沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷

15.4《角的平分线》基础练习第1课时《角平分线的尺规作图》一、选择题1．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．2．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）A．120°B．30°C．150°D．60°6．下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS7．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上8．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3二、填空题9．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC=．10．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在OA、OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E．若OE=OD，则∠AOB=90°．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：．11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为．12．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=°．13．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP．则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据．三、解答题14．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．（2）求证：△BCD是等腰三角形．第2课时《角平分线的性质和判定》基础练习一、选择题1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．356．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是（）A．5 B．4 C．3 D．28．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（）A．AD+BC=AB B．∠AOB=90°C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点二、填空题9．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE 的长为．10．如图：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BD=6，则CD=．11．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．13．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB 与CD之间的距离等于．三、解答题14．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．15．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE=OF（）．同理，OD=OF．∴OD=OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．参考答案第1课时1．解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．2．解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．3．解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．4．解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．5．解：由作法得AH平分∠BAC，则∠CAH=∠BAH，∵AB∥CD，∴∠BAC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∴∠CAH=∠BAC=30°，∴∠AHD=∠CAH+∠C=30°+120°=150°．故选：C．6．解：由作图可得OD=OE，EC=DC，而OC=OC，所以根据“SSS”可判定△OCD和△OCE全等．故选：C．7．解：如图由题意：∠AOD=30°，∠COD=90°，∴∠AOC=120°，由作图可知，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠AOC=60°，∴∠DOB=30°，∴点B在点O北偏东30°方向上，故选：D8．解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：C．9．解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO=OG==1，∴CO=．故答案为：．10．解：由作图可知，CE=CD，∵OE=OD，∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），∴∠COD=90°，故答案为等腰三角形的三线合一．11．解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1=0，即：2a+b=﹣1．故答案为：2a+b=﹣1．12．解：由题意：∠GBA=∠GBE，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBE=30°，∴∠ABC=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°﹣∠ABC=120°，故答案为12013．解：有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．14．（1）解：如图，（2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．15．（1）解：如图，BD为所作；（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴△BCD为等腰三角形．第2课时1．解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D．2．解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选：B．3．解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故选：B．5．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30，故选：C．6．解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选：D．7．解：如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2，∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4，故选：B．8．解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE，∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；∵OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选：C．9．解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9，解得，DE=，故答案为：．10．解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD=6，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=AD=3，故答案为：3．11．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．12．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．13．解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．14．证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN（角平分线的性质）．15．证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．∴OD=OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．。

