线性代数ch1习题答案

线性代数课后练习参考答案（初稿）线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-?-?=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-= （3）13120010020020030(1)3002(1)243000040040004++=-=?-=-（4）111213100002300234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=?-+?-=2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）2 1412141312150620123212325625062-==（2）2851285110513102531906196512511310805120512121117609712--------==---=----=----------（3）111111111ab ac ae b c e bdcd de adf b c e adfbce bfcfefbce----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()010a b b ba b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b ab a b a-==--=--------（5）x a a aa x a aa a x a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a a ax n a xa a x n a a x a x n a a a x+-+-+-+- =[(1)]x n a +-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]xn a+-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）2222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)012111110001012111 11200213111112201231230 123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a bb c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111*********22222222222223333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）0()()()()00x y z x z y x y z y z x z x y x y z y z x zy x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111xx x xxy y y y yy+---=++++---21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y yy y y y-?-?- ?=++=++++ ?---??22222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y + ?=+-=-+= ?- ?-?（4）设012110001000100n n n a a x D a x a x----=-，则按最后一行展开，可得011132 10001101(1)00110n n n n n a a x x D a xa x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++.332123223321123210n n n n n n n n n n na xa a x a x x D a xa a x a x a x a x -----------= =+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=? 有非零解时，必须满足什么条件？解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-.又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -+=-=---2. 解：由A X B +=，得020133.221X B A -??=-=-- ? ?--?? 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -???? ? ?-=--=- ? ? ? ?- 4. 解：（1）()31,2,32132231101?? ?=?+?+?= ? （2）()22411,212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-????，（3）12110162134021311491231042217--?????? ??? ?= -（4） 1312140012678113413120510402??--???? ?= ? ? ?---????5. 解：（1）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B == ? ?则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误，设00,10A ??=则有20A =，但0.A ≠（5）错误，设10,00A ??=则有2A A =，但.A I ≠6．解：2221010(),0101AB A B -== ? ?-7．证明：因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明：因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解：由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -?? ?=--=- ? ???. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-??=cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2s in 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-??--??==-??, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-??=. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--=cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---??=+-??cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+??=++??因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=. 11. （1）解：由初等行变换可得，111031113111031107221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------???????? ?----=→→→ ? ? ? ?------ ?-（2）解：由初等行变换可得，111111107125016016234000000 ? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?-12. 解法见第38页例2.14.13. (1) 解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ→→--- ? ? ? ? ? ?---?2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ?? ?→--- ? ?-+-+?，当2λ=-时，方程组无解，当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当1λ≠，且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---??--→-- ? ? ? ?---?112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--???? ? ?→-+--→--- ? ? ? ?-------当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解：通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015?- ? ? ? ? ? ? ? ? ?-?15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-→→ ? ? ?--，故 112522521--= ? ?-相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解：原线性方程组可写成123123122103430x x x= ??? ? ??? ???????，因此，11231123132210234301x x x -??==- ? ? ? ? ? ? ? ?17.（1）由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --??-??-?? ? ?== ? ? ?-- ??? ?-，（2）由原矩阵方程可得1111143120112011104X --???????? ?== ? ??? ?---??????（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----???????? ? ??? ?=-=- ? ??? ? ? ??? ?--????????18证明：因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=，所以12()()k I A I A A A --=++++19．解：由220A A I --=，得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-，因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=-20. 证明：由220A AB B ++=，且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=- 21. 令11123,01121001B C ??== ? ??? ?，则111311044,0111100122B C --??-??- ? ?==--，因此1111130004411000002200001100001100001B B A A A ----??- ? ?-=== ?- ? ?- ?. 22. 证明：若,B C 可逆，则有11000B C I CB --= ? ?，所以A 可逆，且1110.0C A B---??= 反之，若A 可逆, 设其逆为X Y Z V ??，则， 000B X Y I o CZ V I= ??? ???????，因此，,BZ I CY I ==，因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =，得211A A AA --=，即A E =，这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?-- 解得, 12345111 ,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x++= ? ? ? ? ? ???????，上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立. 7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()?设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=??+=??+=? 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()? 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关，所以123123123(000k k k k k k k k k +-=??-++=??-+=? 解得上面方程组只有零解，因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（?）设1mi i i k αα==∑，和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（?）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑，则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi ii k α==∑若有某个0i k =，不妨设10k =，则有20,mi ii k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====，这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零，命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ? ? ?=-→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-+所以，当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关，且312111.77ααα=+ 13. 解：（1）因为2344112311231123112323440501005010326132610501000001021102101020000A --------=→→→ ? ? ? ?------因此，向量组1234,,,αααα的秩为2，12,αα是一个极大线性无关组，且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2），（3），答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα?? ?-= ? ???，有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2，即12,αα线性无关.（2）容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++? 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明：因为01101111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关，即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++，即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=??-++=??+=?，解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明：因为A 是正交阵，所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==，故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000?????? ? ?--- ? ? ?→→-- ? ?-, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=??-=?选取3x 作为自由未知量，解得基础解系为1971-?? ? ? ???，因此，方程组的解为1971k -?? ? ? ???（2）313411311131159815980467113131340000--------→--→-- ? ? ? ? ? ?----，选取选取34,x x 作为自由未知量，解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -+ ? ? ? ?????（3）见教材答案（4）见教材答案2. （1）对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --???? ? ?=--→ ? ? ? ?----解得特解为5/6101/6??-??，对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-?? ?- ? ? ???，因此方程组的同解为5/6101/6?? ? ? ? ?-??+3510k -?? ?- ? ? ???（2）答案见教材 3. （略）4. 证明：令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。

