河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试理数试题

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河北省武邑中学2017届高三数学下学期周考试题理（2。

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河北武邑中学2016-2017学年高三年级第三次模拟考试数学试题（文科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z =（ ）A ．0B ．2CD ．2i 2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则AB =（ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a = （ ） A ． 5i -- B ． 5i -+ C ． 5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ． 3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+6. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 8,01,0x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()3f = （ ）A ．3B ．2 C. 2log 9 D ．2log 77.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为（ ） A ．34 B ．23 C. 12 D ．138.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则aω可取 （ ）A ． 4πB ． 2π C. π D ．2π9.已知MOD 函数是一个求余函数，记(),MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如()832MOD =，，右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出i 的值为（ ）A ． 7B ．8 C. 9 D ．1010.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab 等于（ ）A ．32B ． 43D 11.对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C. []2,2- D ．[)0,+∞12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A B 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．B 1 D 1- 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos2α= ． 14.方程[]()200,1x x n n ++=∈有实根的概率为 ．15. 已知点(),P a b 在函数2e y x =上，且1,1a b >>，则ln b a 的最大值为 ．16.已知双曲线2C 与椭圆221:143x y C +=具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线2C 的离心率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，273823,29a a a a +=-+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，0120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点.（1）证明：//PQ 平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．19.经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图.（1）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况； （2）如图2按照打分区间[)[)[)[)[]0,6060,707080809090,100、、、、、、绘制的直方图中，求最高矩形的高；（3）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率． 20.已知动圆M 恒过点()0,1，且与直线1y =-相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点()0,2P -，且与点M 的轨迹交于A B 、两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．21. 已知函数()()ln 1f x x a x =+-，其中a R ∈． （1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()()ln 10t t t f x a +-+>⎡⎤⎣⎦成立，求a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:2x t l y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知不等式23x x -<与不等式20x mx n -+<的解集相同． （1）求m n -；（2）若()0,1a b c ∈、、，且ab bc ac m n ++=-，求a b c ++的最小值．试卷答案一、选择题1-5: BBDCC 6-10: ADBCC 11、12：BC二、填空题13. 725-14. 1415. e三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ，由已知()()382726a a a a d +-+==-，∴3d =-， ∴2712723a a a d +=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴1112,2322n n n n n n n a b b a n ---+==-=-+，()()()2131147*********n n n n n S n --=++++-+++++=+-⎡⎤⎣⎦． 18.解：设椭圆的焦距为2c，则()()12,0,,0F c F c -，（1）因为()0,B b ，所以2BF a ==，又2BF ，故a =因为点4133C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）因为()()20,,,0B b F c 在直线AB 上，所以直线AB 的方程为1x yc b+=， 解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2122221222a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b =⎧⎨=⎩， 所以点A 的坐标为()22222222,b c a a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭． 