52-2 对数坐标图(绘制)

《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode) （2）
绘制开环系统Bode图的步骤 绘制开环系统Bode图的步骤 Bode 例2 G ( s ) =
G(s) =
40( s + 0.5) s( s + 0.2)( s 2 + s + 1)
100( s( s + 1) 0 .5
G(s)为尾 为尾1 ⑴ 化G(s)为尾1标准型
《自动控制理论》
系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的
G(jω ) = G1 (jω )G 2 (jω )LGn (jω )
A( ) jϕ(ω) = A 1( ) jϕ1 (ω) * A 2 ( ) jϕ 2 (ω) *L* A n ( ) jϕ n (ω) ωe ωe ωe ωe = A 1( )A 2 ( ) A n ( ) j(ϕ1 (ω)+ ϕ 2 (ω)+L+ ϕ n (ω)) ω ω L ωe
《自动控制理论》
《自动控制理论》
§5.2.3 由对数频率特性曲线确定开环传递函数
例4 已知 Bode 图，确定 G(s)。
K( s + 1) s
（ 1）
解
G( s) = s (
2
ω1
s2
ω
2 2
+ 2ξ
ω2
+ 1)
解法Ⅰ 解法Ⅰ 20 lg
K
ω 02
=0
K = ω 02
解法Ⅱ 解法Ⅱ G ( jω c ) = 1 =
《自动控制理论》
§5.2 对数坐标图 ( Bode)（1）
§5.2.1 典型环节的Bode图 典型环节的Bode图 Bode
⑴ 比例环节 G ( jω ) = K ⑵ 微分环节 G ( jω ) = jω ⑶ 积分环节 G ( jω ) =
L(ω ) = 20 lg K ϕ (ω ) = 0° L(ω ) = 20 lg ω
ϕ (ω ) =
ω << 1 ωn
ω >> 1 ωn
ω − 360° + arctan 2ξ ω n
L(ω ) ≈ 0 ϕ (ω ) ≈ 0° − 360° L(ω ) ≈ − 40 lg (ω ω n ) ϕ (ω ) ≈ −180 °
ω 2 1- 2 ω n
A( )= A 1( )A 2 ( ) A n ( ) ω ω ωL ω ϕ1 ( )= ϕ1 ( )+ ϕ2 ( )+ L + ϕn ( ) ω ω ω ω
前式两边取对数再乘20， 前式两边取对数再乘 ，得
L(ω )= L1(ω )+ L2(ω )+ L+ Ln(ω )
这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是 这样，系统的对数幅频特性、 环节的对数幅频特性、 典型 环节的对数幅频特性、相频特性相加
L(ω L(ω)最右端斜率 = 20(n-m)=-80dB/dec L(ω L(ω)转折点数 = 3 个 ϕ(ω) → -90o(n-m)=-360o )
（ 6）
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 (Bode)
（ 6）
例5 绘制对数频率特性和幅相特性曲线。 s 0.032( + 1) 0 .1 8( s + 0.1) = G( s) = s 2 4 s s( s 2 + s + 1)( s 2 + 4 s + 25 ) 2 s( s + s + 1) + ⋅ + 1 5 5 5
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode)
s3 例3 G ( s ) = 绘制Bode Bode图 ，绘制Bode图。 ( s + 0.2 )( s + 1)( s + 5 )
（4）
解 ① 标准型 G ( s ) =
s3 (
② 转折频率
s s + 1)( s + 1)( + 1) 0 .2 5 ω 1 = 0.2 ⇒ −20 ω 2 = 1 ⇒ −20 ω 3 = 5 ⇒ −20
K K 证明： 20 lg v = 20 lg v = 0 s ω 1
v K = ω0
ω0 = K v
《自动控制理论》
§5.2.3 由对数频率特性曲线确定开环传递函数（2）
例5 已知 L(ω)，写出G(s)，绘制 ϕ(ω), G(jω)。 ω ， ω
K( s + 1) + 1)
解 ⑴ G( s) =
dB dec
w=0.2 惯性环节 -20 w=0.5 一阶复合微分 +20 w=1 振荡环节 -40
