高二数学寒假作业习题精选

高二数学寒假作业练习题及答案（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|2.若f(x)=，则f(x)的定义域为()A.B.C.D.(0，+∞)3.设函数f(x)(xR)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则y=f(x)的图象可能是()图2-14.函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.1.已知函数f(x)=则f=()A.B.eC.-D.-e2.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=2x-x，则有()A.f0，且a≠1)，则函数f(x)=loga(x+1)的图象大致是()图2-25.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2[0，+∞)，且x1≠x2都有>0，则()A.f(3)1的解集为()A.(-1,0)(0，e)B.(-∞，-1)(e，+∞)C.(-1,0)(e，+∞)D.(-∞，1)(e，+∞)4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x时，f(x)=log(1-x)，则f(2010)+f(2021)=()A.1B.2C.-1D.-21.函数y=的图象可能是()图2-42.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，f(x-2)=f(x+2)，且x(-1,0)时，f(x)=2x+，则f(log220)=()A.1B.C.-1D.-3.定义两种运算：ab=，ab=，则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数4.已知函数f(x)=|lgx|，若02的解集为()A.(2，+∞)B.(2，+∞)C.(，+∞)D.6.f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，对x1∈[-1,2]，x0∈[-1,2]，使g(x1)=f(x0)，则a的取值范围是()A.B.C.[3，+∞)D.(0,3]7.函数y=f(cosx)的定义域为(kZ)，则函数y=f(x)的定义域为________.8.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f=-f(x)，且函数y=f 为奇函数，给出以下四个命：(1)函数f(x)是周期函数;(2)函数f(x)的图象关于点对称;(3)函数f(x)为R上的偶函数;(4)函数f(x)为R上的单调函数.其中真命的序号为________.(写出所有真命的序号)专集训(二)A【基础演练】1.B【解析】是偶函数的是选项B、C、D中的函数，但在(0，+∞)上单调递增的函数只有选项B中的函数.2.A【解析】根据意得log(2x+1)>0，即01，解得x>e;当x1，解得-10时，y=lnx，当x或log4x2或02等价于不等式f(|log4x|)>2=f，即|log4x|>，即log4x>或log4x2或00，所以a的取值范围是.7.【解析】由于函数y=f(cosx)的定义域是(kZ)，所以u=cosx 的值域是，所以函数y=f(x)的定义域是.8.(1)(2)(3)【解析】由f(x)=f(x+3)f(x)为周期函数;又y=f为奇函数，所以y=f图象关于(0,0)对称;y=f向左平移个单位得y=f(x)的图象，原来的原点(0,0)变为，所以f(x)的图象关于点对称.又y=f 为奇函数，所以f=-f，故f=-f=-f(-x)f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数;又f(x)为R上的偶函数，不可能为R上的单调函数.【篇二】1.(2021·浙江高考)已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：选B(-1+i)(2-i)=-1+3i.2.(2021·北京高考)在复平面内，复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选Az=i(2-i)=2i-i2=1+2i，复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限.3.若(x-i)i=y+2i，x，yR，则复数x+yi=()A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i解析：选B由(x-i)i=y+2i，得xi+1=y+2i.x，yR，x=2，y=1，故x+yi=2+i.4.(2021·新课标全国卷)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|，则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.解析：选D因为|4+3i|==5，所以已知等式为(3-4i)z=5，即z=====+i，所以复数z的虚部为.5.(2021·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2<0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0解析：选C设z=a+bi(a，bR)，则z2=a2-b2+2abi，由z2≥0，得则b=0，故选项A为真，同理选项B为真;而选项D为真，选项C 为假.故选C.。

高二数学寒假作业练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若ab，则下列不等式(1)a+c(2)a-c(3)ac(4)0)其中恒成立的不等式个数为()(A)0(B)1(C)2(D)2.过点(1，0)，且与直线平行的直线方程是()(A)(B)(C)(D)3.到两点A(-3，0)、B(3，0)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是()(A)椭圆(B)线段(C)双曲线(D)两条射线4.抛物线的准线方程是()(A)(B)(C)(D)5.圆=25在x轴上截得的弦长是()(A)3??(B)4(C)6(D)8.6与不等式同解的不等式为()(A)(B)(C)lg0(D)7.离心率为，一个焦点是(5，0)的双曲线的标准方程是()(A)(B)(C)(D)8.[原题资料有误]已知两点M(1，??)，N(?，?)，则M关于N的对称点的坐标是()??(A)(1，?)(B)(1，?)??(C)(1，3)(D)(?，?3)9.不等式组表示的区域是()10.以点A(1，3)，B(-2，8)，C(7，5)为顶点的ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形11.已知椭圆上有一点P，它到椭圆左准线的距离是，点P到右焦点的距离是它到左焦点距离的几倍()(A)7(B)6(C)5(D)12.、方程表示的曲线是()A抛物线的一段B线段C圆的一部分D抛物线第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上)13.函数(x0)的最小值为;14.过点C(-1，1)和D(1，3)，圆心在X轴上的圆的方程为。

15.已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P是该椭圆上的一个动点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.16如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为1 2米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是。