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()22222222,b ac a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 因为直线1F C 的斜率为()()()2222222232223b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB的斜率为b c-，且1F C AB ⊥，所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，又222b ac =-，整理得225a c =，故215e =， 因此5e =19.解：（1）女生打分的平均分为：()11686975767079788287967810x =+++++++++=， 男生打分的平均分为：()21555362657170737486816910x =+++++++++=， 从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（2）20名学生中，打分区间[)[)[)[)[]0,6060,7070,8080,9090,100、、、、中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[)70,80的人数最多，有9人，所点频率为：90.4520=， ∴最高矩形的高0.450.04510h ==． （3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数3620n C ==，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率34364115C m p n C =-=-=．20.解：（1）∵动点M 到直线1y =-的距离等于到定点()0,1C 的距离， ∴动点M 的轨迹为抛物线，且12p=，解得：2p =， ∴动点M 的轨迹方程为24x y =；（2）证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：2y kx =-，()()1122,,,A x y B x y ，则()22,C x y -．联立224y kx x y=-⎧⎨=⎩，化为2480x kx -+=，216320k ∆=->，解得k >k <∴12124,8x x k x x +==； 直线AC 的方程为：()212221y y y y x x x x --=-++，又∵11222,2y kx y kx =-=-，∴()()2221122442ky k kx kx kx kx x kx --=-+-，化为()()212244y x x x x k x =-+-， ∵124x k x =-，∴()2148y x x x =-+，令0x =，则2y =， ∴直线AC 恒过一定点()0,2．21.解：（1）当1a =-时，()()ln 10f x x x x =-+>， 则()111xf x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当1x =时，函数()f x 取得极大值，也为最大值，所以()()max 10f x f ==， 所以()0f x ≤，得证．（2）原题即对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()ln 1t tf x a t >---成立， 只需()()min minln 1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭， 设()ln 1t t h t t =-，则()()21ln 1t th t t --'=-， 令()1ln u t t t =--，则()1110t u t tt-'=-=>对于t e ≥恒成立， 所以()1ln u t t t =--为[),e +∞上的增函数， 于是()()1ln 20u t t t u e e =--≥=->，即()()21ln 01t th t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以()ln 1t t h t t =-为[),e +∞上的增函数，则()()min minln 11t t e h t h e t e ⎛⎫=== ⎪--⎝⎭， 令()()p x f x a =--，则()()ln 1ln p x x a x a x ax =----=--，当0a ≥时，()ln p x x ax =--为()0,+∞的减函数，且其值域为R ，符合题意． 当0a <时，()1p x a x =--，由()0p x '=得10x a=->， 由()0p x '>得1x a >-，则()p x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；由()0p x '<得10x a <<-，则()p x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，所以()()min 1ln 1p x p a a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，从而由()ln 11ea e -+<-，解得110e e a --<<，综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 22.解：（1）l的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得l 与1C 的交点为()11,0,,22A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则1AB =； （2）2C的参数方程为1cos 2sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1cos ,22θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而点P 到直线l的距离是24d πθ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d)1．23.（1）当230x -≥，即32x ≥时，不等式23x x -<可化为23x x -<， 解得3x <，∴332x ≤<； 当230x -<，即32x <时，不等式23x x -<，可化为32x x -<，解得1x >，∴312x <<；综上，不等式的解集为{}|13x x <<；∴不等式20x mx n -+<的解集为{}|13x x <<， ∴方程20x mx n -+=的两实数根为1和3， ∴134133m n =+=⎧⎨=⨯=⎩，∴431m n -=-=；（2）()0,1a b c ∈、、，且1ab bc ac m n ++=-=， ∴()()()()()2222122222332a b c a b c ab bc ca ab bc ac ab bc ac ab bc ca ++=+++++≥+++++=++=∴a b c ++。