15.4 角的平分线1. 如图，点P 是∠BAC 内一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则△PEA ≌△PFA 的理由是( )A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 到三角形三边距离相等的点是( )A ．三边垂直平分线的交点B ．三条高所在直线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点3. 如图，△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别是20 cm ，30 cm ，40 cm ，点O 为△ABC 三内角平分线的交点，则S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC 等于( )A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶54．作∠AOB 的平分线时，以点O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于点C ，D ，然后分别以点C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应( )A ．大于12CDB ．等于12CDC ．小于12CD D ．以上答案都不对 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等6. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( )A. 3 B．2 C．3 D．2 37. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC的面积是( )A．3 B．4 C．5 D．68. 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝ .9．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝ .10. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD ＝，BD∶CD＝ .11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 .12. 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC 平分∠ACD .13. 如图，已知OD 平分∠AOB ，P 是OD 上一点，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N .求证：PM ＝PN .14. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，且CD ＝CB ，∠ABC＋∠ADC ＝180°.求证：AE ＝12(AB ＋AD )．参考答案1. A2.C3.C4.A5.A6.C7.A8.90° 9.120° 10.3∶4 3∶4 11.312.证明：作OE ⊥AC 于E ，得OE ＝OC .又∵OC ＝OD ，∴OE ＝OD ，∴OC 平分∠ACD.13.证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2.又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4.又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.14.证明：过点C 作CF ⊥AD ，交AD 延长线于点F ，易证△CEB ≌△CFD ，△AEC ≌△AFC. ∴DF ＝BE ，AF ＝AE .又DF ＝AF －AD ＝AE －AD ，BE ＝AB －AE ，∴AB －AE ＝AE －AD ，即AE ＝ 12(AB ＋AD ).。

FE O D C ABTQPNMOED CBAFEDCB A 第2课时 角平分线的性质及判定一、选择题1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）（A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三边垂直平分线交点．2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o． （D ）∠NQT ＝∠MQT ．（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论（ ）（A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确． 4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o． （B ）20o． （C ）30o． （D ）40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题）（A ）70o． （B ）120o． （C ）115o． （D ）130o．8．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ）（A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．（第7题） （第8题）二、填空题DCBAMFE DCBAB 1CB A 1AAB CD EFG 北PQCBAOPQCBA9．到一个角的两边距离相等的点在 ．10．一个三角形三边长为3，a ，7，若它的周长是4的倍数，则a ＝ ． 11．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．12．如图，△APQ 为等边三角形，且∠B ＝∠BAP ＝∠QAC ＝∠C ，则∠BAC ＝ ． （第12题） （第13题） （第14题）13．如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，且∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶3∶5，则∠BCA 与∠B 1A 1C 的比等于 ．14．如图，已知BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o，∠ADG ＝130o，则∠DGF＝ ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90o，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．（第15题） （第16题）16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 三、解答题17．如图，∠AOB 是直角，OP 平分∠AOB ，OQ 平分∠AOC ，∠POQ ＝70o，求∠AOC 的度数．MC B AFED BAMDCB A A BCDEPFECB AF E DCBA18．