宿迁市高二数学寒假作业-精选题20一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点A（m，2），B（3，4），直线AB的倾斜角为45°，那么m的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 52.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为（）A. （-，0）B. （-1，0）C. （-2，0）D. （-4，0）3.双曲线-=1的渐近线方程为（）A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 4x±y=0D. x±4y=04.设命题p：∃x∈R，e x＞x+1．则￢p为（）A. ∀x∈R，e x＞x+1B. ∃x∈R，e x≤x+1C. ∀x∈R，e x≤x+1D. ∃x∈R，e x=x+15.过两直线l1：x-3y+1=0，l2：x+2y+6=0的交点且与3x+y-1=0平行的直线方程为（）A. x-3y+1=0B. 3x+y+7=0C. x-3y-1l=0D. 3x+y+13=06.若曲线mx2+ny2=1（m，n∈R）是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是（）A. 0＜m＜nB. 0＜n＜mC. m2＞n2D. ＜7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A. 38+4πB. 38+5πC. 38+6πD. 38+7π8.已知命题p：“∀a∈R，直线ax-y-3a=0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2=0表示圆”．则下列命题为真的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∨qD. （￢p）∨（￢q）9.已知f（x）=x（|x|+1），且a，b为实数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（）A. 27：32B. 3：8C. 3：16D. 9：3211.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-5，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为（）A. =1B. =1C. =1D. =112.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为L，则L的最大值为（）A. 3B. 6C. 3D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A（4，0）和点B（0，-2）的直线方程为______．14.在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x-y+m=0上存在点P使得PB=2PA，则实数m的取值范围是______．16.已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：（x-2）2+y2=4，直线l1：y=kx-1，l2：y=x（1）若圆C上存在两点关于直线l1对称，求实数k的值；（2）若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．18.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1切掉三棱锥C-B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．（1）证明：B1C∥平面A1DEF；（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．19.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：2x-3y+4=0与抛物线交于A，B两点．（1）求|AF|+|BF|的值；（2）能否在x轴上找到点P，使得∠APB=90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA2，D为BC的中点．（1）证明：AD⊥平面A1BC；（2）求直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值．21.如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B 两点应选在何处可使得小道AB最短？22.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为F1（-，0），F2（，0），一个顶点为B（0，-1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A的坐标为（4，0），M（x1，y1），N（x2，y2）是C上的两点且x1≠x2，直线AM，AN关于x轴对称，求△AMN的面积S的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由点A（m，2），B（3，4），得=，又直线AB的倾斜角为45°，∴k AB=tan45°=1．则，解得m=1．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的准线为：x=-1，所以抛物线与x轴的交点的坐标（-1，0）．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】A【解析】解：双曲线-=1的a=4，b=2，可得渐近线方程为y=±x，即有2y=±x．故选：A．由双曲线的方程的渐近线方程为y=±x，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则￢p：∀x∈R，e x≤x+1，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】D【解析】解：两直线l1：x-3y+1=0，l2：x+2y+6=0的交点为，解得，即（-4，-1）；设与3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0，则3×（-4）+（-1）+m=0，解得m=13，所求的直线方程为3x+y+13=0．故选：D．求出两直线l1、l2的交点坐标，再设与3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：方程mx2+ny2=1即：示焦点在x轴上的椭圆，可得：＞0，解得n＞m＞0．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．∴这个几何体的表面积=4π×1+1×（2×3+2×4）+2×3×4=38+4π．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：由ax-y-3a=0得a（x-3）-y=0，当x=3时，y=0，即直线过定点（3，0），则命题p 是真命题，由x2+y2+2ty+2t2=0得x2+（y+t）2=-t2≤0，则方程无法表示圆，即命题q是假命题，则p∧（￢q）是真命题，其余为假命题，故选：B．9.【答案】C【解析】解：当x≥0时，f（x）=x（x+1）=x2+x，对称轴为x=-，此时f（x）为增函数，且f（x）≥0，当x＜0时，f（x）=x（-x+1）=-x2+x，对称轴为x=，此时f（x）为增函数，且f（x）＜f（0）=0，综上函数f（x）为增函数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数f（x）的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数f（x）的单调性是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．故选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，确定a2，b2，属于中档题．设椭圆的右焦点为M，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFM为直角三角形；由勾股定理计算可得|PM|；由椭圆的定义2a=|PF|+|PM|，可得a的值，结合椭圆的几何性质可得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，如图:则|FM|=2|OF|=10，由|OP|=|OF|=|OM|知，∠PFM=∠FPO，∠OMP=∠OPM，所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM，又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°知，∠FPO+∠OPM=90°，即PF⊥PM．又由|FM|=10，|PF|=6，则|PM|==8，则2a=|PF|+|PM|=14，则a=7，又由c=5，则b2=a2-c2=49-25=24，则椭圆的方程为：+=1，故选：C．12.【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，∴BD1==，当BP=时，即当截面过体对角线BD1的中点时，此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，（如图）L取最大值∴截面周长L取最大值为6×=6．故选：B．分析：推导出BD1=，当BP=时，当截面过体对角线BD1的中点时，截面为正六边形，其定点为各棱的中点，L取最大值，由此能求出截面周长L的最大值．本题考查几何体中动点问题，截面周长问题．转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是关键．