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河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}{}2|1,|1M x x p x x =>=>，则下列关系中正确的是（ ）A ．M P =B ．P M ⊄C ．M P ⊄D ．()U C M P =∅ 2.已知函数 ()2af x x x=+，则“02a <<”是“函数()f x 在()1,+∞上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.运行如图所示框图的相应程序，若输入,a b 的值分别为4log 3和3log 4，则输出M 的值是 （ ）A ． 0B ． 1C ． -1D ． 34.已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前项和，且2431,7a a S ==则5S =（ ） A ．152 B ．314 C. 334D ．172 5.函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（ ）A ．B ．C. D ．6. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则 （ ）A ．()()()258f f f <<B ．()()()825f f f << C. ()()()528f f f << D ．()()()582f f f <<7. 设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12AD C. 12BCD ．BC8.设D 为不等式组12121x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，点(),B a b 为第一象限内一点，若对于区域D 内的任一点(),A x y 都有1OA OB ≤成立，则a b +的最大值等于 （ ）A ． 0B ． 1 C. 2 D ．39. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于A B 、两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB ∆则p =（ ）A ． 1 B． C. 2 D ．3 10.下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B ==； ②设函数()f x 存在导数且满足()()223lim13x f f x x∆→∞--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为-1；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==；A ．0B ． 1 C. 2 D ．311.如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l 上,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C. 当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行12. 设函数()2,0,0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()()0f f x a a =>恰有两个不相等的实根12,x x ，则12xxe e 的最大值为（ ） A ．21e B ．()2ln 21- C. 24e D ．ln 21- 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 设11z i i=++，则z = ．14.二项式()30ax a ⎛-> ⎝⎭的展开式的第二项的系数为-22a x dx -⎰的值为 ．15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积.设隙积共n 层，上底由长为a 个物体，宽为b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层成为长为c 个物体，宽为d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为()()()2266n nS b d a b d c c a =++++-⎡⎤⎣⎦.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为 ．16.数列{}n a 中，()()()*111,211n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D，设,sin BAD αα∠==（1）求sin C ；（2）若28BA BC = ，求AC 的长.18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率； （3）主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，底面ABC ∆是等腰直角三角形，01190,BAC A B BC ∠=⊥.（1）求证：直线AC ⊥直线1BB ；（2）若直线1BB 与底面ABC 成的角为60°，求二面角1A BB C --的余弦值．20. 已知A 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一个动点，弦,AB AC 分别过左右焦点12,F F ，且当线段1AF 的中点在y 轴上时，121cos 3F AF ∠=．（1）求该椭圆的离心率；（2）设111222,A F FB A F FC λλ==，试判断12λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．21. 已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-，在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”．当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知圆1C 的参数方程为1cos 2sin x y φφ=+⎧⎨=+⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为cos 20ρθ+=． （1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设3C 与1C 的交点为,,M N P 为2C 上的一点，且PMN ∆的面积等于1，求P 点的直角坐标．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()21f x x ≥-+；（2）若对于,x y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CACBA 6-10: DACCD 11、12：BC二、填空题13.214. 3 15. 85 16. 152t ≥-三、解答题17.解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5α==∴cos α==则4sin sin 22sin cos 25BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=，∴34sin sin 2sin 2cos 224422252510C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BC C BAC =∠45BC =，∴8AB BC =， 又28BA BC =，∴28AB BC =，由上两式解得BC =又由sin sin AC BC B BAC =∠452BC=，∴5AC =．18.解：（1）设A 队第六位选手的成绩为x ， 由题意得：()()11911132431111221252736466x +++++=+++++-， 解得20x =，∴A 队第六位选手的成绩为20．（2）由（1）知A 队6位选手中成绩不少于21分的有2位，即A 队6位选手中有2人获得“晋级”，主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，基本事件总数2615n C ==， 至少有一个为“晋级”的概率2426215C p C =-=．