① 两惯性环节转折频率很接近时 ⑸ 修正 ② 振荡环节 x∉(0.38, 0.8) 时 L(w)最右端曲线斜率 20(n最右端曲线斜率= ① L(w)最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分) 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分) )+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分 ③ j(w) ⇒ -90°(n-m) 90°(n-
2
2
jω (1 + j
ω
ϕ (ω) = arctg
ω
10
− 90° − arctg
ω
2
p165
《自动控制理论》
图5-18
例4的伯德图
p166
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 (Bode)
绘制对数频率特性和幅相特性曲线。 例5 绘制对数频率特性和幅相特性曲线。 8( s + 0.1) G( s) = s ( s 2 + s + 1)( s 2 + 4 s + 25 ) 8 × 0.1 s + 1 25 0.1 G( s) = 解 ① s 2 4 s 2 s ( s + s + 1) + ⋅ + 1 5 5 5 ω 1 = 0.1 + 20 dB / dec − 40 dB / dec ② ω2 = 1 ω3 = 5 − 40 dB / dec ω = 1, 20 lg 0.032 = −30 dB 点 ③ 基准线： 基准线： 斜率 - 20 v = − 20 dB / dec ④ 检查： 检查：
《自动控制理论》
§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 对数频率特性（Bode图 幅相频率特性（Nyquist图 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型 频域稳定判据 相对稳定性分析 频率性能指标与时域性能指标的关系
K 解 依图有 G ( s ) = Ts + 1 30 20 lg K = 30 ⇒ K = 10 20 = 31.6 31.6 转折频率 ω = 2 = 1 T G ( s ) = s +1 T = 0.5 2
《自动控制理论》
开环系统的博德图( §5.2.2 开环系统的博德图( Bode) （1）
例4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为
（5）
10(1 + 0.1s) G( s ) H ( s ) = s(1 + 0.5s)
试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示） 试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示） 解：开环频率特性为
G( jω ) =
10(1 + j
ω
10 2
) )
ω ω L(ω) = 20lg10 + 20lg 1 + − 20lg ω − 20lg 1 + 10 2
⑵ 顺序列出转折频率
s + 1)( s 2 + s + 1) 0 .2 0.2 惯性环节 0.5 一阶复合微分 1 振荡环节
基准点 ( ω = 1 , 斜率
最小转折频率之左 ⑶ 确定基准线 的特性及其延长线 惯性环节 -20dB/dec +20dB/dec 因子 ⑷ 叠加作图 振荡环节 -40dB/dec 二阶 +40dB/dec 因子 一阶
L (1 ) = 20 lg K )
− 20 ⋅ v
dB dec
ω=0.2 惯性环节 -20 ω=0.5 一阶复合微分 +20 ω=1 振荡环节 -40
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode)
基准点 ( ω = 1 , 斜率 （3）
L (1 ) = 20 lg K )
− 20 ⋅ v
《自动控制理论》
对数坐标图( §5.2 对数坐标图( Bode) （4）
⑺ 二阶复合微分 G ( s ) = (
s
G ( jω ) = 1 −
ω ω + j 2ξ 2 ωn ωn
2
ωn
) + 2ξ
2
s
ωn
+1
ω2 2 ω 2 L(ω ) = 20 lg [1 − 2 ] + [ 2ξ ] ωn ωn ω 2ξ ωn arctan ω2 1- 2 ωn ϕ (ω ) = ω 2ξ ωn 360 − arctan ω2 1- 2 ωn
K
H = 40 [lg ω 0 − lg ω 1 ]
= 20 (lg ω c − lg ω 1 ) ω ω 40 lg 0 = 20 lg c ω1 ω1
ωc ω0 = 解法Ⅲ 解法Ⅲ ω 0 ω1
ω ⋅1
2 c