上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：不等式

闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考 高三年级 数学 学科 试卷答案（文、理科）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程2log (34)1x -=的解x .22．不等式2(1)40x k x +-+>的解集为R ,则k 的范围为 .()3,5- 3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若0(0)1z iz z z=≠（i 是虚数单位），则z i -4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).1arcsin35. 已知n的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则n 8 6.已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平移4π个单位,可得到函数()y f x =的图象,则()f x = .sin 312x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．158.已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的一个法向量为(2,1)-，则tan()αβ+= 19. 若对任意实数x ,都有1()log (2)1x a f x e -=+≤-,则实数a 的取值范围是 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为__________．13211. 设0P 是抛物线22y x =上的一点,12,M M 是抛物线上的任意两点,123,,k k k 分别是01122,,P M M M M P 的斜率,若1234k k k -+=,则0P 的坐标为(1,2).12．（理） 求函数()f x =（文）求函数2()23f x xx =-++的最小值 313.已知,αβ是平面上两个互相垂直的单位向量，且()(3)40αγβγ-⋅-=,则γ的最大值为 514（理）.已知函数()sin,2f x x π=任取,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为,t M 最小值为,(),t t t m h t M m =-则函数()h t 的值域为1⎡⎢⎣ 14.（文）已知公差为d 等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14,a a 的等比中项。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =︒=︒=，则c =3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示)4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则=B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2,2(ππβ-∈，则βα+= .8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3f x x πω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ▲13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ __14、（杨浦区2015届高三上期末）已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=_______________ 15、（长宁区2015届高三上期末）函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是________________ 16、（长宁区2015届高三上期末）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226t a n 5bc a acB -+=， 则sin B 的值是二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2、（崇明县2015届高三上期末）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为…………………（ ）A ．12-B ．12C ．D 3、（奉贤区2015届高三上期末）下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2x y =C ．sin y x =D ．x y tan =三、解答题1、（崇明县2015届高三上期末）已知函数21()sin 22f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2、（奉贤区2015届高三上期末）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+⋅+，求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3、（虹口区2015届高三上期末）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值4、（黄浦区2015届高三上期末）已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．5、（静安区2015届高三上期末）在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足ba A 23sin =. （1）求∠B 的大小； （2）若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=a c +的值. 6、（浦东区2015届高三上期末）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为 60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得A B B MAM+达到最大值.7、（普陀区2015届高三上期末）已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23(6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.8、（青浦区2015届高三上期末）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?9、（松江区2015届高三上期末）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足c b a <<,B a b sin 2=．（1）求A 的大小；（2）若2a =，32=b ，求ABC ∆的面积．OABCDMN10、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．11、（杨浦区2015届高三上期末）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？12、（闸北区2015届高三上期末）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．13、（长宁区2015届高三上期末）已知8,tan cot 23παπαα<<-=- （1）求tan α的值； （2）求sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

绝密★启用前2015届上海市奉贤区高三上学期期末调研测试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：192分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若、且，则的上确界为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在中，，则角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知数列的首项，，则下列结论正确的是（ ）A ．数列是等比数列B ．数列是等比数列C ．数列是等差数列 D ．数列是等差数列4、在二项式的展开式中，系数最大项的系数是（ ） A ．B ．C ．D ．5、设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则该椭圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6、设是函数图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、在空间中，设、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若、异面，则、平行 C ．若、相交，则、相交D ．若，则8、下列函数是在上为减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．9、与函数有相同图像的一个函数是（ ）A ．B ．C ．D ．10、下列命题中正确的是（ ） A ．任意两复数均不能比较大小 B ．复数是实数的充要条件是C ．复数是纯虚数的充要条件是D ．的共轭复数是11、正方体中两条面对角线的位置关系是（ ） A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能12、定义两个实数间的一种新运算“”：，、。