（3）由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，………()2242226660225C C P C C ξ==⨯=， ()11221142244222226666561225C C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=， ()22111122224242442222226666661012225C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⨯+⨯+⨯=， ()21111224242422226666563225C C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=， ()2224226664225C C P C C ξ==⨯=， ∴ξ的分布列为：()012342225225225225225E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19.解：（1）证明：连接1AB ，因为，侧面11AA B B 为菱形， 所以11AB A B ⊥，又1AB 与1BC 相互垂直，111AB B C B = ， ∴1A B ⊥平面1ABC ，∴1A B AC ⊥，又1,AC AB AB A B B ⊥= ， ∴AC ⊥平面11AA B B ，∵1BB ⊂平面11AA B B ，所以直线AC ⊥直线1BB ． （2）由（1）知，平面ABC ⊥平面11AA B B ，由1B 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ⊥平面ABC ， ∴0160B BA ∠=， ∴D 为AB 的中点，过A 作1DB 的平行线，交11A B 于E 点，则AE ⊥平面ABC ， 建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()0,2,0AC =为平面1AB B 的一个法向量，则()()2,0,0,0,2,0B C ，()(12,2,0,0,BC BB =-=-，设平面1AB B 的法向量(),,n x y z =，220BC n x y =-+=，10BB n y =-= ，取)n =，cos ,AC n AC n AC n===， 二面角1A BB C --的余弦值为7． 20.解：（1）当线段1AF 的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，12AF F ∆为直角三角形， 因为121cos 3F AF ∠=，所以123AF AF =， 易知22b AF a=，由椭圆的定义可得122AF AF a +=，则242b a a = ，即()222222a b a c ==-；即222a c =，即有c e a ==；（2）由（1）得椭圆方程为22222x y b +=，焦点坐标为()()12,0,,0F b F b -， ①当,AB AC 的斜率都存在时，设()()()001122,,,,,A x y B x y C x y ， 则直线AC 的方程为()00y y x b x b=--，代入椭圆方程得： ()()222200003220bbx y by x b y b y -+--=，可得22012032b y y y b bx =--，又20022232AF y b x y b F C λ-===-， 同理0132b x bλ+=，可得126λλ+=； （2）若AC x ⊥轴，则21λ=，1325b bbλ+==，这时126λλ+=； 若AB x ⊥轴，则121,5λλ==，这时也有126λλ+=； 综上所述，12λλ+是定值6．21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22ln f x x a x a x =-++，∴()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==，∵2a >，∴12a>， 令()0f x '>，即()2120a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >， 所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）当4a =时，()2264x x f x x-+'= ，所以在点P 处的切线方程()()22000000026464ln x x g x x x x x x x -+=-+-+，若函数()264ln f x x x x =-+存在“类对称点”()()00,P x f x ，则等价于当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时，()()f x g x >恒成立， ①当00x x <<时，()()f x g x <恒成立，等价于()222000000026464ln 64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立，即当00x x <<时，()2230000000244ln 44ln x x x x x x x x x -++++-，则()00x φ=，要使()00x φ<在00x x <<恒成立，只要()x φ在()00,x 单调递增即可． 又∵()()()()0022000224224x x x x x x x x x x xφ--'=-++=，… ∴002x x ≤，即00x <≤； ②当0x x >时，()()f x g x >恒成立时，0x ≥…，∴0x = 所以()y f x =存在“类对称点”，其中一个“类对称点”22.解：（1）1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，即222440x y x y +--+=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，2C 的直角坐标方程为2x =-；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ=，所以MN =因为PMN ∆的面积等于1，所以P 点到直线4πθ=即0x y -=设()2,P y -22,0y y =+==或-4，P 点坐标为()2,0-或()2,4--．23.（1）解：不等式化为1212x x ++-≥，①当12x ≥时，不等式为32x ≥，解得23x ≥，故23x ≥； ②当112x -≤<时，不等式为22x -≥，解得0x ≤，故10x -≤≤；③当1x <-时，不等式为32x -≥，解得23x ≤-，故1x <-，综上，原不等式的解集为2|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； （2）()()()1152121212212121366f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤⨯+=<．。

