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指数对数概念和运算公式1.指数的概念指数表示一个数的多次相乘。
例如，3的指数2表示3相乘两次，即3^2=3×3=9、指数通常用上标来表示，如3^2表示3的2次方。
2.指数的运算公式(1)指数相加对于相同的底数，指数相加等于底数不变的情况下对应项的系数相加。
如：a^m×a^n=a^(m+n)(2)指数相减对于相同的底数，指数相减等于底数不变的情况下对应项的系数相减。
如：a^m÷a^n=a^(m-n)(3)指数相乘对于相同的底数，指数相乘等于底数不变的情况下对应项系数相乘。
如：(a^m)^n=a^(m×n)(4)指数相除对于相同的底数，指数相除等于底数不变的情况下对应项系数相除。
如：(a÷b)^m=a^m÷b^m(5)互为倒数对于相同的底数，指数互为倒数等于底数不变。
如：a^(-n)=1/(a^n)注：若底数为0，则指数为正无穷时，结果为0，指数为负无穷时，结果为无穷大。
1.对数的概念对数是指以一些确定的数为底数，另一个数为指数，得到底数与结果之间的关系，即找出满足a^x=b条件下的x的值。
2.对数的运算公式(1)换底公式log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)其中a、b、c分别表示底数、真数和换底数。
(2)对数相加log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)(3)对数相减log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)(4)乘方转换a^(log_a(b))=b(5)以10为底的常用对数常用对数通常以log(x)表示，等价于log_10(x)，其中x>0。
(6)自然对数以上公式仅为一些基础的指数对数概念和运算公式，还有更多的公式和定理在高等数学中有详细的介绍。
掌握好这些公式和概念，可以在解决数学问题中更加灵活和高效地应用指数对数运算。
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
指数知识点归纳总结一、基本概念1.1 指数的定义指数是数学中的一种运算符号，表示几个相同的数相乘的乘方运算，其中一个数是底数，另一个数是指数。
一般写作a^n，其中a为底数，n为指数。
1.2 指数的性质（1）相同底数的指数相加等于它们的乘积，即a^m * a^n = a^(m+n)；（2）相同底数的指数相减等于它们的商，即a^m / a^n = a^(m-n)；（3）指数的乘方等于底数的乘方再次乘方，即(a^m)^n = a^(m*n)；（4）指数的除法等于底数的除法再对指数取商，即(a/b)^n = a^n / b^n；（5）底数为0且指数为正数时，结果为0；（6）底数为0且指数为负数时，结果为无穷大。
1.3 指数函数指数函数是以底数为常数的指数运算构成的函数，一般写作f(x) = a^x。
指数函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的特征。
二、指数运算2.1 正整数指数运算若指数为正整数，则乘方运算表示为多个底数相乘，如a^3 = a * a * a。
2.2 零指数运算任何非零数的零次幂等于1，即a^0 = 1。
2.3 负整数指数运算若指数为负整数，则乘方运算表示为底数的倒数相乘，如a^(-n) = 1 / (a^n)。
2.4 分数指数运算若指数为分数，则乘方运算可以表示为开方，即a^(1/n) = n√a。
三、指数的化简3.1 合并同底数的指数当指数相同的底数相乘或相除时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^m = a^(m+n)。
3.2 底数相同指数相加当底数相同的指数相加时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^n = a^(m+n)。
3.3 底数为分数的指数当底数为分数的指数运算时，可以先化为开方形式，再进行运算。
四、常见指数函数4.1 自然指数函数自然指数函数是以常数e为底数的指数函数，其中e≈2.71828，一般写作f(x) = e^x。
4.2 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般写作y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为指数。
指数运算知识点总结1. 指数的定义指数是代表着一种运算规则，也就是表示一个数要乘以自己的次数。
我们先来看看指数的数学定义。
假设a是任意一个非零实数，且n是一个正整数，那么a 的n次方（记作a^n）定义为：a^n = a * a * ... * a （n个a相乘）。
其中，a是底数，n是指数。
根据这个定义，我们可以得出以下几点结论：- 当指数n为0时，任何非零实数a的0次方均为1，即a^0 = 1。
- 当指数n为1时，任何非零实数a的1次方等于a本身，即a^1 = a。
- 当指数n为负整数时，a的-n次方等于1除以a的n次方，即a^(-n) = 1 / a^n。
（当a≠0时）- 当指数n为分数时，a的m/n次方等于a的m次方的n次根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。
2. 指数的性质指数有一些非常重要的性质，它们为指数运算提供了一些非常有用的计算规则。
2.1. 指数幂的乘法法则对于相同的底数，不同的指数幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m * a^n = a^(m+n)这个性质被称为指数幂的乘法法则。
2.2. 指数幂的除法法则对于相同的底数，不同的指数幂相除时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m / a^n = a^(m-n) （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的除法法则。
2.3. 指数幂的乘方法则对于一个底数的指数幂的幂，可以将底数保持不变，指数相乘得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：(a^m)^n = a^(m*n)这个性质被称为指数幂的乘方法则。
2.4. 指数幂的负次幂法则一个非零实数的负次幂等于其倒数的相应正次幂。
例如，对于任意非零实数a，以及任意正整数n，有以下恒等式成立：a^(-n) = 1 / a^n （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的负次幂法则。
数学指数的相关知识点总结一、指数的定义指数的定义非常简单：如果一个数a与自身相乘n次，那么我们就称n为a的指数，记作a^n。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的定义还可以用数学公式来表示：a^n=a*a*...*a（共n个a相乘）。
例如，2^3=2*2*2=8。
在这个例子中，2是底数，3是指数，8是乘方的结果。
在数学领域中，指数通常可以是正整数、负整数、分数、小数等多种形式，我们将在后面的内容中详细介绍这些不同形式的指数。
二、指数的性质1. 指数为正整数时，底数是指数的连乘：例如，3^2=3*3=9；3^3=3*3*3=27。
2. 指数为0时，任何非零数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。
3. 指数为1时，任何数的1次幂都等于它自己。
4. 指数为负整数时，底数是指数的连除，即a^(-n)=1/a^n。
5. 指数为分数时，底数是指数次方根：例如，4^(1/2)=sqrt(4)=2；8^(1/3)=cbrt(8)=2。
6. 指数可以是小数，此时需要借助对数函数进行解释和计算。
以上这些性质是指数的基本性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和应用指数的概念。
三、指数的运算规则指数的运算规则是指数的乘方、除方、幂次运算等相关规则。
以下是指数的运算规则：1. 底数相同，指数相加则乘：a^m*a^n=a^(m+n)。
2. 底数相同，指数相减则除：a^m/a^n=a^(m-n)。
3. 指数相同，底数相乘则底数不变，指数相加：a^m*b^m=(a*b)^m。
4. 指数相同，底数相除则底数不变，指数相减：a^m/b^m=(a/b)^m。
5. 指数相乘，底数不变，指数相乘：(a^m)^n=a^(m*n)。
6. 指数相除，底数不变，指数相除：(a^m)^1/n=a^(m/n)。
以上这些运算规则是指数运算中常用的规则，我们可以根据这些规则简化乘方运算或者除方运算，从而得到更简便的结果。
四、特殊指数的应用1. 自然对数e的指数函数：当指数是e时，这个指数函数就是自然对数函数exp(x)。
指数的知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义指数是代表幂运算的一个数，用来表示多少个相同的数相乘。
指数通常写在被乘数的右上角，被乘数称为基数，指数称为幂。