故所有因式都为0.原命题得证.。

3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000n n -L L M M M OM L L（2）00100200100000n n-L L M O M O M L L； 解：（1）010000200001000n n -LLM M M OM LL=()()23411n τ-L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()11!n n --（2）00100200100000n n-L LM OM O M L L=()()()()12211n n n τ---L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()()()1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a LM OM L，B=11111212212221212n n nn n n n n nna ab a b a b a a b a b a b a -----L L MMOM L，其中0b ≠，试证明：A=B 。

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

线性代数模考答案一、单项选择题1．设行列式m a a a a =22211211，n a a a a =21231113，则行列式232221131211a a a a a a ++等于 （ A ） A ．n m + B ．()n m +- C ．m n - D ． n m -2．矩阵211160104A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是 （ B ）A ．正定的B ．负定的C ．半负定的D ．半正定的3．设A 为n 阶方阵，βα,为n 维向量，若βαA A =，当矩阵A 满足（ D ）时，有βα=。

A ．0≠AB ．0=AC ．0=AD ．0≠A 4．设4321,,,αααα是一组n 维向量，其中321,,ααα线性相关，则 （ D ）A ．321,,ααα中必有零向量．B ．21,αα必线性相关．C ．32,αα必线性无关．D ．4321,,,αααα必线性相关．5．下列矩阵中为正交矩阵的是 （ D ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111 C ．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡210021D ．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21212121二、填空题1．行列式=-+--10110112 0 ．2．若向量(1,2,)k --与(2,1,3)k -正交，则k = 2 .。

3．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--021 201的转置矩阵为102120--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4．设A m n ⨯矩阵，且方程组0Ax =只有零解，则()r A = n 。

5．若向量()321-=α与()62--=k β线性相关，则k = 4 ．三．解答下列各题1．6482714231164911111--=D ． 1111083150435028965D = 11110435120003500010=-=- （4分） 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=415322A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=131423512B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031413511C ，求AC AB -． AC AB -()A B C =-AE A ==3． 课本p50 2（2）4 ~A 120044000000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，秩为2，一个最大无关组为12,αα 四、求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值和特征向量 2211020(1)(2)413E A λλλλλλ+--⎡⎤⎢⎥-=-=+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦特征值为11λ=-，232λλ== 当11λ=-时，101~010000E A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征向量1101p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当232λλ==时，4112~000000E A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征向量2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3104p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五、求方程组的通解（15分）12341234123431323442980x x x x xx x x x x x x +--=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩对方程组的增广矩阵施行初等行变换113113234412980A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦10362~0167100000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦有 134234362671x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩特解 ()2100T η=-基础解系 ()13610Tξ=-，()26701T ξ=- 通解 1122x k k ξξη=++ 其中1k 、2k 为任意实数。

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。