如图，∠B ＝∠C ＝90o ，M 是BC 上一点，且∠AMD ＝90o，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．19．如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．20．如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC 的周长．21．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：D 在∠BAC 的角平分线上．22．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．23．如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCANM EDC BAAD NPM 的大小．24．如图，AE 平分∠BAC ，BD ＝DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ．求证：BM ＝CN ．25．已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM于M ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 二、填空题9．这个角的角平分线上 10．6 11．45o12．120o13．5：1 14．150o15．20cm 16．∠BAC 的平分线上且距A 点1cm 处，角的平分线上的点到角两边的距离相等三、解答题17．50o ． 18．∵∠B ＝∠C ＝90o ，∴∠ADC ＋∠DAB ＝180o ，又∵∠AMD ＝90o，∴∠ADM ＋∠DAM＝90o ，∠CDM ＋∠MAB ＝90o，∵∠CDM ＝∠ADM ，∴∠DAM ＝∠MAB ． 19．△BDE ≌△CDF ，DE ＝DF ，即D 在∠BAC 的角平分线上． 20．在AE 上截取AD ＝AC ． 21．△BDE ≌△CDF ． 22．Rt △ADC ≌Rt △ADE ，周长＝BE ＋ED ＋DB ＝BE ＋CD ＋DB ＝BE ＋BC ＝BE ＋AE ＝AB ． 23．55o ． 24．连结BE 、CE ，证△BME ≌△CNE ． 25．作PE ⊥AC 于。

15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质知识要点基础练知识点1角平分线的尺规作图1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( A)A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等2.尺规作图:如图,已知∠AOB和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且点P在∠AOB的平分线上.( 不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示,P点即为所求.知识点2过一点作已知直线的垂线3.( 漳州中考)下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是( B)知识点3角平分线的性质4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AB的中点,点D在∠B的平分线上,DE⊥AB,则( B)A.BC>AEB.BC=AEC.BC<AED.以上全不对5.( 2019·滁州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为15.6.( 2019·蚌埠期末)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,Q是射线OM上的一个动点.若P,Q两点间的最小距离为8,则PA=8.综合能力提升练7.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( D)A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP8.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为( 2x,y+1 ),则y关于x的函数关系为( B)A.y=xB.y=-2x-1C.y=2x-1D.y=1-2x9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线AD分对边BD,CD的长度比为3∶2,且BC=20 cm,则点D到AB的距离是8cm.10.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于350.11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD( SAS),∴∠ADB=∠CDB.∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°.( 1 )用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D;( 保留作图痕迹,不要求写作法) ( 2 )在( 1 )中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.解:( 1 )图略.( 2 )∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-70°-70°=40°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=35°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=35°+40°=75°.13.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,P是AD上一点,∠1=∠2.( 1 )若△ABP与△ACP的面积相等,求证:AB=AC;( 2 )在( 1 )的条件下,若PB=PC,求证:AD⊥BD.证明:( 1 )作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.∵∠1=∠2,∴PM=PN.∵S△ABP=S△ACP,即PM·AB=PN·AC,∴AB=AC.( 2 )在Rt△BPM和Rt△CPN中,∴Rt△BPM≌Rt△CPN( HL).∴∠PBM=∠PCN.∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,∴∠PBM+∠PBC=∠PCN+∠PCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵∠1=∠2,∴AD⊥BD.拓展探究突破练14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于点G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:AD=EF.证明:∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,∴BH为AE的垂直平分线.∵点F在BD上,∴AF=EF.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.∵∠BAC=90°,AG⊥BC,∴∠ABD+∠ADB=90°,∠DBC+∠BFG=90°,∴∠ADB=∠BFG.∵∠AFD=∠BFG,∴∠ADB=∠AFD,∴AF=AD.又∵AF=EF,∴AD=EF.。