例如，在2^3中，2是基数，3是指数。
1.2 指数运算的性质（1）指数相同，底数相乘a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数相同，底数相除a^m / a^n = a^(m-n)（3）指数相同，底数相乘相除后再开方(a^m * b^n)^(1/m) = a * b^(n/m)二、指数的实际应用2.1 科学计数法科学计数法是一种用指数表示较大或较小数值的方法，常用于自然界中出现的非常大或非常小的数值，例如宇宙中的距离、原子的直径等。
科学计数法的表示方法为a * 10^n，其中a为系数，n为指数。
例如，地球到太阳的距离约为1.5 * 10^11米。
2.2 质子、中子和原子量在物理学中，质子和中子的质量通常用原子质量单位（amu）表示，原子质量单位是以碳-12的质量为准，定义为1/12个碳-12原子的质量。
质子的质量约为1.0073amu，中子的质量约为1.0087amu。
因此，质子和中子的质量可以表示为10^(-27)千克。
2.3 天文学中的光年在天文学中，光年是一种长度单位，表示光在一年内在真空中传播的距离。
光年通常用于测量恒星、星系等天体的距离。
1光年约为9.461 * 10^15米。
2.4 生物学中的基因组大小在生物学研究中，经常需要测量生物体的基因组大小，即DNA的长度。
基因组大小通常以基本对数为单位，如千兆（G）或十亿（B）碱基对。
例如，人类的基因组大小约为3 * 10^9碱基对。
三、指数函数3.1 指数函数的定义指数函数是以常数e为底的指数函数，通常用y=e^x表示。
指数函数的图像为一条通过点（0,1）的递增曲线，呈指数增长。
指数函数在数学、经济学、生物学等领域具有广泛的应用。
3.2 指数函数图像的性质（1）当x为负数时，e^x的值在0到1之间逐渐减小；（2）当x为正数时，e^x的值逐渐增大。
高职高考指数函数知识点在高职高考数学中，指数函数是一个非常重要的知识点。
本文将从指数函数的定义、性质以及应用等方面，简要介绍高职高考涉及的指数函数知识点。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数的指数与自变量的幂次关系而定义的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的定义中，底数a可以为任意实数，但当a>0且a≠1时，指数函数才是一种特殊的函数形式，也是高职高考中所关注的指数函数。
二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数集R，值域为(0,+∞)。
2. 单调性：当0<a<1时，指数函数单调递减；当a>1时，指数函数单调递增。
3. 与指数幂和乘方函数的关系：- 对于底数a>0且a≠1，指数函数f(x)=a^x与指数幂函数f(x)=a^m（m为整数）的定义域均为全体实数集R，并且具有相同的增减性质。
- 指数函数f(x)=a^x与乘方函数f(x)=x^m（m为正偶数）的图象关于y轴对称。
三、指数函数的应用1. 生活中的应用：- 金融领域：复利计算中，投资本金与时间的关系可以用指数函数来表示。
- 科学领域：在自然界的许多现象中，往往跟时间的增长呈指数规律变化，如放射性元素的衰变、细菌的繁殖等。
- 经济领域：人口增长、市场营销、市场份额等都存在着指数函数的规律。
2. 题型分析与解题方法：- 基本指数函数的性质运用：根据指数函数的基本性质，解题过程中常用到的方法有：配方、比较、取对数化简等。
- 正题型与反题型：在指数函数题型中，存在着正题型和反题型。
正题型是已知指数、底数或函数的特点，求解指数函数的函数值或解析式；反题型则相反，已知函数值或函数的特点，求解指数或底数等。
四、典型例题分析下面通过几个典型的高职高考指数函数题来进行分析和解答。
例题一：若指数函数f(x)=2^x中存在两个整数x1、x2（x1<x2），使得2^(x1+x2)=8，则x1、x2的值分别为多少？解析：根据指数函数的性质，指数为x1的函数值为2^x1，指数为x2的函数值为2^x2。
2019年高考数学一轮复习：指数函数指数函数1．根式(1)n 次方根：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ． (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ．(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n ＝ (a ≠0，n ∈N *)． (3)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(6)有理指数幂的运算性质 ⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ）， 3．指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图 象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域__________ 性质过定点_____________在R 上是______在R 上是______自查自纠1．(1)n 次方根 ①正 负 na②两 相反数 na －n a ±n a ④0 n 0＝(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1a n (3)na m (4)1n a m(5)0 没有意义 (6)a r ＋s a rs a r b r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数－(0.01)－0.5＋0.2－2＝( )A ．－15B ．10C ．15D ．25解：原式＝－(10－2)－12＋(5－1)－2＝－10＋52＝15.函数y ＝a x －3＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点( )A ．(3，3)B ．(3，4)C ．(0，3)D ．(0，4)解：当x ＝3时，无论a 取何值y ＝4，故过定点(3，4)．故选B .(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x 单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0⇔x >y .故选C .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 12，x ≥1， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln2，得x ≤1＋ln2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上，x ≤4.故填(－∞，4]．(2015·山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 解：若0<a <1，则f (x )在区间[－1，0]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2. 若a >1，则f (x )在区间[－1，0]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解． 所以a ＋b ＝12－2＝－32.故填－32.类型一 指数幂的运算(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)化简：21111332265····a b a ba b---（）；(3)已知a 12＋a -12＝3，则a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝________. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝111111111533223262361566·····ab a baba b-----+-=＝1a. (3)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.故填6.【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：4a 23b －13÷113323a b --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)已知a ，b是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a＞b ＞0，则a －ba ＋b＝________. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝21113333·a b+-+（-6）＝－6a .(3)由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－46＋4＝15. 因为a ＞b ＞0，所以a ＞b ，所以a －b a ＋b ＝55.故填55.