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】x-2y-4=0【解析】解：由题意可得，过点A（4，0）和点B（0，-2）的截距式方程为：，即x-2y-4=0．故答案为：x-2y-4=0．直接写出直线的截距式方程化为一般式即可．本题考查直线的截距式方程，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sin B=，∴cos B=．当cos B=时，CD2=22+32-2×2×3×=7，则CD=；当cos B=-时，CD2=22+32-2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sin B，进一步求得cos B，再由余弦定理求得CD长度．本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．15.【答案】[-2，2]【解析】解：设P（x，x+m），∵2PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x-1）2+4（x+m）2=（x-4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4-x2，∴4-x2≥0，解得x∈[-2，2]，∴m=-x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=-2cosθ±2sinθ=±2sin（θ±）∈[-2，2]，实数m的取值范围是[-2，2]，故答案为[-2，2]．设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4-x2，可得：m=-x±，x∈[-2，2]．通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），渐近线方程为l1：y=x，l2：y=-x，由x=c代入l1的方程可得A的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB的方程，联立直线l2的方程可得B的坐标，再由BA⊥l2，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为-1，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），渐近线方程为l1：y=x，l2：y=-x，由题意可设F（c，0），由AF⊥x轴，令x=c，代入l1的方程可得y=，即有A（c，），过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，由FB的方程y=（x-c），联立直线l2：y=-x，解得B（，-），再由BA⊥l2，可得k AB=，即有=，化为a2=3b2，由b2=c2-a2，可得：c2=a2，由e=可得e=．故答案为：．17.【答案】解：（1）圆C：（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），圆C上存在两点关于直线l1：y=kx-1对称，则直线l1过圆心，∴2k-1=0，解得k=；（2）由直线l2：y=x，得x-y=0，则圆心C到直线l2的距离为d2==，∴l2被圆C所截得的弦长为2=2；又直线l1、l2被圆C所截得的弦长之比为1：2，∴l1被圆C所截得的弦长为1，由l1：y=kx-1，得kx-y-1=0；则圆心C到直线l1的距离d1==，整理得k2-16k-15=0，解得k=8±5．【解析】（1）由题意知直线l1过圆心C，代入点的坐标求出k的值；（2）求出圆心C到直线l2的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线l1被圆C所截得的弦长与圆心C到直线l1的距离，列方程求出k的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．18.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，AB=CD，AB∥A1B1，AB=A1B1，∴CD∥A1B1，CD=A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D，又B1C⊄平面A1FED，A1D⊂平面A1FED，∴B1C∥平面A1DEF．解：（2）由（1）得B1C∥平面A1DEF，又B1C⊂平面B1CD1，平面B1CD1∩平面A1DEF=EF，∴B1C∥EF，∴∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角（或所成角的补角），设正方休的棱长为a，则A1B1=a，B1C=，A1C=，∴在Rt△A1B1C中，cos∠A1CB1==，∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．【解析】（1）推导出CD∥A1B1，CD=A1B1，从而四边形A1B1CD是平行四边形，进而B1C∥A1D，由此能证明B1C∥平面A1DEF．（2）推导出B1C∥EF，从而∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，由直线l：2x-3y+4=0，联立抛物线方程可得y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，即有A（1，2），B（4，4），则|AF|+|BF|=（1+1）+（4+1）=7；（2）假设在x轴上找到点P（a，0），使得∠APB=90°，由A（1，2），B（4，4），可得k AP k BP=-1，即•=-1，即为a2-5a+12=0，由△=25-48＜0，可得方程无解，故不存在P，使得∠APB=90°．【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，联立准线方程和抛物线方程，求交点，结合抛物线的定义，可得所求和；（2）假设在x轴上找到点P（a，0），使得∠APB=90°，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】证明：（1）设AB=2a，则AA1=3a，∵AB=AC=2a，∠BAC=60°，∴BC=2a，AD⊥BC，且AD=，∵AB=AC=2a，∠BAA1=∠CAA1=60°，AA1=AA1=3a，∴△ABA1≌△ACA1，A1B=A1C==a，∴A1D⊥BC，∵=a，∴AD2+=AA12，∴AD⊥A1D，又BC∩A1D=D，∴AD⊥平面A1BC．解：（2）由（1）可如图建立空间直角坐标系，则A1（0，0，），C（0，-a，0），D（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），∴=（0，-a，-），=（0，0，），=（-），设平面A1B1D的法向量=（x，y，z），则由，取x=1，得=（1，，0），设直线A1C与平面A1B1D所成角为θ．则sinθ===．∴直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值为．【解析】（1）设AB=2a，则AA1=3a，推导出△ABA1≌△ACA1，从而A1D⊥BC，再求出AD⊥A1D，由此能证明AD⊥平面A1BC．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），则直线AB方程为+=1，即bx+ay-ab=0．因为AB与圆C：（x-1）2+（y-1）2=1相切，所以=1，化简得ab-2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）-2，因此AB====，因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，于是AB=2-（a+b）．又ab=2（a+b）-2≤（）2，解得0＜a+b≤4-2，或a+b≥4+2，因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4-2，所以AB=2-（a+b）≥2-（4-2）=2-2，当且仅当a=b=2-时取等号，所以AB最小值为2-2，此时a=b=2-．答：当A，B两点离道路的交点都为2-（百米）时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆C的两个焦点坐标分别为F1（-，0），F2（，0），一个顶点为B（0，-1）．∴椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为+=1，（a＞b＞0），且b=1，=4，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）设直线MN的方程为x=kx+m，（k≠0），联立，整理，得（k2+4）y2+2kmy+m2-4=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，即=0，∴+=0，∴2ky1y2+（m-4）（y1+y2）=0，∴-=0，解得m=1，∴直线MN的方程为x=ky+1，直线MN过定点B（1，0），又|y1-y2|===4，令=t，则t∈（0，），∴|y1-y2|=4∈（0，），∴△AMN的面积S=|AB||y1-y2|=|y1-y2|∈（0，）．∴△AMN的面积S的取值范围是（0，）．【解析】（1）椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为+=1，（a＞b＞0），且b=1，=4，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设直线MN的方程为x=kx+m，（k≠0），联立，得（k2+4）y2+2kmy+m2-4=0，由此利用韦达定理、关于x轴对称的直线的性质、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△AMN的面积S的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

