，4)，B (﹣3，0)，∵OA =4，OB =3，∵AB =5，∵四边形ABCD 是菱形，∵AD =5，即点D的横坐标是5，∵点D的坐标为(5，4)，∵4=k5，得k=20，故答案为20；(2)∵四边形ABMN是平行四边形，∵AN∵BM，AN=BM，∵AN可以看作是BM经过平移得到的，首先BM向右平移了3个单位长度，∵N点的横坐标为3，代入y=20x，得点N的纵坐标为y=203，∵M点的纵坐标为203﹣4=83，∵M点的坐标为(0，83 )．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．10．(2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，AD＝2AB，直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，双曲线y＝kx(x＞0)经过点D，与BC边相交于点E．(1)填空：k＝；(2)连接AE、DE，试求∵ADE的面积；(3)若点D关于x轴的对称点为点F，求直线CF的解析式．【答案】(1)如图，针对于直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，令x＝0，则y＝4，∵B (0，4)，∵OB ＝4，令y ＝0，则﹣2x +4＝0，∵x ＝2，∵A (2，0)，∵OA ＝2，∵四边形ABCD 是矩形，∵∵BAD ＝90°，∵∵OAB +∵GAD ＝90°，∵∵OAB +∵OBA ＝90°，∵∵OBA ＝∵GAD ，过点D 作DG ∵x 轴于G ，∵∵AGD ＝∵BOA ＝90°，∵∵AOB ∵∵DGA ， ∵OA OB AB ==DG AG AD， ∵24AB 1===DG AG 2AB 2， ∵DG ＝4，AG ＝8，∵OG ＝OA +AG ＝10，∵D (10，4)，∵点D 在反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上， ∵k ＝40，故答案为40；(2)由(1)知，OA ＝2，OB ＝4，根据勾股定理得，AB ＝∵AD ＝2AB ＝∵S ∵ADE ＝12AD •AB ＝12×20； (3)由(1)知，A (2，0)，D (10，4)，∵点A 到D 是向右移动10﹣2＝8个单位，再向上移动4，∵点B到点C是向右移动8个单位，再向上移动4，∵B(0，4)，∵C(8，8)，∵点F是点D关于x轴对称，∵点F(10，﹣4)，设直线CF的解析式为y＝kx+b，∵88 104 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，∵656kb=-⎧⎨=⎩，∵直线CF的解析式为y＝﹣6x+56．【点睛】本题考查反比例函数综合以及待定系数法求一次函数解析式，以及相似三角形的判定与性质等知识，根据题意求出D、C的坐标是解题关键．11．(2020·山西临汾市·八年级期末)已知,在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A,C坐标分别为A(2,0),C(－1,2),反比例函数myx=的图象经过点B (m≠0)(1)求出反比例函数的解析式(2)将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，做出点D并判断点D是否在反比例函数myx=的图象上(3)在x轴是否存在一点P使∵OCP为等腰三角形，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设BC于y轴相交于点E，如图所示：∵四边形OABC是平行四边形，∵BC=AO，∵A(2，0)，∵OA=2，∵BC=2，∵C(-1，2)，∵CE=1，∵BE=BC-CE=2-1=1，∵B(1，2)，∵反比例函数y=mx的图象经过点B，∵m=1×2=2,∵反比例函数的解析式为：y=2x；(2)∵将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，∵D(-1，-2)，∵m=2,∵反比例函数y=2 x ,把D点坐标(-1，-2)代入函数解析式y=2x中得：左右两边相等，∵点D在反比例函数2yx=的图象上；(3)以OC=O为圆心，画圆交x轴于点P1(,0)和P20)；以OC C为圆心，画圆交x轴于点P3(－2，0)；作线段OC的垂直平分线，交x轴于点P4(-2.5,0).所以存在，点P的坐标(0)、，0)、(－2，0)和(-2.5,0).【点睛】考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．12．(2020·山东济南市·中考真题)如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数kyx=(x>0)的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【答案】解：(1)∵B(2，)，则BC＝2，而BD＝12，∵CD＝2﹣12＝32，故点D(32，，将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝32K，解得k＝故反比例函数表达式为y，当x＝2时，y，故点E(2)；(2)由(1)知，D(32，，点E(2，2)，点B(2，，则BD＝12，BE故BDBC＝122＝14，EBAB＝14＝BDBC，∵DE∵AC；(3)①当点F在点C的下方时，如下图，过点F 作FH ∵y 轴于点H ，∵四边形BCFG 为菱形，则BC ＝CF ＝FG ＝BG ＝2，在RT ∵OAC 中，OA ＝BC ＝2，OB ＝AB ＝，则tan ∵OCA ＝AOCO ∵OCA ＝30°，则FH ＝12FC ＝1，CH ＝CF •cos ∵OCA ＝2×2故点F (1，则点G (3)，当x ＝3时，y ，故点G 在反比例函数图象上； ②当点F 在点C 的上方时，同理可得，点G (1，，同理可得，点G 在反比例函数图象上；综上，点G 的坐标为(3)或(1，)，这两个点都在反比例函数图象上．【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F 作FH ∵y 轴于点H .13．(2020·广东中考真题)如图，点B 是反比例函数8y x =(0x >)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ，反比例函数k y x=(0x >)的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．(1)填空：k =_________；(2)求BDF ∆的面积；(3)求证：四边形BDFG 为平行四边形．【答案】解：(1)∵点B 在8y x=上， ∵设点B 的坐标为(x ，8x)， ∵OB 中点M 的坐标为(2x ，4x)， ∵点M 在反比例函数k y x=(0x >)， ∵k =2x ·4x =2， 故答案为：2；(2)连接OD ，则||12AOD k S ∆==， ， ∵842AOB S ∆==， ∵413BOD S ∆=-=，∵//OF AB ，∵点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离， ∵3BDF BDO S S ∆∆==；(3)设(),B B B x y ，(),D D D x y ，8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=，又∵B D y y =，∵4B D x x =，同理4B E y y =， ∵31BE EC =，34BD AB =， ∵//AB BC ，∵EBD ECF ∆∆∽， ∵13CF CE BD BE ==， ∵43OC AB BD BD ==， ∵41OC CF =， ∵O ，G 关于C 对称，∵OC CG =，∵4CG CF =，∵43FG CG CF OF CF CF =-=-=，又∵3BD CF =，∵BD FG =，又∵//BD FG ，∵BDFG 是平行四边形．