类型二指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0解：由图象知f(x)是减函数，所以0＜a＜1，又由图象在y轴的截距小于1可知a－b＜1，即－b＞0，所以b＜0.故选D.(2)(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，令y＝|2x－2|，y＝b，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b<2，即b∈(0，2)．故填(0，2)．【点拨】①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B、(2)(2017·福建五校联考)定义运算a⊕b＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≤b，b，a＞b，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()解：因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1.则f(x)＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≤0，1，x＞0，图象A满足．故选A.类型三指数函数的综合问题已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1ax＋⎝⎛⎭⎫1bx－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝b·a x的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b·a＝6，①b·a3＝24，②②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，所以a＝2，b ＝3，所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1ax＋⎝⎛⎭⎫1bx－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立可化为m≤⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x在x∈(－∞，1]时恒成立．令g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，所以m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等；对于底数a与1的大小关系不明确的，的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是________．(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：(1)要使函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2，只需f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的最大值小于2.当a >1时，f (x )max ＝a 2<2，解得1<a <2；当0<a <1时，f (x )max ＝a －2<2，解得22<a <1.所以a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．故填⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． (2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－[⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x]． 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ≥14，⎝⎛⎭⎫12x ≥12，所以⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34.故a >－34.故填⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝⎛⎭⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )．1．计算1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42－⎝⎛⎭⎫2323＝( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解：原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2.故选D . 2．(2016·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)解：当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过点P (1，6)．故选A .3．(2017·德州一模)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D .4．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解：当x >1时，0<a ＝⎝⎛⎭⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .故选A .5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上6．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解：因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1，所以f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x＝2时，取等号．所以a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．故选A .7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x .故填－2x (x<0)．8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解：作y ＝|x |与y ＝|x －2|的图象知两图象交于点(1，1)，从而易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.故填e . 9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.解得a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－15舍去. ②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )．所以f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，所以只需讨论x >0时的情况．当x >0时，要使f (x )>0，即⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x >1. 又因为x >0，所以a >1.因此a >1时，f (x )>0. 故a 的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝e x－⎝⎛⎭⎫1e x，所以f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x，所以f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，所以f (x )在R 上是增函数．又因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，所以⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，所以t ＝－12.所以存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1， 设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________． 解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.故填⎣⎡⎭⎫34，2.。
指数与对数知识点总结一、指数指数是数学中一个重要的概念，用于表示某个数的幂次。
（一）指数的定义如果有一个数$a$，＄n$是一个正整数，那么$a^n$表示$n$个$a$相乘，即$a^n ＝ a×a×···×a$（＄n$个$a$）。
例如，＄2^3 ＝ 2×2×2 ＝ 8$，＄3^4 ＝ 3×3×3×3 ＝ 81$。