高二数学寒假作业篇一：高二数学假期作业(2)高二数学假期作业（2）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分．1．若函数f(某)在某＝1处的导数为3，则f(某)的解析式可以为A．f(某)＝(某－1)2＋3(某－1)B．f(某)＝2(某－1)C．f(某)＝2(某－1)2D．f(某)＝某－12．(某)10的展开式中某6y4项的系数是A．840B．－840C．210D．－2103．一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是得通过的概率是A．，他连续测试2次，那么其中恰有一次获2D．14B．13C．12344．已知曲线y＝co某，其中某∈[0，A．1B．23π]，则该曲线与坐标轴围成的面积等于25C．D．325．一位母亲纪录了儿子39岁的身高的数据（略），她根据这些数据建立的身高y（cm）与年龄某的回归模型为y＝7.19某＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是A．身高一定是145.83cmC．身高在145.83cm以上6．若复数B．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下a3i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为12iA．－2B．4C．－6D．67．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值等于A．2B．3C．4D．58．通过随机询问250名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下2某2联A．95%以上认为无关B．90%95%认为有关C．95%99.9%认为有关D．99.9%以上认为有关9．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人，要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有A．210种B．186种C．180种D．90种10．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有A．72种B．96种C．120种D．144种11．(某2＋2某＋1)d某＝()．A．4B．13C．12D．3412．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，那么第2次也抽到A的概率为()．A．B．13C．12D．117第Ⅱ卷（非选择题，共74分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡指定位置上．13．在数列{an}中，a1＝3，且an1＝a2，则数列{an}的通项公式an＝_____．n（n为正整数）14．若(2某－1)7＝a7某7＋a6某6＋…＋a1某＋a0，则a7＋a5＋a3＋a1＝_____________．15．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示___________种不同的信号．16．函数y＝in3某＋co3某在[－，]上的最大值是________________．44三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）n2(n1)2用数学归纳法证明：当n为正整数时，1＋2＋3＋……＋n＝．433318．（本小题满分12分）某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖概率．根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？请说明你的理由．20．（本小题满分12分）先阅读下面的文字，再按要求解答．如图，在一个田字形地块的A、B、C、D四个区域中栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻两区域（A与D，B与C不相邻）种不同的植物，现有四种不同的植物可供选择，问不同的种植方案有多少种？AB某学生给出如下的解答：CD解：完成四个区域种植植物这件事，可分4步，第一步：在区域A种植物，有C14种方法；第二步：在区域B种植与区域A不同的植物，有C13种方法第三步：在区域D种植与区域B不同的植物，有C13种方法第四步：在区域C种植与区域A、D均不同的植物，有C12种方法根据分步计数原理，共有C14C3C3C2＝72（种）答：共有72种不同的种植方案．问题：（Ⅰ）请你判断上述的解答是否正确，并说明理由；（Ⅱ）请写出你解答本题的过程．为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相22．（本小题满分14分）已知函数f(某)＝(某2－2某)ek某（k∈R，e为自然对数的底数）在(和∞)上递增，在[上递减．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数f(某)在区间[0，m]上的最大值和最小值．根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．高二数学假期作业（2）参考答案二、填空题：每小题4分，共16分．13．3214．109415．1516．1三、解答题：共74分．n1122217．证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，4∴等式成立．································································································2分（2）假设当n＝k时，等式成立，即k2(k1)21＋2＋3＋……＋k ＝．··································································4分43333那么，当n＝k＋1时，有k2(k1)21＋2＋3＋……＋k＋(k＋1)＝＋(k＋1)3．········································6分422(k1)2(k2)22k2k4k4＝(k＋1)(＋k＋1)＝(k＋1)＝444(k1)[(k1)1]2＝．··················································································9分433333这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．···························································10分根据（1）和（2），可知对n∈N某等式成立．·······················································12分18．解：设摸出红球的个数为某，则某服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5．············································································4分于是中奖的概率为P(某≥3)＝P(某＝3)＋P(某＝4)＋P(某＝5) (6)分353454555C10C30C10C30C10C30101010＝＋＋································································9分555C30C30C30≈0.191．······································································································12分19．解：根据月工资的分布列，可得E某1＝1200某0.4＋1400某0.3＋1600某0.2＋1800某0.1＝1400．··································································································2分22D某1＝(1200－1400)某0.4＋(1400－1400)某0.3＋(1600－1400)2某0.2＋(1800－1400)2某0.1＝40000···································································································4分E某2＝1000某0.4＋1400某0.3＋1800某0.2＋2200某0.1＝1400·····································································································6分D某2＝(1000－1400)2某0.4＋(1400－1400)2某0.3篇二：2022高二数学下册寒假作业答案D.4某-3y+7=08.过点的直线中,被截得最长弦所在的直线方程为()A.B.C.D.9.(2022年四川高考)圆的圆心坐标是10.圆和的公共弦所在直线方程为____.11.(2022年天津高考)已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为.12(2022山东高考)已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆的标准方程为____________13.求过点P(6，-4)且被圆截得长为的弦所在的直线方程.14、已知圆C的方程为某2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程;(2)圆C上一动点M(某0，y0)，ON=(0，y0)，若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程人的结构就是相互支撑，众人的事业需要每个人的参与。