河北省武邑中学2016—2017学年高三第三次质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知3{|},{|1}1A x x kB y x =≥=≤+，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为 A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 2、若复数63aii+-（其中,a R i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则a = A ．3 B ．6 C ．9 D ．123、在等差数列{}n a 中，若28641,2a a a a ==+，则5a 的值是 A ．-5 B ．12-C ．12D ．524、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为y x =，则它的离心率为A ．32 B ．23 C ．5 D ．25、将6名留学归国人员分配到甲乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为A ．120B ．150C ．55D ．356、若不等式1x t -<成立的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是 A ．[]2,3 B ．(2,3] C ．[2,3) D ．(2,3)7、在区间[]1,1-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥- 的概率为A ．29 B ．79C ．16D ．568、如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为 A ．32643π- B ．6416π- C ．16643π- D ．8643π-9、如图，(,),(,)M M N N M x y N x y 分别是函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>的一条图象与两条直线12:,:l y m l y m ==-(0)A m ≥≥的两个交点， 记N M S x x =-，则()S m 图象大致是10、已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中常数项是 A ．20 B ．-20 C ．540 D ．-54011、如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[]8,1212、设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x R '∀∈，有()()2f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为A ．[2,)+∞B ．[]2,2-C ．[0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知向量a 的b 夹角为2,23a π=，则a 在b 方向上的投影为 14、在正方体1111ABCD A B C D P -中，点P 在线段1AD 上运动， 则异面直线CP 与1BA 所成角的角θ 的取值范围是15、对于1q <为公比）的无穷等比数列{}n a （即项数是无穷项），我们定义0lim nn S →（其中n S 是数列{}n a 的前n 项和）为它的各项和，记为S ，即1l i m 1n a S S q→==-，则循环小数0.72的分数形式是16、对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12kx m kx m +≤+恒成立，则称函数()f x （x D ∈）有一个宽度为d 的通道，给出下列函数：①()1f x x=；②()s i n f x x =；③()f x =④()ln xf x x=.其中区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知,1AB AC ==，且2cos 22sin 12B CA ++= （1）求角A 的大小和BC 边的长；（2）若点P 在ABC ∆内运动（包括边界），且点P 到三遍的距离之和为d ，设点P 到BC 、CA 的距离分别为,x y ，试用,x y 表示d ，并求d 的取值范围.18、（本小题满分12分）某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市称为本年度城市最“幸福城”，随后，该是某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人民的幸福度.现从幸福分数（以小数点钱的一位数字为茎，系数点后的一位数字为叶） （1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16任中随机随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//,,,224AD BC AB AD AB PA BC AB AD BE ⊥⊥===， 平面PAB ⊥平面APC .（1）求证：平面PED ⊥平面APC ；（2）若直线PE 与平面PAC 求二面角A PC D -- 的余弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0x =与椭圆1C 交于A 、B 两点，且点的坐标(，点P 是椭圆1C 上的任意一点，点Q 满足0,0AQ AP BQ BP ⋅=⋅=.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程.（3）当,,A B Q 三点不共线时，求面积的最大值.21、（本小题满分12分） 已知函数()2ln(1)(0)2xf x ax a x =+->+.（1）当12a =时，求()f x 的极值； （2）若()1(,1),2a f x ∈，存在两个极值点12,x x ，试比较()()12f x f x +与(0)f 的大小；（3）求证：(1)2!(2,)n n e n n n N ->≥∈.22、（本小题满分12分） 选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ACED 是圆内接四边形，AD 、CE 的延长线交于点B ，且AD=DE ，AB=2AC. （1）求证：2BE AD =；（2）当2,4AC BC ==时，求AD 的长.。

河北省武邑中学2017届高三下学期第三次质检数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是A ．B ．C ．D 【答案】B 【分值】5【解析】由题意设2,1=+=z bi z ，可得,212=+b 解得3±=b ，故选B. 【解题思路】设出复数，然后利用复数的模求解即可.【考查方向】本题考查了复数的概念，每年全国一卷二卷必出题. 【易错点】容易漏解. 2.设函数152)(2+--=x x x f ，集合()(){|},{|}A x y f x B y y f x ====，则右图中中阴影部分表示的集合为A ．[]0,3B ．(0,3)C ．(5,0][3,4)-D ．[5,0)(3,4]- 【答案】D 【分值】5【解析】由01522≥+--x x 得},35{≤≤-=x x A ()]4,0[161152)(22∈++-=+--=x x x x f ，故],4,0[=B 从而]3,0[],4,5[=-=B A B A ,阴影部分表示在B A 内且不在B A 内的元素构成的集合，故答案D.【解题思路】分别求出函数)(x f 的定义域和值域，求出集合A 和B 后，分析韦恩图表示的含义，即可得到结果.【考查方向】本题考查了集合的运算以及定义域和值域的求法，高考必有一题. 【易错点】函数值域忽略大于等于0.3.命题“函数(),()y f x x M =∈是偶函数”的否定是 A ．()(),x M f x f x ∃∈-≠ B ．()(),x M f x f x ∀∈-≠ C ．()(),x M f x f x ∃∈-= D ．()(),x M f x f x ∀∈-= 【答案】A 【分值】5【解析】如果函数)(x f y =（M x ∈）是偶函数，则)()(,x f x f M x =-∈∀，所以命题的否定是)()(,x f x f M x ≠-∈∃，故答案A 【解题思路】根据偶函数的定义得出结论.