2019高中数学 第3章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法学案 新人教B版选修2-2

2016-2017学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2 第2课时复数的乘方与除法学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2 第2课时复数的乘方与除法学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2 第2课时复数的乘方与除法学案苏教版选修2-2的全部内容。

第2课时复数的乘方与除法1。

进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立。

(重点）2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算。

（重点、难点）3。

了解i幂的周期性.(易错点）[基础·初探］教材整理复数的乘方与除法阅读教材P115～P117“练习”以上部分，完成下列问题。

1.复数的乘方与i n(n∈N＊)的周期性(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z∈C及m，n∈N＊，则z m z n＝z m＋n，（z m)n＝z nm，（z1z2)n＝z n1z错误!.（2）虚数单位i n(n∈N＊)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i.2。

复数的除法把满足（c＋d i)（x＋y i)＝a＋b i(c＋d i≠0)的复数x＋y i（x,y∈R)叫做复数a＋b i除以复数c＋d i的商，且x＋y i＝a＋b ic＋d i＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0）.1.判断正误：(1)两复数的商一定是虚数。

( )(2）i2 005＝i.（）（3）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减。

2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法导学案新人教A 版选修1-2【学习目标】熟练掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律、分配律，了解互为共轭复数乘积的结论。

【预习案】预习教材59-61页并完成下列问题1. 复数的乘法法则：设z 1=a+bi ，z 2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R) ,则（a+bi)(c+di)=__________________2. 复数的乘法法则：设z 1=a+bi ，z 2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R) ,则=++di c bi a ___________________3. 共轭复数的性质：_____)1(==⋅z z ____)2(2=z ____)3(21=⋅z z ___)4(=z4.i 的乘方规律:i 1=___,i 2=___,i 3=___,i 4=___;由此归纳：i4n+1=____,i 4n+2=___,i 4n+3=___,i 4n =___5. 两个特殊复数的乘方(1+i)2=____,(1-i)2=_____6.复数模的性质：_______________,______,______,21212121=+=+===⋅z z z z z z z z z n【课中案】例1：计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)例2例3：例4、 计算3,22ωωω，），（例5、计算： 33)1()31(i i -+-例6、 求复数z ，使z+z 4为实数，且 |z-2|=2 .2 (1)(3+4i)(3-4i); (2)(1+i).计算(1+2i)(3-4i).计算 ÷ii 2321,2321--=+-=ωω【课后案】1.i 为虚数单位，=+++7531111i i i i （ ） A.0 B.2i C.-2i D.4i2.若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=( )3.已知复数z=1+i,则12z 2--z z=( )A,2i B.-2i C.2 D.-24.在复平面内，复数2)31(1i i i+++对应的点位于（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.设a 是实数，且211ii a+++是实数，则a=( ) A.21 B.1 C.23 D.2 11A.-2B.-C.D.2226.复数i i 21121-++-的虚部是（ ） A.51.51.51.51--D i C B i7.设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1=3+4i,z 2=t+i,且21z z ⋅是实数，则实数t=（ ） A.43.34.34.B 43--D C8.设x,y 为实数，且,315211x i i y i -=-+-则x+y=_________9.已知复数z 1=m+(4-m 2)i(R m ∈)和z 2=2cos θ+(λ+2sin θ)i(R ∈λ),若z 1=z 2试求λ取值范围。

