江苏省响水中学高考数学一轮复习 第5758课时 几何体的表面积与体积学案 文
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1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.空间几何体的表面积与体积公式[小题体验]1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为________.解析:设球的半径为R ,因为表面积是16π,所以4πR 2=16π,解得R =2.所以体积为43πR 3=32π3.答案:323π2.(2018·南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得圆柱的体积为27π cm 3,则该圆柱的侧面积为________cm 2.解析:设正方形的边长为a cm ,则πa 2·a =27π,得a =3,所以侧面积2π×3×3=18π cm 2. 答案:18π3.(2018·海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36 3 cm 3,高为4 cm ,则底面边长为________cm. 解析:设正三棱锥的底面边长为a cm ,则其面积为S =34a 2,由题意知13×34a 2×4=363,解得a =6 3.答案:6 31.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.易混侧面积与表面积的概念. [小题纠偏]1.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱体积之比为________,球的表面积与圆柱的侧面积之比为________.答案:2∶3 1∶12.已知正四棱柱的底面边长为 3 cm ,侧面的对角线长为3 5 cm ,则这个正四棱柱的侧面积是________cm 2.解析:正四棱柱的高为352-32=6 cm ,所以侧面积是4×3×6=72 cm 2.答案:72考点一 空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.棱长为2的正四面体的表面积是________.解析:每个面的面积为:12×2×2×32= 3.所以正四面体的表面积为4 3.答案:4 32.一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.解析:由题意可知该六棱锥为正六棱锥,正六棱锥的高为h ,侧面的斜高为h ′. 由题意,得13×6×34×22×h =23,所以h =1, 所以斜高h ′=12+32=2,所以S 侧=6×12×2×2=12.答案:123.已知在梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2,将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________.解析:由题意得几何体如图所示,几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥后剩下的部分,所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和,即π×12+2π×1×2+π×1×12+12=(5+2)π.答案:(5+2)π[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点.(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.考点二 空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.(2018·苏州高三暑假测试)如图,正四棱锥P ABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ,侧面积为8 3 cm 2,则它的体积为________cm 3.解析:记正四棱锥P ABCD 的底面中心为点O ,棱AB 的中点为H ,连结PO ,HO ,PH ,则PO ⊥平面ABCD ,因为正四棱锥的侧面积为8 3 cm 2,所以83=4×12×23×PH ,解得PH =2,在Rt △PHO 中,HO =3,所以PO =1,所以V P ABCD =13·S 正方形ABCD ·PO =4 cm 3.答案:42.(2019·高邮模拟)如图,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,已知AB =AA 1=3,点P 在棱CC 1上,则三棱锥P ABA 1的体积为________.解析:因为S △ABA 1=12×3×3=92,点P 到平面ABA 1的距离h 为△ABC 的高332,所以三棱锥P ABA 1的体积V =13 S △ABA 1h =934.答案:934[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略[即时应用]1.现有一个底面半径为3,母线长为5的圆锥状实心铁器,将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是________.解析:因为圆锥底面半径为3,母线长为5,所以圆锥的高为52-32=4,其体积为 13π×32×4=12π.设铁球的半径为r ,则43πr 3=12π,解得r =39,所以该铁球的半径是 39.答案:392.(2018·南通调研)如图,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,若各棱长均为2,且M 为A 1C 1的中点,则三棱锥M AB 1C 的体积是________.解析:在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,则AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线,所以B 1M ⊥A 1C 1.因为A 1C 1∩AA 1=A 1,所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1,则V M AB 1C =V B 1ACM =13×12×AC ×AA 1×B 1M =13×12×2×2×3=233.答案:233考点三与球有关的切、接问题 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]与球有关的切、接问题是每年高考的热点,也是难点,题型多为填空题. 常见的命题角度有: (1)球与柱体的切、接问题;(2)球与锥体的切、接问题.[题点全练]角度一:球与柱体的切、接问题1.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为________. 解析:设该球的半径为R ,根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长,可得(2R )2=(2)2+12+12,解得R =1,所以该球的体积V =43πR 3=4π3.答案:4π32.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1V 2的值是________.解析:设球O 的半径为R ,因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ,所以V 1V 2=πR 2·2R 43πR 3=32.答案:32角度二:球与锥体的切、接问题3.已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为________.解析:如图,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长交BC 于点E ,连接PE , 因为△ABC 是正三角形,所以AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.因为AB =23,所以S △ABC =33,DE =1,PE = 2. 所以S 表=3×12×23×2+33=36+3 3.因为PD =1,所以三棱锥的体积V =13×33×1= 3.设球的半径为r ,以球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个 小棱锥, 则r =3336+33=2-1.答案:2-14.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.解析:如图,连接AO ,OB ,因为SC 为球O 的直径, 所以点O 为SC 的中点, 因为SA =AC ,SB =BC , 所以AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,因为平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB =SC , 所以AO ⊥平面SCB , 设球O 的半径为R , 则OA =OB =R ,SC =2R .所以V S ABC =V A SBC =13×S △SBC ×AO=13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO , 即9=13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ,解得 R =3, 所以球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π. 答案:36π[通法在握]“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.[演练冲关]1.(2018·太湖高级中学检测)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为________.解析:由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r =1,其高h =1,所以球半径为R =r 2+⎝⎛⎭⎫h 22=1+14=52,所以该球的体积V =43πR 3=43×⎝⎛⎭⎫523π=55π6. 答案:55π62.三棱锥P ABC 中,AB =BC =15,AC =6,PC ⊥平面ABC ,PC =2,则该三棱锥的外接球表面积为________.解析:由题可知,△ABC 中AC 边上的高为15-32=6,球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ,设DA =DB =DC =x ,所以x 2=32+(6-x )2,解得x =546,所以R 2=x 2+⎝⎛⎭⎫PC 22=758+1=838(其中R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S =4πR 2=832π.答案:832π3.(2019·南京四校联考)已知在三棱锥S ABC 中,△SAB ,△SBC ,△SAC 都是以S 为直角顶点的等腰三角形,且AB =BC =CA =2,则三棱锥S -ABC 的内切球的半径为________.解析:由题意知,SA =SB =SC .设SA =SB =SC =a ,则2a =2,a =1.设三棱锥S -ABC 的内切球的半径为r ,则由等体积法可得,V S -ABC =13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×r ×3+12×62×2×r =V A -SBC =13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1,解得r =3-36,即三棱锥S -ABC 的内切球的半径为3-36.答案:3-36一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·徐州高三年级期中考试)各棱长都为2的正四棱锥的体积为________. 解析:由题意得,底面对角线长为22,所以正四棱锥的高为22-22=2,所以正四棱锥的体积V =13Sh =13×22×2=423.答案:4232.(2018·苏锡常镇调研)设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1,S 1,底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2,S 2,若V 1V 2=3π,则S 1S 2的值为________.解析:法一:由题意知V 1=a 3,S 1=6a 2, V 2=13πr 3,S 2=2πr 2,由V 1V 2=3π得a 313πr 3=3π, 得a =r ,从而S 1S 2=32π.法二:不妨设V 1=27,V 2=9π,故V 1=a 3=27,即a =3,所以S 1=6a 2=54.如图所示,又V 2=13h ×πr 2=13πr 3=9π,即r =3,所以l =2r ,即S 2=12l ×2πr =2πr 2=92π,所以S 1S 2=5492π=32π.答案:32π3.(2018·南京二模)如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB =4,AA 1=6.若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点,则三棱锥A A1EF 的体积是________.解析:因为在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1∥BB 1,AA 1⊂平面AA 1C 1C ,BB 1⊄平面AA 1C 1C ,所以BB 1∥平面AA 1C 1C ,从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离,作BH ⊥AC ,垂足为点H ,由于△ABC 是正三角形且边长为4,所以BH =23,从而三棱锥A A 1EF 的体积V A A 1EF =V E A 1AF = 13S △A 1AF ·BH =13×12×6×4×23=8 3.答案:8 34.(2018·海安期中)如图,在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,则三棱锥O A 1BC 1的体积为________.解析:连结AC ,因为几何体是正方体,所以BO ⊥平面A 1OC 1,BO 是三棱锥B A 1OC 1的高,则三棱锥O A 1BC 1的体积为13×12×22×2×2=43.答案:435.(2018·盐城模拟)若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为________. 解析:设圆锥的母线长为l ,高为h ,则π×1×l =3π×12,解得l =3, 则h =32-12=22,故该圆锥的体积V =13π×12×22=22π3.答案:22π36.(2018·苏锡常镇一调)如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是棱BB 1的中点,则四棱锥P AA 1C 1C 的体积为________.解析:四棱锥P AA 1C 1C 可看作:半个正方体割去三棱锥P ABC 和P A 1B 1C 1.所以V P AA 1C 1C =12V ABCD A 1B 1C 1D 1-V P ABC -V P A 1B 1C 1=12-112-112=13.答案:13二保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为________.解析:设圆台较小底面半径为r , 则另一底面半径为3r .由S =π(r +3r )·3=84π,解得r =7. 答案:72.(2018·常州期中)如图,一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4,高为3,若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为________.解析:设孔的半径为r ,∵此正六棱柱的底边长为4,高为3,在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,∴2×πr 2=2πr ×3,解得r =3,∴孔的半径为3.答案:33.(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________.解析:如图,由题意可得圆柱的侧面积为S1=2πrh =2πr 2.圆锥的母线l =h 2+r 2=2r ,故圆锥的侧面积为S 2=12×2πr ×l =2πr 2,所以S 2∶S 1=2∶2.答案:224.(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是________.解析:因为等腰直角三角形的斜边长为4,所以斜边上的高为2,故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体,圆锥的底面半径为2,高为2,因此,几何体的体积为V =2×13π×22×2=16π3.答案:16π35.(2018·泰州中学高三学情调研)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为AA 1中点,Q 为CC 1的中点,AB =2,则三棱锥B P Q D 的体积为________.解析:如图,连结P Q ,则P Q ∥AC ,取P Q 的中点G ,连结BG ,DG ,可得BG ⊥P Q ,DG ⊥P Q ,又BG ∩DG =G ,则P Q ⊥平面BGD ,在Rt △BPG 中,由BP =5,PG =2,可得BG =3,同理可得DG=3,则△BDG 边BD 上的高为32-22=1,所以S △BDG =12×22×1=2,则V B P Q D =13×2×22=43.答案:436.(2019·盐城检测)有一个用橡皮泥制作的半径为4的球,现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥,使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面半径为________.解析:由已知可得球的体积为V =43π×43=256π3.设圆柱和圆锥的底面半径为r ,则圆柱和圆锥的体积和为8πr 2+83πr 2=256π3,解得r =2 2.答案:2 27.(2018·启东调研)如图,Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为5,CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD ∥CE ,CE =4,BD =2,ED =210,若M 为ED 的中点,则V M ACB =________.解析:如图,过D 作DH ⊥CE 于H ,则BC =DH ,在Rt △EDH 中,由ED =210,EH =EC -DB =2,得BC =DH =6,所以在Rt △ABC 中,AB =10,BC =6,所以AC =8,即S △ABC =24,又因为CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD ∥CE ,M 为ED 的中点,所以M 到平面ABC 的距离为3,所以V M ACB =13S △ABC ×3=24.答案:248.(2018·连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为22,则该球的表面积为________.解析:如图,正四棱锥P ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上,设球的半径为R ,因为底面边长为22,所以AC =4.