检测·知能升级 第八章 第二讲
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第2讲两直线的位置关系, [同学用书P145])1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1,l2,斜率分别为k1,k2平行k1=k2k1与k2都不存在垂直k1k2=-1k1与k2一个为零、另一个不存在2.两条直线的交点3.三种距离点点距点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2线线距两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A2+B21.辨明三个易误点(1)在推断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率,可依据相应公式或性质推断,若直线无斜率,要单独考虑.(2)求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式.(3)在运用两平行直线间的距离公式d=|C1-C2|A2+B2时,肯定要留意将两方程中x,y的系数化为相同的形式.2.与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为:(1)垂直:Bx-Ay+m=0(m∈R);(2)平行:Ax+By+n=0(n∈R,且n≠C).1.教材习题改编已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-m,m+1),若直线AB∥PQ,则m的值为()A.-1B.0C.1 D.2C[解析] 由于AB∥PQ,所以k AB=k PQ,即0-3-4-2=m+1-1-m-(-3),解得m=1,故选C.2.教材习题改编已知A(5,-1),B(m,m),C(2,3),若△ABC为直角三角形且AC边最长,则整数m 的值为()A.4 B.3C.2 D.1D[解析] 由题意得B=90°,即AB⊥BC,k AB·k BC=-1,所以m+1m-5·3-m2-m=-1.解得m=1或m=72,故整数m的值为1,故选D.3.直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则实数a的值为________.[答案]234.教材习题改编两平行直线x-2y-1=0与x-2y+m=0的距离为5,则m=________.[解析] 由平行线间的距离公式得|-1-m|12+(-2)2=5,即|m+1|=5,所以m=4或m=-6.[答案] 4或-65.教材习题改编已知三点O(0,0),A(1,3),B(3,1),则△OAB的面积为________.[解析] 由于|AB|=(1-3)2+(3-1)2=2 2.AB所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.所以O 到AB 的距离d =|-4|2=2 2.所以S △OAB =12|AB |·d =12×22×22=4.[答案] 4两条直线平行与垂直[同学用书P146][典例引领](1)(2021·邢台摸底考试)“a =-1”是“直线ax +3y +3=0和直线x +(a -2)y +1=0平行”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P ,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程为________.【解析】 (1)依题意,留意到直线ax +3y +3=0和直线x +(a -2)y +1=0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧-a 3=-1a -2,1a -2≠1,解得a =-1,故选C.(2)法一:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2,即P (0,2).由于l ⊥l 3,所以直线l 的斜率k =-43,所以直线l 的方程为y -2=-43x ,即4x +3y -6=0.法二:由于直线l 过直线l 1和l 2的交点,所以可设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x +y -2)=0,即(1+λ)x +(λ-2)y +4-2λ=0. 由于l 与l 3垂直,所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 所以λ=11,所以直线l 的方程为12x +9y -18=0, 即4x +3y -6=0.【答案】 (1)C (2)4x +3y -6=0将本例(2)中条件“与直线l 3:3x -4y +5=0垂直”改为“与直线l 3:3x -4y +5=0平行”,求此时直线l 的方程.[解] 法一:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2,即P (0,2). 由于l ∥l 3,所以直线l 的斜率k =34,所以直线l 的方程为y -2=34x ,即3x -4y +8=0.法二:由于直线l 过直线l 1和l 2的交点,所以可设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x +y -2)=0, 即(1+λ)x +(λ-2)y +4-2λ=0. 由于l 与l 3平行,所以3(λ-2)-(-4)(1+λ)=0,且(-4)(4-2λ)≠5(λ-2),所以λ=27,所以直线l 的方程为3x -4y +8=0.两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在,当两直线在x 轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合. (3)已知两直线的一般方程设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0,l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.