3．2.2 复数的乘法1.了解虚数单位i 的周期性．2.理解共轭复数的性质．3.掌握复数的乘法及指数幂的运算律．1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律：对任意复数z 1，z 2，z 3有 ①交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1；②结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)； ③分配律：z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3． 2．共轭复数的性质 (1) z · z －＝|z |2＝|z －|2.(2) z 1＋z 2______ ＝z 1－＋z 1－；z 1－z 2______＝z 1－－z 2－； z 1·z 2______＝z 1－·z 1－；(z 1z 2－)＝z 1－z 2－(z 2≠0)．3．复数的乘方对复数z ，z 1，z 2和自然数m ，n ，有z m ·z n ＝z m ＋n，(z m )n ＝z mn ，(z 1·z 2)n ＝z n 1·z n2.1．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2iD ．3＋i解析：选A.z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i. 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C.i(1＋i)2＝i ·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.3．复数i 3(1＋i)2＝( ) A ．2 B ．－2 C ．2iD ．－2i解析：选A.i 3(1＋i)2＝－i ·2i ＝2.复数的乘法运算计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)．[解] (1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. (2)(－1＋3i)(3－4i) ＝－3＋4i ＋9i －12i 2 ＝9＋13i.(3)法一：(1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3－12i ＋3＋12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)·(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.复数的乘法运算法则的记忆复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z－＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：选A.(1＋z )·z －＝(2＋i )·(1－i)＝3－i.虚数单位的幂的周期性(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i （1－i 100）1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－100（－1＋i ）2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.复数z ＝1－i 1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B.z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.2．计算：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016；(2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2（1＋i ）－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i （1－i 2 017）1－i ＝i －i2 0181－i＝i －（i 4）504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z . [解] (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i) ＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，其中n ∈N ＋.2．记住以下结果，可提高运算速度． (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.1．z 1＋z 2＝0只是z 1与z 2共轭的必要条件． 2．不能灵活地运用共轭复数的性质解题．1．(1－i)2·i 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2D ．2解析：选D.(1－i)2·i ＝(1－2i ＋i 2)·i ＝－2i 2＝2.2．复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i解析：选B.z ＝1＋i ，z －＝1－i ，z ·z －－z －1＝2－(1＋i)－1＝－i ，故选B. 3．复数(1－i)3的虚部是__________．解析：因为(1－i)3＝13－3i ＋3×(－i)2－i 3＝－2－2i ， 所以虚部为－2. 答案：－2[A 基础达标]1．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．1 025解析：选C.(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.2．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是( ) A ．ad －bc ＝0 B ．ac －bd ＝0 C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：选D.因为a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，所以ad ＋bc ＝0.故选D.3．2＋23i 的平方根是( ) A.3＋i B.3±i C ．±3＋iD ．±(3＋i)解析：选D.设其平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x 2－y 2＋2xy i ＝2＋23i ，所以⎩⎨⎧x 2－y 2＝2，2xy ＝23，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，所以其平方根为3＋i 或－3－i.4．若ω＝－12＋32i ，则ω4＋ω2＋1等于( )A ．1B ．0C ．3＋3iD ．－1＋3i解析：选B.ω4＋ω2＋1＝ω＋ω2＋1＝0. 5．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1， 则z ＝3±i.6．(1＋i)6＋(1－i)6＝____________． 解析：(1＋i)6＋(1－i)6＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3＝(2i)3＋(－2i)3＝0. 答案：07．复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝__________．解析：设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝z 2＋4z ＋4－8i ＝(－a 2＋4)＋(4a －8)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4＝04a －8≠0解得a ＝－2，所以z ＝－2i. 答案：－2i8．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，即a b ＝2.答案：29．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2－是实数，求实数t . 解：z 1·z 2－＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 因为z 1·z 2－是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.10．已知－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p 、q 及方程的另一根．解：因为(－3＋2i)是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根， 所以2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，2p ＝24，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝26， 所以原方程为2x 2＋12x ＋26＝0，即x 2＋6x ＋13＝0， 所以Δ＝36－4×13＝－16，所以方程根为x ＝－6±16i 2＝－3±2i ，所以方程的另一根为－3－2i.[B 能力提升]11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析：选C.因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，它为实数的等价条件是m 2＝n 2，又m ，n 均为正整数，所以m ＝n .故问题事件所含基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为636＝16.12．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i 得i[(a ＋1)＋b i]＝－3＋2i ，即－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以b ＝3，a ＝1，故z 的实部是1.答案：113．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.14．(选做题)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件，得a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. 所以点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)． 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.故△ABC 的面积为1.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。