【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．14．(2020·湖南湘潭市·九年级期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D (0，4)，B (6，0)．若反比例函数11k y x=(x ＞0)的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为y 2=k 2x +b ．(1)求反比例函数和直线EF 的解析式；(温馨提示：平面上有任意两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，它们连线的中点P 的坐标为(121222x x y y ++，))(2)求∵OEF 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k 2x -b ﹣1k x＞0的解集．【答案】(1)∵D (0，4)，B (6，0)，∵C (6，4)，∵点A 是OC 的中点，∵A (3，2)，把A (3，2)代入反比例函数y 1=1k x ，可得k 1=6， ∵反比例函数解析式为y 1=6x ， 把x =6代入y 1=6x，可得y =1，则F (6，1)， 把y =4代入y 1=6x ，可得x =32，则E (32，4)， 把E (32，4)，F (6，1)代入y 2=k 2x +b ，可得 2234216k b k b⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝，解得2235k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝， ∵直线EF 的解析式为y =-23x +5； (2)如图，过点E 作EG ∵OB 于G ，∵点E ，F 都在反比例函数y 1=6x 的图象上， ∵S ∵EOG =S ∵OBF ，∵S ∵EOF =S 梯形EFBG =12(1+4)×92=454； (3)由图象可得，点E ，F 关于原点对称的点的坐标分别为(-1.5，-4)，(-6，-1)，∵由图象可得，不等式k 2x -b -1k x ＞0的解集为：x ＜-6或-1.5＜x ＜0． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及矩形性质的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解题时注意运用数形结合思想得到不等式的解集．15．(2020·山东济南市·九年级二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，D 是BC 的中点，过点D 的反比例函数图象交AB 于E 点，连接DE ．若OD ＝5，tan ∵COD ＝43． (1)求过点D 的反比例函数的解析式；(2)求∵DBE 的面积；(3)x 轴上是否存在点P 使∵OPD 为直角三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∵四边形OABC 是矩形，∵BC =OA ，AB =OC ，∵tan ∵COD =43，∵设OC=3x，CD=4x，∵OD=5x=5，∵x=1，∵OC=3，CD=4，∵D(4，3)，设过点D的反比例函数的解析式为：y=kx，∵k=12，∵反比例函数的解析式为：y=12x；(2)∵点D是BC的中点，∵B(8，3)，∵BC=8，AB=3，∵E点在过点D的反比例函数图象上，∵E(8，32 )，∵S∵DBE=12BD•BE=13422⨯⨯=3；(3)存在，∵∵OPD为直角三角形，∵当∵OPD=90°时，PD∵x轴于P，∵OP=4，∵P(4，0)，当∵ODP=90°时，如图，过D作DH∵x轴于H，∵OD2=OH•OP，∵OP=2254 ODOH=．∵P(254，O)，∵存在点P使∵OPD为直角三角形，∵P(4，O)，(254，O)．16．(2020·江苏苏州市·九年级二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b经过点A(﹣2，0)，与y轴交于点B，与反比例函数ykx=(x＞0)交于点C(m，6)，过B作BD∵y轴，交反比例函数ykx=(x＞0)于点D，连接AD，CD．(1)求b，k的值；(2)求∵ACD的面积；(3)设E为直线AB上一点，过点E作EF∵x轴，交反比例函数ykx=(x＞0)于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．【答案】解：(1)∵直线y=2x+b经过点A(﹣2，0)，∵﹣4+b=0，∵b=4，∵直线AB的解析式为y=2x+4．∵点C(m，6)在直线y=2x+4上，∵2m+4=6，∵m=1，∵C(1，6)，把C(1，6)代入ykx=得：k=1×6=6；(2)∵直线y=2x+4与y轴交于点B，∵B(0，4)．∵BD∵y轴，∵把y=4代入y6x=中得：x32=，∵D(32，4)，∵∵ACD的面积1322=⨯⨯692=；(3)∵以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，EF∵AO，∵EF=AO=2，设点E(t，2t+4)，①当点E位于点F的左侧时，∵点F(t+2，2t+4)，则(t+2)(2t+4)=6，∵t=﹣2．∵t＞﹣2，∵t=﹣2∵E2，；②当点E位于点F的右侧时，∵点F(t﹣2，2t+4)，则(t﹣2)(2t+4)=6，解得：t=∵t＞﹣2，∵t=∵E，4)，综上所述：若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为2，或，4)．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的理解题意是解题的关键．17．(2020·浙江杭州市·八年级其他模拟)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知AOBC 的边OA在x 轴上，BC 与y 轴正半轴交于点D ，(9,0),(6,4)A C --，反比例函数(0)k y x x=>经过点B ．动点P 从点B 出发，沿B O D --的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q 同时从点A 出发，沿A O -以每秒1个单位的速度匀速运动，点P ，Q 中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止．(1)求反比例函数的表达式．(2)在反比例函数的图象是否存在一点E ，使得以B ，D ，P ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．