课后训练1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，PE＝3，那么点P到AB的距离是()．(第1题图)A．3 B．4 C．5D．62．以下结论正确的有()．①如果(x－1)(x－2)＝0，那么x＝1；②在△ABC中，假设∠B是钝角，那么∠A，∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上．A．1个B．2个C．3个D．4个3．(四川巴中中考)如下图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()．(第3题图)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，△ABC，求作一点P，使P到∠BAC的两边的距离相等，且P A＝PB.以下确定P点的方法正确的选项是()．(第4题图)A．P为∠A，∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，那么D 到AB的距离为()．A．18B．16 C．14 D．126．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，假设AD＝6，BC＝10，那么△BDC的面积为()．(第6题图)A．20 B．30 C．60 D．1207．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，假设∠POB＝30°，那么∠AOB＝________度．(第7题图)8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BD＝5 cm，那么BC＝__________ cm.(第8题图)9．如图，点C是∠AOB的平分线上一点，点P，P′分别在边OA，OB上．如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC.(第9题图)10．如图，D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.(第10题图)11．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE＝EB，DE＝DC，求∠B的度数．(第11题图)12．(广东珠海中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.(1)用尺规作图方法，作∠DAB的角平分线AF(只保存作图痕迹，不写作法和证明)；(2)假设AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状(只写结果)．(第12题图)13．如图，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 是AB 的中点，且DE 平分∠ADC .求证：CE 平分∠BCD .(第13题图)答案与解析1．A 解析：根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P 到AB 的距离等于PE 的长．2．B 解析：正确的有②④.3．C 解析：到草坪三条边的距离相等的点是三条角平分线的交点，应选C.4．B 解析：由点P 到∠BAC 的两边的距离相等知，点P 在∠BAC 的平分线上；由P A ＝PB 知，点P 在AB 的垂直平分线上，应选B.5．C 解析：因为BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，所以CDAD 是∠BAC 的角平分线，D 在AD 上，DC ⊥AC ，所以点D 到AB 的距离等于CD 的长，应选C.6．B 解析：如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .(第6题图)∵BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE ＝AD ＝6.∴111063022BDC S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=.应选B.7．60解析：如图因为点P到∠AOB两边的距离相等，∠POB＝30°，所以由角的平分线性质定理的逆定理得，∠AOP＝∠B OP＝30°，∴∠AOB＝60°.8．8解析：由角平分线的性质可知DE＝CD，所以BC＝BD＋CD＝BD＋DE＝5＋3＝8 cm.9．①②④解析：假设分别添加条件①②，均可判定△POC≌△P′OC，从而有OP＝OP′；假设添加条件④，那么可判定△POQ≌△P′OQ，从而有OP＝OP′；假设添加条件③，那么△POC与△P′OC不一定全等，因而不能判定OP和OP′相等，故此题答案为①②④.10．证明：如图，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.(第10题图)∵S△DCE＝S△DBF，∴1122CE DG BF DH⋅=⋅.∵CE＝BF，∴DG＝DH.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.11．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE＝DC，∴∠1＝∠2.∵DE⊥AB于E，AE＝EB，∴DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∴∠B＝∠1＝∠2.又∵在Rt△ABC中，∠B＋∠BAC＝90°，∴3∠B＝90°.∴∠B＝30°.12．解：(1)如图，射线AF即为所求．(2)△ADE是等腰三角形．(第12题图)解析：(1)①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AB于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，射线AF即为所求．(2)因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠DEA.又∠BAE＝∠DAE，所以∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE.所以△ADE 是等腰三角形．(第13题图)13．证明：如图，作EF⊥CD，垂足为F.∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠A＝90°.∴AD⊥AE.∵EF⊥CD，DE平分∠ADC，∴AE＝FE.又∵E为AB的中点，∴AE＝BE.∴BE＝FE.∴CE平分∠BCD.。

15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质二知识点i 角平分线的尺规作图1•用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明/ AOC= / BOC 的依据是（A ）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 尺规作图：如图，已知/ AOB 和C,D 两点,求作一点P,使PC=PD ，且点P 在/ AOB 的平分线 上.（不写作法，保留作图痕迹 ）二知识点2过一点作已知直线的垂线3.（漳州中考 二知识点3角平分线的性质4. 如图，在△ ABC 中，/C= 90 °,E 是AB 的中点，点D 在/ B 的平分线上，DE 丄AB,则（B ）知识要点基础练解:如图所示,P 点即为所求.）下列尺规作图，能判断AD 是厶ABC 边上的高的是（BA.BC>AEB.BC=AEC.BC<AED.以上全不对5. （ 2019滁州期末）如图，在△ ABC中，/ C= 90 :AB= 10,AD是厶ABC的一条角平分线若CD= 3,则厶ABD的面积为15 .6. （ 2019蚌埠期末）如图，0P平分/ MON ,PA丄ON,垂足为A,Q是射线0M上的一个动点综合能力提升练若P,Q两点间的最小距离为8,则PA= 8 .7•如图,OP平分/ AOB,PA丄OA,PB丄OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是（D ）A.PA=PBB.PO 平分/ APBC.OA=OBD.AB 垂直平分OP8•如图,在平面直角坐标系中，以O为圆心,适当长为半径画弧，交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心，大于-MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为（2x,y+1 ）,则y关于x的函数关系为（B ）A .y=xB .y=- 2x-1C.y= 2x-1D.y= 1-2x9•在Rt△ ABC中，/ C=90 °,Z A的平分线AD分对边BD,CD的长度比为3 : 2,且BC= 20 cm, 则点D到AB的距离是8 cm.10. 