该方法可避开对斜率是否存在进行争辩.已知两直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值.(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. [解] (1)由于l 1⊥l 2, 所以a (a -1)-b =0.又由于直线l 1过点(-3,-1), 所以-3a +b +4=0.故a =2,b =2.(2)由于直线l 2的斜率存在,l 1∥l 2, 所以直线l 1的斜率存在. 所以ab=1-a .①又由于坐标原点到这两条直线的距离相等, 所以l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b =b .②联立①②可得a =2,b =-2或a =23,b =2.距离公式(高频考点)[同学用书P147]距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式.在高考中经常消灭,多为简洁题或中档题.高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度: (1)求距离;(2)已知距离求参数值; (3)已知距离求点的坐标. [典例引领](1)若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ |的最小值为( )A .95B .185C .2910D .295(2)已知A (4,-3),B (2,-1)和直线l :4x +3y -2=0,若在坐标平面内存在一点P ,使|P A |=|PB |,且点P 到直线l 的距离为2,则P 点坐标为________.【解析】 (1)由于36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ,b ). 由于A (4,-3),B (2,-1),所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,-2).而AB 的斜率k AB =-3+14-2=-1,所以线段AB 的垂直平分线方程为y +2=x -3, 即x -y -5=0.由于点P (a ,b )在直线x -y -5=0上, 所以a -b -5=0.①又点P (a ,b )到直线l :4x +3y -2=0的距离为2, 所以|4a +3b -2|5=2,即4a +3b -2=±10,②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-4或⎩⎨⎧a =277,b =-87.所以所求点P 的坐标为(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87. 【答案】 (1)C (2)(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87[题点通关]角度一 求距离 1.(2021·洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点P 的直线l :ax +y -1=0与过定点Q 的直线m :x -ay +3=0相交于点M ,则|MP |2+|MQ |2的值为( )A .102B .10C .5D .10D [解析] 由题意知P (0,1),Q (-3,0),由于过定点P 的直线ax +y -1=0与过定点Q 的直线x -ay +3=0垂直,所以M 位于以PQ 为直径的圆上,由于|PQ |=9+1=10,所以|MP |2+|MQ |2=|PQ |2=10,故选D. 角度二 已知距离求参数值2.若直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离是5,则m +n =( ) A .0 B .1 C .-1 D .2 A [解析] 由于直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离为5,所以⎩⎨⎧n =-2,|m +3|5=5,所以n =-2,m =2(负值舍去). 所以m +n =0.角度三 已知距离求点的坐标3.已知定点A (1,0),点B 在直线x -y =0上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是( ) A .⎝⎛⎭⎫12,12 B .⎝⎛⎭⎫22,22 C .⎝⎛⎭⎫32,32 D .⎝⎛⎭⎫52,52 A [解析] 由于定点A (1,0),点B 在直线x -y =0上运动,所以当线段AB 最短时,直线AB 和直线x -y =0垂直,AB 的方程为y +x -1=0,它与x -y =0联立解得x =12,y =12,所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12,12.对称问题[同学用书P148][典例引领]已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求: (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程; (3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程. 【解】 (1)设A ′(x ,y ),由已知⎩⎨⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎨⎧x =-3313,y =413. 所以A ′⎝⎛⎭⎫-3313,413. (2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设M ′(a ,b ),则⎩⎨⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0.得N (4,3).又由于m ′经过点N (4,3),所以由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.