(3)过动点Q 的直线始终与x 轴垂直且与折线ACB 交于点M ，当5t ≥时，在坐标平面内是否存在点N ，使得以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵(9,0),(6,4)A C --，四边形ABCD 是平行四边形，∵9OA CB ==，BC ∵OA ，CD =6，∵点B 与点C 的纵坐标相等，∵(3,4)B ，∵点B 在反比例函数图像上，∵3412k =⨯=， ∵12y x=；(2)∵动点P 从点B 出发，沿B O D --的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q 同时从点A 出发，沿A O -以每秒1个单位的速度匀速运动，点P ，Q 中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止，BD =3，OD =4，∵在Rt ∵ODB 中，5OB ==，∵t 的最大值为9，即点P 运动到点D 时停止运动，∵(∵)当P 在线段OB 上时，直线OB 的解析式为：43y x =， 若以BP 为对角线，如图1，设()4,033P a a a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则43,3E a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵()43123a a +⨯=，∵12a a ==舍去)．∵点P 的坐标为322⎛-+-+ ⎝． 若以DB 为对角线，如图2，设()4,033P a a a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， ∵(0,4),(3,4)D B ，根据对角线性质得43,83E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵()438123a a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，∵1a =(舍去)，2a =，∵点P 的坐标为-⎝；若以DP 为对角线，E 不可能在双曲线图象上，舍去；(∵)当P 在线段OA 上时，不存在这样的点E ，综上所述，点P 的坐标为2-+⎝或-⎝．(3)存在，理由如下：由(2)可得：t 的最大值为9，∵59t ≤≤，∵P 在OD 上，M 在CD 上，易知(0,5),(9,0),(9,4),4P t Q t M t MQ ---=，(∵)当,PM PQ 为菱形的邻边时，PM PQ =，如图所示：由菱形的对角线互相垂直且平分可得点P 的坐标即为点M 纵坐标的一半，∵52t -=，∵7t =；(∵)当,MQ PQ 为菱形的邻边时，MQ PQ =，如图所示：则有()()222594t t -+-=，∵125,9t t ==(舍去)；(∵)当,MQ MP 为菱形的邻边时，MQ MP =，如图所示：则有()()222994t t -+-=，∵19t =+(舍去)，29t =-，综上所述，7t =或5t =或9t =-．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及菱形、平行四边形的性质是解题的关键．。
专题4：反比例函数与几何图形结合方法点睛反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．典例分析例1：（2022达州中考）如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P专题过关1.（2022西宁中考）如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．（1）求反比例函数解析式；（2）点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．2.（2022绵阳中考）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN3.（2022眉山中考）已知直线y x =与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与k y x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．4.（2022衡阳中考）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．A，B两点．5.（2022常德中考）如图，已知正比例函数1y x=与反比例函数2y的图象交于()2,2y y<时x的取值范围；（1）求2y的解析式并直接写出12（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．6.（2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．7.（2022大庆中考）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2022湘潭中考）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．9.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．10.（2022河南西华二模）如图，反比例函数(0)my x x=>的图象与一次函数y kx b =+的图象交于(14)B ，和(1)C n ，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式(0)mkx b x x+> 的解集；（3）将直线BC 向下平移5个单位长度得到直线l ，已知点P ，Q 分别为x 轴、直线l 上的动点，当PC PQ +的值最小时，请直接写出点P 的坐标．11.（2022河南西华一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点()2,3A ，()6,B a ，直线l ：y ＝mx ＋n 经过A ，B 两点，直线l 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）在y 轴上是否存在一点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形与△CDO 相似？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2022河南长垣一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1y x=（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ，且13BC OA =．AD ⊥y 轴于点D 、CE ⊥y 于点E ．（1）求证：△BCE ∽△OAD ；（2）求点A 和点C 的坐标；（3）求k 值．13.（2022河南虞城二模）如图，点A 为直线y ＝3x 上位于第一象限的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度到点C ，以AB ，BC 为边构造矩形ABCD ，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交CD 于点M ．（1）若B(1，0)，求点M 的坐标；（2）连接AM ，当AM ⊥OA 时，求点A 的坐标．14.