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2020年黑龙江省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江省高考数学（文科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x ﹣2≤1}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣∞，4）B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]2．（5分）已知i 为虚数单位，若11−i=a +bi ，（a ，b ∈R ），则a +b ＝（ ）A ．1B ．√2C ．√22D ．23．（5分）某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动，将竞赛成绩按照[80，90），[90，100），…，[140，150]分成7组，得到下面频率分布直方图．根据频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110 ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有400人 ④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括140分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有50人A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④4．（5分）已知H 为△ABC 的垂心，AB ＝4，AC ＝6，M 为边BC 的中点，则HM →⋅BC →=（ ） A ．20B ．10C ．﹣20D ．﹣105．（5分）已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x =√52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题；④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是假命题． 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③6．（5分）已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m 行、第n 列的数记为a mn ，如a 21＝4，a 42＝16．若a mn ＝248，则m +n ＝（ ）A ．20B ．21C ．29D ．307．（5分）过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2248．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．[π4+4kπ3，11π12+4kπ3]，k ∈ZB ．[−13π12+kπ，−5π12+kπ]，k ∈Z C ．[π4+2kπ，11π12+2kπ]，k ∈ZD ．[−13π12+3kπ4，−5π12+3kπ4]，k ∈Z 9．（5分）函数y ＝a ﹣x ﹣a （a ＞0，a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）正四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为√6，高为3，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π11．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46B ．12C ．11D ．212．（5分）已知直线y ＝a （x +1）与曲线f （x ）＝e x +b 相切，则ab 的最小值为（ ） A ．−14eB ．−12eC ．−1eD ．−2e二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若cos （π2−α）=−13，且π＜α＜3π2，则tan （π﹣α）＝ ． 14．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3．15．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝a （cos B +cos C ）．若△ABC 的周长的最大值为4+4√2，则a ＝ ． 16．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 23=1，（a ＞0）的左焦点是（﹣2，0），则a 的值为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）（1）已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1+a 2+a 3＝12，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }为等差数列，a 15＝10，a 45＝90，求a 60．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为等边三角形，AB ⊥AC ，D 是BC 的中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥PD ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝2，求D 到平面P AB 的距离．19．（12分）节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图． （Ⅰ）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数； （Ⅱ）设车速在[80，85）的车辆为A 1，A 2，…，A n （m 为车速在[80，85）上的频数），车速在[85，90）的车辆为B 1，B 2，…，B n （n 为车速在[85，90）上的频数），从车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的2辆车的车速都在[85，90）上的概率．20．（12分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C '的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM |＝|PN |，试判断直线PM ，PN 与圆C '的位置关系，并证明你的结论．21．（12分）已知函数f(x)=e xx−a(x −lnx)(a ∈R)（1）若f （x ）在（1，f （1））处的切线为x 轴，求证f （x ）≥0； （2）若f （x ）≥0，求a 的取值范围，四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）≤4的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的图象最低点为（m ，n ），正数a ，b 满足ma +nb ＝4，求2a+1b 的取值范围．2020年黑龙江省高考数学（文科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x ﹣2≤1}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣∞，4）B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]【解答】解：A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}， ∴A ∪B ＝（﹣∞，4）． 故选：A ．2．（5分）已知i 为虚数单位，若11−i=a +bi ，（a ，b ∈R ），则a +b ＝（ ）A ．1B ．√2C ．√22D ．2【解答】解：由11−i=1+i (1−i)(1+i)=12+12i =a +bi ，得a ＝b =12， ∴a +b ＝1． 故选：A ．3．（5分）某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动，将竞赛成绩按照[80，90），[90，100），…，[140，150]分成7组，得到下面频率分布直方图．