(3)设P (x ,y )为l ′上任意一点,则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ),由于P ′在直线l 上,所以2(-2-x )-3(-4-y )+1=0,即2x -3y -9=0.[通关练习]1.直线x +2y -3=0与直线ax +4y +b =0关于点A (1,0)对称,则b =________. [解析] 法一:由题知,点A 不在直线x +2y -3=0上, 所以两直线平行, 所以-12=-a4,所以a =2.又点A 到两直线距离相等, 所以|1-3|5=|2+b |25,所以|b +2|=4, 所以b =-6或b =2.由于点A 不在直线x +2y -3=0上,所以两直线不能重合, 所以b =2.法二:在直线x +2y -3=0上取两点P 1(1,1)、P 2(3,0), 则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax +4y +b =0上. 由于易知P ′1(1,-1)、P ′2(-1,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧a -4+b =0,-a +b =0,所以b =2.[答案] 22.已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.[解析] 设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎨⎧b -4a -(-3)·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.又反射光线经过点N (2,6), 所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0. [答案] 6x -y -6=0,[同学用书P148])——忽视直线斜率的不存在性致误已知直线l 过点A (1,2),且原点到直线l 的距离为1,求直线l 的方程.【解】 当直线l 过点A (1,2)且斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,原点到直线l 的距离为1,满足题意.当直线l 过点A (1,2)且斜率存在时,由题意设直线l 的方程为y -2=k (x -1),即kx -y -k +2=0. 由于原点到直线l 的距离为1,所以|-k +2|k 2+1=1,解得k =34.所以所求直线l 的方程为y -2=34(x -1),即3x -4y +5=0.综上所述,所求直线l 的方程为x =1或3x -4y +5=0.(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的状况,从而只求得一条直线.(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时,若题目中没有明确直线的斜率是否存在,要留意对斜率的存在性进行分类争辩.已知经过点A (-2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0,-1)和点Q (a ,-2a )的直线l 2相互垂直,则实数a 的值为________.[解析] l 1的斜率k 1=3a -01-(-2)=a .当a ≠0时,l 2的斜率k 2=-2a -(-1)a -0=1-2aa .由于l 1⊥l 2,所以k 1k 2=-1,即a ·1-2aa =-1,解得a =1.当a =0时,P (0,-1),Q (0,0),这时直线l 2为y 轴, A (-2,0),B (1,0),直线l 1为x 轴,明显l 1⊥l 2.综上可知,实数a 的值为1或0. [答案] 1或0,[同学用书P339(独立成册)])1.若直线l 1:mx -y -2=0与直线l 2:(2-m )x -y +1=0相互平行,则实数m 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 C [解析] 由于直线l 1:mx -y -2=0与直线l 2:(2-m )x -y +1=0相互平行,所以⎩⎪⎨⎪⎧-m +(2-m )=0,m +2(2-m )≠0,解得m =1.故选C. 2.已知直线l 1:2ax +(a +1)y +1=0,l 2:(a +1)x +(a -1)y =0,若l 1⊥l 2,则a =( ) A .2或12B .13或-1C .13D .-1B [解析] 由于直线l 1:2ax +(a +1)y +1=0, l 2:(a +1)x +(a -1)y =0,l 1⊥l 2, 所以2a (a +1)+(a +1)(a -1)=0, 解得a =13或a =-1.故选B.3.当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .其次象限C .第三象限D .第四象限B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx -y =k -1,ky -x =2k ,得⎩⎨⎧x =k k -1,y =2k -1k -1.又由于0<k <12,所以x =kk -1<0,y =2k -1k -1>0,故直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在其次象限.4.(2021·石家庄模拟)已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A .x -y +1=0 B .x -y =0 C .x +y +1=0 D .x +y =0A [解析] 由题意知直线l 与直线PQ 垂直,直线PQ 的斜率k PQ =-1,所以直线l 的斜率k =-1k PQ=1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3),所以直线l 的方程为y -3=x -2,即x -y +1=0.5.已知点A (3,2)和B (-1,4)到直线mx +y +3=0的距离相等,则m 的值为( ) A .