在Rt △AOO 1中,R 2=(4-R )2+22,所以R =52,所以球的表面积S =4πR 2=25π.答案:25π9.(2018·苏州期末)如图,在体积为V 1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥,剩余部分的体积为V 2,则V 2V 1=________.解析:设圆锥与圆柱的底面面积为S ,高为h ,所以V 1=Sh ,V 2=Sh -13Sh =23Sh ,则V 2V 1=23. 答案:2310.一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为r 的铁球,并向容器内注水,使水面恰好与铁球面相切.将球取出后,容器内的水深是多少?解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC =h ,球取出后,水面高PH =x .根据题设条件可得AC =3r ,PC =3r ,则以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥=13π×AC 2×PC =13π(3r )2×3r =3πr 3. V 球=43πr 3.球取出后,水面下降到EF ,水的体积为V 水=13π×EH 2×PH =13π(PH tan 30°)2PH =19πx 3. 又V 水=V 圆锥-V 球,则19πx 3=3πr 3-43πr 3, 解得x =315r .故球取出后,容器内水深为315r .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为________.解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM =12BC =1232+42=52,OM =12AA 1=6, 所以球O 的半径R =OA = ⎝⎛⎭⎫522+62=132. 答案:1322.三棱锥P ABC 中,P A ⊥平面ABC 且P A =2,△ABC 是边长为3的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为________.解析:由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC 的外接圆半径r =32×3×23=1,外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =1,所以外接球的半径R =r 2+d 2=2,所以三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=8π.答案:8π3.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC ,已知A 1B 1=B 1C 1=2,∠A 1B 1C 1=90°,AA 1=4,BB 1=3,CC 1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC 的面积.解:(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ,交AA 1,BB 1分别于点A 2,B 2. 由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1=90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2,则该几何体的体积V =V A 1B 1C 1A 2B 2C +V C ABB 2A 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC 中,AB =22+4-32=5,BC =22+3-22=5, AC =222+4-22=2 3.则S △ABC =12×23×52-32= 6.。
第2讲空间几何体的表面积与体积基础梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.双基自测1.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是().A .4πSB .2πSC .πS D.233πS2.设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ). A .3πa 2 B .6πa 2 C .12πa 2 D .24πa 23.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( ). A .8 B .6 2 C .10 D .8 2(3) (4)4.设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).A.92π+12B.92π+18 C .9π+42 D .36π+18 5.若一个球的体积为43π,则它的表面积为________.考向一 几何体的表面积6、 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( ).A. 3 B .2 C .23 D .6考向二 几何体的体积7、如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).A .18 3B .12 3C .9 3D .63考向三几何体的展开与折叠8、如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.双基自测1、A 设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r=Sπ,h=2πr=2πS,∴S圆柱侧=(2πS)2=4πS.2、由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为(2a)2+a2+a2=6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线,∴2R =6a .∴S 球=4πR 2=6πa 2.3、C 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为6,62,8,10,4、B 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为2×32+43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323=92π+18.5、12π V =4π3R 3=43π,∴R =3,S =4πR 2=4π·3=12π.6、D 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为2×1×3=6.7、C 解析 该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边长为3的正方形,高为3,故V =3×3×3=9 3.8、(1)证明 在图中,可得AC =BC =22,从而AC 2+BC 2=AB 2,故AC ⊥BC ,取AC 的中点O ,连接DO ,则DO ⊥AC ,又平面ADC ⊥平面ABC ,平面ADC ∩平面ABC =AC ,DO ⊂平面ADC ,从而DO ⊥平面ABC ,∴DO ⊥BC ,又AC ⊥BC ,AC ∩DO =O ,∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥BACD 的高,BC =22,S △ACD =2,∴V BACD = 13S △ACD ·BC =13×2×22=423,由等体积性可知,几何体DABC 的体积为423.。
江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间几何体的表面积与体积教案含解析§8.4 空间几何体的表面积与体积考情考向分析 考查简单几何体的表面积与体积的计算,涉及空间几何体的结构特征,要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力,以填空题为主,中低档难度.1.侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧=ch ,底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.柱体的体积公式是V 柱体=Sh .2.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,则该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧=12ch ′;锥体的体积公式为V 锥体=13Sh .3.正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是S正棱台侧=12(c +c ′)·h ′;台体的体积公式是V 台体=13h (S +SS ′+S ′). 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧=cl =2πrl ,圆锥的侧面积公式为S 圆锥侧=12cl =πrl ,圆台的侧面积公式为S 圆台侧=12(c +c ′)l=π(r +r ′)l .5.若球的半径为R ,则球的体积V =43πR 3,球的表面积S =4πR 2.概念方法微思考1.如何求旋转体的表面积?提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面积之和.2.如何求不规则几何体的体积?提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )(4)已知球O 的半径为R ,其内接正方体的边长为a ,则R =32a .( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二 教材改编2.[P54T2]把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,则圆柱的高为________. 答案 4R解析 设圆柱的高为h ,则有πR 2h =3×43πR 3,∴h =4R .3.[P49T1]已知正三棱柱的底面边长为3cm ,侧面的对角线长为35cm ,则这个正三棱柱的侧面积是________cm 2. 答案 54解析 因为正三棱柱的高为(35)2-32=6(cm), 所以侧面积为3×3×6=54(cm 2).4.[P54T3]一个正六棱锥的底面边长为6cm ,高为53cm ,则它的体积为________cm 3. 答案 270解析 体积V =13Sh =13×6×12×6×6×32×53=270(cm 3).题组三 易错自纠5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 答案 12π解析 由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为23即为球的直径,所以球的表面积为4πR 2=(2R )2π=12π.6.已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ,a 的矩形,则该圆柱的体积为________. 答案a 32π或a 3π解析 设圆柱的母线长为l ,底面圆的半径为r , 则当l =2a 时,2πr =a ,∴r =a2π,这时V 圆柱=2a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2π2=a32π;当l =a 时,2πr =2a ,∴r =aπ,这时V 圆柱=a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a π2=a3π.综上,该圆柱的体积为a 32π或a 3π.题型一 求空间几何体的表面积1.(2018·全国Ⅰ改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为________. 答案 12π解析 设圆柱的轴截面的边长为x , 则由x 2=8,得x =22,∴S 圆柱表=2S 底+S 侧=2×π×(2)2+2π×2×22=12π.2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是4π,则其侧棱长为________. 答案233解析 依题意可以构造一个正方体,其体对角线就是该三棱锥外接球的直径. 设侧棱长为a ,外接球的半径为r . 由外接球的表面积为4π,得r =1, ∴3a =2r =2,∴a =233.3.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm ,高是1cm ,则它的侧面积为_______cm 2. 答案972解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形,上底长为1cm ,下底长为2cm ,高为正六棱台的斜高.又边长为1cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ,边长为2cm 的正六边形的中心到各边的距离是3cm ,则梯形的高为1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3-322=72(cm),所以正六棱台的侧面积为6×12×(1+2)×72=972(cm 2).思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.题型二 求空间几何体的体积例1(1)(2018·宿迁模拟)如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =AA 1=3,点P 在棱CC 1上,则三棱锥P -ABA 1的体积为________.答案934解析 三棱锥P -ABA 1的体积等于三棱锥B -APA 1的体积,点B 到面APA 1的距离为332,△APA 1的面积为92,故三棱锥P -ABA 1的体积为934.(2)(2018·南京模拟)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,BC =2,BB 1=3,∠ABC =90°,点D 为侧棱BB 1上的动点.当AD +DC 1最小时,三棱锥D -ABC 1的体积为________.答案 13解析 几何体展开图如图所示:△ABD ∽△ACC 1,∴BD CC 1=AB AC, ∵AB =1,BC =2,BB 1=3, ∴AC =3,CC 1=3,∴BD =1,则1D ABC V -=1A BC D V -=13×12×1×2×1=13.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.跟踪训练1(1)(2018·江苏南京一中调研)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成,则该多面体的体积是________.答案26解析 由展开图,可知该多面体是正四棱锥,底面正方形的边长为1,侧棱长也为1,∴该正四棱锥的高h =⎝ ⎛⎭⎪⎫322-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=22,∴其体积V =13×12×22=26. (2)如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF =2,则该多面体的体积为________.答案23解析 如图,分别过点A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连结DG ,CH ,容易求得EG =HF =12,AG =GD =BH =HC =32, 取AD 的中点O ,连结GO ,易得GO =22, ∴S △AGD =S △BHC =12×22×1=24,∴多面体的体积V =V 三棱锥E -ADG +V 三棱锥F -BCH +V 三棱柱AGD -BHC =2V 三棱锥E -ADG +V 三棱柱AGD -BHC =13×24×12×2+24×1=23.(3)如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 的中点,则三棱锥A -B 1DC 1的体积为________.答案 1 解析 如题图, 因为△ABC 是正三角形, 且D 为BC 中点,则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC ,故BB 1⊥AD ,且BB 1∩BC =B ,BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1,所以AD 是三棱锥A -B 1DC 1的高. 所以11A B DC V 三棱锥-=1311B DC S·AD =13×3×3=1.题型三 表面积和体积的综合问题命题点1 侧面展开图的应用例2(1)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,BC =2,AC =5,AA 1=3,M 为线段BB 1上的一动点,则当AM +MC 1最小时,△AMC 1的面积为________.答案3解析 将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1沿棱BB 1展开成平面图形,连结AC 1到AC 1与BB 1的交点即满足AM +MC 1最小,此时AC 1=14,MC 1=22,AM =2,∴cos∠AMC 1=2+8-142×2×22=-12,∴sin∠AMC 1=32,∴1AMC S =12×2×22×32= 3.(2)(2018·无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于________. 答案232π 解析 设圆锥侧面母线长为l ,底面半径为r ,∴⎩⎪⎨⎪⎧l =3r ,12×23π·l 2=3π,∴⎩⎪⎨⎪⎧l =3,r =1,∴圆锥高h =32-12=22, ∴V 圆锥=13π×22=232π.命题点2 和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为________. 答案132解析 如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM =12BC =52,OM =12AA 1=6,所以球O 的半径R =OA =⎝ ⎛⎭⎪⎫522+62=132.引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解 由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ,内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43, 从而V 外接球=43πR 3=43π×(23)3=323π,V 内切球=43πr 3=43π×23=32π3.2.本例若将直三棱柱改为“棱长为a 的正四面体”,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少?解 正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4×34·a 2=3a 2,其内切球半径r 为正四面体高的14,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2πa 26=63π.思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想.用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系.