根据频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110 ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有400人 ④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括140分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有50人A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【解答】解：①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为105，因此不正确；②根据频率分布直方图，[80，90），[90，100），[100，110），前3组的频率和＝（0.0050+0.0150+0.0200）＝0.4＜0.5．[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）前4组的频率和＝（0.0050+0.0150+0.0200）.0300）＝0.7＞0.5．∴估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数＝110+13×（120﹣110）≈113.3，正确；③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有1000×0.4＝400人，正确；④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括140分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有1000×0.0025＝2.5人，因此不正确． 因此只有②③正确． 故选：B ．4．（5分）已知H 为△ABC 的垂心，AB ＝4，AC ＝6，M 为边BC 的中点，则HM →⋅BC →=（ ） A ．20B ．10C ．﹣20D ．﹣10【解答】解：如图，∵H 为△ABC 的垂心，∴HA →⊥BC →，∴HA →⋅BC →=0，且AB ＝4，AC ＝6，且M 为边BC 的中点， ∴HM →⋅BC →=(HA →+AB →+BM →)⋅BC →=(HA →+AB →+12BC →)⋅BC →=HA →⋅BC →+[AB →+12(AC →−AB →)]⋅BC →=12(AC →+AB →)⋅(AC →−AB →) =12(AC →2−AB →2) =12×(36−16) ＝10． 故选：B ．5．（5分）已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x =√52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题； ④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是假命题． 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③【解答】解：∵|sin x |≤1，∴：∃x ∈R ，使sin x =√52错误，即命题p 是假命题，∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0恒成立，即命题q 是真命题， 则①命题“p ∧q ”是假命题；故①错误， ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题；故②正确， ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题；故③正确， ④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是真命题．故④错误， 故选：B ．6．（5分）已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m 行、第n 列的数记为a mn ，如a 21＝4，a 42＝16．若a mn ＝248，则m +n ＝（ ）A ．20B ．21C ．29D ．30【解答】解：前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列， 所以m +n ＝16+4＝20， 故选：A ． 7．（5分）过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14 D ．√224 【解答】解：不妨设A （c ，y 0），代入双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，可得y 0＝±b 2a．∵线段AB 的长度恰等于焦距， ∴2b 2a=2c ，∴c 2﹣a 2＝ac ， ∴e 2﹣e ﹣1＝0， ∵e ＞1， ∴e =√5+12．故选：A ．8．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．[π4+4kπ3，11π12+4kπ3]，k ∈ZB ．[−13π12+kπ，−5π12+kπ]，k ∈Z C ．[π4+2kπ，11π12+2kπ]，k ∈ZD ．[−13π12+3kπ4，−5π12+3kπ4]，k ∈Z【解答】解：根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的部分图象可得7π12−（−5π12）=34⋅T =34•2πω，∴ω=32．再根据五点法作图，可得32•7π12+φ＝π，∴φ=π8，∴函数f （x ）＝sin （32x +π8）．令2k π+π2≤32x +π8≤2k π+3π2，求得43k π+π4≤x ≤43k π+11π12， 可得函数f （x ）的减区间为[43k π+π4，43k π+11π12]，k ∈Z ，故选：A ．9．（5分）函数y ＝a ﹣x ﹣a （a ＞0，a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数过（﹣1，0），观察选项可知，只有选项D 符合题意． 故选：D ．10．（5分）正四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为√6，高为3，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π【解答】解：正四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为√6，高为3，设它的外接球的半径为R ，球心为O ，底面ABCD 的中心为M ． 设OM ＝x ．则R 2＝x 2+(√3)2，R +x ＝3． 解得：R 2＝4．可得球的表面积为16π． 故选：C ．11．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46B ．12C ．11D ．2【解答】解：根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列， 设5人得到的面包数分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，且d ＞0， 又由面包总数为120，且较多的三份之和的13是较少的两份之和，则有{S 5=5a =12013(a +a +d +a +2d)=(a −2d +a −d)，解可得a ＝24，d ＝6，则a ﹣2d ＝12；即最少的一份面包个数为12； 故选：B ．12．（5分）已知直线y ＝a （x +1）与曲线f （x ）＝e x +b 相切，则ab 的最小值为（ ） A ．−14eB ．−12eC ．−1eD ．−2e【解答】解：设切点为（m ，n ）， f （x ）＝e x +b 的导数为f ′（x ）＝e x ， 可得e m ＝a ，a （m +1）＝e m +b ， 化为b ＝alna ， 可得ab ＝a 2lna ， 设g （a ）＝a 2lna ，g ′（a ）＝2alna +a ＝a （2lna +1），由a √e 时，g ′（a ）＞0，g （a ）递增；当0＜a √e 时，g ′（a ）＜0，g （a ）递减， 可得a =√e 时，g （a ）取得最小值−12e ．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若cos （π2−α）=−13，且π＜α＜3π2，则tan （π﹣α）＝ −√24． 【解答】解：∵cos （π2−α）＝sin α=−13，且π＜α＜3π2， ∴cos α=−√1−sin 2α=−2√23， ∴tan （π﹣α）＝﹣tan α=−sinαcosα=−√24． 故答案为：−√24．14．