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期望对考生在备考中有所关心，预祝大伙儿寒假欢乐。

1.(2021浙江高考)已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：选B (-1+i)(2-i)=-1+3i.2.(2021北京高考)在复平面内，复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选A z=i(2-i)=2i-i2=1+2i，复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限.3.若(x-i)i=y+2i，x，yR，则复数x+yi=()A.-2+iB. 2+iC.1-2iD.1+2i解析：选B 由(x-i)i=y+2i，得xi+1=y+2i.x，yR，x=2，y=1，故x+yi=2+i.4.(2021新课标全国卷)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|，则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.解析：选D 因为|4+3i|==5，因此已知等式为(3-4i)z=5，即z=====+i，因此复数z的虚部为.5.(2021陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z20，则z是实数B.若z20，则z是虚数C.若z是虚数，则z20D.若z是纯虚数，则z20解析：选C 设z=a+bi(a，bR)，则z2=a2-b2+2abi，由z20，得则b=0，故选项A为真，同理选项B为真;而选项D为真，选项C为假.故选C.6.若复数z=a2-1+(a+1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为()A.-B.-iC.D.i解析：选A 由题意得因此a=1，因此===-i，依照虚部的概念，可得的虚部为-.7.若=a+bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a+b=________.解析：由===a+bi，得a=，b=，解得b=3，a=0，因此a+b=3.答案：38.复数z=(i是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第______ __象限.解析：由题意得z===-i，因此其共轭复数=+i，在复平面上对应的点位于第一象限.答案：一9.定义运算=ad-bc，复数z满足=1+i，则复数z的模为________.解析：由=1+i，得zi-i=1+iz==2-i，故|z|==.答案：10.运算：(1);(2);(3)+;(4).解：(1)==-1-3i.(2)====+i.(3)+=+=+=-1.(4)====--i.11.实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(1)与复数2-12i相等;(2)与复数12+16i互为共轭复数;(3)对应的点在x轴上方.解：(1)依照复数相等的充要条件得解得m=-1.(2)依照共轭复数的定义得解得m=1.(3)依照复数z对应点在x轴上方可得m2-2m-150，解得m-3或m5.12.复数z1=+(10-a2)i，z2=+(2a-5)i，若1+z2是实数，求实数a的值.解：1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.1+z2是实数，a2+2a-15=0，解得a=-5或a=3.a+50，a-5，故a=3.[冲击名校]1.若sin +2icos =2i(i为虚数单位)，则的取值范畴为()A.{|=k，kZ}B.C.{|=2k，kZ}D.解析：选C 由两个复数相等的条件得：sin =0，cos =1，因此的终边落在x轴的正半轴上.2.(2021全国自主招生北约卷)若模均为1的复数A，B，C满足A+B+C 0，则的模长为()A.-B.1C.2D.无法确定解析：选B 依照公式|z|=知，A=1，B=1，C=1.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

高二数学寒假作业（一）立体几何（A）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．长方体的对角线长为14，所有棱长和为24，则其表面积是____________2．如图三棱锥A—BCD，E，F，G，H是边AB，BC，CD，DA的中点，AC=BD，那么四边形EFGH为_______________3．已知P为△ABC所在平面外一点，且在平面ABC上的射影为O，若PA=PB=PC，∠ACB=90°，则O在________________4．用一长12、宽8的矩形铁皮围成圆柱侧面，则圆柱的体积为__________5．球的外切圆柱的全面积与球面面积之比为__________6．PA垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离为 .7．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则对应几何体的体积为____________，表面积为______________8．有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_______________________9．a，b，c分别表示三条直线，α表示平面，给出下列四个命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若b α，a∥b，则a∥α；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.其中不正确命题的有（填序号）10．如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中有异面直线__________对二、解答题：（共4题，11题10分，12题12分13、14题14分，共50分）11．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，在图(1)中E 、F 分别是D 1C 1、B 1B 的中点，画出图(1)、(2)中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．12．已知Rt △ABC 中，∠A=90º，C ∈α，AB ∥平面α，AB=8，AC 、BC 与平面α所成角分别60º、30º，求AB 到平面α的距离.13．在四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA ⊥底面ABCD,底面ABCD 是矩形,问底面的边BC 上是否存在点E,(1)使得∠PED=900；(2)使∠PED 为锐角．证明你的结论．14．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA=PD ，且PA ⊥PD ．（1）求证：PA ⊥平面PDC ：（2）已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点Q ，使EQ∥平面PBC?若存在，写出点Q 的位置；若不存在，说明理由．α CA B B Q C P A高二数学寒假作业（三）直线与圆（A ）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 直线x=1的倾斜角等于2.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0 的直线方程为3.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为4．已知ab ＜0,bc ＜0，则直线ax+by=c 的图像一定不过第 象限5．点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是________________6．与直线y=2x+3关于y 轴对称的直线方程为7．方程x 2+y 2-4x-2y=0表示圆的圆心坐标为 ，半径为8．圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R,θ≠2+k π,k ∈z)的位置关系为 9.已知直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则实数a,b 满足关系10.若直线ax+by-3=0与圆x 2+y 2+4x-1=0切于点P(-1,2)，则实数ab 的值等于_ _二、解答题：（共4题，11题10分，12题12分13、14题14分，共50分）11. 若方程（2m 2+m-3）x+(m 2-m)y-4m+1=0表示一条直线，求实数m 的取值范围.12.求经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.13. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，求圆C的方程.14. 求经过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程．高二数学寒假作业（五）圆锥曲线一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1.椭圆191622=+y x 的焦点坐标是 2. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 3. 抛物线28y x =-的焦点坐标是 4. 若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是_ ． 5. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A(-3,23)的双曲线的方程是 6.离心率等于25，且与13422=+y x 有公共焦点的双曲线方程是 7. 抛物线y=4x 2的准线方程为 8.双曲线12222=-by a x 的两焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是 9．双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为20，则点P 到右准线的距离为 10. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为二、解答题：（共4题，11题10分，12题12分13、14题14分，共50分）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右准线方程为x =C 的方程.12．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.求椭圆C 的方程13．如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 求证：FM 1⊥FN 114．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程p=2高二数学寒假作业（六）简易逻辑一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么命题q 一定是 （填真命题、假命题）2．下列说法①x ≥3是x>5的充分不必要条件②x ≠±1是x ≠1的充要条件③若﹁p ⇒﹁q ，则p 是q 的充分条件④一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形,其中正确的个数是3．方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根，则m 的取值范围是4. “x 2+2x-8=0”是“x-2=x -2”的 （填充分、必要性 ）5. “022≠+b a ”的四种解释：①a, b 全不为0②a, b 不全为0③a, b 至少有一个为0④a, b 至少有一个不为0中正确的是6. 已知P ：∣2x－3∣>1；q:0612>-+x x ；则﹁p 是﹁q 的 条件（填充分、必要性）7．给出下面四个命题①“正三角形边长与高的比是2︰3”的逆否命题；②“若x,y 不全为0，则022≠+y x ”的否命题；③“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的充分条件；④若C A B A =，则C B =。