(2)球的有关问题,可作过球心的截面,以利于求球的半径.跟踪训练2(1)如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF =22,则三棱锥B -AEF 的体积为______.答案112解析 连结AC ,BD ,易知AC ⊥平面BDD 1B 1,则V 三棱锥B -AEF =V 三棱锥A -BEF =13×AC 2×S △BEF =13×AC 2×12×EF ×BB 1=13×22×12×22×1=112.(2)(2018·全国Ⅲ改编)设A ,B ,C ,D 是一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为________. 答案 18 3解析 由等边△ABC 的面积为93,可得34AB 2=93, 所以AB =6,所以等边△ABC 的外接圆的半径为r =33AB =2 3. 设球的半径为R ,球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ,则d =R 2-r 2=16-12=2. 所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6=18 3.1.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为23,则该直四棱柱的侧面积为________. 答案 16 2解析 由题意得,直四棱柱的侧棱长为(23)2-22=22, 所以该直四棱柱的侧面积S =cl =4×2×22=16 2.2.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =3cm ,AD =2cm ,AA 1=1cm ,则三棱锥B 1-ABD 1的体积为________cm 3.答案 1解析 三棱锥B 1-ABD 1的体积11B ABD V -三棱锥=11D ABB V -三棱锥=131ABB S ·A 1D 1=13×12×3×1×2=1.3.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1,S 1,底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2,S 2.若V 1V 2=3π,则S 1S 2的值为________. 答案32π解析 由V 1V 2=3a 3πr 3=3π,得a =r ,S 1S 2=6a 22πr2=32π. 4.(2018·南京学情调研)已知圆柱M 的底面半径为2,高为6,圆锥N 的底面直径和母线长相等.若圆柱M 和圆锥N 的体积相等,则圆锥N 的高为________. 答案 6解析 设圆锥N 的底面半径为r ,则它的母线长为2r ,从而它的高为3r ,由圆柱M 与圆锥N 的体积相等,得4π×6=13πr 2×3r ,解得r =23,因此圆锥N 的高h =3r =6.5.(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为2π3的扇形,则这个圆锥的高为________. 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ,高为h ,因为圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为2π3的扇形,且扇形的弧长等于底面圆的周长,故有2πr =3×2π3,解得r =1,又圆锥的母线l =3,所以h =l 2-r 2=9-1=2 2.6.现有一个底面半径为3cm ,母线长为5cm 的圆锥状实心铁器,将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是________cm. 答案39解析 圆锥的高为4cm ,体积V 圆锥=13π×32×4=12π(cm 3).设球的半径为r cm ,则43πr 3=12π,即r 3=9,所以r =39.7.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V =136l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取________. 答案15750解析 V =13πr 2h =13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2h =112πl 2h ,由112π≈25942,得π≈15750.8.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,若这三个圆锥的底面半径依次为r 1,r 2,r 3,则r 1+r 2+r 3=________. 答案 5解析 半径为5的圆的周长是10π,由题意知2πr 1+2πr 2+2πr 3=10π,所以r 1+r 2+r 3=5.9.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =4,AA 1=6.若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点,则三棱锥A -A 1EF 的体积是________.答案 8 3解析 过点C 作CD ⊥AB 于点D ,在正三角形ABC 中,AB =4, 则CD =23,因为CC 1∥平面A 1ABB 1,则点F 到平面A 1ABB 1的距离为23, 所以1A A EF V 三棱锥-=1F AA E V 三棱锥-=13×23×12×4×6=8 3.10.(2018·苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化,则圆孔的半径为________. 答案 3解析 设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r =h .经检验,只有r =3符合要求,此时在8×9的面上打孔.11.如图,在三棱锥A -BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD .(1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB =BD =CD =1,点M 为AD 中点,求三棱锥A -MBC 的体积. (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BD ,AB ∩BD =B ,AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,∴CD ⊥平面ABD .(2)解 ∵AB ⊥平面BCD ,∴AB ⊥BD . ∵AB =BD =1,∴S △ABD =12.∵点M 是AD 的中点,∴S △ABM =12S △ABD =14.由(1)知,CD ⊥平面ABD , ∴三棱锥C -ABM 的高h =CD =1, 因此三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC =V C -ABM =13S △ABM ·h =112.12.如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP =∠CDP =90°.(1)求证:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,且四棱锥P -ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.(1)证明 由已知∠BAP =∠CDP =90°, 得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ,故AB ⊥PD .又PD ∩AP =P ,PD ,AP ⊂平面PAD , 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)解 如图,在平面PAD 内作PE ⊥AD ,垂足为E .由(1)知,AB ⊥平面PAD ,故AB ⊥AD ,AB ⊥PE ,AD ∩AB =A ,AD ,AB ⊂平面ABCD , 所以PE ⊥平面ABCD .设AB =x ,则由已知可得AD =2x ,PE =22x , 由AB ∥CD ,AB =CD ,AB ⊥AD , 得四边形ABCD 为矩形.故四棱锥P -ABCD 的体积V P -ABCD =13AB ·AD ·PE =13x 3.由题设得13x 3=83,故x =2.从而PA =PD =AB =DC =2,AD =BC =PB =PC =22,可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为12PA ·PD +12PA ·AB +12PD ·DC +12BC 2sin60°=6+2 3.13.已知三棱锥O —ABC 的顶点A ,B ,C 都在半径为2的球面上,O 是球心,∠AOB =120°,当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时,三棱锥O —ABC 的体积为________. 答案233解析 设球O 的半径为R ,因为S △AOC +S △BOC =12R 2(sin∠AOC +sin∠BOC ),所以当∠AOC =∠BOC =90°时,S △AOC +S △BOC 取得最大值,此时OA ⊥OC , OB ⊥OC ,OB ∩OA =O ,OA ,OB ⊂平面AOB ,所以OC ⊥平面AOB ,所以V 三棱锥O —ABC =V 三棱锥C —OAB =13OC ·12OA ·OB sin∠AOB =16R 3sin∠AOB =233.14.有一根长为3πcm、底面半径为1cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕两圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁线的最短长度为________cm. 答案 5π解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD (如图),由题意知BC =3πcm,AB =4πcm,点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置,故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.AC =AB 2+BC 2=5π(cm).15.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =150°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为18,则球O 的表面积为________. 答案 144π解析 如图,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O -ABC 的体积最大.设球O 的半径为R ,此时V O -ABC =V C -AOB =13×12R 2×R ×sin150°=112R 3=18,故R =6,则球O 的表面积为S =4πR2=4π×62=144π.16.如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,AB =4,EB =2 3.(1)求证:DE ⊥平面ACD ;(2)设AC =x ,V (x )表示三棱锥B -ACE 的体积,求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形, ∴CD ∥BE ,BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BC ,DC ⊥AC .∵AB 是圆O 的直径,∴BC ⊥AC ,且DC ∩BC =C ,DC ,BC ⊂平面BCDE ,∴AC ⊥平面BCDE ,∴AC ⊥DE , ∵AC ∩DC =C ,AC ,DC ⊂平面ACD , ∴DE ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知BE ⊥AC ,BE ⊥BC , 又BC ∩AC =C ,AC ,BC ⊂平面ABC , ∴BE ⊥平面ABC ,在Rt△ABC 中,∵AC =x ,∴BC =16-x 2(0<x <4), ∴S △ABC =12AC ·BC =12x ·16-x 2,∴V (x )=V 三棱锥E -ABC =33x ·16-x 2(0<x <4). ∵x 2(16-x 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+16-x 222=64,当且仅当x 2=16-x 2,即x =22时取等号,∴当x =22时,V (x )有最大值833.。
空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrlS 圆锥侧=πrlS 圆台侧=π(r +r ′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积=S 侧+2S 底 V =Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积=S 侧+S 底V =13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h球S =4πR 2V =43πR 31.求组合体的表面积时:组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.易混侧面积与表面积的概念. [试一试]1.(2012·江苏高考)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =3 cm ,AA 1=2 cm ,则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2.(2013·苏州暑假调查)设P ,A ,B ,C 是球O 表面上的四个点,P A ,PB ,PC 两两垂直,且P A =PB =1,PC =2,则球O 的表面积是________.1.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则2R=3a;②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3.旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.[练一练]1.(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6,高为7,则这个正四棱锥的侧面积是________.2.在三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AA′=2,BC=23,∠BAC=π2,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的体积为________.考点一几何体的表面积1.(2013·南通三模)底面边长为2 m,高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2.(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a,则其外接球的表面积为________.[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.考点二几何体的体积[典例](1)如图所示,已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1 -ABC1的体积为________.(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.(2)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.[针对训练](2013·苏北四市二模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O为底面正方形ABCD的中心,则三棱锥B1-BCO的体积为________.与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的难点、易失分点.命题角度多变,归纳起来常见的命题角度有: (1)直三棱柱的外接球; (2)正(长)方体的外接球; (3)正四面体的内切球; (4)四面体的外接球; (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1.(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为________.角度二 正(长)方体的外接球2.一个正方体的棱长为2,则该几何体外接球的体积为________.角度三 正四面体的内切球3.若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S 1S 2=________.角度四 四面体的外接球4.(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23,则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________.角度五 正三棱柱的内切球5.点P 是底边长为23,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则PM ·PN 的取值范围是________.[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系.(2)若球面上四点P,A,B,C中P A,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.[课堂练通考点]1.(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2,高为3,则该圆锥的侧面积是________.2.(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3,2,1,则它的外接球的表面积是________.3.(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M分别为线段BD1,B1C1上的点,若BPPD1=12,则三棱锥M-PBC的体积为________.4.已知三棱锥O-ABC中,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=AC=7,BC=11,O,A,B,C四点均在球S的表面上,则球S的表面积为________.5.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=23,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为________.[课下提升考能]第Ⅰ组:全员必做题1.正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的全面积为________.2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为________.3.(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ,圆心角为2π3的扇形,则此圆锥的高为________ cm.4.设长方体的长、宽、高分别为2a ,a ,a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为________.5.设M 、N 是球O 半径OP 上的两点,且NP =MN =OM ,分别过N ,M ,O 作垂直于OP 的平面,截球面得三个圆,则这三个圆的面积之比为________.6.(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中,已知AB =2,BC =3,以边BC 所在的直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为________.7.(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为433,则它的体积为________.8.(创新题)如图,在三棱锥D -ABC 中,已知BC ⊥AD ,BC =2,AD =6,AB +BD =AC +CD =10,则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________.9.如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形, 其中BD 是圆的直径,∠ABD =60°,∠BDC =45°,△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长;(2)若PC=11R,求三棱锥P-ABC的体积.10.(2014·徐州质检)如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥E -BCD的体积.第Ⅱ组:重点选做题1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm的半圆,则该圆锥的高为________ cm.2.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个正四面体的体积为。