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 20+4√5 cm 2，体积是 8 cm 3．【解答】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm 、4cm 的直角三角形，高为2cm 的直三棱柱； 其表面积为S ＝2×12×2×4+4×2+2×2+2×√42+22=20+4√5cm 2； 体积为V =12×4×2×2＝8cm 3． 故答案为：20+4√5，8．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c＝a（cos B+cos C）．若△ABC的周长的最大值为4+4√2，则a＝4．【解答】解：因为b+c＝a（cos B+cos C），由正弦定理可得，sin B+sin C＝sin A cos B+sin A cos C，所以sin A cos C+sin C cos A+sin A cos B+sin B cos A＝sin A cos B+sin A cos C，即cos A（sin B+sin C）＝0，所以cos A＝0，即A=π2，故a+b+c＝a+a cos B+a sin B＝a[1+√2sin（B+π4）]，当B=π4时，a+b+c取得最大值（1+√2）a＝4（1+√2），所以a＝4．故答案为：4．16．（5分）已知双曲线x2a2−y23=1，（a＞0）的左焦点是（﹣2，0），则a的值为√7．【解答】解：由题意，可知c＝2，即c2＝4．∵b2＝3，∴a2＝b2+c2＝3+4＝7．∴a=√7．故答案是：√7．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）（1）已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等差数列，a15＝10，a45＝90，求a60．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12，∴2+2+d+2+2d＝12，解得d＝2，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n．（2）∵数列{a n}为等差数列，∴a15＝10，a45＝90，∴{a 15=a 1+14d =10a 45=a 1+44d =90， 解得a 1=−823，d =83， ∴a 60=−823+59×83=130．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为等边三角形，AB ⊥AC ，D 是BC 的中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥PD ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝2，求D 到平面P AB 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AC 中点E ，联结DE 、PE ，∵△P AC 为等边三角形，∴PE ⊥AC ． ∵AB ⊥AC ，D 是BC 的中点，E 为AC 中点，∴ED ⊥AC ． ∴AC ⊥平面PED ，∵PD ⊂平面P AD ，所以AC ⊥PD ．（Ⅱ）解：法一：取P A 中点M ，联结CM ，∵△P AC 为等边三角形，∴CM ⊥P A 又∵平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ∴AB ⊥P AC 面，AB ⊥CM ，CM ⊥平面P AB ． ∵AC ＝2，△P AC 为等边三角形，CM =√3． ∵D 是BC 的中点．∴D 到平面P AB 的距离的2倍等于C 到平面P AB 的距离， ∴D 到平面P AB 的距离为√32． 法二：由平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，则AB ⊥P A ． ∵AB ＝AC ＝2，△P AC 为等边三角形，则S △PAB =12⋅PA ⋅AB =2 ∵D 是BC 的中点． ∴S △ABD =12⋅AB ⋅AC 2=1 点P 到平面ABC 的距离为PE =√3，设D 到平面P AB 的距离为d ， 由V D−PAB =V P−ABD ⇒13S △PAB ⋅d =13S △ABD ⋅PE ， 解得d =√32．19．（12分）节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．（Ⅰ）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数；（Ⅱ）设车速在[80，85）的车辆为A1，A2，…，A n（m为车速在[80，85）上的频数），车速在[85，90）的车辆为B1，B2，…，B n（n为车速在[85，90）上的频数），从车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的2辆车的车速都在[85，90）上的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣95）＝0.5，解得x＝97.5，即中位数的估计值为97.5 （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得m1＝0.01×5×40＝2（辆），（7分）m2＝0.02×5×40＝4（辆）．…（8分）∴所以车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆的所有情况是： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ），共有15种情况． …（10分） 车速都在[85，90）上的2辆车的情况有6种． 所以车速都在[85，90）上的2辆车的概率是615=25． …（12分）20．（12分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C '的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM |＝|PN |，试判断直线PM ，PN 与圆C '的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c ，a =√2b ．设圆C '的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．（2）∵M ，N 关于原点对称，|PM |＝|PN |，∴OP ⊥MN ． 设M （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2（kx +m ）2＝6，即（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0，∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵OM →=（x 1，y 1），OP →=（x 2，y 2），∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km 2k 2+1+m 2=3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2﹣2k 2﹣2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C '相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N （﹣x 1，﹣y 1），P （x 1，﹣y 1）．由|PM |＝|PN |得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C '也相切． 同理可得，直线PN 与圆C '也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C '相切．21．（12分）已知函数f(x)=e xx−a(x −lnx)(a ∈R)（1）若f （x ）在（1，f （1））处的切线为x 轴，求证f （x ）≥0； （2）若f （x ）≥0，求a 的取值范围，【解答】解：（1）函数f （x ）的定义域为(0，+∞)，f(1)=e −a ，f′(x)=(x−1)(e x −ax)x 2，所以 f '（1）＝0．所以f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝e ﹣a ，x 轴方程为y ＝0．所以a ＝e ， 此时f ′(x)=(x−1)(e x −ex)x2，令g （x ）＝e x ﹣ex ．