如图，在△ ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分/ ABC,交CD于点E,BC=50,DE= 14,则厶BCE的面积等于350 .11. 如图,BD为/ ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM丄AD于点M,PN丄CD于点N. 求证:PM=PN.证明：T BD为/ ABC的平分线,••• / ABD= / CBD.在厶ABD和厶CBD中,:.△ ABD◎△ CBD( SAS ), • Z ADB= / CDB. •••点P 在BD 上,PM 丄AD ,PN 丄CD,•：PM=PN.12. 如图，在△ ABC 中,AB=AC , Z ABC= 70 °(1 )用直尺和圆规作Z ABC的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹，不要求写作法)(2 )在(1 )中作出Z ABC的平分线BD后，求Z BDC的度数.解：(1 )图略•(2 ) •••AB=AC,.：Z ABC= Z C= 70 °•: Z A=180°70°70° = 40°•/BD 平分Z ABC,：Z ABD=-Z ABC= 35°,•: Z BDC= Z ABD+ Z A= 35°+ 40°=75°.13. 如图，在△ ABC中,D是BC边上一点，P是AD上一点，Z 1= Z 2.(1 )若厶ABP与厶ACP的面积相等，求证:AB=AC ;(2 )在(1 )的条件下，若PB=PC ,求证:AD丄BD.证明:(1 )作PM丄AB于点M,PN丄AC于点N.•/ Z 1= Z 2,：. PM=PN.•£△ABP=S△ACP,即一PM AB=—PN AC,•••AB=AC.(2 )在Rt△ BPM 和Rt△ CPN 中,•Rt△ BPM也Rt△ CPN( HL ).•/ PBM= / PCN.•.•PB=PC ,• / PBC= / PCB,•/ PBM+ / PBC= / PCN+ / PCB,•/ ABC= / ACB,「. AB=AC ,•••/ 1= / 2, • AD 丄BD.拓展探究突破练14. 如图，在Rt△ ABC中,/ BAC= 90 :AG丄BC于点G,BD平分/ ABC,AE丄BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:AD=EF.证明：T BD平分/ ABC,AE丄BD,•BH为AE的垂直平分线.•••点F 在BD 上,• AF=EF.•/ BD 平分/ ABC, • / DBC= / ABD.•••/ BAC= 90°,AG 丄BC,•/ ABD+ / ADB= 90° / DBC+ / BFG= 90°,•/ ADB= / BFG.•/ / AFD= / BFG, • / ADB= / AFD ,•AF=AD.又••• AF=EF ,• AD=EF.。

15.4角的平分线（1）基础导练1. 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，用来直接证明△ABD≌△ACD的依据是（）A. ASAB.SASC.AASD.SSS2. 如图：将一张矩形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A．90°＜α＜180°B．α=90°C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化3.如图所示，在ΔABC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，则AC是∠BAD的________ .4. 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线，不写作法，保留作图痕迹.能力提升5. 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，OB=OC ，求证：AO平分∠BAC．6.已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC, 求证：BE=CF.CF A D B E ┐ ┐参考答案1. C2. B3. 平分线4. 略5. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．又∵∠BOD=∠COE在△BOD和△COE中，∠BDC=∠CEB,∠BOD=∠COE,OB=OC,∴△BOD≌△COE（AAS）．∴OD=OE．∴AO平分∠BAC．6.证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ DB=DC,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF.。

15.4 角的平分线一、单选题1．如图所示，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三边中线的交点B．△ABC的三条角平分线的交点C．△ABC的三条高所在直线的交点D．△ABC的三边的垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是( )A．4B．5C．6D．73．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=4，则点P到边OA的距离是（）A．1B．2C．D．44．如图，OP平分∠BOA，∠BOA=45°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A．4 B．2C．2D．25．如图，点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD=（）A．l10°B．115°C．120°D．135°6．如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．37．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．B．C．D．8．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于().A．50°B．40°C．30°D．20°9．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM的度数为（）A．38°B．152°C．150°D．142°10．如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．10 B．6 C．4 D．不确定11．下列说法中正确的是（）A．若|a|=﹣a，则a 一定是负数B．单项式x3y2z 的系数为1，次数是6C．若AP=BP，则点P 是线段AB 的中点D．若∠AOC=∠AOB，则射线OC 是∠AOB 的平分线12．现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点．若满足，则的长度为（）A．3B．4C．5D．3或515．下列说法不正确的是（）A．三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.B．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.C．正多边形的每一个外角都相等.D．三角形的三条高都在三角形内部.二、填空题16．如图，已知∠AOD=150°，OB、OC、OM、ON 是∠AOD 内的射线，若∠BOC=20°，∠AOB=10°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点 O以3°/秒的速度逆时针旋转 t 秒时，当∠AOM：∠DON=3：4 时，则 t=____________．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，E是斜边AB上的动点，若CD=3cm，则DE长度的最小值是______cm．18．已知：∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOD的度数_____．19．已知在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m），点B在x轴的负半轴上，过点A作直线AC∥x轴，交∠AOB的平分线OC于点C，那么点C到直线OA的距离等于_____．20．如图，点 D 是∠ABC 内一点，点 B 在射线 BA 上，且∠DBE=∠BDE=15°，DE∥BC，过点 D 作DF⊥BC，垂足为点 F，若 BE=10，则 DF=_________．参考答案1-15．BADBB DABDA BCCDD16．17．318．17°或163°．19．12．20．5。