高考数学(理科)一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址学案41 空间几何体的表面积与体积导学目标:1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力,会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力.自主梳理.多面体的表面积设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则S直棱柱侧=______.设正n棱锥底面边长为a,底面周长为c,斜高为h′,则S正棱锥侧=____________=____________.设正n棱台下底面边长为a,周长为c,上底面边长为a′,周长为c′,斜高为h′,则S正棱台侧=__________=____________.设球的半径为R,则S球=____________.2.几何体的体积公式柱体的体积V柱体=______.特别地,底面半径是r,高是h的圆柱体的体积V圆柱=πr2h.锥体的体积V锥体=________.特别地,底面半径是r,高是h的圆锥的体积V圆锥=13πr2h.台体的体积V台体=______________.特别地,上、下底面的半径分别是r′、r,高是h的圆台的体积V圆台=13πh.球的体积V球=__________.自我检测.已知两平行平面α,β间的距离为3,P∈α,边长为1的正三角形ABc在平面β内,则三棱锥P—ABc的体积为A.14B.12c.36D.342.从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BcD,则它的表面积与正方体表面积的比为A.3∶3B.2∶2c.3∶6D.6∶63.设三棱柱ABc—A1B1c1的体积为V,P,Q分别是侧棱AA1,cc1上的点,且PA=Qc1,则四棱锥B—APQc的体积为A.16VB.14Vc.13VD.12V4.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是A.9πB.10πc.11πD.12π5.某几何体的三视图如下,则它的体积是A.8-2π3B.8-π3c.8-2πD.2π3探究点一多面体的表面积及体积例1 三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱长为3,一条侧棱与底面相邻两边都成60°角,求此棱柱的侧面积与体积.变式迁移1 已知三棱柱ABc—A1B1c1的侧棱与底面边长都等于2,A1在底面ABc上的射影为Bc的中点,则三棱柱的侧面面积为________.探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积及其体积.变式迁移2 直三棱柱ABc—A1B1c1的各顶点都在同一球面上.若AB=Ac=AA1=2,∠BAc=120°,则此球的表面积等于________.探究点三侧面展开图中的最值问题例3 如图所示,长方体ABcD-A1B1c1D1中,AB=a,Bc=b,cc1=c,并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到c1的最短线路的长.变式迁移3如图所示,在直三棱柱ABc-A1B1c1中,底面为直角三角形,∠AcB=90°,Ac=6,Bc=cc1=2.P是Bc1上一动点,则cP+PA1的最小值是________..有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体,或化离散为集中,给解题提供便利.几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积.一、选择题.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.48B.32+817c.48+817D.802.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是B.163c.243D.4833.已知正方体ABcD—A1B1c1D1的棱长为a,长为定值的线段EF在棱AB上移动,若P是A1D1上的定点,Q是c1D1上的动点,则四面体P—QEF的体积是A.有最小值的一个变量B.有最大值的一个变量c.没有最值的一个变量D.一个不变量4.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.πa2B.73πa2c.113πa2D.5πa25.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是A.8B.62c.10二、填空题6.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABcDEF,则此正六棱锥的侧面积是________.7.一块正方形薄铁片的边长为4cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________cm3.8.如图,半径为R的球o中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________.三、解答题9.如图组合体中,三棱柱ABc—A1B1c1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面,c是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点.当点c是弧AB的中点时,求四棱锥A1—Bcc1B1与圆柱的体积比.0.如图,四面体ABcD中,△ABc与△DBc都是边长为4的正三角形.求证:Bc⊥AD;试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,说明理由.1.如图,多面体ABFEDc的直观图及三视图如图所示,m,N分别为AF,Bc的中点.求证:mN∥平面cDEF;求多面体A—cDEF的体积.学案41 空间几何体的表面积与体积自主梳理.ch12nah′12ch′12nh′12h′4πR2 2.Sh 13Sh 13h 43πR3自我检测.D [由题意,S△ABc=34,三棱锥的高h=3,∴V三棱锥P—ABc=13Sh=34.]2.A [设正方体棱长为a,则正四面体棱长AB=2a,∴S正四面体表=4×34×2=23a2.∵S正方体表=6a2,∴四面体的表面积与正方体表面积的比为3∶3.]3.c4.D [据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成,如图所示,故该几何体的表面积为S=S圆柱+S球=2π+6π+4π=12π.]5.A [由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥,所以V=23-13×π×2=8-2π3,故选A.]课堂活动区例1 解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高.解决此类斜棱柱侧面积问题的关键:在已知棱柱高的条件下,用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高,并在相应的直角三角形中求解侧面的高.解如图,过点A1作A1o⊥面ABc于点o,连接Ao.过点A1作A1E⊥AB于点E,过点A1作A1F⊥Ac于点F,连接Eo,Fo,易得oE⊥AB,oF⊥Ac,∵AA1和AB与Ac都成60°角,∴△A1AE≌△A1AF,∴A1E=A1F.∵A1o⊥面ABc,∴Eo=Fo.∴点o在∠BAc的角平分线上,延长Ao交Bc于点D,∵△ABc是正三角形,∴Bc⊥AD.∴Bc⊥AA1.∵AA1∥BB1,∴侧面BB1c1c是矩形,∴三棱柱的侧面积为S=2×3×4×sin60°+3×4=12+123.∵AA1=3,AA1与AB和Ac都成60°角,∴AE=32.∵∠BAo=30°,∴Ao=3,A1o=6.∴三棱柱的体积为V=34×16×6=122.变式迁移1 27+4解析如图所示,设D为Bc的中点,连接A1D,AD.∵△ABc为等边三角形,∴AD⊥Bc,∴Bc⊥平面A1AD,∴Bc⊥A1A,又∵A1A∥B1B,∴Bc⊥B1B,又∵侧面与底面边长都等于2,∴四边形BB1c1c是正方形,其面积为4.作DE⊥AB于E,连接A1E,则AB⊥A1E,又∵AD=22-12=3,DE=AD•BDAB=32,∴AE=AD2-DE2=32,∴A1E=AA21-AE2=72,∴S四边形ABB1A1=7,∴S三棱柱侧=27+4.例2 解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,然后利用有关公式进行计算.求全面积时不要忘记“内表面”.解如图所示,过c作co1⊥AB于o1,在半圆中可得∠BcA=90°,∠BAc=30°,AB=2R,∴Ac=3R,Bc=R,co1=32R,∴S球=4πR2,S圆锥Ao1侧=π×32R×3R=32πR2,S圆锥Bo1侧=π×32R×R=32πR2,∴S几何体表=S球+S圆锥Ao1侧+S圆锥Bo1侧=112πR2+32πR2=11+32πR2,∴旋转所得到的几何体的表面积为11+32πR2.又V球=43πR3,V圆锥Ao1=13•Ao1•πco21=14πR2•Ao1,V圆锥Bo1=13Bo1•πco21=14πR2•Bo1,∴V几何体=V球-=43πR3-12πR3=56πR3.变式迁移2 20π解析在△ABc中,AB=Ac=2,∠BAc=120°,可得Bc=23,由正弦定理,可得△ABc外接圆的半径r=2,设此圆圆心为o′,球心为o,在Rt△oBo′中,易得球半径R=5,故此球的表面积为4πR2=20π.例3 解题导引本题可将长方体表面展开,利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答.解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.三个图形甲、乙、丙中Ac1的长分别为:a+b2+c2=a2+b2+c2+2ab,a2+b+c2=a2+b2+c2+2bc,a+c2+b2=a2+b2+c2+2ac,∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为a2+b2+c2+2bc.变式迁移3 52解析将△Bcc1沿Bc1线折到面A1c1B上,如图所示.连接A1c即为cP+PA1的最小值,过点c作cD垂直A1c1延长线交于D,△Bcc1为等腰直角三角形,∴cD=1,c1D=1,A1D=A1c1+c1D=7.∴A1c=A1D2+cD2=49+1=52.课后练习区.c [由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽为4,长为42+12=17.所以S表=42+2×4+12××4×2+4×17×2=48+817.]2.D [由43πR3=32π3,∴R=2.∴正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则13•32a=2,∴a=43.∴V=34×2×4=483.]3.D 4.B5.c [将三视图还原成几何体的直观图如图所示.它的四个面的面积分别为8,6,10,62,故最大的面积应为10.6.67解析取底面中心为o,AF中点为m,连接Po、om、Pm、Ao,则Po⊥om,om⊥AF,Pm⊥AF,∵oA=oP=2,∴om=3,Pm=4+3=7.∴S侧=6×12×2×7=67.7.153π解析围成圆锥筒的母线长为4cm,设圆锥的底面半径为r,则2πr=14•2π×4,∴r=1,∴圆锥的高h=42-12=15.∴V圆锥=13•πr2•h=153π.8.2πR2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,则圆柱高为2Rcosα,圆柱底面半径为Rsinα,∴S圆柱侧=2π•Rsinα•2Rcosα=2πR2sin2α.当sin2α=1时,S圆柱侧最大为2πR2,此时,S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.方法二设圆柱底面半径为r,则其高为2R2-r2.∴S圆柱侧=2πr•2R2-r2,S′圆柱侧=4πR2-r2-4πr2R2-r2.令S′圆柱侧=0,得r=22R.当0<r<22R时,S′>0;当22R<r<R时,S′<0.∴当r=22R时,S圆柱侧取得最大值2πR2.此时S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.方法三设圆柱底面半径为r,则其高为2R2-r2,∴S圆柱侧=2πr•2R2-r2=4πr2R2-r2≤4πr2+R2-r22=2πR2.∴当r=22R时,S圆柱侧最大为2πR2.此时S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.9.解设圆柱的底面半径为r,母线长为h,当点c是弧的中点时,三角形ABc的面积为r2,三棱柱ABc—A1B1c1的体积为r2h,三棱锥A1—ABc的体积为13r2h,四棱锥A1—Bcc1B1的体积为r2h-13r2h=23r2h,圆柱的体积为πr2h,故四棱锥A1—Bcc1B1与圆柱的体积比为2∶3π.0.证明取Bc的中点E,连接AE,DE,EF,∵△ABc与△DBc都是边长为4的正三角形,∴AE⊥Bc,DE⊥Bc.又AE∩DE=E,∴Bc⊥平面AED.又AD⊂面AED,∴Bc⊥AD.解由已知得,△AED为等腰三角形,且AE=ED=23,设AD=x,F为棱AD的中点,则EF=12-12x2,S△AED=12x12-x24=1448x2-x4,V=13S△AED•=1348x2-x4,当x2=24,即x=26时,Vmax=8,∴该四面体存在最大值,最大值为8,此时棱长AD=26.1.证明由多面体ABFEDc的三视图知,三棱柱AED—BFc中,底面DAE是等腰直角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABFE,面ABFE,ABcD都是边长为2的正方形.连接EB,则m是EB的中点,在△EBc中,mN∥Ec,且Ec⊂平面cDEF,mN⊄平面cDEF,∴mN∥平面cDEF.解∵DA⊥平面ABFE,EF⊂平面ABFE,∴EF⊥AD.又EF⊥AE,AE∩AD=A,∴EF⊥平面ADE. 又DE⊂平面ADE,∴EF⊥DE,∴四边形cDEF是矩形,且平面cDEF⊥平面DAE.取DE的中点H,连接AH,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴AH=2,且AH⊥平面cDEF.∴多面体A—cDEF的体积V=13ScDEF•AH=13DE•EF•AH=83.。
第2讲 空间几何体的表面积与体积一、知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrl S 圆锥侧=πrlS 圆台侧=π(r +r ′)l表面积 体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积=S 侧+2S 底 V =S 底h锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积=S 侧+S 底 V =13S 底h 台体 (棱台和圆台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h 球S =4πR 2 V =43πR 31.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a ,球的半径为R ,(1)若球为正方体的外接球,则2R =3a ; (2)若球为正方体的内切球,则2R =a ; (3)若球与正方体的各棱相切,则2R =2a .2.长方体共顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2R =a 2+b 2+c 2. 二、习题改编1.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为 cm.解析:由题意,得S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π,解得r 2=4,所以r=2(cm).答案:22.(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比V 球∶V 柱为 .解析:设球的半径为R ,则V 球V 柱=43πR 3πR 2×2R =23.答案:23一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)锥体的高与底面不清楚致误; (2)不会分类讨论致误.1.如图,长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E BCD 的体积是 .解析:设长方体中BC =a ,CD =b ,CC 1=c ,则abc =120, 所以V E BCD =13×12ab ×12c =112abc =10.答案:102.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是 .解析:当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2,故所求的表面积是32π2+8π或32π2+32π.答案:32π2+8π或32π2+32π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A .122πB .12πC .82πD .10π(2)(2020·湖南省五市十校联考)某四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等腰直角三角形,俯视图的轮廓是直角梯形,则该四棱锥的各侧面面积的最大值为( )A .8B .4 5C .8 2D .12 2【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为22,底面圆的直径为22,所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2+22π×22=12π.