（2022河南商城二模）如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B ，点P 在以点(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，OQ 长的最大值为32时．（1）试确定反比例函数ky x=的表达式．（2）C 与x 轴在点C 的左侧交于点M ，请直接写出劣弧MP 的长是___________．（sin 310.52︒≈，sin 400.64︒≈，sin530.8︒≈．）15.（2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE=ED ．（1）求这两个函数的解析式；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当PE-PA 的值最大时，求点P 的坐标．16.（2022河南西平一模）如图，一次函数11y k x b =+经过点()4,0A ，()0,4B ，与反比例函数()220k y x x=>的图象交于点()1,C n ，D 两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出当210k k x b x<+≤时x 的取值范围；（3）点P 在x 轴上，是否存在PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17.（2022河南天一大联考）如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y 2k x=的图象交于点A （m ，2），B （﹣1，4），与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）若点P 在y 轴上，且BP 12=OA ，请直接写出点P 的坐标．18.（2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数yk x（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．19.（2022河南虞城二模）如图，一次函数142y x=-+交反比例函数(0)ky xx=>于A，B两点，过点A作AC x⊥轴于点C，AOC△的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）D为y轴上一个动点，当DA DB+有最小值时，求点D的坐标．20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象经过点(2,3),(6,)A B a ，直线:l y mx n =+经过A ，B 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．（2）当直线l 向下平移b 个单位时，与(0)k y x x=>的图象有唯一交点，求b 的值．（3）若直线AB 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得ACQ 与CDO 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（2022南阳方城二模）如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠．（1）求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是______．22.（2022洛阳一模）如图，反比例函数()0k y k x =≠的图象与正比例函数32y x =-的图象相交于(),3A a ，B 两点．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）请直接写出不等式32k x x >-的解集；（3）已知AD x ∥轴，以AB 、AD 为边作菱形ABCD ，求菱形ABCD 的面积．23.（2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数()0n y n x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图像相交于点()1,A m ，()3,1B --两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出n kx b x+>的解集．（3）已知直线AB 与y 轴交于点C ，点(),0P t 是x 轴上一动点，作PQ ⊥x 轴交反比例函数图像于点Q ，当以C ，P ，Q ，O 为顶点的四边形的面积等于2时，求t 的值．24.（2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO 中，84AB BC ==，，点D 是边AB 的中点，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()2220y k x b k =+≠．（1）求反比例函数和直线DE 的解析式．（2）在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是_________．25.（2022周口扶沟一模）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x=（0x >）的图象交于点()1,A a ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为()2,0-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．26.（2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.27.（2022雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．（1）求m的值和点D的坐标；（2）求DF所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．28.（2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是(4,8)-，反比例函数(0)k y x x=<的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x 轴，交反比例函数的图象于点E ，求点E 的坐标．29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x ＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．31.（2022河南中考）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点()2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ∠，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．32.（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－134-12-14-01234…y (1)4324941140－4－243-－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接PA ，PB ．