3.2。

2 复数代数形式的乘除运算[学习目标］1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．[知识链接］写出下列各小题的计算结果:(1）(a±b）2＝________；（2)（3a＋2b)（3a－2b)________;(3）(3a＋2b)(－a－3b)________．(4）（x－y)÷(x＋错误!）________．答案（1)a2±2ab＋b2(2)9a2－4b2(3）－3a2－11ab－6b2(4）错误!－错误!［预习导引］1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i,z2＝c＋d i（a,b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i）(c＋d i)＝(ac－bd)＋（ad＋bc）i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律（z1·z2)·z3＝z1·（z2·z3)乘法对加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z33如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用z 表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法课堂探究新人教B 版选修2-2探究一 复数的乘法运算1．复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i 2换成－1，最后合并同类项即可．2．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．3．对于复数的高次乘方运算，可以利用公式(z m )n ＝z mn 进行转化运算．【典型例题1】 计算下列各题：(1)(2－4i)(3＋i)；(2)(2＋i)(3＋i)(4－i)；(3)(5＋10i)2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12. 思路分析：按照复数乘法运算的法则及运算律进行计算．解：(1)(2－4i)(3＋i)＝6＋2i －12i －4i 2＝6＋2i －12i ＋4＝10－10i ；(2)(2＋i)(3＋i)(4－i)＝(6＋2i ＋3i －1)(4－i)＝(5＋5i)(4－i)＝20－5i ＋20i ＋5＝25＋15i ；(3)(5＋10i)2＝25＋100i －100＝－75＋100i ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 26 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋32i －146＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 6 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1. 探究二 i 幂值的周期性及其应用1．熟记i 的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数为0,1,2,3时，相应的幂值分别是1，i ，－1，－i.2．对于n ∈N ＋，有i n ＋in ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.【典型例题2】 求下列各式的值：(1)i 2 014；(2)(1＋i)10＋(1－i)10；(3)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014. 解：(1)i 2 014＝i 4×503＋2＝i 2＝－1；(2)(1＋i)10＋(1－i)10＝[(1＋i)2]5＋[(1－i)2]5＝(2i)5＋(－2i)5＝32i 5－32i 5＝32i －32i ＝0；(3)(方法1)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014 ＝(1＋i ＋i 2＋i 3)＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋…＋(i2 008＋i 2 009＋i 2 010＋i 2 011)＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014 ＝0×503＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＝1＋i ＋(－1)＝i.(方法2)原式＝1－i 2 0151－i ＝1－i 503×4＋31－i＝1＋i 1－i ＝1＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝i. 探究三 共轭复数及其应用1．求一个复数的共轭复数时，应首先求出该复数的实部与虚部，然后再根据共轭复数定义求解；2．|z |2＝|z |2＝z ·z 是共轭复数的一个重要性质，在解题中注意合理利用．3．求解复数问题的基本方法是复数问题实数化，即设出复数z 的代数形式，根据条件建立关于其实部与虚部的方程，求出复数的实部与虚部后即可求得复数．【典型例题3】 若复数(1－a i)(2＋i)与(2＋3i)(3－b i)互为共轭复数，求实数a ，b 的值．解：(1－a i)(2＋i)＝2＋i －2a i ＋a ＝(2＋a )＋(1－2a )i ，(2＋3i)(3－b i)＝6－2b i ＋9i ＋3b ＝(6＋3b )＋(9－2b )i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝6＋3b ，1－2a ＝－9－2b 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝4，a ＋b ＝5.解得：a ＝194，b ＝14. 探究四 易错辨析易错点 盲目套用实数集的运算性质而出错【典型例题4】 若x ＝sin 15°cos 15°，则(－i)4x ＝________.错解：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝12×12＝14. 所以(－i)4x ＝[(－i)4]x ＝1x ＝141＝1.错因分析：盲目将实数集中的幂的运算性质(a m )n ＝a mn 推广到复数集中导致错误．事实上，在复数集中，只有当m ，n ∈N ＋时，(a m )n ＝a mn才成立．正确解答：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.所以4x ＝1. 所以(－i)4x ＝(－i)1＝－i.。