(2)由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形,高为4的四棱锥,如图,其中侧棱PA ⊥平面ABCD ,PA =4,AB =4,BC =4,CD =6,所以AD =25,PD =6,PB =42,连接AC ,则AC =42,所以PC =43,显然在各侧面面积中△PCD 的面积最大,又PD =CD =6,所以PC 边上的高为62-⎝ ⎛⎭⎪⎫4322=26,所以S △PCD =12×43×26=122,故该四棱锥的各侧面面积的最大值为122,故选D.【答案】 (1)B (2)D空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.1.(2020·江西七校第一次联考)一个半径为1的球对称削去了三部分,其俯视图如图所示,那么该立体图形的表面积为( )A .3πB .4πC .5πD .6π解析:选C.由题中俯视图可知该球被平均分成6部分,削去了3部分,剩余的3部分为该几何体,所以该立体图形的表面积为2×π×12+3×π×12=5π,故选C.2.(2020·辽宁丹东质量测试(一))一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积为 .解析:设圆锥的底面圆半径为r ,因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,所以等腰直角三角形的斜边长为2r ,斜边上的高为r ,所以12×2r ×r =1,解得r =1,圆锥的母线长l =12+12=2,圆锥的侧面积为πrl =2π. 答案:2π空间几何体的体积(多维探究) 角度一 求简单几何体的体积(1)(2020·石家庄质量检测)某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1),则该几何体的体积是( )A .8B .6C .4D .2(2)将一张边长为12 cm 的正方形纸片按如图(1)所示将阴影部分的四个全等的等腰三角形裁去,余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是( )A.3236 cm 3B.6436 cm 3C.3232 cm 3D .6432 cm 3【解析】 (1)由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示),其中底面直角梯形的上、下底分别为1,2,高为2,直四棱柱的高为2,所以该几何体的体积为(1+2)×22×2=6,故选B. (2)设折成的四棱锥的底面边长为a cm ,高为h cm ,则h =32a cm ,由题设可得四棱锥侧面的高等于四棱锥的底面边长,所以12a +a =12×22⇒a =42,所以四棱锥的体积V =13×(42)2×32×42=6463cm 3,故选B. 【答案】 (1)B (2)B简单几何体体积的求法对于规则几何体,直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积,应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用公式求解.角度二 求组合体的体积(2020·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为( )A .1-π4B .3+π2C .2+π4D .4【解析】 由题设知,该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的,如图所示,所以表面积S =2×(1×1-14×π×12)+2×(1×1)+14×2π×1×1=4.故选D.【答案】 D(1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体,利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算 等体积法选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1.(2019·高考北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .解析:如图,由三视图可知,该几何体为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1去掉四棱柱B 1C 1GF A 1D 1HE 所得,其中正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为64,VB 1C 1GF A 1D 1HE =(4+2)×2×12×4=24,所以该几何体的体积为64-24=40.答案:402.(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,AB =BC =6 cm ,AA 1=4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.解析:长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 1=6×6×4=144(cm 3),而四棱锥O EFGH 的底面积为矩形BB 1C 1C 的面积的一半,高为AB 长的一半,所以四棱锥O EFGH 的体积V 2=13×12×4×6×3=12(cm 3),所以长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得几何体的体积V =V 1-V 2=132(cm 3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).答案:118.8球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)若直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,且AB =3,AC =4,AB⊥AC ,AA 1=12,则球O 的表面积为 .(2)(一题多解)(2019·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .【解析】 (1)将直三棱柱补形为长方体ABEC A 1B 1E 1C 1,则球O 是长方体ABEC A 1B 1E 1C 1的外接球.所以体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R =32+42+122=13. 故S 球=4πR 2=169π.(2)法一:由题意得圆柱的高为四棱锥高的一半,底面圆的直径为以四棱锥侧棱的四个中点为顶点的正方形的对角线,易求得圆柱的底面圆的直径为1,高为1,所以该圆柱的体积V =π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1=π4.法二:由题可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为12,易知四棱锥的高为5-1=2,故圆柱的高为1,所以该圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1=π4. 【答案】 (1)169π (2)π4处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:1.正四棱锥P ABCD 的侧棱和底面边长都等于22,则它的外接球的表面积是( ) A .16π B .12π C .8πD .4π解析:选A.设正四棱锥的外接球半径为R ,顶点P 在底面上的射影为O ,因为OA =12AC=12 AB 2+BC 2=12(22)2+(22)2=2,所以PO =PA 2-OA 2=(22)2-22=2.又OA =OB =OC =OD =2,由此可知R =2,于是S 球=4πR 2=16π.2.设球O 内切于正三棱柱ABC A 1B 1C 1,则球O 的体积与正三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的比值为 .解析:设球O 半径为R ,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为a ,则R =33×a 2=36a ,即a =23R ,又正三棱柱ABC A 1B 1C 1的高为2R ,所以球O 的体积与正三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R =43πR 334×12R 2×2R =23π27.答案:23π27核心素养系列14 直观想象——数学文化与空间几何体(2020·甘肃、青海、宁夏3月联考)汉朝时,张衡得出圆周率的平方除以16等于58.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的曲线为圆,利用张衡的结论可得该几何体的体积为( )A .32B .40 C.32103D .40103【解析】 将三视图还原成如图所示的几何体:半个圆柱和半个圆锥的组合体,底面半径为2,高为4,则体积V =12π×22×4+13×12π×22×4=323π,因为圆周率的平方除以16等于58,即π216=58,所以π=10,所以V =32103.故选C.【答案】 C本题是数学文化与三视图结合,主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据,求几何体的体积或侧(表)面积.此类问题难点:一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征;二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量.考查了直观想象这一核心素养.(2020·安徽六安一中模拟(四))我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图,将底面直径都为2b ,高皆为a 的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上,用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体,可横截得到S 圆及S 环两截面.可以证明S 圆=S 环总成立.据此,短半轴长为1,长半轴长为3的椭球体的体积是 .解析:因为S 圆=S 环总成立,所以半椭球体的体积为πb 2a -13πb 2a =23πb 2a ,所以椭球体的体积V =43πb 2a .因为椭球体的短半轴长为1,长半轴长为3. 所以椭球体的体积V =43πb 2a =43π×12×3=4π.答案:4π[基础题组练]1.(2020·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3,底面半径为4,若一球的表面积与此圆锥侧面积相等,则该球的半径为( )A .5 B. 5 C .9D .3解析:选B.因为圆锥的底面半径r =4,高h =3,所以圆锥的母线l =5,所以圆锥的侧面积S =πrl =20π,设球的半径为R ,则4πR 2=20π,所以R =5,故选B.2.(2020·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示,其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示),则此几何体的体积为( )A .1 B. 2 C .2D .2 2解析:选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示),根据三视图可知该几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为3,所以体积V =13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×3= 2.故选B.3.(2020·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的x 为( )A .1.2B .1.6C .1.8D .2.4解析:选B.该几何体是一个组合体,左边是一个底面半径为12的圆柱,右边是一个长、宽、高分别为5.4-x ,3,1的长方体,所以组合体的体积V =V 圆柱+V 长方体=π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x +(5.4-x )×3×1=12.6(其中π=3),解得x =1.6.故选B.4.(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺.问积几何 ”.羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图中粗线所示,其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为( )A .40B .43C .46D .47解析:选C.由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,其中平面ABCD ⊥平面ABEF ,CD =2,AB =6,EF =4,等腰梯形ABEF 的高为3,等腰梯形ABCD 的高为4,等腰梯形FECD的高为9+16=5,三个梯形的面积之和为2+62×4+4+62×3+2+42×5=46,故选C.5.(2020·辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为3,圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )A .πB .2πC .3πD .4π解析:选B.将半径为3,圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥,设圆锥的底面圆半径为R ,则有2πR =3×2π3,所以R =1.设圆锥的内切球半径为r ,圆锥的高为h ,内切球球心必在圆锥的高线上,因为圆锥的母线长为3,所以h =9-1=22,所以有rh -r =R 3,解得r =22,因此内切球的表面积S =4πr 2=2π.故选B. 6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .解析:设新的底面半径为r ,由题意得13πr 2·4+πr 2·8=13π×52×4+π×22×8,解得r =7.答案:77.(2020·沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是 .解析:由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥P ABCD ,如图所示,其中PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,且PA =2,AB =2,PB =22,所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和,即S =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2+12×2×22=4+4 2.答案:4+4 28.(2020·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥,则该三棱锥的体积为 .解析:记所有棱长都是2的三棱锥为P ABC ,如图所示,取BC 的中点D ,连接AD ,PD ,作PO ⊥AD 于点O ,则PO ⊥平面ABC ,且OP =63×2=233,故三棱锥P ABC 的体积V =13S △ABC·OP =13×34×(2)2×233=13.答案:139.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,CD =22,AD =2,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.解:由已知得CE =2,DE =2,CB =5,S 表面积=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×22=(60+42)π,V =V 圆台-V 圆锥=13(π·22+π·52+22·52π2)×4-13π×22×2=1483π.10.(应用型)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍,若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积是多少?解:由PO 1=2 m ,知O 1O =4PO 1=8 m.因为A 1B 1=AB =6 m ,所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 21·PO 1=13×62×2=24(m 3);正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O =62×8=288(m 3),所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3). 故仓库的容积是312 m 3.[综合题组练]1.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( )A .86πB .46πC .26πD .6π解析:选D.因为点E ,F 分别为PA ,AB 的中点, 所以EF ∥PB ,因为∠CEF =90°, 所以EF ⊥CE ,所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ,连接BD ,PD ,易证AC ⊥平面BDP ,所以PB ⊥AC ,又AC ∩CE =C ,AC ,CE ⊂平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC ,所以PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,因为PA =PB =PC ,△ABC 为正三角形,所以PA ⊥PC ,即PA ,PB ,PC 两两垂直,将三棱锥P ABC 放在正方体中如图所示.因为AB =2,所以该正方体的棱长为2,所以该正方体的体对角线长为6,所以三棱锥P ABC的外接球的半径R =62,所以球O 的体积V =43πR 3=43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623=6π,故选D. 2.如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为3,线段B 1D 1上有两个动点E ,F 且EF =1,则当E ,F 移动时,下列结论不正确的是( )A .AE ∥平面C 1BDB .四面体ACEF 的体积不为定值C .三棱锥A BEF 的体积为定值D .四面体ACDF 的体积为定值解析:选B.对于A ,如图1,AB 1∥DC 1,易证AB 1∥平面C 1BD ,同理AD 1∥平面C 1BD ,且AB 1∩AD 1=A ,所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ,又AE ⊂平面AB 1D 1,所以AE ∥平面C 1BD ,A 正确;对于B ,如图2,S △AEF =12EF ·h 1=12×1×(32)2-⎝ ⎛⎭⎪⎫3222=364,点C 到平面AEF 的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 为定值,所以V A CEF =V C AEF =13×364×d =64d 为定值,所以B 错误;对于C ,如图3,S △BEF =12×1×3=32,点A 到平面BEF 的距离为A 到平面BB 1D 1D 的距离d 为定值,所以V A BEF =13×32×d =12d 为定值,C 正确;对于D ,如图4,四面体ACDF 的体积为V A CDF =V F ACD =13×12×3×3×3=92为定值,D 正确. 3.(2020·东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为4π的圆柱有一外接球O ,当球O 的体积取得最小值时,圆柱的表面积为 .解析:设圆柱的底面圆半径为r ,高为h ,则球的半径R =r 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22. 因为球的体积V =4π3R 3,故V 最小当且仅当R 最小. 圆柱的侧面积为2πrh =4π,所以rh =2.所以h 2=1r, 所以R =r 2+1r2≥2, 当且仅当r 2=1r 2.即r =1时取等号,此时k 取最小值,所以r =1,h =2,圆柱的表面积为2π+4π=6π. 答案:6π4.(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)如图,A 1B 1C 1D 1是以ABCD 为底面的长方体的一个斜截面,其中AB =4,BC =3,AA 1=5,BB 1=8,CC 1=12,求该几何体的体积.解:过A 1作A 1E ⊥BB 1于点E ,作A 1G ⊥DD 1于点G ,过E 作EF ⊥CC 1于点F ,过D 1作D 1H ⊥CC 1于点H ,连接EH ,GF ,因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1,所以A 1B 1∥D 1C 1.因为AA 1=BE =5,所以EB 1=8-5=3,C 1H =EB 1=3,GD 1=HF =12-5-3=4,则几何体被分割成一个长方体ABCD A 1EFG ,一个斜三棱柱A 1B 1E D 1C 1H 和一个直三棱柱A 1D 1G EHF .故该几何体的体积为V =3×4×5+12×3×4×4+12×3×4×3=102.。