-6或12B .-12或1C .-12或12D .0或12A [解析] |3m +2+3|m 2+12=|-m +4+3|m 2+12,即|3m +5|=|7-m |,解得m =-6或12.6.若动点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)分别在直线l 1:x -y -5=0,l 2:x -y -15=0上移动,则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A .522B .5 2C .1522D .15 2B [解析] 由题意得,线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x -y -10=0,由于原点到直线x -y -10=0的距离为d =102=52,所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.7.已知A ,B 两点分别在两条相互垂直的直线2x -y =0和x +ay =0上,且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0,10a ,则线段AB 的长为________.[解析] 依题意,a =2,P (0,5),设A (x ,2x ),B (-2y ,y ),故⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =0,2x +y =10,则 A (4,8),B (-4,2),所以|AB |=(4+4)2+(8-2)2=10.[答案] 108.已知直线l 1:y =2x +3,直线l 2与l 1关于直线y =-x 对称,则直线l 2的斜率为________.[解析] 由于l 1,l 2关于直线y =-x 对称,所以l 2的方程为-x =-2y +3,即y =12x +32,即直线l 2的斜率为12. [答案] 129.已知l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,则直线l 1的方程是________.[解析] 当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.由于A (1,1),B (0,-1),所以k AB =-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率为k =-12,所以直线l 1的方程是y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.[答案] x +2y -3=010. 如图,已知A (-2,0),B (2,0),C (0,2),E (-1,0),F (1,0),一束光线从F 点动身射到BC 上的D 点,经BC 反射后,再经AC 反射,落到线段AE 上(不含端点),则直线FD 的斜率的取值范围为________.[解析] 从特殊位置考虑.如图,由于点A (-2,0)关于直线BC :x +y =2的对称点为A 1(2,4),所以kA 1F =4.又点E (-1,0)关于直线AC :y =x +2的对称点为E 1(-2,1),点E 1(-2,1)关于直线BC :x +y =2的对称点为E 2(1,4),此时直线E 2F 的斜率不存在,所以k FD >kA 1F ,即k FD ∈(4,+∞).[答案] (4,+∞)11.正方形的中心为点C (-1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5=0,求其他三边所在直线的方程. [解] 点C 到直线x +3y -5=0的距离d =|-1-5|1+9=3105.设与x +3y -5=0平行的一边所在直线的方程是x +3y +m =0(m ≠-5), 则点C 到直线x +3y +m =0的距离 d =|-1+m |1+9=3105,解得m =-5(舍去)或m =7,所以与x +3y -5=0平行的边所在直线的方程是x +3y +7=0. 设与x +3y -5=0垂直的边所在直线的方程是3x -y +n =0, 则点C 到直线3x -y +n =0的距离d =|-3+n |1+9=3105,解得n =-3或n =9,所以与x +3y -5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3=0和3x -y +9=0.12.(2021·洛阳统考)已知点P (x 0,y 0)是直线l :Ax +By +C =0外一点,则方程Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0表示( )A .过点P 且与l 垂直的直线B .过点P 且与l 平行的直线C .不过点P 且与l 垂直的直线D .不过点P 且与l 平行的直线D [解析] 由于点P (x 0,y 0)不在直线Ax +By +C =0上,所以Ax 0+By 0+C ≠0,所以直线Ax +By +C+(Ax 0+By 0+C )=0不经过点P ,排解A 、B ;又直线Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0与直线l :Ax +By +C=0平行,排解C ,故选D.13.已知点P (2,-1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程;(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. [解] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),明显,过P (2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2. 若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2), 即kx -y -2k -1=0.由已知得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34.