①求当n ＝3时，直线l 的解析式和△PAB 的面积；②直接用含．．．．n ．的代数式表示．．．．．．△PAB 的面积．33.（2022牡丹江中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD ，A 在y 轴的正半轴上，B ，C 在x 轴上，AD//BC ，BD 平分ABC ∠，交AO 于点E ，交AC 于点F ，CAO DBC ∠=∠．若OB ，OC 的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个根，且OB OC >．请解答下列问题：（1）求点B ，C 的坐标；（2）若反比例函数()0ky k x=≠图象的一支经过点D ，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M ，N （M 在N 的上方），使以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34.（2022驻马店六校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．35.（2022周口川汇区一模）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数ykx的图象经过点M，交BC于点N．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．36.（2022郑州外国语一模）如图，点()4,B a 是反比例函数()120y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求BDF 的面积；（3）设直线DE 的解析式为1y k x b =+，请结合图像直接写出不等式1kk x b x+<的解集______．37.（2022郑州二模）如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．38.（2022信阳三模）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数kyx=（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．（1）求OF的长；（2）求反比例函数的解析式；（3）将△OEF沿射线EB个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点（填“能”或“不能”）落在反比例函数kyx=（x＞0）的图上．39.（2022河南新野一模）如图，()()4,30P m m m ->是双曲线12y x =-上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线k y x=于E 、F 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若12BFBP =，求k 的值和EF 的长．40.（2022平顶山二模）如图，四边形ABCD，EFGH均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，EH∥AD．双曲线y=kx(x>0)的图象过点C(5，4)，交边GH于点P(103，a)．（1）填空：k=______，a=______；（2）求菱形EFGH的面积．41.（2022南阳卧龙一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点(3,4)B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，连接OB ，将OAB 向右平移，得到,'''''O A B O B 交双曲线于点(3,)C a a ．（1）求k ，a 的值；（2）求OAB 向右平移的距离；（3）连接,BC OC ，则OBC 的面积为____________．42.（2022洛阳伊川一模）如图，已知点()0,1A 在y 轴上，点()10B ,在x 轴上，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，此时反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象恰好经过点C ，D ．（1）直接写出点D 的坐标和反比例函数的表达式；（2）将正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转，当点C 的对应点C '落在x 轴上时，判断点D 的对应点D ′是否落在反比例函数k y x =的图象上，并说明理由．43.（2022洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为()1,2A ，()4,2B ，()7,5C ，曲线():0k G y x x=>．（1）求点D 的坐标；（2）当曲线G 经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值；（3）若曲线G 刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k 的取值范围是______．44.（2022河南林州一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 坐标为()2,4，点M 是AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过点M ，交CD 于点N ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若反比例函数图象上的一个动点(),P m n 在正方形ABCD 的内部（含边界），求POC △面积的最小值．45.（2022河南兰考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为(1,2),(4,2),(7,5)A B C ，曲线(0)k y k x=>．（1）当曲线经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值．（2）若曲线刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，求k 的取值范围．46.（2022河南兰考二模）如图，在矩形OABC 中，2AB =，4BC =，D 是AB 边的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，与BC 边交于点E ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，当△PDE 的周长最小时，直接写出△PDE 的面积．47.（2022河南滑县一模）如图，平行四边形OABC 的顶点A ，C 都在反比例函数y k x=（k ＞0）的图象上，已知点B 的坐标为（8，4），点C 的横坐标为2．（1）求反比例函数y k x=（k ＞0）的解析式；（2）求平行四边形OABC 的面积S ．48.（2022河南邓州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），反比例函数k y x =的图象经过了矩形的顶点B ，且1tan 2ABD ∠=．（1）求反比例函数表达式；（2）动手画直线OB ，记为y mx =，结合图象直接写出关于x 的不等式0k mx x ->的解集．。