【考查方向】本题考查了偶函数的概念，高考时和其它函数的性质结合出题. 【易错点】命题的否定和否命题容易混淆. 4.已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-= A ．23BCD．2【答案】C 【分值】5 【解析】,cos 2cos sin 6,cos 22sin 3,2αααααπαπ=∴=<<解得,322cos ,31sin -=∴=αα故,322cos )cos()cos(=-=-=-ααππα故答案C.【解题思路】由条件利用二倍角公式求得正弦，再利用同角三角函数基本关系式求出余弦，再利用诱导公式求出答案.【考查方向】本题考查了同角三角函数基本关系式和诱导公式，高考常与三角形结合出题. 【易错点】三角函数符号容易出错.5.实数,x y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y-的最小值为A ．16B ．4C ．1D ．12【答案】D 【分值】56C ．330cm D ．340cm【答案】B【分值】5【解析】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图，棱柱的高为5；底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4，∴几何体的体积)205432131-543213cm V （=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=,故答案B. 【解题思路】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，画出其直观图，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案.【考查方向】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据对应的几何量.是高考必考知识点.【易错点】判断几何体的形状及数据对应的几何量.7.已知等比数列{}n a 的公比2q =，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为 A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 【答案】B 【分值】58.已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，满足()()()2f x xf x xf x '+>，则在区间[]1,1-内 A ．没有零点 B ．恰有一个零点 C ．至少一个零点D ．至多一个零点 【答案】B 【分值】5【解析】当0>x 时，两边同乘以x 得),()(')(222x f x x f x x xf >+即0)()]'([22>-x f xx f x ，则[]0)(')(22>-x e x f x x f x，令xe xf x xg )()(2=，则)(x g 是增函数，当0>x 时，x ex f x )(2>0,0)(>∴x f ，∵)(x f 是奇函数，当0<x 时0)(<x f ，因为0)0(=f 所以）x f (在[]1,1-只有一个零点.故答案B.【解题思路】当0>x 时，两边同乘以x 得),()(')(222x f x x f x x xf >+构造xe xf x xg )()(2=判断)(x f 的符号，因为()x f 是奇函数，可以判断()x f 零点个数.【考查方向】本题考查了函数的奇偶性与单调性之间的关系，是一道函数综合题.【易错点】构造函数xe xf x xg )()(2=.9.定义：(),(0,0)xF x y y x y =>>，已知数列{}n a 满足：(,2)()(2,)n F n a n N F n +=∈，若对任意正整数，都有()n k a a k N +≥∈成立，则k a 的值为 A ．12B ．2C ．89D ．98【答案】C 【分值】5【解析】2212)1(2),(2),2()2,(+=∴∈==+n n a a N n n n F n F a n n n n ,∵2n 2-（n+1）2=（n-1）2-2，当n≥3时，（n-1）2-2＞0，∴当n≥3时a n+1＞a n ；当n ＜3时，（n-1）2-2＜0，所以当n ＜3时a n+1＜a n ．2-2，进而可知当当n ≥3时，（n-1）2-2＞0，推断出当n ≥3时数列单调增，n ＜3时，数列单调减，进而可知n=3时a n 取到最小值求得数列的最小值，进而可知k a 的值．【考查方向】本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．【易错点】判断数列的单调性.10.如图，正方体1111ABCD A BC D -A 为球心， 2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于A.56πB ．23πC ．πD ．76π 【答案】A 【分值】511.当(0,1)x ∈时，某函()f x 数满足：①()0f x '>；②()f x x > ；③对任意12,(0,1)x x ∈有()()1212()22f x f x x x f ++≤，则()f x 可以是下列函数中的 A ．()3f x x = B ．()12f x x=C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 【答案】D 【分值】5【解析】排除法，符合2)()()2(2121x f x f x x f +<+的函数图形是凹图像，对于A 不满足②；B 不满足③，C 不满足②，故答案D.【解题思路】本题结合不等式的解法和函数的图象和性质进行排除. 【考查方向】本题考查了函数性质的综合应用，高考常以选择题压轴题出现. 【易错点】2)()()2(2121x f x f x x f +<+和正切函数线的应用. 12.在平面直角坐标系xOy 中，点(5,0)A ，对于某个正实数k ，存在函数()2(0)f x ax a =>，使得(),(O A O Q OP OA OQ λλ=⋅+为常数），这里点,P Q 的坐标分别为(1,(1)),(,())P f Q k f k ，则k 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[8,)+∞ 【答案】A 【分值】5【解析】由题设知，点P （1，a ），Q （k ，ak 2），A （5，0），A.【考查方向】本题考查平面向量的综合运算，考查了化归转化思想. 【易错点】运算方面容易出错.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()f x '，且()f x '是奇函数，则a = 【答案】-1 【分值】5【解析】求导数可得f′（x ）=()'xx aee --=（e x）′-a （e -x）′=e x+xae-，∵f′（x ）是奇函数，∴f′（0）=1+a=0，解得a=-1，故答案-1.【解题思路】求导数，由f′（x ）是奇函数可得f′（0）=0，解方程可得a 值． 【考查方向】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性.是一道综合题. 【易错点】忽略,0)0(=f 常规运算容易出错.14.点P 是函数2sin()y wx ϕ=+的图象的最高点，M 、N 与点P 相邻的该图象与x 轴的两个交点，且(3,0)N ，若0PM PN ⋅=，则ϕ 的值为【答案】4π 【分值】515.设锐角ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若2A B =，则b的取值范围是 【答案】()32，【分值】516.