第2讲空间几何体的表面积和体积板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面面积之和.考点2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点3 柱、锥、台和球的表面积和体积[必会结论]1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R=3a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa 2.( )(3)若一个球的体积为43π,则它的表面积为12π.( ) (4)将圆心角为2π3,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4π.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.[2018·长春模拟]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.323 B .64 C.3233D.643答案 D解析 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,∴其体积为13×4×4×4=643.故选D.3.[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .12+4 2B .18+8 2C .28D .20+8 2答案 D解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.则该几何体的表面积为S =2×12×2×2+4×2×2+22×4=20+8 2.故选D.4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为( )A .2B .4+2 2C .4+4 2D .6+4 2答案 C解析 由题可知,该几何体的底面为等腰直角三角形,等腰直角三角形的斜边长为2,腰长为2,棱柱的高为2,所以其侧面积S =2×2+22×2=4+4 2.故选C.5.[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为________.答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上, ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径. 设球的半径为R , 则2R =32+22+12=14. ∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎪⎫1422=14π.6.[2017·山东高考]由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下,则该几何体的体积为________.答案 2+π2解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1,高为1的四分之一圆柱体构成,∴V =2×1×1+2×14×π×12×1=2+π2.板块二 典例探究·考向突破 考向几何体的表面积例1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A .10B .12C .14D .16 答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2×12×(2+4)×2=12.故选B.(2)[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20π B.24π C.28π D.32π 答案 C解析 由三视图可得圆锥的母线长为22+(23)2=4,∴S 圆锥侧=π×2×4=8π.又S 圆柱侧=2π×2×4=16π,S 圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图,确定几何体的直观图. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 【变式训练1】 [2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+ 3 B.1+2 2 C.2+ 3 D.2 2答案 C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD= 2.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=2,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=32,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+ 3.故选C.考向几何体的体积命题角度1 补形法求体积例2 [2017·全国卷Ⅱ]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90π B.63π C.42π D.36π 答案 B解析 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全,并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V =π×32×4+π×32×6×12=63π.故选B.命题角度2 分割法求体积 例3 [2018·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高1丈,问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( )A .5000立方尺B .5500立方尺C .6000立方尺D .6500立方尺答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ,CD 的中点H ,连接FG ,GH ,HF ,则该几何体的体积为四棱锥F -GBCH 与三棱柱ADE -GHF 的体积之和.又可以将三棱柱ADE -GHF 割补成高为EF ,底面积为S =12×3×1=32平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V =32×2+13×2×3×1=5立方丈=5000立方尺.故选A.命题角度3 转化法求体积 例4 如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为________.答案 16解析 三棱锥D 1-EDF 的体积即为三棱锥F -DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以VF -DD 1E =13×12×1=16.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.考向与球有关的切、接问题例5 [2018·沈阳模拟]已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为( )A.3172 B .210 C.132D .310 答案 C解析 如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM =12BC =52,OM=12AA 1=6,所以球O 的半径R =OA = ⎝ ⎛⎭⎪⎫522+62=132.故选C.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解 由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ,内切球的半径为r .又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43, 从而V 外接球=43πR 3=43π×(23)3=323π,V 内切球=43πr 3=43π×23=32π3. 本例若将直三棱柱改为“正四面体”,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少?解 正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4·34·a 2=3a 2,其内切球半径r 为正四面体高的14,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2πa 26=63π. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”,则其外接球的半径是多少? 解 依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为32×2=6,高为 (32)2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.触类旁通“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点,通过作截面来解决.截面过球心. (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.【变式训练2】 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A .π B.3π4 C.π2 D.π4答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ,球的半径为R ,且R =1, 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r ,R 及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r =12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32.∴圆柱的体积为V =πr 2h =34π×1=3π4.故选B.(2)[2018·湖北七市联考]一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为( )A .36π B.112π3 C .32π D.28π答案 B解析 根据三视图,可知该几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形,高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱,如图所示,则其底面是边长为4的正三角形,高是4,该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球.∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形,∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为23×23=433,∴外接球的半径为R =⎝ ⎛⎭⎪⎫4332+22=283,外接球的表面积S =4πR 2=4π×283=112π3.故选B.核心规律1.表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积时,只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积.2.求几何体体积时,要选择适当的底面和高. 满分策略1.利用三视图求表面积和体积时,要正确地把它们还原成直观图,从三视图中得到几何体的相关量,再计算.2.求不规则的几何体的表面积和体积时,把它们分成基本的简单几何体再求.3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.板块三启智培优·破译高考题型技法系列 10 ——破解切割棱柱体的三视图问题[2018·河南质检]如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.6 B.9 C.12 D.1解题视点根据三视图还原几何体,先画出该棱柱在没有切割前完整的图形,然后去掉被切割下的三棱柱,结合图形利用体积公式破解.解析该几何体是一个直三棱柱截去14所得,如图所示,其体积为34×12×3×4×2=9.故选B.答案 B答题启示从近年全国各地对于三视图知识的考查来看,所涉及的几何体往往是相对比较规则的,且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体,而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )A.223 B.203 C.163D .6 答案 A解析 由图可知,该几何体为正方体切去一个三棱锥形成.V =2×2×2-13×12×2×2×1=223.故选A.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1. [2018·南昌模拟]如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点,则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A .1∶1B .2∶1C .2∶3D .3∶2答案 A解析 根据题意,三棱锥P -BCD 的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高.故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.2.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( )A .1丈3尺B .5丈4尺C .9丈2尺D .48丈6尺答案 B解析 设圆柱底面圆半径为r 尺,高为h 尺,依题意,圆柱体积为V =πr 2h =2000×1.62≈3×r 2×13.33,所以r 2≈81,即r ≈9,所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺=5丈4尺,则圆柱底面圆周长约为5丈4尺.故选B.3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.13 答案 D解析 由三视图,可得原图如图所示,即为底面是平行四边形的四棱锥,∴V =13×1×1×1=13.故选D.4.正三棱柱的底面边长为3,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )A .4π B.8π C.12π D.16π 答案 B解析 由正弦定理得3sin60°=2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径),∴r=1,∴外接球的半径R =12+12=2,∴外接球的表面积S =4πR 2=8π.故选B.5.[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60 B .30 C .20 D .10 答案 D解析 由三视图画出如图所示的三棱锥P -ACD ,过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ,连接BA ,BD ,BC ,根据三视图可知底面ABCD 是矩形,AD =5,CD =3,PB =4,所以V 三棱锥P -ACD =13×12×3×5×4=10.故选D.6.[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( )A.3+ 6B.3+ 5C.2+ 6D.2+ 5答案 C解析由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA=OB=1,AB= 2.又PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BD,PB⊥AB,∴PD=22+1=5,PA=2+12=3,从而有PA2+DA2=PD2,∴PA⊥DA,∴该几何体的侧面积S=2×12×2×1+2×12×2×3=2+ 6.故选C.7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )A.207 B .216-9π2C .216-36πD .216-18π答案 B解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体,切去一个底面半径为3,高为6的14圆锥.其体积V =63-13×14×π×32×6=216-9π2.故选B.8.[2017·江苏高考]如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1V 2的值是________.答案 32解析 设球O 的半径为R ,∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切, ∴圆柱O 1O 2的高为2R ,圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴V 1V 2=πR 2·2R 43πR3=32. 9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是________.