此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图. 由l ⊥OP ,得k l k OP =-1, 所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2),即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.14.A ,B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ,A ,B 两工厂之间距离500 m ,把小河看作一条直线,今在小河边上建一座供水站,供A ,B 两工厂用水,要使供水站到A ,B 两工厂铺设的水管长度之和最短,问供水站应建在什么地方?[解] 如图,以小河所在直线为x 轴,过点A 的垂线为y 轴,建立直角坐标系,则点A (0,400),点B (a ,100). 过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中,AB =500,AC =400-100=300, 由勾股定理得BC =400, 所以B (400,100).点A (0,400)关于x 轴的对称点A ′(0,-400), 由两点式得直线A ′B 的方程为y =54x -400.令y =0,得x =320, 即点P (320,0).故供水站(点P )在距O 点320 m 处时,到A ,B 两厂铺设的水管长度之和最短.。
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检测·知能升级一、选择题1.文学家从绿色植物中获取灵感,创作大量的文学作品。
唐朝白居易的诗句中“日出江花红胜火,春来江水绿如蓝”以及茅盾笔下的“白杨礼赞”,分别描述了两类植物,它们是( )A.藻类植物和蕨类植物B.藻类植物和种子植物C.苔藓植物和蕨类植物D.苔藓植物和被子植物2.(2011·海口模拟)松树属于裸子植物的依据是种子外没有下列哪项包被着,是裸露的( )A.果皮B.胚C.种皮D.种皮和果皮3.某同学在课余时间观察了很多植物并做了详细记录。
这是他观察记录中的一部分,有错误的一项是( )A.甲是“泰山迎客松”,能生活在岩石缝隙中,原因是根系发达,叶细长如针B.乙是葫芦藓,因其对二氧化硫等敏感,所以可作为监测空气污染程度的指示植物C.丙是蕨,形态优美,可供观赏,喜阴湿环境,靠孢子繁殖D.丁是衣藻,生活在海水中,细胞中含叶绿体4.草莓鲜美红嫩,果肉多汁,酸甜可口,香味浓郁,是水果中难得的色、香、味俱佳者,因此常被人们誉为“果中皇后”。
草莓结果时,根系吸收的水分主要用于( )A.光合作用B.蒸腾作用C.果实的生长发育D.植株的生长5.如图所示的实验装置探究的是( )A.叶片正面和背面的气孔是否一样多B.绿叶在光下制造有机物C.叶片呼吸作用释放二氧化碳D.叶片光合作用释放氧气6.在验证“绿叶在光下制造淀粉”的实验中,下列说法正确的是( )A.实验前应将天竺葵放在暗处一小时B.脱色过程中应把叶片放到碘酒中隔水加热C.遮光时应用不透光的黑纸或铝箔D.滴加碘液后不用漂洗便直接观察7.2011年3月26日晚8点30分,以倡导低碳生活为主题的“地球一小时”活动从斐济和新西兰首先拉开帷幕,全球共134个国家和地区以熄灯接力传递着为保护地球而开展的环保改变。
低碳,意指较低的温室气体(二氧化碳)排放。
第八章第二讲 二力平衡知识要点一、二力平衡物体在受到两个力作用时,如果保持静止状态或匀速直线运动状态,我们就说这两个力彼此平衡 同理,物体在受到几个力作用时,如果保持静止状态或匀速直线运动状态,我们就说这几个力相互平衡。
二、二力平衡的条件通过实验得出,要使受力物体保持静止状态必须满足下列四个条件:①两个力作用在同一个物体上 ②大小相等 ③方向相反 ④作用在同一条直线上如果物体做匀速直线运动,所作用的两个力也应满足以上这些条件二力平衡的条件是:作用在一个物体上的两个力,如果大小相等,方向相反,并且在同一直线上,这两个力就彼此平衡。
判断时四者同时具备缺一不可。
三、二力平衡的条件的应用①判断物体是否受力平衡②根据一个力的大小方向,确定另一个力的大小方向。
经典例题1.如图所示,哪个图中的两个力是平衡的( )2.下列说法中正确的是( )A .物体的运动状态保持不变,它一定没有宏观世界到外力的作用B .物体受到了力,运动状态一定改变C .在平衡力的作用下,物体一定做匀速直线运动D .物体的运动状态发生改变,它一定受到外力的作用5N A 5N 5N B 5N 5N C 5N5ND 5N3.质量相同的物体甲、乙、丙,甲在拉力1F 作用下以2m/s 的速度匀速上升,乙在拉力2F 作用下以1m/s 的速度匀速下降,丙在拉力3F 作用下恰好静止不动。
不计空气阻力,则1F 、2F 、3F 的大小关系是 。
4.一个重500N 的人站在电梯中,求下列情况下电梯底面对人的支持力大小和方向。
(1)人和电梯一起静止不动;(2)人和电梯一起以1.51-⋅s m 的速度匀速上升;(3)人和电梯一起以2.01-⋅s m 的速度匀速下降。
基础过关1.关于平衡力,下列说法正确的是( )A .物体在平衡力作用下一定保持静止状态 B.物体在平衡力作用下一定处于匀速直线运动状态C .相互平衡的两个力一定是性质相同的力 D.平衡力一定是作用在同一物体上的两个力2.物体受两个力的作用,由下面哪种情况可以判断这两个力一定是一对平衡力( )。