（二）指数的运算性质1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄例如，＄2^2 × 2^3 ＝ 2^｛2 ＋ 3} ＝ 2^5 ＝ 32$2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄（＄a ≠ 0$）比如，＄＼frac{3^5}｛3^2} ＝ 3^｛5 2} ＝ 3^3 ＝ 27$3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄例如，＄（2^3)＾2 ＝ 2^｛3×2} ＝ 2^6 ＝ 64$4、＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$比如，＄（2×3)＾3 ＝ 2^3 × 3^3 ＝ 8×27 ＝ 216$（三）指数函数一般地，函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）叫做指数函数。
当$a ＞ 1$时，指数函数是增函数；当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数是减函数。
例如，＄y ＝ 2^x$是增函数，＄y ＝＼left(＼frac{1}｛2}＼right)＾x$是减函数。
（四）负指数与分数指数1、负指数：＄a^｛n} ＝＼frac{1}｛a^n}＄（＄a ≠ 0$，＄n$为正整数）例如，＄2^｛－3} ＝＼frac{1}｛2^3} ＝＼frac{1}｛8}＄2、分数指数：＄a^｛＼frac{m}｛n}｝＝＼sqrtn{a^m}＄（＄a ＞0$，＄m$、＄n$为正整数，＄n ＞ 1$）比如，＄8^｛＼frac{2}｛3}｝＝＼sqrt3{8^2} ＝＼sqrt3{64} ＝ 4$二、对数对数是指数的逆运算。
2．5指数与指数函数[知识梳理]1．根式2．分数指数幂3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．指数函数的概念、图象与性质特别提示：1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．2．a对y＝a x(a>0且a≠1)的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．[诊断自测] 1．概念思辨(1)na n与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( )(2)函数y ＝a x 与y ＝－a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．( ) (3)若a m <a n (a >0且a ≠1)，则m <n .( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化 (1)(必修A1P 59T 7)⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 的大小关系是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23答案 A解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，23>13， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2313 .∵y ＝x23 在(0，＋∞)上为增函数，23>25>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 .故选A.(2)(必修A1P 60T 4)若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析 ∵2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，∴2x 2＋1≤2－2x ＋4， ∴x 2＋1≤－2x ＋4，解得－3≤x ≤1， ∴函数y ＝2x的值域为[2－3,2]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.故选B. 3．小题热身(1)函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，故x －2＝0时f (x )＝2，即x ＝2时f (x )＝2.故选D. (2)函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.题型1 指数幂的化简与求值典例 化简：(1)(a >0，b >0)；(2)⎝⎛⎭⎪⎫－278 －23 ＋(0.002) －12－10(5－2)－1＋(2－3)0.根据指数幂运算法则计算．解 (1)原式＝＝ab －1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－827 23 ＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 方法技巧指数幂的运算规律1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．注意平方法和开方法，见冲关针对训练1,2.提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．冲关针对训练1．(2018·资阳模拟)若0<a <1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 C解析 ∵a b ＋a －b ＝22， ∴a 2b ＋a －2b ＝8－2＝6. ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4. ∵0<a <1，b >0， ∴a b <a －b ，则a b －a －b ＝－2.故选C.2．若a12 ＋a －12 ＝x 12(a >0)，则x －2＋x 2－4xx －2－x 2－4x的值是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1)解析 由x12 ＝a 12 ＋a －12，得x ＝a ＋1a ＋2.∴x 2－4x ＝x (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2.∴原式＝a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2a ＋1a －⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝a ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a a ＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1). 题型2 指数函数的图象及应用典例 若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．用数形结合法．答案 [－1,1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．[条件探究1]若将本典例中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b 有两个公共点，求b的取值范围．解曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．[条件探究2]若将本典例改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k 的取值范围是什么？解因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．[条件探究3]若将本典例改为：直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？解y＝|a x－1|的图象是由y＝a x先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜12，如图(2)．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 方法技巧指数函数图象的画法及应用1．画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数图象的应用(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．见典例．冲关针对训练(2017·湖南月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC 与BO交于点E，某指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝()A. 2 B． 3C．2 D．3答案 A解析设E(t，a t)，易知点B的坐标为(2t,2a t)．