则g '（x ）＝e x ﹣e ， 因为g '（x ）在（0，+∞）上单调递增．且g '（1）＝0．所以当x ＜1时．g '（x ）＜0；当x ＞1时．g '（x ）＞0；所以g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以g （x ）≥g （1）＝0，即e x ﹣ex ≥0．仅当x ＝1时取等号．所以当0＜x ＜1时．f '（x ）＜0；当x ＞1时，f '（x ）＞0；所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增f （x ）≥f （1）＝0． （2）解法一：由（1）知e x ≥ex ，所以当x ＞0时，lne x ≥ln （ex ），得x ﹣lnx ≥1＞0．当a ≤e 时.f(x)=e x x −a(x −lnx)≥e xx−e(x −lnx)令ℎ(x)=e xx −e(x −lnx)．由（1）知：h （x ）≥h （1）＝0．所以f （x ）≥0．满足题意．当a ＞e 时，f （1）＝e ﹣a ＜0，不满足题意，所以a 的取值范围是（﹣∞，e ]． 解法二：由（1）知e x ≥ex ．所以当x ＞0时．lne x ≥ln （ex ）．得x ﹣lnx ≥1＞0．由f(x)=e x x −a(x −lnx)≥0，得a ≤e xx(x−lnx)问题转化为a ≤(e xx(x−lnx))min令ℎ(x)=e x x(x−lnx)，则ℎ′(x)=e x (x−1)(x−1−lnx)x 2(x−lnx)2 因为e x ＞0，x ﹣1﹣lnx ≥0（仅当x ＝1时取等号），x 2（x ﹣lnx ）2＞0． 所以当0＜x ＜1时，h '（x ）＜0；当x ＞1时，h '（x ）＞0；所以h （x ）的单调递减区间是（0，1）．单调递增区间是（1，+∞）， 所以h （x ）min ＝h （1）＝e ．所以a 的取值范围是（﹣∞，e ]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）≤4的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的图象最低点为（m ，n ），正数a ，b 满足ma +nb ＝4，求2a+1b 的取值范围．【解答】解：（1）当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣3x +1≤4，得x ≥﹣1，所以x ＝﹣1 当﹣1＜x ＜1时，f （x ）＝﹣x +3≤4，得x ≥﹣1，所以﹣1＜x ＜1 当x ≥1时，f （x ）＝3x ﹣1≤4，得x ≤53，所以1≤x ≤53 综上，−1≤x ≤53 不等式的解集为[﹣1，53]；（2）由f(x)={−3x +1−x +33x −1(x ≤−1)#/DEL/#(−1＜x ＜1)#/DEL/#(x ≤1)#/DEL/#的图象最低点为（1，2），即m ＝1，n＝2所以a +2b ＝4，因为a ＞0，b ＞0， 所以2a +1b=14(a +2b)(2a+1b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+2√4)=2当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立， 所以2a+1b 的取值范围为[2，+∞）．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次高考模拟考试试题数学文【含解析】本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|28}xA x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB =（ ）A. [)1,3B. (]1,3C. ()1,+∞D. [)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】解：{|3},{|1}A x x B x x =≥=>，∴()1,AB =+∞.故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题. 2.复平面内，复数12ii-对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案. 【详解】解：∵()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+， ∴12i i -对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A. ()2f x x =B. ()2xf x =C. ()21log 1f x x =+ D. ()2f x x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断是否为偶函数，根据在(),0-∞上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.【详解】对于A ，()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，是偶函数，在(),0-∞上单调递减；对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，是偶函数，在(),0-∞上()1222xxxf x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,单调递减； 对于C ，()21log 1f x x =+定义域为{}|1x R x ∈≠-，不关于原点对称，∴不是偶函数； 对于D ，()2f x x =-的定义域为R ，()()22f x x x f x -=--=-=，是偶函数，在(),0-∞上()2f x x =，单调递增；【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及指数函数，对数函数，复合函数，属基础题. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．4. 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A.35 B.35C. 5D. -5【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，由等差中项的性质1532222111a a a +=⨯+++得到关于5a 的方程，求解即得. 【详解】由于数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以1532222111a a a +=⨯+++， 又11a =，313a =-，∴52222111113a +=⨯++-+，解得535a ， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差中项，考查运算能力，属基础题. 5. 函数()xf x xe =在1x =处的切线方程是（ ） A. 20ex y e --= B. 230ex y e --=C. 20ex y e +-=D. 230ex y e +-=【答案】A 【解析】 【分析】先求得切点坐标与导函数()f x '，根据导数的几何意义可求得切线斜率，再由点斜式即可得解.【详解】函数()xf x xe =，当1x =时，(1)f e =，所以切点坐标为()1,e ， 则()xxf x e xe =+'，由导数几何意义可知切线斜率为(1)2k f e e e ='==+， 由点斜式可得切线方程为()21y e e x -=-， 化简可得20ex y e --=， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线切线方程的求法，属于基础题.6. 在区间23,23⎡-⎣上随机取一个数k ，则直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A.133 C.14D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求出满足条件的k 的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【详解】k 是区间23,23⎡-⎣ 上的随机数，即2323k -≤≤43由直线4y kx =+与圆224x y +=2421k<+，∴3k >3k <233k ≥>233k -≤<-3直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为231243P == 故选: D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．