高二数学寒假作业检测题一、选择题：（每题5分，共30分）1、在△ABC 中，a 2+b 2-c 2=ab ，则c 为（ ） A 、60°B 、45°或135°C 、90°D 、120°2、等差数列{a n }中，a 1+a 2=3，a 3+a 4=6，则a 7+a 8等于（ ） A 、48 B 、95 C 、15D 、123、下列命题中，真命题是（ ） A 、0,00≤∈∃x eR xB 、22,x R x x >∈∀C 、a+b=0的充要条件是1-=baD 、a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4、若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤112y y x x y ，则x+2y 的最大值是（ ）A 、25-B 、0C 、35 D 、255、已知双曲线C ：12222=-by a x 的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A 、152022=-y x B 、120522=-y x C 、1208022=-y x D 、1802022=-y x 6、在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，二面角A ′—BD —C 的余弦值是（ ） A 、33 B 、32 C 、-33 D 、-32 （文）若f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．6 D ．2或6 二、填空题：（每题5分，共10分）7、已知x ＞0，y ＞0，且911=+yx ，则x+y 的最小值为 。

8、（理）由曲线y=x 2与y=-x 2+2所围成的图形的面积为 。

（文）抛物线y 2=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 。

三、解答题：(每题20分,共60分)9、在△ABC 中，a=3，b=26，∠B=2∠A 。

（1）求cosA 的值；（2）求边c 的值。

10、f(x)=lnx ，g(x)=f(x)+f ′(x)，求g(x)的单调区间和最小值。

数学寒假作业（一）测试范围：解三角形使用日期：腊月十九 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 22．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A.31010 B ．－31010 C.55D ．－554．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°6．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.24257．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( ) A ．150° B ．120° C ．90°D ．135°8．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不能确定9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 210．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52 D ．512．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为85，则此三角形面积为________．14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C .19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cos B cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b、c.家长签字：日期：数学寒假作业（一）答案1、[答案] D2、[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3、[答案] D4、[答案] A5、[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6、[答案] A7、[答案] B8、解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a >b .∴A >B .答案：A 9、[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sinB ＝2sin A ，∴sin B sin A ＝ 2.由正弦定理，得ba ＝sin Bsin A ＝ 2.10、[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a . 当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.故△ABC 为直角三角形．11、[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5，∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.12、[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.13、[答案] 403[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14、[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 15、[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.∵CD ＝2，AC ＝19，∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719. ∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738.∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0.∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．∴h ＝AD sin60°＝332.16、[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．17、[解析] (1)∵cos C ＝55，∴sin C ＝255，∴tan C ＝2.∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，又0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c ×sin B sin C ＝4×22255＝10.∵B ＝π4，∴A ＝3π4－C .∴sin A ＝sin(3π4－C )＝sin 3π4cos C －cos 3π4sin C ＝22×55－(－22)×255＝31010.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×10×4×31010＝6.18、[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－2 3 ② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎨⎧b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎨⎧b ＝3＋1c ＝2，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3＋1sin60°6＝6＋24.∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19、[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40.在△ABP 中，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°， ∴BP ＝ABsin ∠APB ·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋2032＝207.∴P 、C 间的距离为207nmile.20、[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．21、[解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧b ＝6c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26c ＝4.22、[解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223.由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.数学寒假作业（二）测试范围：数列使用日期：腊月二十一 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110 D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．等比数列{a n }中，a 3＝12， a 5＝48，那么a 7＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．18．(12分)等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20.19．(12分)已知数列{a n}的首项a1＝3，通项a n＝2n p＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{a n}的前n项和S n的公式．20．(12分)设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1＝0，c n＝a n＋b n，若{c n}是1,1,2，…，求数列{c n}的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .家长签字：日期：数学寒假作业（二）答案1、答案 D2、答案 B3、答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4、答案 A5、答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C.6、答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7、答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 8、答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9、答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10、答案 B 11、答案 B 12、答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n }为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12.∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n，∴a 10＝15.13、解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.14、解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，2n －1n ≥2.15、解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 16、解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.17、解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18、解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19、解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20、解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d ＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21、解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22、解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.数学寒假作业（三）测试范围：不等式使用日期：腊月二十三 测试时间：100分钟 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b4．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．35．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．156．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3＞10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅7．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．a (a －b )＞08. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．19． 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．210．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2<m <4 D ．－4<m <2 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝2－x －4x (x ＞0)的值域为________． 12．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．13．已知不等式x 2－ax －b ＜0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________．14．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1，表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．三、解答题(共4小题，共50分) 15．(12分)解下列关于x 的不等式 (1)1＜x 2－3x ＋1＜9－x(2)ax2－x－a2x＋a＜0(a＜－1)16．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．17．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？18．(14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．家长签字：日期：数学寒假作业（三）答案1．选C 原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.2．选A 因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N . 3．选C 选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a ＞b ，但a 2＜b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2＞b 2，但a ＜b ，所以D 不正确．很明显C 正确．4.选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0,3)处取得最小值，∴z 最小值＝－3.5．选B x ，y 为正数，(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y ＝2x等号成立．6．选 A ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3＞10x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3＜－5x ＋3x ＋4≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3.7．选C 由已知可得，c ＜0，a ＞0，b 不一定，若b ＝0时，C 不一定成立，故选C. 8．选A 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13、－1、0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.9．选B 如图所示：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，表示的可行域如阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x ，得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.10．选D ∵x >0，y >0.∴2y x ＋8x y ≥8(当且仅当2y x ＝8xy 时取“＝”)． 若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立， 则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2.11．解析：当x ＞0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．答案：(－∞，－2]12．解析：由已知得2x 2＋2x －4≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.答案：{x |－3≤x ≤1}13．解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3.根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1＜0，解得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1314．解析：画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d ＝4 2.答案：4 215．解：(1)∵1＜x 2－3x ＋1＜9－x ， ∴x 2－3x ＋1＞1且x 2－3x ＋1＜9－x . ∴x ＞3或x ＜0且－2＜x ＜4. ∴－2＜x ＜0或3＜x ＜4.∴原不等式1＜x 2－3x ＋1＜9－x 的解集为{x |－2＜x ＜0或3＜x ＜4}． (2)由ax 2－x －a 2x ＋a ＜0 ∴(x －a )(ax －1)＜0因a ＜－1∴(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，当a ＜－1时，1a ＞a ，所以x ＜a ， 或x ＞1a .∴不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞1a }．16．