对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .14、如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .15、已知为单位矩阵，且，则.16、在中，已知，且的面积，则的值为 .17、函数的反函数为 .18、盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字、、、的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为”的概率是 .19、若是实系数一元二次方程的一个根，则.20、已知圆与直线相切，则圆的半径.21、若双曲线的一个焦点是，则实数.22、设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .23、某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中种型号产品有件，那么此样本的容量.24、已知全集，集合，则.三、解答题（题型注释）25、设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．（1）证明函数是定义域上的函数；（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由； （3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．26、对于正项数列，若对一切恒成立，则对也恒成立是真命题．（1）若，，且，求证：数列前项和；（2）若，，求证：．27、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程．（1）求曲线的方程；（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆．判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．28、为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

上海市闸北区2015届高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．解答：解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=﹣2，即可得到结论．解答：解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．3．设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为2．考点：两点间距离公式的应用；函数的图象．专题：直线与圆．分析：设P（x，1+），|PA|=≥=2．由此能求出|PA|的最小值．解答：解：设P（x，1+），∴|PA|=≥=2．当且仅当，即x=时，取“=”号，∴|PA|的最小值为2．故答案为：2．点评：本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．4．用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有14个．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法．解答：解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类，第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6，根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6=14个方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种故答案为14点评：本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题5．设n∈N*，圆的面积为S n，则=4π．考点：极限及其运算；圆的标准方程．专题：函数的性质及应用．分析：利用圆的面积计算公式可得S n=．再利用数列极限运算性质即可得出．解答：解：∵圆的面积为S n，∴S n=．∴==4π．故答案为：4π．点评：本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6．在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为4．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）•（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值．解答：解：在Rt△ABC中，BC为斜边，则=0，则=（）•（+）=（+）•（+）=（+）•（）=++=×9+=4．故答案为：4．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．7．设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）≤f（x0）成立，只需满f（x）≤f （x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：当x0最小，f（x0）最小时，函数x02+[f（x0）]2＜m2，解得：，最后求出结果．解答：解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当x0最小，且求出：进一步求出：故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型．8．如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．解答：解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，即，则，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]点评：本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键．9．（6分）关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论：①曲线C是双曲线；②关于y轴对称；③关于坐标原点中心对称；④与x轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是②．（注：把你认为正确结论的序号都填上）考点：曲线与方程．分析：根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，即可得③错误，对于④：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案．解答：解：根据题意，依次分析4个命题：对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误；对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确；对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误；对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y=，分析可得其是开放性曲线，与x轴所围成的面积无最大值，故④错误；故答案为②．点评：本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由方程组得y=，得到a≠2且a≠﹣1，从而求出a的范围．解答：解：由有唯一解得：y=，∴a≠2且a≠﹣1，∴a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题．11．已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，故选C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．12．对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可．解答：解：①若A=R，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M．故选D．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．考点：抽象函数及其应用；四种命题；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；（2）利用（1）的结论有：a x﹣1•2x＞1，即：（2a）x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．解答：解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为a，b∈R+，由ab≤1，得：，又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数所以 (1)同理有： (2)由（1）+（2）得：所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题．