属于中档题. 7. 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r变小C. 相关指数2R变小 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】D后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数2R及残差平方和与由散点图可知，去掉(3,10)相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.n 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一8. “克拉茨猜想”又称“31个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m经过5次运算后得到1，则m 的值为（）A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或4【答案】A【解析】【分析】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a =，11a ≠，21a ≠，31a ≠，41a ≠，经过逆向运算，逐步推导可依次得出4a 、3a 、2a 、1a ，并对m 分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得m 的值. 【详解】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a=，21a ≠，31a ≠，41a ≠，51a =，则4522a a ==，3424a a ==，若2a 为奇数，则32314a a =+=，得21a =，不合乎题意，所以，2a 为偶数，且2328a a ==. 若1a 为奇数，则21318a a =+=，得173a =，不合乎题意； 若1a 为偶数，则12216a a ==.若m 为奇数，则13116a m =+=，可得5m =； 若m 为偶数，则1232m a ==. 综上所述，5m =或32. 故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想的应用，利用逆向思维逐项推导是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由题意运行程序框图，注意变量的取值变化，即可得解. 【详解】由题意运行该框图：1n =，515522a =+=，236b =⨯=，此时a b >； 2n =，151545244a =+=，2612b =⨯=，此时a b ≤；输出2n =. 故选：A.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.10. 已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=，且2PF Q △周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 32D. 22【答案】C 【解析】 【分析】取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，由题意转化条件得2OR PF ⊥，进而可得22PF c =，2PF Q △周长可转化为122PQ QF a c ++，求出1PQ QF +2226c a c a +=，化简即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c ，取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，如图所示：由平面向量线性运算法则可得2=2OP OF OR +， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以220OR PF ⋅=即2OR PF ⊥，所以2PO OF c ==，22PF c =，又2PF Q △的周长为2221222PQ QF PF PQ QF c PQ QF a c ++=+=++， 所以当1PQ QF +取最小值时，2PF Q △的周长最小， 当P 、Q 、1F 三点共线时，1PQ QF +取最小值， 且()112min 2PQ QF PF PF c +===，2226c a c a ++=，化简得224c a =， 所以2ce a==故选：C.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用与离心率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11. 已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A. 5000 B. 5000-C. 5050D. 5050-【答案】B 【解析】 【分析】 由通项公式可知，{}n a 的偶数项为0，从而可得2222210013599...1357...9799S a a a a =++++=-+-++-，结合分组求和的思想以及等差数列的前n项和公式即可求出前100项和.【详解】解：由题意知， 当2,n k k N *=∈时，()222sin 0k a k k π==；当21,n k k N *=-∈时，()2212121sin2k k a k π--=-，所以数列{}n a 的前100项和 2222210012310013599......1357...9799S a a a a a a a a =++++=++++=-+-++-()()()()()()13135757...97999799=-⨯++-⨯+++-⨯+()504921357...9799250250002⨯⎛⎫=-⨯++++++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选:B【点睛】本题考查了正弦函数值，考查了等差数列求和，考查了分组求和.本题的关键是结合正弦函数的性质对数列并项求和.对于数列求和问题，常见的思路有公式法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.12. 已知ABC 中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=，且12AH AC =，则BH =（ ） 47B. 743D. 27【答案】D 【解析】 【分析】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得AE AF AQ ==，连接QE 、QF 、BF ，转化条件得AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，结合平面几何的知识可得E 、F 分别为AB 、AC 的中点，BAF 120∠=，再由余弦定理即可得解.【详解】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得2AE AF AQ ===，连接QE 、QF 、BF ，如图所示：线段AQ 为BC 边上的高，∴sin AB B AQ =，sin AC C AQ =，∴sin AB B AE =，sin AC C AF =，∴AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，∴四边形AEQF 为菱形，∴AQ 平分角BAC ∠，BAF 120∠=， ∴AB AC =，Q 为BC 的中点，∴E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴224AB AF AQ ===，又12AH AC =，∴点H 为AC 的中点，即与点F 重合， 在ABF 中，22222cos 164828BH BF AB AF AB AF BAF ==+-⋅⋅∠=++=,∴27BH =故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数乘及加法的平行四边形法则的应用，考查了余弦定理的应用与运算求解能力，属于中档题.二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__. 【答案】1725- 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ417cos 2sin212sin 12242525θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴17sin225θ=-.故答案为：1725-. 