三棱锥P-ABC 的四个顶点都在体积为3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆的面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 【答案】8 【分值】5为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答． 【考查方向】本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用 【易错点】高经过球心的判断.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】10已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c Ca A-=. 17.求A 的大小. 【答案】3π【分值】4即A C C A A B cos sin cos sin cos sin 2+=，【解题思路】先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简得到A cos ，再在ABC ∆中，考虑角A 的范围求角.【考查方向】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式进行三角变换，考查基本运算能力.【易错点】B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=的转换.18.当a =22b c +的取值范围. 【答案】(]6,3 【分值】6)2cos 12cos 1(2sin 4sin 42222C B C B c b -+-=+=+∴=)]120(2cos 2cos 2[2B B -︒--︒<︒-<︒-∴︒<<︒︒-+=21030230,1200),302sin(24B B b ,【解题思路】利用正弦定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将C 用B 角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成m x A y ++=)sin(ϕω,利用角B 的取值范围求函数的值域.【考查方向】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力.是高考的必考题型.【易错点】（1）角B 的范围容易忽略.（2）转化m x A y ++=)sin(ϕω运算容易出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+. 19.求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 【答案】12,2-==n b a n n n 【分值】4【解析】∵S n =2a n -2，∴n=1时，a 1=2a 1-2，解得a 1=2，n≥2时，a n =S n -S n-1=（2a n -2）-（2a n-1-2）=2a n -2a n-1，∴a n =2a n-1，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n．∵数列{}n b 满足b 1=1，且21+=+n n b b ,∴{}n b 是首项为1，公差为 2 的等差数列，122)1(1-=⨯-+=∴n n b n .【解题思路】由已知条件推导出{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n．{}n b 是首项为1，公差为2 的等差数列，所以n b =2n-1． 【考查方向】本题考查数列的通项公式的求法. 【易错点】当n=1时不验证.20.设1(1)1(1)22n nn n n c a b ----=-，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T【答案】n n n ---+2122322. 【分值】8【解析】⎩⎨⎧--=为偶数，为奇数n n n c n n )12(,2，)]1473[22212n 32-+⋯++++⋯++=∴-n T n （=n n n n n n ---=-++--+2122322214341)41(2. 【解题思路】⎩⎨⎧--=为偶数，为奇数n n n c n n )12(,2，由此利用分组求和法能求出数列{}n c 的前n 2项和n T 2.【考查方向】本题考查了数列求和，考查了学生的转化能力. 【易错点】（1）数列的项数；（2）运算过程出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d的等差数列.21.求数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示） 【答案】2)12(d n a n -= 【分值】6【解析】由题意知：323121132,)1()1(,0S a a a a d n a d n S S d n =⇒+=-+=-+=>,)2(])[3,)(3212121312d a a d a S S S +=-+=-⇒化简得：211211,,02d a d a d d a a =∴=∴=+⋅-,22,)1(d n S nd d n d S n n ==-+= 当2≥n 时，,)12()1(222221d n d n d n S S a n n n -=--=-=-适合1=n 的情形， 故2)12(d n a n -=.【解题思路】根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于d a ,1的方程，求出1a ，d 进而推出nS 再利用n a 与n S 的关系求出n a .【考查方向】本小题主要考查等差数列的通项. 【易错点】（1）1=n没验证；（2）运算过程出错.22.设c 为实数，对满足m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求c 的最大值. 【答案】29【分值】6【解析】222222222222,kn m c k c n m d ck d n d m cS S S k n m +<∴⋅>+⇒>+⇒>+恒成立. 又k n m 3=+且299)()(2,2222222>+⇒=+>+≠k n m k n m n m n m ，故29≤c ,即c 的最大值为29. 【解题思路】利用（21）的结论，对S m +S n ＞c k S 进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c 的最大值的范围，利用夹逼法求出c 的值．【考查方向】本题考查了数列求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力. 【易错点】k nm 3=+的应用.综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上. 23.求证：AC ⊥平面11BB C C ； 【答案】见解析 【分值】4【解析】证明：∵点B 1在底面上的射影D 落在BC 上，∴B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC ，又∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ，B 1D∩BC=D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ． 【解题思路】要证：AC ⊥平面BB 1C 1C ，只需证明B 1D ⊥AC ，BC ⊥AC 即可. 