《知识与能力训练•物理》八年级上册参考答案(2017秋)第一章机械运动第1节长度和时间的测量(1)自主导学1.km m dm cm mm μm nm m2.量程分度值零刻度线在哪里3.(1)零刻度紧靠(2)正对(或“平视”)(3)(测量)单位4.18.50cm左右5.(1)m (2)cm (3)dm(4)cm(5)dm (6)mm基础练习1.(1)1.25 1250 1.25×109(2)250 2.5×108(3)300 3×107 (4)80 8×1062.15.31cm 18.22cm3.6cm 1cm 3.4 1mm 3.60cm4.C 5.B 6.D提高练习7.C 8.A 9.B 10.C第1节长度和时间的测量(2)自主导学1.秒s h min 60 36002.误差误差减小误差3.多次测量求平均值选用精密的测量工具改进测量方法基础练习1.(1)s (2)min 0.75 2700 (3) 75 4500 (4) 150 2.5 2.99.83.B4.D5.B6.B7.D提高练习8.180 9.A第2节运动的描述自主导学1.位置2.参照物参照物相对基础练习1.运动运动静止运动2.B3.B 4.D提高练习5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B第3节运动的快慢(1)自主导学1.快慢路程时间2.m/s km/h 1m/s=3.6km/h3.直线速度4.平均速度基础练习1.(1)5 (2)72 2.30 3.C4.D5.C 6.C7.C提高练习8.D 9.100km/h 10.A 11.A第3节运动的快慢(2)基础练习1.<2.加速直线匀速直线3.C 4.B提高练习5.甲丙乙6.15 93.37.C 8.B 9.A 10.D 11.C第4节测量平均速度自主导学1.刻度尺停表基础练习1.0.09m/s2.(1)v=s/t(2)变速(3)v3 >v1>v2提高练习3.14.(1)质量(2)在光滑程度相同的情况下,小球在斜面上滚下的平均速度与质量无关第一章测试题一、选择题1.B 2.B 3.D4.C 5.B6.A 7.C 8.C 9.D 10.B11.C 12.B 13.C 14.D 15.D 16.A 17.B 18. B 19.A二、填空题20.0.1cm 3.80cm21.(1)15 (2)1822.东边地平线西边的山23.物体位置的改变变速三、实验题24.(1)v=s/t(2)小减小(3)大(4)0.2 v AB<v AC<v BC四、综合应用题25.5.4m/s26.8m/s27.利用汽车上的速率计和计时设备测量速度和时间来计算长度,利用汽车上的里程表读取长度等第二章声现象第1节声音的产生与传播自主导学1.振动固体液体气体声波真空2.快快340基础练习1.B 2.B3.A4.A 5.D 6.D7.C 8.C 9.C 10.B11.产生传播提高练习12.(1)一般情况下,声音在不同介质中的传播速度不同(2)一般情况下,声音在固体中的传播速度比液体、气体中的大13.介质345 14.C15.B 16.13.98s第2节声音的特性自主导学1.高低振动的快慢高2.强弱振幅3.音调响度音色4.20000 20基础练习1.B2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.C 11.A 提高练习12.D第3节声的利用自主导学1.回声定位声呐2.能量基础练习1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.B提高练习11.(1)高于20000Hz(2)能量(3)真空不能传声(4)3000第4节噪声的危害和控制自主导学1.分贝dB 损害健康人耳刚好能听见2.(1)防止噪声的产生(2)阻断噪声传播(3)防止噪声进入人耳基础练习1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C提高练习9.B 10.A 11.B 12.B第二章测试题一、选择题1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.D11.C 12.B 13.D 14.B 15.D 16.D 17.B 18.B 19.D 20.A 二、非选择题21.响度音调频率22.振动响度音调4Hz 不能23.(1)能(2)逐渐变小(或听不到声音)(3)不能[ 声音的传播需要介质(或声音在真空中不能传播)](4)空气真空24.低 225.空气锣面停止了振动26.固体快27.超声波能量次声波28.4s 660m29.牛蚊子30.(1)“烟”是以光速传播的,计时员看到“烟”所用的时间极短;而“枪声”是以声速传播的,计时员听到“枪声”所用时间较长。
第⼋章第⼆讲:抽屉原理.课后练习抽屉原理是⼀种特殊的思维⽅法,不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断,同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学⽬标是:1.理解抽屉原理的基本概念、基本⽤法; 2.掌握⽤抽屉原理解题的基本过程; 3. 能够构造抽屉进⾏解题; 4. 利⽤最不利原则进⾏解题;5.利⽤抽屉原理与最不利原则解释并证明⼀些结论及⽣活中的⼀些问题。
⼀、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理,它由德国数学家狄利克雷⾸先明确提出来并⽤来证明⼀些数论中的问题,因此,也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中⼀个重要⽽⼜基本的数学原理,利⽤它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令⼈惊奇的作⽤.许多看起来相当复杂,甚⾄⽆从下⼿的问题,在利⽤抽屉原则后,能很快使问题得到解决.⼆、抽屉原理的定义(1)举例桌上有⼗个苹果,要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥,⽆论怎样放,有的抽屉可以放⼀个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现⾄少我们可以找到⼀个抽屉⾥⾯⾄少放两个苹果。