【点睛】本题考查了诱导公式、二倍角余弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0- 【解析】 【分析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0-【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.15. 直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为_______ 3【解析】 【分析】 由垂直平分线性质和抛物线的定义可得MAF △为等边三角形，结合三角形内角和的特征可得直线l 的倾斜角为60，进而可得结果. 【详解】如图所示，∵M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，∴MA MF =， 由抛物线的定义可得MA AF =，∴MAF △为等边三角形，即60AMF ∠=，又∵MA ME ⊥，可得30FME ∠=，∴60MFE ∠=， 易得60AFx ∠=，即直线l 的倾斜角为60， 所以直线l 的斜率为3， 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了抛物线上点到焦点的距离和到准线距离相等这一性质的应用，属于中档题. 16. 在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC =，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______. 【答案】1042-【解析】 【分析】可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥S ABC -的体积分成四个小三棱锥的体积和，建立方程即可求得内切球的半径．【详解】∵2AB =，2BC =，22AC =222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥，又∵SB ⊥面ABC ，∴可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线.设外接球的半径为R ，则()222222210R =++=，10R =． 设内切球的球心为O ，半径为r ，则由S ABC O SAB O SAC O SBC O ABC V V V V V -----=+++得：()()222111111·22?2?·2222222222323222r ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+- ⎪⎝⎭，整理得()42222r +=，解得427r -=，故答案为10 ，42-． 【点睛】本题考查利用构造长方体法求三棱锥外接球半径和利用体积法求内切球半径，考查分析能力，空间想象能力，化归与转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若26()f x =324x ππ<<，求cos2x .【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）3326--【解析】 【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解.【详解】解：（1）由图像可知2,2A ω==,则()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 得52,62k k Z ππϕπ+=+∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈，由ππ22ϕ-<<，得3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由题意知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭263=,得sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭63=， 由324x ππ<<，则272336x πππ<-<，则cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭33=-，cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13cos 2sin 2233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 332--=. 【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧. 18. 如图，三棱锥P ABC -中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得三棱锥B AEG -3？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，G 为PB 中点. 【解析】 【分析】（1）由PA ⊥底面ABC 推出PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可推出BE ⊥平面PAC ，线面垂直推出面面垂直；（2）过G 作GH AB ⊥，由面面垂直的性质证明GH ⊥平面ABC ，再利用等体积法由3B AEG G ABE V V --==即可求得GH ，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G 的位置. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ，所以PA BE ⊥， 因为△ABC 是等边三角形且E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥， 又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ，因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ； （2）过G 作GH AB ⊥,PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC又平面PAB 平面ABC =AB ，GH ∴⊥平面ABC ,36B AEG G ABE V V --==1336ABEGH S∴⋅=， 1332=222ABES=⨯⨯，1GH ∴=， PA ⊥平面ABC ，GH ⊥平面ABC ，//PA GH ∴,12GH PA =，G ∴为PB 中点. 【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题. 19. 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x (单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分y ，数据如下表：x2 4 6 8 10 12 y303844485054（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y 与该学生课下钻研数学时间x 的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；（2）从这6人中任选2人，求2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.参考公式：ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- ；参考数据：662112008,364,44i iii i x yxy =====∑∑【答案】（1）线性回归方程： 16ˆ287yx =+，预测值为：44分（2）45【解析】 【分析】（1）先求均值，再代入公式求ˆˆb a ，，即得线性回归方程；在线性回归方程令7x =，解得预测值；（2）利用枚举法确定总基本事件数以及所求事件包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）2468101276x +++++==()()()661166222116200867441636464976ˆiii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ˆˆ28ay bx =-=16ˆ287yx ∴=+ 当7x =时，ˆ44y= 预测值为：44分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A ” 所有基本事件如下：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，10)，(4，12)， (6，8)，(6，10)，(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12) 共15个基本事件事件A 包含(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共12个基本事件 所以124()155P A == 【点睛】本题考查线性回归方程、利用线性回归方程估计、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.