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k ＜0 .由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3×－2＝6，－3＋－2＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝4－4k ·6k ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k ＞66或k ＜－66.所以k ＜－66.即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 18．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． 而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －1×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．数学寒假作业（四）测试范围：简易逻辑使用日期：腊月二十五 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1＞0 D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b 的充要条件；③a＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．则其中正确的说法有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0, 则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．(2013·广州一模)“m <2”是“一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：5x －6＞x 2，则非p 是非q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0, 则x ，y 互为相反数”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题． 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈z .命题q ：∃x 0∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＝0.则下列命题为真命题的是( )A ．非pB ．p ∧qC ．非p ∨qD ．非p ∨非q 9．(2014·江西卷)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，a ，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤111．下列命题中的假命题是( )A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1，0)C ．∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∀m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 12．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．命题：“若a ·b 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________________________________________________________________________．14．用“充分、必要、充要”填空：①p∨q为真命题是p∧q为真命题的__________条件；②非p为假命题是p∨q为真命题的__________条件；③A：|x－2|＜3，B：x2－4x－15＜0，则A是B的________条件．15．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．16．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)对于下述命题p，写出“非p”形式的命题，并判断“p”与“非p”的真假：(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；(2)p：有一个素数是偶数；(3)p：任意正整数都是质数或合数；(4)p：三角形有且仅有一个外接圆．18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．20．(12分)已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．21．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．家长签字：日期：数学寒假作业（四）答案1、B 解析：可以判断真假的陈述句．2、D 解析：原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．3、A 解析：①a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，仅仅是充分条件；②a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，仅仅是充分条件；③a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，仅仅是充分条件．4、D 解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．5、B 解析：一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解为m ∈(－2，2)，则m <2只是其必要不充分条件．6、A 解析：非p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，非q ：5x －6≤x 2，x 2－5x ＋6≥0，x ≥3或x ≤2，非p ⇒非q ，充分不必要条件． 7、C 解析：若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等” 为假命题；若q ≤1⇒4－4q ≥0，即Δ＝4－4q ≥0，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根，为真命题．“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题．8、D 解析： 显然命题p 为真；因为对∀x ∈R ，都有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＞0，所以命题q 为假，所以非q 为真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D 正确．9、D 解析：由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，则a ∥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．10、A 解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1.∴a ≤－2或a ＝1.11、C 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题；将(1，0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题；当φ＝π2时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2是偶函数，C 为假命题；当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.12、A 解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2，a ≥1. ∴a ≤－2，或a ＝1.13、答案：若a ，b 至少有一个为零，则a ·b 为零 14、答案：①必要 ②充分 ③充分15、解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16、解析：由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－117、解析：(1)非p ：91∉A ，或91∉B ；p 真，非p 假． (2)非p ：每一个素数都不是偶数；p 真，非p 假．(3)非p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，非p 真．(4)非p ：存在一个三角形有两个及其以上的外接圆或没有外接圆；p 真，非p 假．18、解析：逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19、解析：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12＞1，f （1）＞0，即k ＜－2，所以其充要条件为k ＜－2.20、解析：对于命题p ：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减． 当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0＜a ＜1.如果p 为假命题，那么a ＞1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4＞0，即4a 2－12a ＋5＞0⇔a ＜12，或a ＞52.又∵a ＞0，所以如果q 为真命题，那么0＜a ＜12或a ＞52.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 21、解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，的(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2， 即2＜x ≤3.所以q 为真时，2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3⇔2＜x ＜3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，则有(2，3](a ，3a )．于是满足⎩⎨⎧a ≤2，3a ＞3，解得1＜a ≤2，故所求a 的取值范围是(1，2]．数学寒假作业（五）测试范围：圆锥曲线使用日期：腊月二十七 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2→| ＝( )A.32B. 3C.72 D ．42．抛物线的顶点和椭圆x 225＋y 29＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝8xC ．y 2＝12xD ．y 2＝6x3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝15．(2013·惠州一调)已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或76．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(1，2)C ．(2，1)D ．(－1，2)7．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＝y 24＝18．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．49．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4，0)B ．(2，0)C ．(0，2)D ．(0，－2)10．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝2y －1 D ．x 2＝2y －211．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5，0)或(－5，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332C ．(0，3)或(0，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，3212．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(1，3]D ．(1，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．抛物线y 2＝8x 上一个点P (P 在x 轴上方)到焦点的距离是8，此时P 点的坐标是________．14．与椭圆x 24＋y 23＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是____________．15．若直线y ＝32x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是________．16．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是_________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在 x 轴上，虚轴长为12，离心率为 54； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .18．(12分) 已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19．(12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．20. (12分)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，54b ，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34b ，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．22．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1，0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．家长签字：日期：数学寒假作业（五）答案1、C2、A3、C 解析：由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1＋m 1＝1＋m ＞2，m ＞1.4、B5、C6、B7、C 解析：依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ，又|AB |＝b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝2b 2a ＝3，∴2b 2＝3a .又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a ＝2，b ＝ 3.故C 的方程为x 24＋y 23＝1.8、C 解析：设P (a ，b )为抛物线上在第一象限内的点，则a ＋2＝42，得a ＝32，因为点P (a ，b )在抛物线上，所以b ＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝23，故选C.9、B 解析：直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)．10、C 解析：由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0，1)，设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1. 11、C 解析：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1||PF 2|22＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C.12、C 解析：|PF 2|2|PF 1|＝（|PF 1|2a ）2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号． 又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a .∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1，3]． 13、答案：()6，4314、答案：x 28＋y 26＝1或3y 225＋4x 225＝1 15、答案：216、解析：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52＞(m2)2，得－10＜m ＜10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10)．答案：(－10，10)17、解析：(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，b 2＝c 2－a 2.解得a ＝8，b ＝6，c ＝10.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264－y 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，b a ＝32.解得a ＝3，b ＝92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为 x 29－y 2814＝1.同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为y 29－x 24＝1. 故所求双曲线的方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.18、解析：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是 x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么：x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95.所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.19、解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，双曲线的方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1，半焦距c ＝13，由已知得：a 1－a 2＝4，c a 1∶c a 2＝3∶7，解得：a 1＝7，a 2＝3.所以：b 21＝36，b 22＝4，故所求两条曲线的方程分别为：x 249＋y 236＝1 ，x 29－y 24＝1.20、解析：(1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·yx －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.解得x 1＝0, x 2＝－4k1＋2k 2(x 1，x 2分别为M ，N 的横坐标)．由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝432，解得：k ＝±1.所以直线l 的方程x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。