反比例函数几何图形综合例1．（等腰三角形）已知反比例函数1=myx-（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D点A B的坐标分别为（0 4）（﹣3 0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点若以D O P为顶点的三角形是等腰三角形则满足条件的点P的个数为______个．AD OB例2．（直角三角形）如图 在平面直角坐标系中 直线32y kx k =++与坐标轴交于点B 与()0,1C 点A 是x 轴上一点 连接AC 且1AB = ()1,D m 是线段BC 上一点 反比例函数k y x'=的图象经过点D ．(1)求k '的值．(2)求线段AC 所在直线的函数表达式．(3)延长DO 与反比例函数k y x'=的图象在第三象限交于点F Q 是x 轴上的一点 当以F 、Q 、D 三点构成的三角形为直角三角形时 直接写出Q 点的坐标．例3．（平行四边形）如图四边形OBAC是矩形OC＝2 OB＝6 反比例函数kyx=的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点作PD▱直线AC PE▱x轴当四边形PDCE是正方形时求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点在反比例函数的图象上是否存在一点Q使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在请求出点G的坐标；若不存在请说明理由．例4．（菱形）如图 直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象相交于点A 、点B 与x 轴交于点C 其中点A 的坐标为（-2 6） 点B 的横坐标为-6(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C 的坐标；(3)点M 是x 轴上的一个动点．①若点M 在线段OC 上 且△AMB 的面积为8 求点M 的坐标；②点N 是平面直角坐标系中的一点 当以A 、B 、M 、N 四点为顶点的四边形是菱形时 请直接写出点N 的坐标【变式训练1】．如图在平面直角坐标系中已知Rt▱AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上A(8 0) B(0 6) 点C从原点O出发沿边OA向点A运动速度为每秒1个单位长度点D从点A出发沿边AB向点B运动速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发运动时间为t秒（0 < t < 5）(1)当t = 时 DC ∥BO ；(2)当▱ADC 的面积为9时 求t 的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC 若M 是射线BC 上的一个动点 在坐标平面内是否存在点P 使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．② 过点C 作直线1l ▱x 轴 过点B 作直线2l ▱y 轴 直线1l 与直线2l 交于点P 反比例函数k y x=（k >0 x >0）的图像与直线1l 、2l 分别交于点E 、F 连接EF 在y 轴上是否存在点Q 使得▱PEF 和▱QEF 全等 若存在 请直接写出相应的k 的值；若不存在 请说明理由． ▱ADC ABO ∽AD AC AB AO = AD AB AC OA = 21088t t =- 40AD DE 2t DE ADC S =的面积为9 9=2BCO ACM ∴∽▱22P Q B BOC ∽2222Q P P B Q B OB BC OC== 即222256335P Q Q B == 224P Q ∴=,22Q B =2Rt ABM 中,22BM AB =21,AM BM ⊥▱1BAM BM ∠=∠又2ABM ∠=∠12BAM BM A ∴∽▱122AM AB AM BM = 1102545AM =▱11PBQ BAO ∽11BQ BP OA AB ∴= 15810BQ = 解得14BQ =,则6OQ OB BQ =-=11Rt PQ B 中 )3,2-如图 ▱QE PE =EF EF =只能是PFQ QFE ≌B 12l l ⊥ ▱PFQ QFE ≌36k PF QF ==-,FQE ∠如图 过点E 作EG ⊥又FBQ QGE ∠=∠▱FBQ QGE ∽4【变式训练2】如图已知矩形OABC中OA＝6 AB＝8 双曲线kyx=（k＞0）与矩形两边AB BC分别交于点D E且BD＝2AD．(1)求k的值和点E的坐标；(2)点P是线段OC上的一个动点是否存在点P使▱APE＝90°？若存在求出此时点P的坐标若不存在请说明理由．经检验 m =2或m =6都是原方程的解 且符合题意▱存在要求的点P 点P 的坐标为（2 0）或（6 0）．【变式训练3】如图 抛物线L ：()()142y x t x t =---+（常数0t >）与x 轴从左到右的交点为B A 过线段OA 的中点M 作MP x ⊥轴 交双曲线k y x =（0k > 0x >）于点P 且12OA MP ⨯=．(1)求k 的值．(2)当t=1时 求AB 的长 并求直线MP 与L 的对称轴之间的距离．(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像（含与直线MP 的交点）记为G 用t 表示图像G 最高点的坐标．(4)设L 与y 轴的交点为N 当2t =时 在x 轴上是否存在一点Q 使ONQ △与PMQ 相似 若存在 求出Q 的坐标 若不存在 请说明理由．1m 时：m 1m ＜＜时：0＜时：1m 时：m 1m ＜＜时：0＜时：-【变式训练4】如图 在平面直角坐标系中 点B D 分别在反比例函数()60y x x =-<和()0,0k y k x x =>>的图象上 AB x ⊥轴于点A DC x ⊥轴于点C O 是线段AC 的中点 3AB = 2DC =．(1)求反比例函数k y x=的表达式； (2)连接BD OB OD 求ODB △的面积；(3)P 是线段AB 上的一个动点 Q 是线段OB 上的一个动点 试探究是否存在点P 使得APQ 是等腰直角三角形？若存在 求所有符合条件点P 的坐标；若不存在 请说明理由．3⎛⎫2⎝⎭使得APQ是等腰直角三角形。