(2)利用作差法,化简可得21ln ln 21ln m n 1m m n mn m m n m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-=--+- ⎪+ ⎪⎝⎭,再构造函数()21()ln 1t h t t t-=-+,根据(1)中所得的单调性证明()0h t >即可. 【详解】（1）22214(1)'()0(1)(1)x f x x x x x -=-=≥++，∴()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）不妨设m n >，ln ln 212()ln m n m n m m n m n m n n m n --⎛⎫-=- ⎪-+-+⎝⎭211ln 1m mn m m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭. 令1m t n=>，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，()()h t f t =由（1）知在()0,∞+上单调递增，()10h =，1t >，∴()0h t >，又m n >，∴ln ln 2m n m n m n->-+.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性,以及构造函数与作差法分析大小关系的方法.难点在于第（2）问中根据()()21ln 1x f x x x -=-+的形式,将ln ln 2m n m n m n ---+整理变形,以便使用(1)的结论证明.属于中档题.21. 已知椭圆2222+1(0:)x C y a b a b =>>2，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.【答案】（1）22 1.2x y +=（2）4545(2,(2).t ∈-⋃【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b 的值，利用椭圆的离心率公式得到a ，c 的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a ，c 的值，将a ，b 的值代入椭圆的方程即可；（2）设AB 的方程代入椭圆方程，利用OA OB tOP +=确定A ，B ，P 三点之间的关系，利用点P 在椭圆上，建立方程，从而可求实数t 取值范围． 【详解】（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切22b = 1b ∴=椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为222c a ∴=22112a a -∴=22a ∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）由题意直线AB 斜率不为0， 设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++= 由28160n ∆=->得∴22n >，设112200(,),(,),(,)A x y B x y G x y ， 由韦达定理12122242,.22n y y y y n n -+==++OA OB tOG +=121200(,)(,)x x y y t x y ∴++= 002284,(2)(2)n x y t n t n -∴==++ 点G 在椭圆上2222222642162(2)(2)n t n t n ⨯∴+=++得22162t n =+——① 2211n>+，∴223n <<.——②由①②可得：21645t << 4545(2,(2).t ∴∈-⋃ 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和直线与椭圆位置关系问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若()1,0P -，求11AP BP+的值. 【答案】（1）10x y ++=，C ：()2224x y ++=.；（2）143. 【解析】 【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 的参数方程与圆的方程联立化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可.【详解】（1）直线l 的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得22221422t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得2230t t -=, 由韦达定理有()212121212122,3,414t t t t t t t t t t +==--=+-=所以12121114||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+. （1）当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1|x x ≥-；（2）20a -<<.【解析】【分析】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，分类讨论，即可求解； （2）由绝对值的三角不等式，求得()1f x a ≤+，由指数函数的性质，求得()(),1g x ∈-∞，根据题意，得到()f x 的值域是()g x 的值域的子集，列出不等式，即可求解.【详解】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，当2x <-时，()31f x =-≥-，x 无解；当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤；当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >；综上，()1f x ≥-的解集为{}1|x x ≥-.（2）由()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+，()()21,1xg x =-+∈-∞， 由对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +<，∴实数a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值三角不等式的应用，以及方程的有解问题的求解，着重考分类讨论思想，查推理与运算能力.。
