人教B版高中数学选修(2-1)-2.4疑难解析：抛物线

《抛物线及其标准方程》教学设计【教学内容解析】《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．【教学目标设置】1．知识与技能通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生通过微课推导出抛物线的标准方程；在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．2．过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．3．情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．【学生学情分析】1．学生已有认知基础学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．2．达成目标所需要的认知基础学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．3．难点及突破策略难点：1．对抛物线的重新认识；2．抛物线的标准方程的推导；突破策略：1．教师通过播放学生所做的微课演示用几何画板画抛物线的方法来让学生直观的观察抛物线的形成过程，以便加深对抛物线定义的深入理解．2．观看微课并组织小组交流活动，展现抛物线标准方程推导的思维过程，相互评价，相互启发，促进反思．【教学策略分析】以多媒体课件为依托，以看—画—想—研—用为学生学习的主线，来完成本节课的教学．用微课展现出抛物线的形成过程，让学生在动态演示过程中理解抛物线的定义，突出教学重点．通过类比椭圆和双曲线的研究过程，让学生通过自主思考，合作交流，分组展示体验抛物线的标准方程的推导过程，来突破教学难点．通过当堂检测检验学习效果，达到堂堂清的目的．【教学过程】一、新课导入通过二次函数的图象是抛物线，以及生活中抛物线的实例让学生了解抛物线，提高学生学习抛物线的学习热情．二、讲授新课（一）抛物线的定义问题一：抛物线到底有怎样的几何特征？用微课展示抛物线的形成过程，引导学生总结出抛物线的定义．设计意图：让学生直观感受抛物线，培养学生观察总结归纳的能力．抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线不经过点距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．问题二：如果定义中经过点，那么动点的轨迹又是什么呢？学生思考后回答：如果经过点，那么动点的轨迹是经过点且垂直于直线的直线．设计意图：通过学生画图让学生加深对定义中细节的理解．（二）抛物线的标准方程通过类比椭圆与双曲线的学习过程，提出给出抛物线定义后应根据定义得出抛物线的标准方程问题一：已知定点到定直线的距离为,如何建立适当的坐标系，从而得出抛物线的标准方程？先由学生思考，然后教师点拨，提出类比椭圆和双曲线在求标准方程时的建系方法，由学生提出相应建系方案，分组合作交流，最后展示结果．以线段所在直线为轴，以线段的中点为原点建立平面直角坐标系得到的方程形式最简单．其方程是．设计意图：如何建系体现最优化方案，通过严谨细致的分析，展现知识的发生、发展形成的过程，进一步加强过程性教学．抛物线在坐标平面内的位置不同，同一条抛物线的标准方程还有其他几种形式．问题二：观察抛物线的几种不同形式的标准方程，方程有什么特点？设计意图：通过类比椭圆的标准方程的特点，让学生来自主观察总结抛物线标准方程的特点，培养学生归纳总结能力．三、当堂测试由学生自主完成，其中第一题第二问要注意学生的易错点的总结；第三题要注意启发学生用多种方法解题．设计意图：检测本节课学习效果，做到堂堂清．四、归纳总结这节课你有哪些收获？学生总结后回答，教师补充归纳．设计意图：通过问题的形式，师生共同回顾教学过程与内容，系统整理知识点，完善知识结构．。

抛物线重点知识精析1．深刻理解抛物线的定义⑴抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线．⑵定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点．．，设为M ；一个定点．．F ，叫做抛物线的焦点；一条定直线．．．l ，叫做抛物线的准线；一个定值．．，即点M 与点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于1．⑶顶点F 不在定直线l 上，这是一个重要的隐含条件，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线，比如，到点F(1，0)和直线l ：x + y －1 = 0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1 = 0，轨迹是一条直线．2．抛物线标准方程的特点在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同形式，这四种抛物线标准方程y 2=±2px (p ＞0)或x 2=±2py (p ＞0)的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．3．动点、焦点、准线三者互化抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，因此在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常是与抛物线的定义相联系，故它们可以相互转化，这一转化在解题中有着重要的作用．4．圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线还有一个相似的地方，就是它们有一个统一的定义：平面上，若一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离之比等于常数e ，则这个动点的轨迹叫圆锥曲线．当0＜e ＜1时，轨迹是椭圆；当e = 1时，轨迹是抛物线；当e ＞1时，轨迹是双曲线．二、几个常用结论1．关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2= 2px (p ＞0)焦点的弦，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，则：⑴ x 1· x 2=42p ，y 1· y 2=－p 2； ⑵|AB| =θ2sin 2p ； ⑶以AB 为直径的圆与准线相切；⑷焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑸||1FA +||1FB =p2． 2．抛物线的焦半径公式设抛物线上有一点M ，F 是抛物线的焦点，那么线段MF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义，可以得到：⑴抛物线y2= 2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = x+2p．⑵抛物线y2=－2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－x+2p．⑶抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = y+2p．⑷抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－y+2p．3．直线与抛物线位置关系问题在直线与抛物线的位置关系中，由直线与抛物线方程联立可得一方程组，消元后可得到一个关于x(或y)的方程ax2+ bx + c = 0，此时直线与抛物线交点个数完全由方程组解的组数，即方程ax2+ bx + c = 0的解的个数决定．⑴当a = 0时，方程解唯一，显然直线与抛物线交点唯一，但不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；⑵当a≠0时，∆= 0，此时直线与抛物线相切；∆＜0，直线与抛物线相离；∆＞0，直线与抛物线相交于两点．4．抛物线的焦半径、准线、对称轴及动点到准线距离这四条线围成一个直角梯形，在此经常借助平面几何图形的性质求解．一、抛物线的综合应用常见问题：1．求抛物线的有关特征量，并讨论其性质；①抛物线与直线的位置关系，特别是过焦点的直线；②抛物线与圆、椭圆及双曲线的位置关系；③抛物线中的最值与定值问题；④求轨迹方程及抛物线的实际应用问题．2．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法．由于抛物线的标准方程有四种形式，所以先根据题设条件确定所求抛物线是哪种形式，然后列出方程求待定系数p ，就可得到抛物线的标准方程；若已知条件确定曲线的动点规律一般用轨迹法．3．抛物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离，若不做说明，p 一般取正值．求抛物线的标准方程，只需确定参数p ，由于标准方程有四种，所以解这类问题时，可以根据平方项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p 的数值来“定量”，即求出2p 的值，然后把二者结合起来即可． 4．对于抛物线y 2= 2px (p ≠0)上的点的坐标可设为(py 220，y 0)，以简化运算． 5．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．。