专题12反比例函数的图象与性质综合问题（北京真题6道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率反比例函数（大题）2011.2012.2014.2017.2018 12年5考1.反比例函数的图象及性质（1）双曲线kyx=与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（2）对称性图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上．（3）k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx=上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|k|）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．图1 图22.反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（4）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分(x>0)的图象与直线y=x−2【例1】（2017·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，(x>0)的图象于点N.交函数y=kx①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【例2】（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k（x>0）的图象G经过点A（4，1），xx+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．直线l∶y=14（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；①若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2011·北京·中考真题）如图，已知反比例函数y1=k1x（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B两点，AC①x轴于点C. 若①OAC的面积为1，且tan①AOC＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.2．（2012·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x(x>0)的图象与一次函数y=kx－k 的图象的交点为A（m，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足①PAB的面积是4，直接写出点P的坐标．3．（2011·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=k的解析式；x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．4．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足34【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的图象与反比(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．例函数y=mx(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x<−4时，对于x的每一个值，反比例函数y=m的值大于一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的值，直接x写出k的取值范围．2．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．(k≠0)与一次函数y2=ax+4(a≠0) 3．（2022·北京·二模）图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图像只有一个公共点A（2，2），直线y3=mx(m≠0)也过点A．(1)求k、a及m的值；(2)结合图像，写出y1>y2>y3时x的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：4．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．(x>0)的图象交5．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−k+4与函数y=mx于点A(1,4)．(1)求m的值；(x>0)的图象所围成的区域（不含边界）为W．点(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l与函数y=mxB(n,1)（n≥4，n为整数）在直线l上．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；①当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+b与双曲线G：y=−12的x一个交点为A(−3,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx(k≠0)与双曲线G：y=−12有两个公共点，它们的横坐标分别为x1,x2(x1<x2)．直线xl1与直线l2的交点横坐标记为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．7．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x−2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx (k≠0)的图象交于点B(3,m)，点P为反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点．(1)求m，k的值；(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．9．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．10．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第二象限交于点M，①OBM的面积是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．11．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为12．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.13．（2022·北京市第一六一中学分校一模）如图，在平面直角坐标系中，A(a,2)是直线l：y=x−1与函数(x>0)的图像G的交点．y=kx(1)①求a的值；(x>0)的解析式．①求函数y=kx(2)过点P(n,0)（n>0）且垂直于x轴的直线与直线l和图像G的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 14．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值15．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝k（xx＞0）的图象交于点A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝k（x＞0）的x（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝kxMN围成的区域（不含边界）为W．①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____；①若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．