答案 2(π+3)解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积即俯视图的面积为23;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π+3).10.[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.答案1603解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥,如图所示,故该几何体的体积为12×4×4×8-13×12×4×4×4=64-323=1603.[B 级 知能提升]1.[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( )A.113 B.83 C.163 D.223答案 D解析 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P -ABC 剩下的部分(如图所示),所以此几何体的体积为2×2×2-13×12×1×2×2=223.故选D.2.[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A .2+ 5B .4+ 5C .2+2 5D .5答案 C解析 由三视图分析知,该几何体是底面为等腰三角形,其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC ),如图,由三视图中的数据可计算得S △ABC =12×2×2=2,S △SAC =12×5×1=52,S △SAB =12×5×1=52,S △SBC =12×2×5=5,所以S 表面积=2+2 5.故选C.3.[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S -ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.答案 36π解析 如图,连接OA ,OB .由SA =AC ,SB =BC ,SC 为球O 的直径,知OA ⊥SC ,OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB =SC ,OA ⊥SC ,知OA ⊥平面SCB .设球O 的半径为r ,则OA =OB =r ,SC =2r , ∴三棱锥S -ABC 的体积 V =13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA =r 33, 即r 33=9,∴r =3,∴S 球表=4πr 2=36π. 4.如图,△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,DB ⊥平面ABC ,且AE ∥FC ∥BD ,BD =3,FC =4,AE =5.求此几何体的体积.解 解法一:如图,取CM =AN =BD ,连接DM ,MN ,DN ,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.则V 几何体=V 三棱柱+V 四棱锥.由题知三棱柱ABC -NDM 的体积为V 1=12×8×6×3=72.四棱锥D -MNEF 的体积为:V 2=13×S 梯形MNEF ×DN=13×12×(1+2)×6×8=24, 则几何体的体积为:V =V 1+V 2=72+24=96.解法二:用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA ′=BB ′=CC ′=8,所以V 几何体=12V 三棱柱=12×S △ABC ×AA ′=12×24×8=96.5.[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.解 如图所示,在三棱台ABC -A ′B ′C ′中,O ′,O 分别为上、下底面的中心,D ,D ′分别是BC ,B ′C ′的中点,则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高,又A ′B ′=20 cm ,AB =30 cm ,所以S 侧=3×12×(20+30)×DD ′=75DD ′.S 上+S 下=34×(202+302)=3253(cm 2). 由S 侧=S 上+S 下,得75DD ′=3253, 所以DD ′=1333 cm ,又因为O ′D ′=36×20=1033(cm), OD =36×30=53(cm), 所以棱台的高h =O ′O = D ′D 2-(OD -O ′D ′)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫13332-⎝⎛⎭⎪⎫53-10332=43(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V =h3(S 上+S 下+S 上S 下)=433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253+34×20×30 =1900(cm 3).故棱台的体积为1900 cm 3.。
第一节空间几何体的结构及其外表积、体积[最新考纲]1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能够运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2会用斜二测画法画出常见几何体:长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图3了解球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的外表积与体积的计算公式.1.多面体的结构特征3直观图1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=错误!S原图形,S原图形=2错误!S直观图.2.多面体的内切球与外接球常用的结论1设正方体的棱长为a,那么它的内切球半径r=错误!,外接球半径R=错误!a2设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么它的外接球半径R=错误!3设正四面体的棱长为a,那么它的高为H=错误!a,内切球半径r=错误!H=错误!a,外接球半径R=错误!H=错误!a一、思考辨析正确的打“√〞,错误的打“×〞1有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.2有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.3菱形的直观图仍是菱形.4每个面都是正三角形的多面体一定是正四面体.[答案]1×2×3×4×二、教材改编1.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D.一个圆柱、两个圆锥D[从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形,一个矩形,所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体,如图:]2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,那么该球的外表积为A.12ππC.8π D.4πA[由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为2错误!即为球的直径,所以球的外表积为4πR2=2R2π=12π,应选A]3.圆锥的外表积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,那么底面圆的半径为A.1 cm B.2 cmC.3 cm cmB[S表=πr2+πr=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4,∴r=2cm.]4.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,假设两底面圆心的连线长为12 cm,那么这个圆台的母线长为cm13[如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C在Rt△ABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5cm.所以AB=错误!=13cm.]考点1空间几何体的直观图1直观图画法的规那么:斜二测画法.2 原图与直观图中的“三变〞与“三不变〞1“三变〞错误!2“三不变〞错误!正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为a2a2a2a2D[法一:如图①②所示的实际图形和直观图,由图②可知,A′B′=AB=a,O′C′=错误!OC=错误!a,在图②中作C′D′⊥A′B′于D′,那么C ′D ′=错误!O ′C ′=错误!a ,所以S △A ′B ′C ′=错误!A ′B ′·C ′D ′=错误!×a ×错误!a =错误!a 2 法二:S △ABC =错误!×a ×a in 60°=错误!a 2, 又S 直观图=错误!S 原图=错误!×错误!a 2=错误!a 2 应选D]12021·杭州模拟在等腰梯形ABCD 中,上底CD =1,腰AD =CB =错误!,下底AB =3,以下底所在直线为轴,那么由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为 .错误! [画出等腰梯形ABCD 的实际图形及直观图A ′B ′C ′D ′如下图,因为OE =错误!=1,所以O ′E ′=错误!,E ′F ′=错误! 所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为 S ′=错误!×1+3×错误!=错误!]2.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′=6 cm ,O ′C ′=2 cm ,那么原图形是A .正方形B .矩形C .菱形D .一般的平行四边形C [如图,在原图形OABC 中,应有OD =2O ′D ′=2×2错误!=4错误!cm ,CD =C ′D ′=2 cm∴OC =错误!=错误!=6 cm ,∴OA =OC ,故四边形OABC 是菱形.应选C] 1概念辨析类的问题常借助反例求解.2紧扣结构特征是判断空间几何体的结构特征正误的关键,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等根本元素,然后依据题意判定.考点2 空间几何体的外表积与体积 空间几何体的外表积几类空间几何体外表积的求法1多面体:其外表积是各个面的面积之和.2旋转体:其外表积等于侧面面积与底面面积的和.3简单组合体:应搞清各构成局部,并注意重合局部的删、补.1假设正四棱锥的底面边长和高都为2,那么其外表积为.2圆台的上、下底面半径分别是10 cm和2021m,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的外表积为cm2结果中保存π.14+4错误!21 100π[1因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,如图.由题意知底面正方形的边长为2,正四棱锥的高为2,那么正四棱锥的斜高.同理SB=40cm.所以AB=SB-SA=2021.S表=S侧+S上底+S下底=πr1+r2·AB+πr错误!+πr错误!=π10+20210+π×102+π×2021=1 100πcm2.故圆台的外表积为1 100π cm2]本例1是有关多面体侧面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁,从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中几何元素间的联系;本例2是圆台的侧面积问题,采用了还锥为台的思想.空间几何体的体积求空间几何体的体积的常用方法1直接法:对于规那么几何体,直接利用公式计算即可.假设三视图求体积,应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用公式求解.2等积法:利用三棱锥的“等积性〞可以把任一个面作为三棱锥的底面.3割补法:当一个几何体的形状不规那么时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规那么的、体积易求的几何体,然后再计算.经常考虑将三棱锥复原为三棱柱或长方体,将三棱柱复原为平行六面体,将台体复原为锥体.1如下图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为错误!,D为BC中点,那么三棱锥A-B1DC1的体积为A.3C.122021·江苏高考如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是12021为CC1的中点,那么三棱锥E-BCD的体积是.3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,那么三棱锥D1-EDF的体积为.4如下图,多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,那么该多面体的体积为.1C2103错误!44[1直接法如题图,在正△ABC中,D为BC中点,那么有AD=错误!AB =错误!,又∵平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,AD⊥BC,AD⊂平面ABC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C,即AD为三棱锥A-B1DC1的底面B1DC1上的高,∴VA-B1DC1=错误!S△B1DC1·AD=错误!×错误!×2×错误!×错误!=12因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为12021以AB·BC·CC1=12021因为E为CC1的中点,所以CE=错误!CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=错误!×错误!AB·BC·CE=错误!×错误!AB·BC·错误!CC1=错误!×1202103等积法三棱锥D1-EDF的体积即为三棱锥F-DD1E的体积.因为E,F分别为AA1,B1C上的点,所以在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△EDD1的面积为定值错误!,F到平面AA1D1D的距离为定值1,所以VD1-EDF=VF-DD1E=错误!×错误!×1=错误!4法一:分割法因为几何体有两对相对面互相平行,如下图,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG由题意,知V三棱柱DEH-ABC =S△DEH×AD=错误!×2=2,V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=错误!×2==2+2=4法二:补形法因为几何体有两对相对面互相平行,如下图,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.又正方体的体积V 正方体ABHI -DEKG =23=8,故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG =错误!×8=4]处理体积问题的思路1“转〞:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高;2“拆〞:指的是将一个不规那么的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算;3“拼〞:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为2,D 为棱B 1C 1上任意一点,那么三棱锥D -A 1BC 的体积是 .错误! [VD -A 1BC =VB 1-A 1BC =VA 1-B 1BC =错误!×S △B 1BC ×错误!=错误!]考点3 与球有关的切、接问题 与球有关的切、接问题的解法1旋转体的外接球:常用的解题方法是过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.2多面体的外接球:常用的解题方法是将多面体复原到正方体和长方体中再去求解. ①假设球面上四点的正方形,,,假设在这个四棱锥内放一个球,那么此球的最大半径是.错误!2-错误!m[由,错误!,那么AD=,半径为R,连接OA,OB,OC,OD,O错误!2·m=错误!m2R+错误!×错误!m2R+错误!×错误!×错误!m2·R+错误!×错误!×错误!m2·R+错误!×错误! m2R,解得R=错误!2-错误!m,所以此球的最大半径是错误!2-错误!m][评析]结合此题的条件,采用体积分割法求解此题.【素养提升练习】有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是顶角的余弦值为错误!的等腰三角形.在容器内放一个半径为r的铁球,并注水,使水面与球正好相切,然后将球取出,那么这时容器中水的深度为.错误!r[如图,作出轴截面,因为轴截面是顶角的余弦值为错误!的等腰三角形,所以顶角为错误!,所以该轴截面为正三角形.根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面所在圆的半径为错误!r,那么容器内水的体积V=错误!π错误!r2·3r-错误!πr3=错误!πr3将球取出后,设容器中水的深度为h,那么水面圆的半径为错误!h,从而容器内水的体积V′=错误!π错误!错误!错误!=错误!π错误!错误!错误!a[评析]解答此题的关键是当V取得最大值时,球与上下底面还是与侧面相切的问题.【素养提升练习】体积为错误!的球与正三棱柱的所有面均相切,那么该棱柱的体积为.6错误![设球的半径为R,由错误!R3=错误!,得R=1,所以正三棱柱的高h=2设底面边长为a,那么错误!×错误!a=1,所以a=2错误!所以V=错误!×2错误!2×2=6错误!]。