（2）由（1）的结论有：a x﹣1•2x＞1，即：（2a）x＞a①当2a＞1时，即时，不等式的解集为：（log2a a，+∞）②当0＜2a＜1时，即时，不等式的解集为：（﹣∞，log2a a）③当2a=1时，即时，不等式的解集为：R．点评：本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键．14．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；应用题；作图题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；（2）令求解x，从而求景观路GO的长；（3）作图求平行四边形的面积S OMPQ=OM•PP1=（2cosθ﹣sinθ）2sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，）；从而求最值．解答：解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，又∵当x=﹣1时，有，∴曲线段FBC的解析式为．（2）由得，x=6k+（﹣1）k﹣4（k∈Z），又∵x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3，∴G（﹣3，1），；∴景观路GO长为千米．（3）如图，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，=，∴OM==2cosθ﹣sinθ，S OMPQ=OM•PP1=（2cosθ﹣sinθ）2sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，）；当2θ+=时，即θ=时，平行四边形面积有最大值为（平方千米）．点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．15．（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；（3）P为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意得c=2，，由此能求出椭圆方程．（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|．（3）设AB的中点为M（x0，y0）．由中点坐标公式得，．直线MP的斜率为，又x P=3，由此利用弦长公式能求出k=±1，从而求出直线l的方程．解答：解：（1）由题意得F1（﹣2，0），c=2…（2分）又，得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分）则b2=2，…（1分）故椭圆方程为．…（1分）（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．…（1分）联立方程组，消去y并整理得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．…（1分）则|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分）（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵=2x0，∴，…（1分）∵y0=k（x0﹣2），∴．…（1分）直线MP的斜率为，又x P=3，所以．…（2分）当△ABP为正三角形时，|MP|=，可得，…（1分）解得k=±1．…（1分）即直线l的方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．…（1分）点评：本题考查椭圆C方程的求法，考查弦AB的长的求法，考查直线l的方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．16．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．考点：数列的求和；数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列{a n}；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{b n}的前100项以及它们的和；（3）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．解答：解：（1）1，4，7．…（6分）（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1…（1分）当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2…（1分）当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3…（1分）当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4…（1分）当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5…（1分）∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…（1分）（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以…（1分）当m=3t﹣2（t∈N*）时：…（1分）当m=3t﹣1（t∈N*）时：…（1分）当m=3t（t∈N*）时：…（1分）所以（其中t∈N*）…（1分）点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式一、填空题 1、（虹口区2015届高三上期末）若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 2、（嘉定区2015届高三上期末）设正数a 、b 满足ab b a =+32，则b a +的最小值是__________3、（金山区2015届高三上期末）不等式：11>x 的解是 ▲ 4、（静安区2015届高三上期末）不等式01271<--x 的解集是5、（静安区2015届高三上期末）已知实数x 、y 满足1+≥y x ，则xy 2-的取值范围是6、（浦东区2015届高三上期末）不等式21x>的解为7、（青浦区2015届高三上期末）已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 8、（徐汇区2015届高三上期末）若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为二、选择题1、（崇明县2015届高三上期末）若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为……………………………（ ）A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥2、（浦东区2015届高三上期末）下列四个命题中，为真命题的是 （ ）()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b< 3、（普陀区2015届高三上期末）设a 、∈b R ，且0<ab ，则……………………………………（ ）)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-三、解答题1、（宝山区2015届高三上期末）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x2、（宝山区2015届高三上期末）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积 最大（中间木档的面积可忽略不计）.3、（闸北区2015届高三上期末）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）．参考答案一、填空题1、162、625+3、0<x <14、)4,21(5、]2,2[-6、0x >7、3 8、16二、选择题1、B2、C3、A三、解答题 1、由题意得：由（1）解得24x -<< ………………………………………………………3分 由（2）解得35x << …………………………………………………………6分所以，不等式解集为（3,4）………………………………………8分2、解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴窗框的高为3x ，宽为376x-． ……………………………2分 即窗框的面积 y = 3x ·376x -=-7x 2+ 6x ( 0 < x <76) ……5分 配方：y =79)73(72+--x ( 0 < x < 2 ) ……………………7分∴当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. …………………………………………………………………………8分3、解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x x a -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分x 2x。