(2)定义⼀般情况下,把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉⾥,其中必定⾄少有⼀个抽屉⾥⾄少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题⽅案(⼀)、利⽤公式进⾏解题苹果÷抽屉=商……余数余数:(1)余数=1,结论:⾄少有(商+1)个苹果在同⼀个抽屉⾥(2)余数=x ()()11x n - ,结论:⾄少有(商+1)个苹果在同⼀个抽屉⾥(3)余数=0,结论:⾄少有“商”个苹果在同⼀个抽屉⾥(⼆)、利⽤最值原理解题将题⽬中没有阐明的量进⾏极限讨论,将复杂的题⽬变得⾮常简单,也就是常说的极限思想“任我意”⽅法、特殊值⽅法.模块⼀、利⽤抽屉原理公式解题(⼀)、直接利⽤公式进⾏解题(1)求结论知识精讲知识点拨教学⽬标【例 2】向阳⼩学有730个学⽣,问:⾄少有⼏个学⽣的⽣⽇是同⼀天?【例 3】三个⼩朋友在⼀起玩,其中必有两个⼩朋友都是男孩或者都是⼥孩.【例 4】“六⼀”⼉童节,很多⼩朋友到公园游玩,在公园⾥他们各⾃遇到了许多熟⼈.试说明:在游园的⼩朋友中,⾄少有两个⼩朋友遇到的熟⼈数⽬相等.【例 5】在任意的四个⾃然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?【例 6】证明:任取8个⾃然数,必有两个数的差是7的倍数.【例 7】任给11个数,其中必有6个数,它们的和是6的倍数.【例 8】任意给定2008个⾃然数,证明:其中必有若⼲个⾃然数,和是2008的倍数(单独⼀个数也当做和).【例 9】求证:可以找到⼀个各位数字都是4的⾃然数,它是1996的倍数.【例 10】求证:对于任意的8个⾃然数,⼀定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得()()()---a b c d e f是105的倍数.【例 11】把1、2、3、…、10这⼗个数按任意顺序排成⼀圈,求证在这⼀圈数中⼀定有相邻的三个数之和不⼩于17.【例 12】证明:在任意的6个⼈中必有3个⼈,他们或者相互认识,或者相互不认识.【例 13】上体育课时,21名男、⼥学⽣排成3⾏7列的队形做操.⽼师是否总能从队形中划出⼀个长⽅形,使得站在这个长⽅形4个⾓上的学⽣或者都是男⽣,或者都是⼥⽣?如果能,请说明理由;如果不能,请举出实例.【例 14】8个学⽣解8道题⽬.(1)若每道题⾄少被5⼈解出,请说明可以找到两个学⽣,每道题⾄少被过两个学⽣中的⼀个解出.(2)如果每道题只有4个学⽣解出,那么(1)的结论⼀般不成⽴.试构造⼀个例⼦说明这点.(2)求抽屉【例 15】把⼗只⼩兔放进⾄多⼏个笼⼦⾥,才能保证⾄少有⼀个笼⾥有两只或两只以上的⼩兔?【例 16】把125本书分给五⑵班的学⽣,如果其中⾄少有⼀个⼈分到⾄少4本书,那么,这个班最多有多少⼈?【例 17】某班有16名学⽣,每个⽉教师把学⽣分成两个⼩组.问最少要经过⼏个⽉,才能使该班的任意两个学⽣总有某个⽉份是分在不同的⼩组⾥?(3)求苹果【例 18】班上有50名⼩朋友,⽼师⾄少拿⼏本书,随意分给⼩朋友,才能保证⾄少有⼀个⼩朋友能得到不少于两本书?【例 19】海天⼩学五年级学⽣⾝⾼的厘⽶数都是整数,并且在140厘⽶到150厘⽶之间(包括140厘⽶到150厘⽶),那么,⾄少从多少个学⽣中保证能找到4个⼈的⾝⾼相同?【例 20】⼀次数学竞赛出了10道选择题,评分标准为:基础分10分,每道题答对得3分,答错扣 1分,不答不得分。
检测·知能升级一、选择题1.对欧洲西部地理特征的描述,错误的是( )A.欧洲西部西临太平洋,南临地中海B.欧洲西部气候温和湿润,适合多汁牧草的生长,乳肉畜牧业发达C.图中A处分布有幽深曲折的峡湾D.从经济发展水平看,欧洲西部大多数属于发达国家2.(2012·葫芦岛学业考)王军2月到欧洲旅行,回来后对同伴说了下面几句话,你认为哪一句不可信( )A.到处都能看见佛教的塔林B.鹿特丹港口有许多等待出口的大型机械C.阿尔卑斯山滑雪场人很多D.餐厅常见食品是牛排、奶酪、奶油3.(2012·鸡西学业考)2012年召开奥运会的城市及名胜组合正确的是( )A.伦敦-塔桥B.巴黎-巴特农神庙C.雅典-埃菲尔铁塔D.罗马-斗兽场欧洲西部人口众多,经济发达。
读欧洲西部略图,判断回答4、5题。
4.某同学把一些旅游项目所在国家的代号填在表中,其对应关系正确的是( ) 旅游项目图中代号乘船游览峡湾风光,观赏午夜太阳①观看风车、郁金香和围海造陆奇观④去阿尔卑斯山登山滑雪⑤A.①②③④B.②③④⑥C.③④⑤⑥D.①②⑤⑥5.欧盟是一个具有重要影响的区域性国际组织。
关于其成员国联系的叙述,错误的是( )A.货物可以自由流通B.使用统一货币——欧元C.公民可以自由往来D.使用统一语言——英语6.素有“欧洲牧场和食品库”之称的国家是( )A.法国B.丹麦C.挪威D.荷兰7.欧洲西部人文旅游资源丰富,下列叙述正确的是( )A.千年古都巴黎B.艺术之都维也纳C.音乐之都布鲁塞尔D.啤酒之都慕尼黑8.下列欧洲西部国家中,既是“工业大国”“农牧业大国”又是著名“旅游大国”的是( )A.英国B.德国C.意大利D.法国9.关于两极地区的说法,正确的是( )A.北极地区特指北冰洋海区B.南极考察的最佳时间是每年的7月到4月C.南极地区年平均降水量小,淡水资源缺乏D.南极地区比北极地区气温更低10.下列围绕北冰洋的大洲,正确的一组是( )A.亚洲、欧洲、北美洲B.北美洲、亚洲、非洲C.大洋洲、亚洲、北美洲D.大洋洲、非洲、北美洲11.下列关于北极地区的叙述,错误的是( )A.北极地区指北极圈以北的地区B.当黄河站为极昼时,长城站处于极夜C.北冰洋被亚欧大陆、北美大陆包围D.北极地区石油、天然气资源丰富12.南极洲的“主人”是指( )A.企鹅B.磷虾C.北极熊D.鲸(2013·泰安学业考)极地地区是研究地球环境的“天然实验室”。
读两极地区图,回答13、14题。
13.南极洲和北冰洋绝大部分都位于寒带,但南极洲年均气温比北冰洋低得多,其原因是( )①北冰洋的纬度位置比南极洲低②南极洲地势比北冰洋高③南极洲被冰雪覆盖,对阳光反射强④北冰洋海面吸收太阳辐射多A.①②③④B.②③④C.①②③D.①③④14.现象一:澳大利亚和英国南极调查局的科学家研究发现,当前南极冰层融化速度是600年前的10倍,这是1 000年来的冰层最快消融速度。
现象二:即将失去生存地而绝望的北极熊(下图)。
造成上述现象一、二的主要原因是( )A.世界各地频繁发生地震,致使两极地区冰雪融化B.各地频繁发生森林火灾,致使两极地区冰雪融化C.人类在生产生活中排放的二氧化碳等温室气体急剧增加,全球气温升高,致使两极地区冰雪融化D.局部地区不断发生战争,现代武器的运用,致使两极地区冰雪融化两极地区为皑皑的冰雪世界,也是科学考察宝地,回答15、16题。