江苏省响水中学2014届高考数学一轮复习 第57-58课时 几何体的表面积与体积学案 文【课题】几何体的表面积与体积 【课时】第57-58课时 复习目标1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式;2.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆台和球的表面积和体积.1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 2.几何体的表面积1.圆锥的底面半径为3,高是4,则它的侧面积为2.若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积为 .3.若正方体的全面积为6,且它的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为 .4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是_________.5.一张长和宽分别为8和4的矩形纸板,将它折成正四棱柱的侧面,则此四棱柱的的对角线长为 ________________.6.已知正四棱柱的体积为4,过相对侧棱截面面积为8,则该正四棱柱的全面积为_______.7. 三棱锥A-BCD 中,棱AB 长为6,其余的棱都为5,则它的体积为_____________,表面积为__________________8.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为 .例1.将一个底面圆的直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,设这个长方形截面的一条边长为x ,对角线长为2,截面的面积为A .(1)求面积A 的以x 为自变量的函数式; (2)求出截得棱柱的体积的最大值.例2.(1)已知一个长方体的长、宽、高的比为3∶2∶1,对角线长是214,求这个长方体的表面积与体积.(2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-ABCD的体积与全面积.例3.如图,一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并向容器内注水,使水面恰好与铁球面相切,将球取出后,容器内的水深是多少?几何体的表面积与体积反馈练习1.已知正四棱柱的底面积为4,过相对侧棱的截面面积为8,则正四棱柱的体积为.2.一个圆锥的侧面展开图的中心角为23π,母线长为2,则此圆锥的底面半径为.3.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积是.4.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面封闭),其轴截面是边长为2的正方形, P是BC中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.5.直三棱柱111ABC A B C-中,111,3AC BC BB AB====.(1)求证:平面1AB C⊥平面1B CB; (2)求三棱锥11A AB C-的体积.ABCDP6.如图,在三棱锥111ABC A B C -中,四边形11A ABB 为菱形,160A AB ∠=︒,四边形11BCC B 为矩形,若,4,3AB BC AB BC ⊥==. (1)求证:平面1A CB ⊥平面1ACB ; (2)求三棱锥111ABC A B C -的体积.7.在直三棱柱111ABC A B C -中,13AB AC AA a ===,2BC a =,D 是BC 的中点,F 是1C C 上一点,且2CF a =.(1)求证:1B F ⊥ 平面ADF ; (2)求三棱锥1D AB F -的体积;(3)试在1AA 上找一点E ,使得//BE 平面ADF .A BC 1A1B1C ABCD 1A1B1C8.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==. (I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.。
8.1 空间几何体的表面积与体积课前 考点引领考情分析考点新知了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式,会求一些简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积、体积中的运用.① 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式).② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的表面积和体积.知识清单1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧=ch ,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.柱体的体积公式是V 柱体=Sh .2. 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面的中心,该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧=12ch ′;锥体的体积为V 锥体=13Sh .3. 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是S 正棱台侧=12(c +c ′)·h ′;台体的体积公式是V 台体=13h (S +SS′+S ′).4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧=cl =2πr ,圆锥的侧面积公式为S圆锥侧=12cl =πrl ,圆台的侧面积公式为S 圆台侧=12(c +c ′)l =π(r +r ′)l .5. 球体的体积公式是V 球=43πR 3,其中R 为球的半径.课中 技巧点拨题型精选题型1 与几何体的表面积有关的问题例1如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为6,则以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为顶点,以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.备选变式(教师专享)如图,在球面上有四个点P、A、B、C,如果P A、PB、PC两两互相垂直,且P A=PB =PC=a,求这个球的表面积.题型2与几何体体积有关的问题例2如图①所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图②所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连结AB,设点F是AB的中点.(1) 求证:DE⊥平面BCD;(2) 若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.图①图②变式训练在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC 的三等分点(如图①).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连结B′C(如图②).(1) 若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;(2) 记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;(3) 求证:AD⊥B′E.图①图②题型3简单几何体的综合应用例3在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?备选变式(教师专享)四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.(1) 求该四面体的体积的最大值;(2) 当四面体的体积最大时,求其表面积.答题模板『示例』(本题模拟高考评分标准,满分14分)如图,底面边长为a,高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1,其中D是AB的中点,E是BC 的三等分点.求几何体BDE-A1B1C1的体积.学生错解:解∵BD=a2,BE=a3,∠DBE=60°,∴S△DBE=12BD·BE sin∠DBE=324a2,S△A1B1C1=12·A1B1·B1C1sin60°=34a2.由棱台体积公式得V BDE-A1B1C1=13h(S△BDE+S△A1B1C1+S△BDE·S△A1B1C1)=13h⎝⎛⎭⎪⎫324a2+34a2+324a2·34a2=73+3272a2h.审题引导:(1) 弄清组合体的结构,这里几何体DBE-A1B1C1不是棱台,也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台;(2) 运用体积公式进行计算.规范解答:解:如图,取BC中点F,连结DF、C1D、C1E、C1F,得正三棱台DBF-A1B1C1及三棱锥C1-DEF.∵S△A1B1C1=34a2,S△DBF=14S△ABC=316a2,(4分)∴V DBF-A1B1C1=13h(S△DBF+S△A1B1C1+S△DBF·S△A1B1C1)=13h(34a2+316a2+34a2·316a2)=7348a2h.(8分)∴V C1-DEF=13h·112·34a2=3144a2h,(10分)∴V BDE-A1B1C1=V DBF-A1B1C1—V C1-DEF=7348a2h-3144a2h=5338a2h.(14分)错因分析:没有弄清所给几何体的结构,几何体DBE-A1B1C1不是棱台.疑难指津1. 几何体体积的求法:(1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体,可直接套用公式计算求解;(2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征,弄清组合体的结构十分必要.2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法:选择恰当的棱或母线将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.答案例1『答案』(182+24)π『解析』设O 为正方体外接球的球心,则O 也是正方体的中心,O 到平面AB 1D 1的距离是体对角线长的16,即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半,即为33,由勾股定理可知,截面圆的半径为(33)2-(3)2=26,圆锥底面面积为S 1=π·(26)2=24π,圆锥的母线即为球的半径33,圆锥的侧面积为S 2=π×26×33=182π.因此圆锥的全面积为S =S 2+S 1=182π+24π=(182+24)π.备选变式(教师专享)解:如题图,设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ,圆心为O ′, 球心到该圆面的距离为d ,在三棱锥P ABC 中, ∵P A 、PB 、PC 两两垂直,P A =PB =PC =a , ∴AB =AC =BC =2a ,且点P 在△ABC 内的射影是△ABC 的中心O ′, 由正弦定理,得2a sin60° =2r ,∴r =63a .又根据球的截面圆性质,有OO ′⊥平面ABC , 而PO ′⊥平面ABC ,∴P 、O 、O ′三点共线,球的半径R =r 2+d 2. 又PO ′=PA 2-r 2=a 2-23a 2=33a ,∴OO ′=R -33a =d =R 2-r 2, ∴⎝⎛⎭⎫R -33a 2=R 2-⎝⎛⎭⎫63a 2,解得R =32a . ∴S 球=4πR 2=3πa 2. 例2(1) 证明:在题图①中,∵ AC =6,BC =3,∠ABC =90°,∴ ∠ACB =60°. ∵ CD 为∠ACB 的平分线,∴ ∠BCD =∠ACD =30°.∴ CD =2 3. ∵ CE =4,∠DCE =30°,∴ DE =2. 则CD 2+DE 2=EC 2.∴ ∠CDE =90°.DE ⊥DC .在题图②中,∵ 平面BCD ⊥平面ACD ,平面BCD ∩平面ACD =CD ,DE ∥平面ACD ,∴ DE ⊥平面BCD .(2) 解:在题图②中,∵ EF ∥平面BDG ,EF 平面ABC ,平面ABC ∩平面BDG =BG ,∴ EF ∥BG .∵ 点E 在线段AC 上,CE =4,点F 是AB 的中点, ∴ AE =EG =CG =2.作BH ⊥CD 交于H .∵平面BCD ⊥平面ACD , ∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH =32.S △DEG =13S △ACD =13×12AC ·CD ·sin30°= 3.三棱锥B -DEG 的体积V =13S △DEG ·BH =13×3×32=32.变式训练(1) 解:在直角△ABC 中,D 为BC 的中点,所以AD =BD =CD .又∠B =60°,所以△ABD 是等边三角形.取AD 中点O ,连结B ′O ,所以B ′O ⊥AD .因为平面AB ′D ⊥平面ADC ,平面AB ′D ∩平面ADC =AD , B ′O ⊥平面AB ′D ,所以B ′O ⊥平面ADC . 在△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =60°,AB =1, D 为BC 的中点,所以AC =3,B ′O =32. 所以S △ADC =12×12×1×3=34.所以三棱锥B ′ADC 的体积为V =13×S △ADC ×B ′O =18.(2) 证明:因为H 为B ′C 的中点,F 为CE 的中点, 所以HF ∥B ′E .又HF 平面B ′ED ,B ′E 平面B ′ED , 所以HF ∥平面B ′ED .因为HF 平面HFD ,平面B ′ED ∩平面HFD =l ,所以HF ∥l .(3) 证明:连结EO ,由(1)知,B ′O ⊥AD . 因为AE =33,AO =12,∠DAC =30°, 所以EO =AE 2+AO 2-2AE·AOcos30°=36. 所以AO 2+EO 2=AE 2.所以AD ⊥EO .又B ′O平面B ′EO ,EO平面B ′EO ,B ′O ∩EO =O ,所以AD ⊥平面B ′EO . 又B ′E 平面B ′EO ,所以AD ⊥B ′E .例3解:设箱底边长为x ,则箱高为h =33×a -x 2(0<x <a ), 箱子的容积为V (x )=12x 2×sin60°×h =18ax 2-18x 3(0<x <a ).由V ′(x )=14ax -38x 2=0,解得x 1=0(舍),x 2=23a ,且当x ∈⎝⎛⎭⎫0,23a 时,V ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎫23a ,a 时,V ′(x )<0, 所以函数V (x )在x =23a 处取得极大值,这个极大值就是函数V (x )的最大值: V ⎝⎛⎭⎫23a =18a ×⎝⎛⎭⎫23a 2-18×⎝⎛⎭⎫23a 3=154a 3. 答:当箱子底边长为23a 时,箱子容积最大,最大值为154a 3.备选变式(教师专享)解: (1) 如图,在四面体ABCD 中,设AB =BC =CD =AC =BD =a ,AD =x ,取AD 的中点为P ,BC 的中点为E , 连结BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ,∴ V A -BCD =V A -BPC +V D -BPC =13·S △BPC ·AP +13S △BPC ·PD=13·S △BPC ·AD =13·12·a a 2-x 24-a 24·x=a 12(3a 2-x 2)x 2≤a 12·3a 22=18a 3(当且仅当x =62a 时取等号). ∴ 该四面体的体积的最大值为18a 3.(2) 由(1)知,△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形, △ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形,其腰长为a ,底边长为62a ,∴S表=2×34a2+2×12×62a×a2-⎝⎛⎭⎫64a2=32a2+62a×10a4=32a2+15a24=23+154a2.。
江苏省响水中学2014届高考数学一轮复习 第57-58课时 几何体的表
面积与体积学案 文
【课题】几何体的表面积与体积 【课时】第57-58课时 复习目标
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式;
2.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆台和球的表面积和体积.
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 2.几何体的表面积
1.圆锥的底面半径为3,高是4,则它的侧面积为
2.若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积为 .
3.若正方体的全面积为6,且它的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为 .
4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是_________.
5.一张长和宽分别为8和4的矩形纸板,将它折成正四棱柱的侧面,则此四棱柱的的对角线长为 ________________.
6.已知正四棱柱的体积为4,过相对侧棱截面面积为8,则该正四棱柱的全面积为_______.
7. 三棱锥A-BCD 中,棱AB 长为6,其余的棱都为5,则它的体积为_____________,表面积为__________________
8.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为 .
例1.将一个底面圆的直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,设这个长方形截面的一条边长为x ,对角线长为2,截面的面积为A .
(1)求面积A 的以x 为自变量的函数式; (2)求出截得棱柱的体积的最大值.
例2.(1)已知一个长方体的长、宽、高的比为3∶2∶1,对角线长是
214,求这个长方体的表面积与体积.(2)已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-ABCD 的体积与全面积.
例3.如图,一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为r 的铁球,并向容器内注水,使水面恰好与铁球面相切,将球取出后,容器内的水深是多少?
几何体的表面积与体积反馈练习
1.已知正四棱柱的底面积为4,过相对侧棱的截面面积为8,则正四棱柱的体积为 . 2.一个圆锥的侧面展开图的中心角为
23
π
,母线长为2,则此圆锥的底面半径为 . 3.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积是 .
4.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面封闭),其轴截面是边长为2的正方形, P 是BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁A 处,内壁P 处有一米粒,则这只蚂蚁
取得米粒所需经过的最短路程为 . 5.直三棱柱111ABC A B C -中,111,3AC BC BB AB ====.
(1)求证:平面1AB C ⊥平面1B CB ; (2)求三棱锥11A AB C -的体积.
A
B
C D P
6.如图,在三棱锥111ABC A B C -中,四边形11A ABB 为菱形,160A AB ∠=︒,四边形11BCC B 为矩形,若,4,3AB BC AB BC ⊥==. (1)求证:平面1A CB ⊥平面1ACB ; (2)求三棱锥111ABC A B C -的体积.
7.在直三棱柱111ABC A B C -中,13AB AC AA a ===,2BC a =,D 是BC 的中点,F 是1C C 上一点,且2CF a =.
(1)求证:1B F ⊥ 平面ADF ; (2)求三棱锥1D AB F -的体积;
(3)试在1AA 上找一点E ,使得//BE 平面ADF .
A B
C 1A
1B
1C A
B
C
D 1A
1B
1C
8.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==. (I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ;
(II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.。