2014学年度质量管理考试数学试卷(满分150分,其中学业水平考试卷120分，附加题30分，完卷时间130分钟）2014。

12考试注意：1。

答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚． 2。

本试卷共有 32道试题，满分 150 分．考试时间 130分钟． 3。

请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答．一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分． 1. 函数3tan y x =的周期是 ． 【答案】π 【解析】试题分析：由πωπ==T 考点:正切函数的性质 2。

计算2413= ．【答案】2考点：行列式的计算 3。

计算lim n →∞2123nn ++++＝ ．【答案】21【解析】试题分析：212)1(lim 321lim 22=+=++++∞→∞→n n n n n n n考点:数列极限4。

二项式10(x 1)+展开式中，8x 的系数为 ．【答案】45 【解析】试题分析：通项为rr r x C T -+=10101,令2=r ,88210345x x C T==,故8x 的系数为45考点:二项式定理5．设矩阵241A x ⎛⎫=⎪⎝⎭,2211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA =2412⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则x = .【答案】2考点：矩阵的乘法 6．现有6位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有种.【答案】240考点：排列7．若1cos()2πα+=-，322παπ<<，则sin α= ．【答案】23- 【解析】试题分析：由已知21cos )cos(-=-=+ααπ，所以21cos =α,又παπ223<<，故23cos 1sin 2-=--=αα 考点:三角函数、诱导公式 8.若一个球的体积为π34，则它的表面积为__________．【答案】π12 【解析】试题分析:因ππ34343==RV ，所以3=R ，故ππ1242==R S考点：球的体积、表面积9.若函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 ． 【答案】2π考点:三角函数的性质10。