−3的图象与性质．小17．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）有这样一个问题：探究函数y=2x−1−3的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完亮根据学习函数的经验，对函数y=2x−1整：(1)函数y=2x−1−3中自变量x的取值范围是；(2)表格是y与x的几组对应值．x…−3−2−1012322345…y…−72−113−4−5−7m−1−2−73−52…直接写出m的值；(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．①请再写出此函数的一条性质：．(5)已知不等式kx+b<2x−1−3的解集为1<x<2或x>4，则k+b的值为．18．（2020·北京·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，4)，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是边OC上一点，当△FBC~△DEB时，求直线FB的解析式．19．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+b与双曲线G：y=2x的一个交点为A(2,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx（k≠0）与双曲线G：y=2x有两个公共点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1<x2），直线l1与直线l2的交点横坐标为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．20．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝−2k（k≠0）．x(1)当k＝1时，①求出两个函数图象的交点坐标；①根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；(2)请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；(3)若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5√2，求k值．21．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中已知双曲线y=k过点A（1，1），与直线yx＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．(1)求k的值；(2)求点B，C的坐标；(3)若直线x＝t与双曲线y=k，交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2）．当y1<y2时，直接写出tx的取值范围．22．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=m的图象于A(2,−4)，xB(a,−1)两点.(1)求反比例函数与一次函数解析式.(2)连接OA,OB，求ΔOAB的面积.(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？23．（2022·北京·二模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m的图象相交于A(2，3)，B(6，n)x两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQ的值MN24．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(0，－1)和点B(3，2)．（1）求直线y=kx+b(k≠0)的表达式；(m≠0)．（2）已知双曲线y=mx(m≠0)经过点B时，求m的值；①当双曲线y=mx①若当x>3时，总有kx+b>m直接写出m的取值范围．x(x>0)的图象上．25．（2021·北京·二模）如图，A、B两点在函数y=mx（1）求m的值及直线AB的解析式；(x>0)的图象（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数y=mx与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．26．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y=k(k<4)的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．x（1）当k=−4时，求线段AC，BD的长；（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．27．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m与一次函数y=kx+b相交于A（3，x2）、B（－2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；交于点C，与一次函数y=kx+b交于（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数y=mx点D，若SΔCOP=3SΔDOP，直接写出p的值．28．（2021·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P(2 , 2 )．x（1）求k的值；（x ＞ 0）的图象交于点N，过点M作x轴（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S△MNQ≤2时，通过画图，直接写出a的取的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当12值范围．(m≠0)的29．（2021·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx图象交于点A(−1,n)，B(2,−1)两点．（1）求m,n的值；(m≠0)（2）已知点P(a,0)(a>0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx的图象于点M,N，若线段MN的长随a的增大而增大，直接写出a的取值范围．(x>0)的30．（2021·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx−k+2(k>0)，函数y=2kx图象为F．(x>0)的图象F上，求直线l对应的函数解析式：（1）若A(2,1)在函数y=2kx（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l:y=kx−k+2(k>0)，图象F和直线y=1围成的区域2（不含边界）为图形G．①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；①若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．。
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