2020年黑龙江省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.复数z=4+3ii，则|z|=()A. √5B. 4C. 5D. 253.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，c⃗=(1,−2)，若向量λa⃗+b⃗ 与c⃗共线，则实数λ的值为()A. −2B. −13C. −1 D. −234.若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−2y的最小值是()A. −5B. −32C. 0D. 25.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离为√3，则该双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=sin4x−cos4x，则下列说法正确的是()A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的最大值为2C. f(x)的图像关于y轴对称D. f(x)在区间[π4,π2]上单调递减7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法．该作中有题为“李白沽酒：李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，开始输入的S值满足cos(Sπ−α)=13，则sin(38π−α)=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√338. 设a =log 35，b =log 2√5，c =(14)0.2，则( )A. c >b >aB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c9. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. √23fB. √223fC. √2512fD. √2712f10. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点Q 是线段D 1C 1的中点，点P 在线段AA 1上，且AP =2A 1P ，则异面直线PQ 与AB 所成角的余弦值为( )A. 2√103B. 2√107C. −√107D. 3711. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +1)=−f(x)，且x ∈[−1,1]时f(x)=1−x 2，函数g(x)={lgx(x >0)−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5,4]内的零点的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1012. 已知f (x )= xlnx − ax ，g (x )= x 3− x +6，若对任意的x ∈(0,+∞)，2 f (x )≤ g ′(x )+2恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2,−13]B. [−2,+∞)C. (−∞,−13]D. (−∞,−2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若sinθ=14，θ∈(0,π2)，则tan2θ=______．14. 已知f(x)=xln(x −1)，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是__________．15. 已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S nT n=3n−112n+7，则a6b 6= ______ ． 16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点为F ，A(−2,1)，P 为抛物线C 上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到2×2列联表：且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35．(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由．参考公式与临界值表：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B2=√55，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =6．(1)求△ABC的面积；(2)若c=2，求b的值．19.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，AB=2，PC=√6，AB的中点为E(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)求三棱锥D−PBC的体积．20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆E:x24+y23=1，以椭圆E的顶点为焦点作相似椭圆M．(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且与椭圆E仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．22.已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(Ⅱ)设曲线C与曲线ρsinθ=1交于A、B，求|AB|．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当ab=1时，证明：f(x)≥2；(2)若f(x)的值域为[2,+∞)，且f(3)=5，解不等式f(x)≥4．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x>2}；∴A∩B={3,4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：z=4+3ii =(4+3i)ii2=−(−3+4i)=3−4i，∴|z|=√32+(−4)2=5，故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：λa⃗+b⃗ =λ(1,2)+(2,0)=(λ+2,2λ)，∵向量λa⃗+b⃗ 与c⃗共线，∴−2×(2+λ)−2λ=0，解得λ=−1．故选：C．利用向量运算法则和向量共线定理即可得出．本题考查了向量运算法则和向量共线定理，属于基础题．4.答案：A解析：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z =x −2y 得y =12x −z2作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x ，由图象可知当直线y =12x −z2，过点B 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−12x −y =2，解得B(3,4)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =3−8=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5， 故选：A ．5.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．根据题意，设双曲线的一个焦点为(c,0)，由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得b =√3，由双曲线的几何性质计算求出离心率的值． 解：根据题意，设双曲线x 2−y 2b =1的一个焦点为(c,0)，a =1，其中一条渐近线的方程为y =bx ，即bx −y =0， 若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为√3， 则有√1+b 2=b =√3， 则c =√1+b 2=2，则双曲线的离心率e =ca =2；故选：B．6.答案：C解析：本题考查二倍角公式，三角函数的图象和性质，属于基础题．可得f(x)=−cos2x，对选项进行判断即可．解：∵f(x)=sin4x−cos4x=sin2x−cos2x=−cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T=π，函数f(x)的最大值为1，排除A，B；可知：函数f(x)的定义域为R，∵f(−x)=−cos(−2x)=−cos2x=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；∵y=cos2x在[π4,π2]上单调递减，故f(x)=−cos2x在[π4,π2]上单调递增，排除D，故选C．7.答案：B解析：解：第一次执行循环体后，i=1，S=2S−1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i=2，S=4S−3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i=3，S=8S−7，满足退出循环的条件；故输出S=0，∴输入的S=78∴cos(Sπ−α)=13=cos(π2+38π−a)=−sin(38π−a)，则sin(38π−α)=−13故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．再借助诱导公式，即可得到答案．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。