绝密★启用前2015届上海市闸北区高三上学期期末练习理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：133分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则2、“”是“关于的二元一次方程组有唯一解”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）3、关于曲线，给出下列四个结论：①曲线是双曲线； ②关于轴对称；③关于坐标原点中心对称； ④与轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）4、若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围为5、设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立；②，则的取值范围是 ．6、在中，，是斜边上的两个三等分点，则的值为 ．7、设，圆的面积为，则．8、设定点，若动点在函数图象上，则的最小值为 ．9、若为上的奇函数，当时，，则．10、若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数．11、用数字“”组成一个四位数，则数字“”都出现的四位偶数有 个．三、解答题（题型注释）12、设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3． （1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．13、已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆方程；（2）斜率为的直线过右焦点，且与椭圆交于两点，求弦的长；（3）为直线上的一点，在第（2）题的条件下，若△为等边三角形，求直线的方程．14、请仔细阅读以下材料： 已知是定义在上的单调递增函数．求证：命题“设，若，则”是真命题．证明 :因为，由得．又因为是定义在上的单调递增函数，于是有． ①同理有． ②由①+ ②得．故，命题“设，若，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设，若，则：”是真命题；（2）解关于的不等式（其中）．15、对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法； ②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③16、如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段的函数表达式； （2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．参考答案1、C2、A3、②④4、5、6、47、8、29、-210、411、712、（1）1,4,7；（2）384；（3）13、（1）；（2）；（3），14、（1）证明见解析；（2）①当时，即时，不等式的解集为：②当时，即时，不等式的解集为：③当时，即时，不等式的解集为：15、D16、（1）；（2）；（3）时，平行四边形面积最大值为【解析】1、试题分析：若，则，因此，当公比，任意，故有，当公比，，则，故答案为C.考点：等比数列的性质.2、试题分析：由有唯一解得，，且，是“关于的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，故答案为A.考点：充分条件、必要条件的判断.3、试题分析：对应①，曲线，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线，错误；对应②，若点在双曲线上，则有，点关于轴对称点，也满足，故曲线关于轴对称，正确；对应③若点在双曲线上，则有，点关于原点对称点，则不满足，故曲线不关于原点对称，错误；对于④由图可得与轴所围成封闭图形面积小于2，正确；故答案②④.考点：命题的真假性的判断.4、试题分析：不等式等价于，设，若不等式的解集是区间的子集，因此，解得.考点：含绝对值不等式的解法.5、试题分析：对任意的，都有成立，，此时，所以，解得或.考点：1、三角函数的性质；2、一元二次不等式的解法.6、试题分析：由题意得，，，，故答案为4.考点：平面向量数量积是运算.7、试题分析：圆的，面积为，得，因此得，故答案为.考点：极限及其运算.8、试题分析：设，则，当且仅当，即时取到等号，.考点：1、平面内两点间的距离公式；2、基本不等式的应用.9、试题分析：由于为上的奇函数，，，，则，故答案为-2. 考点：1、奇函数的应用；2、对数的运算.10、试题分析：，由于复数是纯虚数，，得.考点：1、复数的四则运算；2、复数的概念.11、试题分析：由于是偶数，最后一位是2，当出现1个1时，有三种，当出现2个1时，有三种，当出现3个1时，有1种，故共有7种.考点：列举法求基本事件的总数.12、试题分析：（1）本题解题的关键是抓住新定义中“是数列中，满足不等式的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和与的关系，代入得，求出伴随数列的各项，再对分类讨论得.试题解析：（1）由伴随数列1,1,1,2,2,2,3及定义得，故数列为1,4,7． 6分（2）由，得∴当时， 1分当时， 1分当时， 1分当时， 1分当时， 1分∴ 1分（3）∵∴ 1分当时，∴ 2分由得：因为使得成立的的最大值为，所以 1分当时：1分当时：1分当时：1分所以 1分考点：1、新定义求数列；2、数列求和；3、数列的应用.13、试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（3）涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；直线与圆锥曲线相交所得中的弦问题，就解析几何的内容之一，一般有以下三种类型：①求中点弦所在的直线方程；②求弦中点的轨迹方程问题；③弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法.试题解析：（1）由题意得 2分又，得，解得或（舍去）， 2分则， 1分故椭圆方程为． 1分（2）直线的方程为． 1分联立方程组消去并整理得． 3分设，．故，． 1分则． 2分（3）设的中点为．可得， 1分． 1分直线的斜率为，又，所以． 2分当△为正三角形时，，可得， 1分解得． 1分即直线的方程为，或． 1分考点：1、求椭圆的标准方程；2、直线与圆相交求弦长；3、直线与椭圆的综合问题.14、试题分析：（1）在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件和结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题；（2）当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变；（3）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例；（4）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.试题解析：解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设，若，则：4分下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为，由得：， 1分又是定义在上的单调递增函数所以（1） 1分同理有：（2） 1分由（1）+（2）得： 1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. 1分（2）由（1）的结论有：，即： 3分①当时，即时，不等式的解集为： 2分②当时，即时，不等式的解集为： 2分③当时，即时，不等式的解集为： 2分考点：1、命题及其相互关系；2、指数函数和对数函数的性质.15、试题分析：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.考点：1、合情推理；2、新定义的应用.16、试题分析：（1）求函数的解析式时，比较容易得出，困难的是确定待定系数的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；确定的值，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出；二是代入点的坐标，利用一些已知点坐标代入解析式，再结合图形解出，若对的符号或对的范围有要求，则可利用诱导公式进行变换使其符合要求；（2）运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.试题解析：解：（1）由已知条件，得 1分[又∵ 2分又∵当时，有 2分∴曲线段的解析式为． 1分（2）由得2分又 2分1分∴景观路长为千米 1分（3）如图，1分作轴于点，在中， 1分在中， 1分∴ 1分1分2分当时，即时，平行四边形面积最大值为1分考点：1、根据函数图象求函数解析式；2、三角函数化简；3、求三角函数的最值.。

浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试高三数学 2015.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．不等式21x>的解为 .2．已知复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z = .3．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 . 4．函数sin 3cos y x x =-的最大值为 . 5．若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x += .7．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 . 8．已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = .9．二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为 . 10．定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 .11．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .12．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 .（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ； （4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y PABCDE14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 4515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b<16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）()A 84 ()B 78 ()C 81 ()D 96 17．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ）()A 10 ()B 20 ()C 25 ()D 3018．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ ） ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件19．函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 320．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）()A 赚723元 ()B 赚145元 ()C 亏145元 ()D 亏723元 21．已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ） ()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120- 22．如果函数)(x f y =在区间I 上是增函数，而函数xx f y )(=在区间I 上是减函数，那么称函数)(x f y =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”. 若函数2321)(2+-=x x x f 是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 （ ）()A ),1[∞+ ()B ]3,0[ ()C ]1,0[ ()D ]3,1[23．设θ为两个非零向量,a b r r 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -r r的最小值为2，则 （ ）()A 若θ确定，则||a r 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b r唯一确定()C 若||a r 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b r 确定，则θ唯一确定24．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知函数xxy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 26．（本题满分8分）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积． 27．（本题满分8分）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r（1）当2m =时，求cos A 的值；(2) 当23(1,)3a b ∈时，求实数m 的取值范围.29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142n n a b ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围.OASB30．（本题满分8分）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM+达到最大值.31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)设函数x x x f sin )(=（20π≤<x ）. （1）设0,0>>y x 且2π<+y x ，试比较)(y x f +与)(x f 的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.①对任意]2,0(π∈x 都有1)(cos <<x f x 成立；②对任意0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有<)(x f !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-成立； ③若关于x 的不等式k x f <)(在]2,0(π有解，则k 的取值范围是),2(+∞π.32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.MHBAO浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试高三数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1．0x >； 2．i -1； 3．(,5)-∞； 4．2； 5．)1,1(-； 6．6； 7．3π； 8．1； 9．24； 10．(1,2)-； 11．42arccos （7arctan ）； 12．（1）、（2）、（3）.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．()A ； 14．()C ； 15．()C ； 16．()B ； 17．()D ； 18．()A ； 19．()C ； 20．()D ； 21．()A ； 22．()D ； 23．()B ； 24．()A .三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）解：集合)1,1(-=A ，……………………………………………………………………3分因为B A ⊆，所以 ⎩⎨⎧≤+-≥111a a ，01≤≤-⇒a .…………………………………6分即[]0,1-∈a . ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）解：因为1||=OA ，所以弧AB 长为π2，……………………………………………2分又因为32π=∠BSA ，则有ππ232=⋅SA ，所以3=SA ．……………………4分 在SOA Rt ∆中，1||=OA .22h SO SA OA ==-22=， …………………6分 所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ………………………………………8分27．（本题满分8分）解：OA 的方程为：12y x =. 由2212y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得280x px -=， 所以(8,4)A p p ，……………………………………………………………………3分由17AF =，可求得2p =.………………………………………………………5分 所以(16,8)A ，AO 中点(8,4)M .…………………………………………………6分 所以OA 的垂直平分线的方程为：2200x y +-=.