15.1992年至2003年格陵兰岛冰原面积不断缩小,反映了( )A.地壳活动强烈B.海陆变迁剧烈C.开采活动频繁D.全球气候变暖16.关于极地科学考察的叙述正确的是( )A.只能允许发达国家和地区进行B.要注意极地的保护及和平利用C.就是为了开发极地的矿产资源D.目的仅为考察极地恶劣的环境二、综合题17.(2013·潍坊学业考)读欧洲西部图和巴黎市气温曲线和降水柱状图,回答问题。
(1)写出图中字母代表的地理事物名称:A 半岛,B (河流),C 海峡,D 山脉。
(2)巴黎为世界著名的旅游城市,试列举该市主要旅游景点(至少2项)。
请根据巴黎市气温曲线与降水柱状图。
描述该市的气候特点:。
(3)瓦伦西亚、伯明翰、汉堡和华沙纬度大致相同,但年降水量依次减少,气温年较差依次增大,该现象产生的原因是。
(4)莱茵河是欧洲著名的国际河流,内河航运发达,请从地形、气候两方面归纳该河流航运价值高的原因。
18.(2012·菏泽学业考)读“南极地区和北极地区”图,回答下列问题。
(1)在“南极地区和北极地区图”的弧线①和②上画上箭头表示地球自转的方向。
(2)南极地区的气候特点是,同样是极地地区,南极地区比北极地区的年平均气温低很多,其原因是( )①南极地区的纬度位置比北极地区高②南极地区的地势比北极地区高③南极地区终年被冰雪覆盖,对阳光反射强,吸收的热量少④南极地区没有定居人口A.①②B.②③C.①③D.③④(3)下列属于南极地区的代表动物的是( )(4)我国“雪龙号”考察船把南极科考站的生活垃圾转运回国的原因是。
答案解析1.【解析】选A。
本题考查欧洲西部的地理特征。
欧洲西部西临大西洋。
2.【解析】选A。
本题主要考查欧洲西部的相关知识。
欧洲人主要信仰基督教,教堂到处可见。
3.【解析】选A。
本题主要考查欧洲西部的旅游景点。
巴特农神庙位于希腊,埃菲尔铁塔位于法国,罗马位于意大利。
2012年奥运会在英国伦敦举办,著名景点是伦敦塔桥。
4、5.【解析】4选B,5选D。
本题组考查欧洲西部各国的主要旅游景点以及欧盟的相关知识。
①是英国,②是法国,③是西班牙,④是荷兰,⑤是挪威,⑥是意大利。
乘船游览峡湾风光,观赏午夜太阳应去⑤挪威,去阿尔卑斯山登山滑雪应去瑞士等国家。
欧盟各国使用的语言主要有英语、法语、德语、西班牙语、意大利语等。
6.【解析】选B。
本题考查欧洲西部比较有特色的国家。
丹麦畜牧业发达,猪肉、牛肉、奶酪、黄油以及火腿、香肠等乳肉制品行销国际市场,素有“欧洲牧场和食品库”之称。
7.【解析】选D。
本题主要考查欧洲西部的人文旅游资源。
千年古都罗马,艺术之都巴黎,音乐之都维也纳。
8.【解析】选D。
本题主要考查欧洲的国家。
德国、法国、英国、意大利等是欧洲西部的工业大国;法国、英国、荷兰、丹麦等国农牧业发达;法国、西班牙、意大利都是世界著名的旅游大国。
9.【解析】选D。
本题主要考查两极地区的相关知识。
北极地区是北极圈以北的区域,不仅包括北冰洋,还包括亚欧大陆和北美大陆的北部及一些岛屿;考察南极地区的最佳时间是每年的11月至次年3月;南极地区是世界淡水资源的宝库,是淡水资源最丰富的地方;由于南极地区以陆地为主,且是平均海拔最高的大洲,因此气温低于北极地区。
10.【解析】选A。
本题主要考查北冰洋周围的大洲。
围绕北冰洋的大洲是亚洲、欧洲、北美洲。
11.【解析】选B。
本题主要考查北极地区的相关知识。
当位于北极圈内的黄河站处于极昼期时,南极圈以内为极夜,但是长城站位于南极圈以外,所以不会出现极夜现象。
12.【解析】选A。
本题主要考查南极的代表动物。
企鹅是南极地区的代表性动物。
13、14.【解析】13选B,14选C。
本题组考查了两极地区的自然环境和面临问题。
第13题,南极洲和北冰洋纬度位置都比较高,但南极洲海拔高,且被冰雪覆盖,对阳光反射强,而北冰洋海拔低,洋面对太阳辐射吸收多。
第14题,全球变暖的主要原因是人类生产生活中排放的二氧化碳等气体增加使全球气温升高,导致两极冰雪融化。
15、16.【解析】15选D,16选B。
本题组主要考查冰原面积减小的原因及科学考察方面的知识。
第15题,由于全球气候变暖,引起冰川融化,导致格陵兰岛冰原面积不断缩小。
第16题,极地地区是研究地球环境的“天然实验室”,和平利用为主要目的,并且要注意生态环境的保护。
17.【解析】本题是以欧洲西部图为地理背景,考查学生从图中提取信息的能力及分析问题的能力。
第(1)、(2)题,结合所学内容和图提供的信息解答问题。
第(3)题,四个城市的分布距离海洋远近不同。
第(4)题,地形平坦,流速平缓,流量稳定的河流内河航运价值高。
答案:(1)斯堪的纳维亚多瑙河直布罗陀阿尔卑斯(2)埃菲尔铁塔巴黎圣母院全年温暖湿润(3)海陆位置(4)西欧平原地形平坦,河流流速平缓;温带海洋性气候降水量大,且季节变化小,河流流量大且稳定18.【解析】本题考查南极地区的气候特点、代表动物以及保护极地环境方面的知识。
第(1)题,在南极地区地球顺时针旋转,在北极地区地球逆时针旋转。
第(2)题,极地酷寒,多狂风,降水稀少。
南极地区大部分是陆地,北极地区大部分是海洋,南极洲是世界上平均海拔最高的大洲,海拔高,气温低。
第(3)题,南极地区的代表动物是企鹅,图中所示动物A袋鼠、B驯鹿、C北极狐、D企鹅。
第(4)题,我国“雪龙号”考察船把南极科考站的生活垃圾转运回国的原因是为了保护南极地区的生态环境。
答案:(1)箭头为顺时针箭头为逆时针画图略(2)酷寒、多狂风、降水稀少(烈风、酷寒、干燥) B(3)D(4)保护南极洲的生态环境(或保护最后一块没有被污染的土地)【拓展延伸】1.北极地区和南极地区的判断:(1)海陆轮廓:极点是海洋为北极地区,极点是陆地为南极地区。
(2)地球自转方向:逆时针为北极地区,顺时针为南极地区。
2.极地经纬网地图上判读方向:(1)距离极点的远近判断南北。
离北极点越近越靠北;离南极点越近越靠南。
(2)根据地球自转的方向判断东西。
在两地之间标出地球自转的方向“北逆南顺”,箭头为东,箭尾为西。
最后将上述的两个方向叠加在一起。
3.以南极为中心的地图上大洲、大洋的判定:(1)根据形状判读:离南极最近的大洲是南美洲,与南极半岛相对。
南极半岛的东面为大西洋,西面为太平洋。
南极大陆最宽的部分所对的大洋是印度洋,印度洋的西面为非洲,东面为大洋洲。
(2)根据经度判读:若图上出现经纬度,0°经线穿过的大洋为大西洋。
180°经线穿过的大洋是太平洋。