寒假作业（一）参考答案CBCB BABC ； 1(0,)2； (-1,+∞)； 49； [3，＋∞)； 0；；15. 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12， 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.16. 解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =,3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a-<-,综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17. 解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0.而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 上单调递增 所以ex 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x 所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=-- 解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y （3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减，在()+∞-,1a e 上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增，所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+18. （Ⅰ）由题意：)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ，)0(>x分离参数a 可得：)0(ln >-≤x xx x a ………………（1分）设x x x x ln )(-=φ，则22/1ln )(x x x x -+=φ………………（2分）由于函数2x y =，x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数，所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数，显然1=x 时，该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时，0)(/<x ϕ，当),1(+∞∈x 时，0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数，在),1(+∞∈x 上是增函数所以1)1()(min ==φφx ，所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a ………………（4分）（Ⅱ）由题意知道：x ax x x h ln )(2+-=，且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ，且)21,0(1∈x ， 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ，且)2,1(,122=+=i x ax i i…………（6分） 而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=，)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ，则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ，即2ln 43)()(21->-x h x h ………………（8分）（Ⅲ）)21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax ………………（9分）因为(1,2)a ∈，所以21212212222=-≤-=-a a aa 所以当),21(+∞∈x 时，)(x r 是增函数，所以当01[,1]2x ∈时， 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ，(1,2)a ∈………………（10分）所以，要满足题意就需要满足下面的条件：)1(21ln12a k a a ->++-，令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ，(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈，)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ ………（11分）分类讨论如下：（1）若0=k ，则1)(/+-=a aa ϕ，所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减， 此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意（2）若0<k ，则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ，所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减，此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意 （3）若0>k ，则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ，那么当1121>-k 时，假设t 为2与121-k 中较小的一个数，即}121,2min{-=k t ，则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减，此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意。

高二数学寒假作业一． 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上. 1. 点)2,1,3(-关于xoy 平面对称点是 ( )A. )2,1,3(-B. )2,1,3(--C. )2,1,3(--D. )2,1,3( 2.与直线230x y -+=关于x 轴对称的直线方程为 ( )A ．230x y +-=B ．230x y ++=C ．230x y -+=D ．230x y --=3.对满足A B 的非空集合A 、B 有下列四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件；④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件，其正确命题的个数为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．14.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (-2,0)及点B (2，a )，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 ( )A ．),1()1,(+∞---∞B ．),2()2,(+∞--∞C ．),334()334,(+∞--∞ D ．),4()4,(+∞--∞ 5.某高中在校学生2 000人，高一与高二人数相同并都比高三多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：高一 高二 高三 跑步 a b c 登山 x y z其中5:3:2::=c b a ，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二参与跑步的学生中应抽取 ( )A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人6. 过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是 ( ) A ．12422=-y x B ．12422=-x y C ．14222=-y x D ．14222=-x y7．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如右图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为 ( )A ．19,13B ．13,19C ．20,18D ．18,208．阅读下面的程序框图，则输出的S 等于 ( )A ．14B ．20C ．30D ．559.若椭圆)2(1222>=+m y m x 与双曲线)0(1222>=-n y n x 有相同的焦点21,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2110.设P 为抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为抛物线焦点，定点)3,1(A ，且PF PA +的最小值为10，则抛物线方程为 （ ）A ．x y )110(42-= B ．x y )110(22-= C ．x y 42= D ．x y 82=二、填空题: 本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上 11．把89化为五进制数是________;12.已知点),(y x P 在以原点为圆心的单位圆122=+y x 上运动，则点),(xy y x Q +的轨迹所在的曲线是 （在圆，抛物线，椭圆，双曲线中选择一个作答）; 13.极坐标方程52sin42=θρ化为直角坐标方程是__________;14.先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b .将a ，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________;15.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三．解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.据统计，从5月1日到5月7日参观上海世博会的人数如下表所示：日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数(万)21 23 13 15 9 12 14其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日．(1)把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数(精确到0.1)(2)用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率．始开束结S 出输1,0==i S 2i S S +=1+=i i ?4>i 否是17.设21,F F 是双曲线1422=-y x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=∙+P F OF OP （O 为原点坐标）且21PF PF λ=，则λ的值为已知圆C 的圆心在射线03=-y x )0(≥x 上，圆C 与x 轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72 ，则(1)求圆C 的方程；(2)点),(y x P 为圆C 上任意一点，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围。