【考查方向】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了学生空间想象能力. 【易错点】射影的利用.24.若点D 恰为BC 的中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；【答案】︒45 【分值】4【解析】∵B 1D ⊥面ABC ，∴B 1D ⊥AC ，又∵AC ⊥BC ，∴AC ⊥面BB 1C 1C ．∵AB 1⊥BC 1， ∴由三垂线定理可知，B 1C ⊥BC 1，即平行四边形BB 1C 1C 为菱形，又∵B 1D ⊥BC ，且D 为BC 的中点，∴B 1C=B 1B ，即△BB 1C 为正三角形，∴∠B 1BC=60°，∵B 1D ⊥面ABC ，且点D 落在BC 上， ∴∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角，∴=θ60°．【解题思路】由题意可得：B 1D ⊥AC ，再结合题意得到：AC ⊥面BB 1C 1C ，得到平行四边形BB 1C 1C为菱形，再根据解三角形的有关知识可得：∠B 1BC=60°，进而结合线面角的定义得到答案．【考查方向】本题考查了线面角的求法. 【易错点】证明△BB 1C 为正三角形. 25.若1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小. 【答案】︒45 【分值】4【解析】以C 点为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则),322,3,0(),0,,0(),0,0,1a a C a B a A -（平面ABC 的法向量 )1,0,0(1n ，设平面1ABC 的法向量为),,,(2z y x n =由⎩⎨⎧=⋅=⋅0122C B n B A n得︒===45,,22,cos ),1,22,22(21212n n n n n， 二面角1C AB C --大小是锐二面角，∴二面角1C AB C --的大小是︒45.【解题思路】求出平面ABC 和平面1ABC 的法向量21,n n，然后求出这两个法向量所成的角，进而求出1C AB C --的大小.【考查方向】本题考查了二面角的求法以及学生的空间想象能力和运算能力. 【易错点】（1）空间直角坐标系的建立；（2）法向量的运算. 综合题分割【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12如图所示，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数[]sin (0,0),0,4y A wx A w x =>>∈的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证赛道运动员的安全，限定. 26.求,A w 的值和,M P 两点间的距离； 【答案】5632===MP A ，，πω【分值】5【解析】因为图像的最高点为），（32,3S 所以32=A ,由图知x A y ωsin =的周期为，12=T 所以6πω=，所以x y 6sin32π=，所以()534-8),08(),34(22=+=MP P M ，，【解题思路】由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的纵坐标，利用两点距离公式求出MP .【考查方向】本题考查了三角函数的图像和性质，由性质求函数解析式，考查两点间的距离公式.【易错点】运算出错.27.应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 【答案】当角︒=30θ 【分值】7【解析】在△MNP 中，，︒=∠120MNP 故)600︒︒∈，（θ，由正弦定理得)60sin(sin 120sin 5θθ-︒==︒MN NP ，)60sin(3310,sin 3310θθ-︒==∴MN NP设使折线段赛道MNP 为L,则]sin )60[sin(3310sin 3310)60sin(3310θθθθ+-︒=+-︒=L =)60sin(3310︒+θ 所以当角︒=30θ时L 的最大值是3310. 【解题思路】利用三角形的正弦定理求出NP,MN ，求出折线MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值.【考查方向】本题考查了三角形的正弦定理，考查了三角函数的有界性，是全国卷常考题的类型.【易错点】]sin )60[sin(3310sin 3310)60sin(3310θθθθ+-︒=+-︒=L 的化简. 【学科】数学【题型】综合题【分值】12已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t . 28.若0,2a b ==，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； 【答案】0=+y x 【分值】3【解析】由题意知,2)(23x x x f -=所以,1,43)('2-=∴-=k x x x f 又1)1(-=f ，∴所求的切线方程为0=+y x【解题思路】根据导数的几何意义求出的切线的斜率，根据点斜式求出切线方程. 【考查方向】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了直线方程的求法. 【易错点】运算出错29.当0b a <<时，若不等式()32ln 0f x x x x ++≥对任意的正实数恒成立，求b 的取值范围；【答案】221ee b -≤ 【分值】4【解析】当0=a 时，0ln )(232≥++-x x x b x x ，即1ln ++≤x x x b ，令1ln )(++=x x x x g ，则,2ln )('+=x x g 由,0)('=x g 得2-=e x由上表知)(x g 的最小值2221)(e e e g -=-，所以221e e b -≤.【解题思路】由0ln )(232≥++-x x x b x x 分离常数得1ln ++≤x x x b ， 转化为1ln )(++=x x x x g 的最值.【考查方向】本题考查了不等式恒成立以及利用导数求最值，高考常以压轴题出现 【易错点】（1）转化问题；(2)中间运算容易出错.30.若0b a <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且直线OA 与直线OB 垂直（O 是坐标原点），求a b +的最小值. 【答案】32 【分值】5【解析】假设B O A O⊥,即0)()(=+=⋅t f s f st B O A O ，故()()()()[][]1)()(,122-=++-++--=----b b t s st a a t s st b t a t b s a s 又由t s ,为0)(23)('2=++-=ab x b a x x f 的两根可得，)0(3),(32a b ab st b a t s <<=+=+，从而()92=-ab b a ， ()12362494)(22=≥+=+-=+ab ab ab b a b a ，即32≥+b a当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==+ab ab b a 9432时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=26322632b a 时取等号，所以b a +的最小值为32. 【解题思路】根据垂直时向量之间的关系列出a,b 关系式，把s ,t 用a,b 表示,根据不等式求出a+b 的最小值.【考查方向】本题考查了用基本不等式求最值，考查了转化的思想. 【易错点】（1）转化；（2）中间运算.数学（理科）参考答案21。