………………………………8分28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r 得A bc A A b b cos 22cos )2cos (⋅=⋅………2分2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分 （2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分 所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分 29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）解：（1）因为122n n b a +=+，122n n a b +=+，111()2n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为2，公比为12-的等比数列，所以112()2n n n b a --=⋅-.…………………………………………………………3分111()42n n n n a b a b +++=++，1118(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=，所以，当*n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分（2）由1812()2n n n n n a b b a -+=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩ 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--，21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332n p ≤--≤， 因为11()02n -->，所以1231131()1()22nnp ≤≤----.………………………8分 当n 为奇数时，11111()1()22n n=--+随n 的增大而增大， 且nnp )21(1332)21(11+≤≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11111()1()22n n=---随n 的增大而减小， 且n n p )21(1332)21(11-≤≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分30．（本题满分8分）解：因为AB 与地面所成的角的大小为60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以 60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+ sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M B M M B B+++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：显然0)(>x f ，0)(>+y x f ，于是x y x x yx x y x x x x y x y x x f y x f sin sin sin cos cos sin sin )sin()()(++=⋅++=+. ………1分 因为x x y x x x x y sin cos sin 00sin 1cos 0<<⇒⎭⎬⎫><<.……………………………2分又x y y x x x x x x x y y sin sin cos 0sin cos 0tan 0sin 0<<⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<.……3分 所以x y x x y x x y x x sin sin sin cos cos sin 0+<+<. 即)()(1)()(x f y x f x f y x f <+⇒<+.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：因为0)1(cos sin 0sin 1cos 0<-⇒⎭⎬⎫><<y x x x x y .…………………………………1分又0sin sin cos sin cos 0tan 0sin 0<-⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<x y y x x x x x x x y y .……2分 xy x xy x y x x x f y x f )(sin )()sin()()(++-+=-+0)()sin sin cos ()1(cos sin <+-+-=xy x x y y x x y x x .即)()(x f y x f <+.………………………………………………………………4分（2）结论①正确，因20π<<x .xx x x x x cos 1sin 1tan sin 0<<⇒<<<⇒.1)(cos <<⇒x f x .………………………………6分结论②错误，举反例: 设=)(x g !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-.（利用计算器）010*********.3)5.0()5.0(14>⨯=--g f 等………………………………8分（010*********.3)6.0()6.0(13>⨯=--g f ， 010*********.1)1()1(10>⨯=--g f ，0)9.0()9.0(,0)8.0()8.0(,0)7.0()7.0(>->->-g f f f g f 均可）.结论③正确，由)()(x f y x f <+知x x x f sin )(=在区间]2,0(π上是减函数.所以ππ2)()2()(≥⇒≥x f f x f ，又1)(<x f ，所以x x x f sin )(=的值域为)1,2[π.要使不等式k x f <)(在]2,0(π有解，只要π2>k 即可.………………………10分32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：11222x y x y y -++-+=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分所以11222x y x y y -++--=，…………………………………………………4分化简可得：21y =-（2222x -≤≤-）……………………………………5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2||2||2AB AC BC ===.所以 131322122122d d yy d y d +=⎧⎪⇒=-⎨++=⎪⎩………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，情况（1）b a =.直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………7分情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：()()110y ax by x x y =+⎧⎪⎨--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.即()22212(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()212211b x x a -=-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即1212x x =-.所以()221112b a -=--，()22112a b =--，亦即2112a b -=-. 再代入条件b a >，解得103a <<， 从而得到211,23b ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.……………………………………………12分解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而13b a ==.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈， 边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(,)11b a b D a a -+++，1(,)11b a bE a a ----，又点(0,1)C ， ∴0111112111111CDEba b S a a b a ba a ∆-+=++----=12，同样可以推出()22112a b --=.亦即2112a b -=-，再代入条件b a >，解得103a <<，从而得到211,23b ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.………………………………………12分解法3：情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.令0y =，得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小.当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.可知2211=-b ，所以212b >-， 综上可知211,23b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.…………………………………………………………12分- 11 -。

闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数i21i2+-a （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 2．若)(x f 为R 上的奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则=+)2()0(f f ． 3．设定点)1,0(A ，若动点P 在函数)0(2>+=x xx y 图像上，则PA 的最小值为 ． 4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个．5．设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ．6．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ． 7．设函数)sin(215)(x x f π=，若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：①对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是 ．8．若不等式21x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的取值范围为 ． 9．关于曲线1:34=-y x C ，给出下列四个结论： ①曲线C 是双曲线； ②关于y 轴对称；③关于坐标原点中心对称； ④与x 轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“2≠a ”是“关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+1)1(32y a x y ax 有唯一解”的 【 】A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 【 】A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．12．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的 最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆C 过点()且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 方程；（2）斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与椭圆交于B A ,两点，求弦AB 的长； （3）P 为直线3x =上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP 为等边三角形，求直 线l 的方程． 16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列{}n a 满足：①11=a ；②所有项*∈N n a ；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ． 设集合{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说，m b 是 数列{}n a 中满足不等式m a n ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ； （2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和； （3）若数列{}n a 的前n 项和23122n S n n c =-+（其中c 常数），试求数列{}n a 的伴随 数列{}n b 前m 项和m T ．C y 2EQ P xDBGF (- 4,0)理科答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 7.4； π4.5； 4.6； ),2()2,.(7+∞--∞ ； 8.(,5]-∞；9.②④ 二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x xa -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分 ①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分14. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分 （2）由22sin()163y x ππ=+=得 6(1)4()kx k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴-…2分OG = ……………………1分∴ 景观路GO……………1分C1y 2EQ P xD G F (- 4,0)(3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=……………………………………1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPPRt ∆中， θθsin 2sin 1==OP PP ……………1分 在OMP ∆中，)60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分 ∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ……………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分 θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ 332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分 当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332 …………………1分15.解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分 则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为(2)y k x =-． …………………1分联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=． …………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． …………………1分 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=221)31k k +=+． …2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+， …………………1分02231ky k =-+． …………………1分 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)P k MP x x k +=-=+． …………………2分当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，22223(1)1)(31)231k k k k ++=++， …………………1分 解得1k =±． …………………1分 即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=． …………………1分16. 解：（1）1,4,7． ………………6分 （2）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == …………………………1分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*926,m m N ≤≤∈时，910263b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*∈≤≤N m m ,8027时，4802827==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 当*∈≤≤N m m ,10081时，51008281==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 ∴384205544183622110021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = …………………1分当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-∴ *32()n a n n N =-∈ …………………2分由32n a n m =-≤得：*2()3m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以 *123456323131,2,,()t t tb b b b b b b b bt t N --======⋅⋅⋅===∈ ……1分 当*32()m t t N =-∈时：21(1)313(1)(1)(2)226m t t t T t t m m +--=⋅⋅-+==++ …………………1分当*31()m t t N =-∈时：21(1)313(1)2(1)(2)226m t t t T t t m m +-+=⋅⋅-+==++ …………………1分当*3()m t t N =∈时：213()13(3)226m t t t T t m m ++=⋅⋅==+ …………………1分所以 **(1)(2)(3231,)6(3)(3,)6m m m m t m t t N T m m m t t N ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩或 ……………1分。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）直线20x y +=被曲线2262x y x y+--150-=所截得的弦长等于2、（崇明县2015届高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ，则AFK ∆的面积为3、（奉贤区2015届高三上期末）若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 4、（奉贤区2015届高三上期末）已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切， 则圆C 的半径r =5、（虹口区2015届高三上期末）椭圆2214x y +=的焦距为6、（虹口区2015届高三上期末）若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为7、（黄浦区2015届高三上期末）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是8、（嘉定区2015届高三上期末）若椭圆122=+y mx 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则=m _________9、（金山区2015届高三上期末）已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ▲ 10、（静安区2015届高三上期末）直线l 经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是11、（浦东区2015届高三上期末）关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是12、（浦东区2015届高三上期末）双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 13、（普陀区2015届高三上期末）若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是14、（普陀区2015届高三上期末）若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是15、（青浦区2015届高三上期末）抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是16、（松江区2015届高三上期末）已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲17、（徐汇区2015届高三上期末）若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为18、（杨浦区2015届高三上期末）已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是_________________二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A ）（B ）2 （C （D ）12、（宝山区2015届高三上期末）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) （A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x3、（奉贤区2015届高三上期末）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF FF ==，则该椭圆的方程为 （ ）A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 4、（嘉定区2015届高三上期末）设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=-θθt t 的两个不相等实根，则过),(2a a A 、),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点个数是…………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05、（浦东区2015届高三上期末）设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y6、（杨浦区2015届高三上期末）圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x C ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x三、解答题1、（宝山区27）已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)m m ≠， 点D 为准线l 与x 轴的交点． (1)求直线PF 的方程；(2)求DAB ∆面积S 的取值范围．2、（宝山区31）在平面直角坐标系xoy 中，点P到两点(0,、的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ．(1)写出轨迹C 的方程；(2)设直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点，问k 为何值时?⊥此时||的值是多少？3、（崇明县22）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线():l y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4、（奉贤区29）曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2(0)k k >的点的轨迹，设曲线C 的轨迹方程(,)0f x y =． （1）求曲线C 的方程(,)0f x y =；（2）定义：若存在圆M 使得曲线(,)0f x y =上的每一点都落在圆M 外或圆M 上，则称圆M 为曲线(,)0f x y =的收敛圆．判断曲线(,)0f x y =是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．5、（虹口区23）已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.6、（黄浦区23）在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；(2)设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||GH =l 的方程； (3)(理科)若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．7、（嘉定区21）已知点)2,0(-A ，椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的长轴长为4，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的一个方向向量为)2,3(=d，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积S 最大时，求l 的方程．8、（金山区22）动点P 与点(0,1)F 的距离和它到直线:l 1y =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C ． (1) 求曲线C 的方程；(2) 设点()0,(A a a >2),动点T 在曲线C 上运动时，AT 的最短距离为1-a ，求a 的值以及取到最小值时点T 的坐标；(3) 设21,P P 为曲线C 的任意两点，满足21OP OP ⊥(O 为原点)，试问直线21P P 是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．9、（闵行区20）10、（浦东27）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.11、（浦东32）已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.12、（普陀区19）已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.13、（青浦区21）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．O14、（松江区23）（理）对于曲线:(,)0C f x y =，若存在最小的非负实数m 和n ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||,||x m y n ≤≤恒成立，则称曲线C 为有界曲线，且称点集{(,),}x y x m y n ≤≤为曲线C 的界域．（1）写出曲线22(1)4x y -+=的界域；（2）已知曲线M 上任意一点P 到坐标原点O 与直线1x =的距离之和等于3，曲线M 是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线的界域．15、（徐汇区22）已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围； （3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．16、（杨浦区22）如图，曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y ab+=>>≤和曲线()22222:10x y C y ab-=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ∆面积的最大值。