定积分的换元积分法教案

定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。

而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。

本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。

二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。

下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。

例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。

解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。

同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。

将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。

最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。

通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。

2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。

3. 进行简化和积分运算。

4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。

三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。

它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。

以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。

2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。

3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。

4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。

例子2：计算∫x ln(x) dx。

解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。

第三节 定积分换元积分法与分部积分法教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法 教学重点：定积分换元积分法一、换元积分法定理 假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =ϕ(t )满足条件:(1)ϕ( )=a , ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ],则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明 由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的.假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则dx x f b a )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面, 因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ), 所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数, 从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β )]-F [ϕ(α )]=F (b )-F (a ).因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.例1 计算⎰-a dx x a 022(a >0).解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cos πtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t a tdt a 220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=. 提示: t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2π=t . 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π.解 令t =cos x , 则 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t t x 令. 提示: 当x =0时t =1, 当2π=x 时t =0.或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ 610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx . 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x .解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ ⎰⎰-=πππ223023cos sin cos sin xdx x xdx x ⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd 54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示: |cos |sin )sin 1(sin sin sin 32353x x x x x x =-=-.在]2,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x . 例4 计算dx x x ⎰++40122. 解 ⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令 322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t . 提示: 212-=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3.例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00⎰⎰⎰+=--,而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令, 所以 ⎰⎰⎰+-=-a aa a dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([.讨论:若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=⎰-a a dx x f )(？提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而 0)]()([)(0=+-=⎰⎰-a a a dx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ; (2)⎰⎰=πππ00)(sin 2 )(sin dx x f dx x xf .证明 (1)令t x -=2π, 则 dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=00)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f . (2)令x = -t , 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf ⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f ,所以 ⎰⎰=πππ00)(sin 2 )(sin dx x f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110 )(2x xx xe x f x , 计算⎰-41)2(dx x f . 解 设x -2=t , 则 ⎰⎰⎰⎰---++==-200121412cos 11)()2(dt te dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t . 提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2.二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由(uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v ,等式两端在区间[a , b ]上积分得vdx u uv dx v u b a b a b a '-='⎰⎰][, 或vdu uv udv ba b a b a ⎰⎰-=][. 这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba b a b a b a b a b a . 例1 计算xdx arcsin 210⎰. 解 xdx arcsin 210⎰x xd x x arcsin ]arcsin [210210⎰-= dx x x 2101621--⋅=⎰π )1(1121122210x d x --+=⎰π 2102]1[12x -+=π12312-+=π. 例2 计算⎰10dx e x .解 令t x =, 则 ⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde⎰-=101 0 2 ][2dt e te t t2 ][221 0 =-=t e e .例3 设⎰=20sin πxdx I n n , 证明(1)当n 为正偶数时, 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ; (2)当n 为大于1的正奇数时, 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n . 证明 ⎰=0sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 0 1sin cos ]sin [cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得 21--=n n I nn I . 02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=, 112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+, 而2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I , 因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m . 例3 设⎰=20sin πxdx I n n (n 为正整数), 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m . 证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=0222 0 1sin cos )1(]sin [cos ππxdx x n x x n n ⎰--=-02)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-002sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得 21--=n n I nn I . 02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=, 112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+. 特别地 2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I .因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m . 课堂练习：1．求⎰-+0212dx x 2．设⎩⎨⎧≤<≤≤=2x 1x,-21x 0 ,)(x x f ，求⎰20)(dx x f 。