第2课时角的平分线的判定二知识点1角平分线的判定1•如图，M,N 分别是OA,OB 边上的点，点P 在射线0C 上,则下列条件不能说明 的是（D ）A. PM 丄OA,PN 丄OB,PM=PNB. PM 丄OA,PN 丄 OB,OM=ONC. PM=PN ,OM=OND. PM=PN , / PMO= / PNO2•如图，在CD 上求一点P,使它到边OA,OB 的距离相等，则点P 是（C ）A. 线段CD 的中点B. CD 与过点O 作CD 的垂线的交点C. CD 与/ AOB 的平分线的交点D. 以上均不对二知识点2三角形三条内角平分线的交点的性质3•如图，三条公路把A,B,C 三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区 域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应 建在（D ）A. AC,BC 两边中线的交点处B. AC,BC 两边高线的交点处C. AC,BC 两边垂直平分线的交点处D. / A, / B 两内角平分线的交点处4•如图,O 是厶ABC 内一点，且点O 到三边AB,BC,CA 的距离 OF=OD=OE.若/ BAC= 70 ° 则/ BOC= 125° . 二知识点3角平分线的判定和性质的综合运用知识OC 平分/ AOB R5•如图，在厶ABC 中,AB=AC,AD 是中线，DE 丄AB,DF 丄AC,垂足分别为 E,F,则 下列四个结论：①AB 上任意一点与AC 上任意一点到 D 的距离相等；②AD 上 任意一点到 AB,AC 的距离相等；③/ BDE= / CDF;④/仁/ 2•其中正确的有6•如图，已知射线0C 上的任意一点到/ AOB 的两边的距离都相等，点D,E,F 分 别在射线OC,OA,OB 上，要想证得0E=0F ,只需要添加以下四个条件中的某一 个即可，请写出所有符合要求的序号 ①②④• ①/ ODE= / ODF;②/ OED= / OFD;③ED=FD :④EF 丄 0C.综合能力提升练7•如图，在厶ABC 中，分别与/ ABC,/ ACB 相邻的外角的平分线相交于点 接AF ，则下列结论正确的是（B ）A.AF 平分 BCB.AF 平分/ BACC.AF 丄BCD.以上结论都正确8•如图,直线11,12,13表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离 相等,则可供选择的地址有（D ）9•如图，在厶ABC 中,P 为BC 上一点，PR 丄AB,垂足为 RPS 丄AC,垂足为S,AQ=PQ ,PR=PS.则下列结论：①AS=AR;②QP // AR;③厶 BRP ^A CSP. 其中正确的是（A ）A.①②B.②③C.①③D.①②③10. 如图,△ ABC 的三边AB ,BC ,CA 的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则 S^ABO : S BCO : S A CAC = 4 ： 5 ： 6 .11. 如图，在△ ABC 中,AB+AC= 20,BO,CO 分别平分/ ABC 和/ ACB,OD 丄 BC 于 点D,且 OD= 3,则图中阴影部分的面积等于30 • A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.一处 B.二处AHOCF R F,连ft12. 如图，在△ ABC中，/ ABC与/ ACB的平分线相交于点O,OD丄AB,OE丄BC,OF 丄AC,D,E,F 分别是垂足•证明：点O在/ BAC的平分线上•证明：•.•点0在/ ABC的平分线上，0D丄AB,OE丄BC, •••OD=OE.同理,OE=OF ,二OD=OF , •••点O在/ BAC的平分线上.13. 如图,△ ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P,求证：点P也在/ BCD的平分线上.证明：作PF丄AB于点F,PG丄BC于点G,PH丄AC于点H,T BP是/ EBC的平分线,PF丄AB,PG丄BC,• PF=PG.T AP是/ BAC的平分线,PH丄AC,PF丄AB,• PH=PF ,• PG=PH , 又••• PG丄BC,PH 丄AC,•••点P在/ BCD的平分线上.14. 如图，在△ ABC中,AD是/ BAC的平分线，点E,F分别在AB和AC上，/ AED+ / AFD= 180 °求证:DE=DF.证明：过点D作DM丄AB于点M,DN丄AC于点N,T AD 平分/ BAC,」. DM=DN.•••/ AED+ / AFD= 180°,/ AFD+ / DFN= 180°,• / DFN= / AED.在厶DME与厶DNF中,• △ DME DNF( AAS ), • DE=DF.拓展探究突破练15•在△ ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合)，连接AD.(1 )如图1,当D是BC边上的中点时，S»BD : S A ACD= 1 : 1 ;(2 )如图2当AD是/ BAC的平分线时若AB=m ,AC=n，求0ABD : S»CD的值；(用含m,n 的代数式表示)(3 )如图3,AD平分/ BAC,延长AD到点E,使得AD=DE ,连接BE,如果AC=2,AB=4,0BDE= 6,那么S A ABC= 9 •解：（2 ）过点D作DE丄AB于点E,DF丄AC于点F,T AD为/ BAC的平分线，二DE=DF.'/AB=m ,AC=n,「. S^ABD : S A ACD=m : n.mi ft D I驼。

实用文档.15.4角的平分线〔2〕练习题1、如图1，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，那么以下结论中错误的选项是〔 〕A. PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PC2、如图2，△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,DF ⊥AC,E 、F 为垂足，那么以下四个结论：〔1〕AD 上任意一点到点C 、D 的距离相等；〔2〕AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；〔3〕AD ⊥BC 且BD ＝CD ；〔4〕∠BDE=∠C DF,其中正确的个数是〔 〕 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3、与相交两直线距离相等的点在〔 〕A 一条直线上B 一条射线上C 两条相互垂直的直线上 D.两条相互垂直的射线上 4、：如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，EF 交AD 于M ．求证：AM ⊥EF5.如图，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E,且CF 、DE 交于点D ，BD=CD ．求证：AD 平分∠BA C6.：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ． 求证：BE=CFA CPD O图1AD BCFE图2AFB DE M A B CD F ED E BAFC7.：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上．1,求证：AP⊥BP;90，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论．2,假设∠D＝0A D如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！PCB实用文档.。