3.2.2 复数的乘法和除法学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．知识点一复数的乘法思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律①对任意复数z1，z2，z3，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3②对复数z，z1，z2和自然数m，n有z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z mn，(z1·z2)n＝z n1·z n2.(3)共轭复数的性质设z的共轭复数为z，则：①z·z＝|z|2＝|z|2.②z2＝(z)2.③z1·z2＝z1·z2.知识点二复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？答案设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.梳理 (1)复数的倒数已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的倒数，记作1z.(2)复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R 且c＋d i≠0)．特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ ) 2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一 复数的乘除运算 例1 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. 解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)方法一 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.方法二3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行． (2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行． 跟踪训练1 计算：(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)原式＝(2＋3i )i (3－2i )i ＝(2＋3i )i2＋3i ＝i.(3)原式＝(i －2)(i －1)i －2＝i －1.类型二 共轭复数的性质及应用例2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.反思与感悟 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数． 跟踪训练2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.类型三 i n的周期性 例3 计算：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)； (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－－2＋i1＋2i； (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i . 解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i －4i ＋i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2) ＝47－39i.(2)原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3－(－2＋i )(1－2i )5＝(－1＋3i )3(2i )3－－2＋4i ＋i ＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋i 23－i ＝i －i ＝0. (3)原式＝(－23＋i )(1－23i )(1＋23i )(1－23i )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 008＋0＝13i 1＋12＋(－i)1 008＝i ＋1.反思与感悟 (1)i n的周期性 ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1(n ∈N ＋)．②i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. ④设ω＝－12＋32i ，则ω2＝－12－32i ，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.跟踪训练3 计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 012.解 ∵i 2＝－1，i 3＝i·i 2＝－i ，i 4＝(i 2)2＝1，i 5＝i 4·i＝i ， ∴i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 012＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)×503＝1.1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2C ．i 3D ．i 4答案 B解析 z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i.∵z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，m ≠1，得m ＝－1，∵i 2＝－1，∴实数m 可以是i 2，故选B.3.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q答案 D解析 由图可知z ＝3＋i.∴复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.4．复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 5＋i解析 ∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i 1＋2i ，z ＝3＋4＋3i 1＋2i，z ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.5．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝101－3i，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i ，由z ·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，即a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以z ＝－1或z ＝－1－3i.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i 答案 C解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，则z i ＋i z ＝1＋i i＋i·(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 D解析 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i ，则z 的虚部是45.3．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋i D ．3－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，∴z ＝3±i.4．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 A解析 z ＝3＋i (1－3i )(1－3i )＝(3＋i )i (1－3i )i (1－3i )＝(3＋i )i(3＋i )(1－3i )＝i 1－3i＝－3＋i 4.z ·z ＝－3＋i 4·－3－i 4＝14. 5．已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b2i ，又复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则4－b2＝－1，即b ＝6. ∴z ＝－1＋5i ， 则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.6．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 答案 A7．当z ＝1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D解析 z 2＝(1－i )22＝－i ，则z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i 12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i ＋1＝－i.二、填空题 8．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.答案 1 解析a ＋2ii＝2－a i ＝b ＋i ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.9．设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数iz 1＋z 25的虚部为________．答案 1 解析 ∵iz 1＋z 25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i (2＋i )5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i ，∴虚部为1. 10．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________． 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数 答案 －1－3i 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ，∴其共轭复数为－1－3i.11．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．答案 二解析 由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－i i＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．三、解答题12．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5. (1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值． 解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5， ∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5. (2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i. 又z ·(a ＋i)是纯虚数， ∴5a －1＝0且a ＋5≠0， 解得a ＝15.13．已知z 是复数，z ＋2i 与z1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 z 是复数，z ＋2i 与z1－i 均为实数，可设z ＝x －2i(x ∈R )，x －2i 1－i ＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i2，可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，因为复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <4，a >2，即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解 设z ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，因为(1＋3i)z ＝(1＋3i)(m ＋n i)＝m －3n ＋(3m ＋n )i 为纯虚数，所以m －3n ＝0，且3m ＋n ≠0，① ω＝z2＋i ＝m ＋n i 2＋i ＝(2m ＋n )＋(2n －m )i 5. 由|ω|＝52，得(2m ＋n )225＋(2n －m )225＝(52)2， 即m 2＋n 2＝250.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－15，n ＝－5.代入ω＝(2m ＋n )＋(2n －m )i 5，得ω＝±(7－i)．。