∵B点在函数y＝a x的图象上，∴2a t＝a2t，∴a t＝2(a t＝0舍去)．∴平行四边形OABC的面积＝OC·AC＝a t·2t＝4t.又平行四边形OABC的面积为8，∴t＝2，∴a＝ 2.故选A.题型3指数函数的性质及应用角度1比较指数幂的大小典例(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为() A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a用转化法．答案 C解析∵f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，∴m＝0，3)＝f(－log23)＝f(log23)．a＝f(log12又∵b＝f(log25)，c＝f(0)，log 25>log 23>0，函数f (x )＝2－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c .故选C.角度2 求指数型函数中参数的取值典例 (2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.用方程法．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.角度3 指数函数性质的综合应用典例 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.方法技巧综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略冲关针对训练1．(2018·珠海模拟)若x log 52≥－1，则函数y ＝4x －2x ＋1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1 D ．0答案 A解析 x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 515⇒2x ≥15，令t ＝2x ，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，当t ＝1，即x ＝0时，取得最小值－4.故选A.2．若不等式(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 －2<m <3解析 (m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.1．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513，则()A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为a ＝243 ＝4 23 ，c ＝25 13 ＝5 23，函数y ＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以423 <5 23，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425 <4 23 ，即b <a ，所以b <a <c .故选A.3．(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A解析 因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，图象A 满足．故选A.4．(2018·河南百校联考)已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15 ，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )答案 B 解析易知f (x )＝2x－2－x 在R 上为递增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15 ＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．故选B.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是{|x x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B 解析(a 2)32 >0，a 3<0，故①错误．∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，….∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.4.(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A ．{0}B ．{－3}C ．{－4,0}D ．{－3,0}答案 D解析 ∵偶函数f (x －2)的图象关于y 轴对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－2对称． ∵当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2，∵f (x )＝e x ＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f (－1)<0，f (0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e＋－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k－1＝－1，k ＝－3或k＝0.故选D.6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1 ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1.∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧ 2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C解析 由e x＝1＋f (x )1－f (x )，可得f (x )＝e x－1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1，可得11＋e x 1＋11＋e x 2＝12，即为e x 1＋x 2＝e x 1＋e x 2＋3， 由e x 1＋e x 2≥2e x 1＋x 2， 即有e x 1＋x 2≥2e x 1＋x 2＋3， 解得e x 1＋x 2≥3，即e x 1＋x 2≥9，当且仅当x 1＝x 2，取得等号， 则f (x 1＋x 2)＝1－2e x 1＋x 2＋1≥1－29＋1＝45.即有最小值为45.故选C. 二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx ＝a ＋12－a 只有正实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a 只有正实数解， ∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a>0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))，观察图象知k OA <k OB <k OC ，∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小，∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大，∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大， ∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数； ④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小， ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数． ∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]存在x 2∈[－2,2]使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3， 则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m 2x 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧ Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1. (2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m(2－1)≥－(2－1)，∵2－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
