现代控制理论 3-1 可控可观的概念 3-2 线性系统的可控性

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现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型

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说说明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状态初值，再由状态初值求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注意对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&

现代控制理论工程硕士第三章线性系统的能控性与能观性

如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变设
x = Ax + Bu

第3章能控性和能观性

注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方程式无关。由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关，而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等价，而对于时变及离散系统两者不等价。

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状态变量x2的变化，所以系统是可观测的。即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第三章线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第三章线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性定理：系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内，使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

现代控制理论5_可控可观

⎡ r11 ⎢ ⎢
L
r1p ⎤ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x&3 x&4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
λ1 λ4
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x3 x4
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
M
⎥
M
⎥u ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
M x&n
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣
O
⎥⎢ ⎥⎢
M
⎥ ⎥
λn ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣rn1
L
⎥ ⎥ rnp ⎥⎦
例1：
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣
C
A
n
−1
⎥ ⎦
或者
n为矩阵A的维数。
rank [V ] = rank ⎣⎡CT A T CT L ( A T )n−1 CT ⎦⎤ = n
例
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
A
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
Bu
y = Cx
(1)
A
=
⎡−2
⎢ ⎣
0
0⎤ −1⎥⎦ ,
B
=
⎥⎦
S是一个右下角三角阵，其对角线元素均为1，故detS≠0，所以系统一定可控。
2.2 对角标准型的可控性判别
特征值互异
x& = Λx+Bu
⎡λ1 0 L 0 ⎤
Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L O
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢ ⎣
0
0
L

《现代控制理论》第三版第三章.习题答案

0 0 0 0 B0 1 1 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （第 3 列为保证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章作业
参考答案 3-1 （1）法一：根据系统模拟结构图可以看出；对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对输出 y 不产生任何影响，于是不能观。所以系统不能控不能观，系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。法二：由系统模拟图可得状态空间表达式
Rank ( N ) 3 6 ，所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是

名词解释线性系统的可控性

名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。

可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。

在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。

1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。

线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。

线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。

2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。

换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。

这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。

3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。

可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。

该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。

4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。

要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。

5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。

如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。

6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。

一种常用的方法是增加系统的输入维度。

通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。

另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。

线性定常系统的可控性和可测性

• 结论：结论：状态完全可控和可观的必要条件是：状态完全可控和可观的必要条件是：系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。相约现象。或：系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶对偶.
• 对定义的说明对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的也即x(t)的各时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许分量在 t0 时的值无论如何给定都存在容许控制,在时刻将初始状态转移到零,系统方控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方为可控,否则系统不可控否则系统不可控. 为可控否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的由于{A,b}对可控, {A,b}对可控一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1

现代控制技术可控性和可观性PPT课件

[u(t
)
]
y(t) 1
0
x1 x2
(t) (t)
F＝e 0.1A
I 0.1A
0.0 1A 2 2!
An (0.1)n n!
1 0
0.1
1
>> a=[0 1；0 0]； b=expm(a*0.1) ——matlab语句
G＝
T 0
e At Bdt＝
0.1 0
L1[(sI
A)-1 ]Bdt
lim xˆ (t) lim x(t)
t
t
第20页/共59页
状态观测器
通过输出计算得到的系统状态，显然是一个估计值，如果对状态估计的很准，通过极点配置法，就可以得到比较理想的控制系统。预报观测器
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) K[y(k) Cxˆ(k)]
未来状态的估计值＝
x(0 )
t1 eA B u( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
解：被控对像的微分方程为
d2y(t)/dt2=u(t)
令 x1(t)=y(t)，x2(t)= dx1(t)/dt=dy(t)/t 有 dx2(t)/dt＝d2y(t)/dt2=u(t)

线性系统的可控性和可观性

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。

本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。

本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。

通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

现代控制理论课件ch3(11级本1)

⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎢ ⎥ 欲使该方程有解，必有：rank ⎢ 0 0.5 x2 (0) ⎥ = 2 ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ ⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎥ = 2 时，可使x(1)=0， 0 0.5 (0) x 也即：当rank ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ 而不能由任意初始状态一步内转移到原点。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。该定理的另一个说法是：系统状态完全可控的充要条件是可控性判别矩阵满秩。
第3章线性系统的可控性和可观测性
可控性——系统内部所有变量的运动能否由u来控制，即u~x的关系。可观性——系统内部所有变量的运动能否由y来反映，即y~x的关系。
⎧ ⎡ s1 = x ⎪ ⎢0 ⎣ ⎨ ⎪y = c [1 ⎩ 0⎤ ⎡ b1 ⎤ + u x ⎥ ⎢ ⎥ s2 ⎦ ⎣ b2 ⎦ c2 ] x
解：可控性矩阵S：
⎡0 0 ⎤ ⎥ H =⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 0⎥ ⎦ 3×2
⎡0 0 | − 1 2 | 2 − 4 ⎤ ⎢ 4⎥ S = H GH G 2 H = ⎢0 1 | 0 − 2 | 0 ⎥ ⎢ ⎣1 0 | 0 − 4 | − 1 10 ⎥ ⎦ rank S = 3 ，故系统可控。
系统状B
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦=n
AB
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦ 被称为可控性判别矩阵。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。该定理的另一个说法是：系统状态完全可控的充要条件是可控性判别矩阵满秩。思考：矩阵 ⎡ ⎣B
状态可达：坐标原点(初始) u(t) 某终端状态xf 系统可控：意指状态完全可控，体现在x0的任意性；系统可达：意指状态完全可达，体现在xf的任意性。注：对于线性定常系统，可控与可达是等价的；但对离散系统和时变系统，严格讲，二者不等价。

线性系统的可控性和可观测性

8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。

在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。

现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。

这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。

相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。

下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。

系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。

图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。

图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。

现代控制理论第3讲

3.1 线性定常连续系统的能控性 3.1.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入系统由某一初始状态或简称系统是能控的。几点说明： 1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻为，而任意终端状态就指定为零状态。即 2)也可以假定一个无约束控制作用动到任意 =0，而为任意终端状态，换句话说，若存在内，能将由零状态驱，初始状态，能在有限时间区间内，使，则称此状态，转移到指定的任一终端状态工
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
n个状态,m个输入,r个输出个状态,m个输入,r个输出 ,m个输入,r 初始时刻t 终端时刻t 初始时刻t0,终端时刻tf,终端时刻的解为
x (t f ) = e
At f
x (0) +
∫
tf
0
e
A ( t f −τ )
Bu (τ )d τ
y ( t f ) = Cx ( t f ) + Du ( t f )
At f
x(0) = −C[ ∑ Am B µm ] − Du (t f )
m=0
n −1
µ0 M µ n −1 2 n −1 = −[CB CAB CA B L CA B D ] u1 (t f ) M 共有r个方程，要求出全部r个输出，共有r个方程，要求出全部r个输出，必使矩阵 u m (t f ) ′ = [CB CAB CA 2 B L CA n −1 B D ] M
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
，在有限时间
。在这种情况下，称为状态的能达性。

线性系统的可控性与可观性

可控性可观测性例题
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x 1 是不可控的；从输出方程看，输出y不能反映状态变量
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
x(t) 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出的变化过程输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性状变化能否输反映观性 “状态的变化能否由输出反映”——可观性可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控制进入现代控制理论的标志之。制进入现代控制理论的标志之一。
x (t0 )
tf t0
m 0

n 1
A
m
B

t t0
f

m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
线性系统的可控性与可观性

第四章线性定常系统的可控性和可测性

• 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始
时刻 t0 时的值不能由系统输出唯一地确定, 则称系统状态不完全可观.
2.可观性判据
• 判据定理1.
• 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
• 或简称为∑(A,B,C,D) • 状态可观的充要条件是可观性矩阵必须满秩,即 rank (QO ) n
2.单变量系统的可观标准形
• 定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,则可通过等价变 ˆ换 x p 1 x 将其化成如下可观标准形式. 0 0 | a 0
__ 1 ˆ x 0 0 __ 0 1 0 __ __ 0 0 1 | __ 1 | a1 ˆ x u | a2 2 | | an 1 n 1
y 0
ˆ 1 n1 x du
• 其中
1 a 1 O n 1 p An 1b Ab b a2 a3 1 a1 a2 an 1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的
改变B阵为 2 0T时,则 x1 可控,而 x2 是控制u通过 x1
而达到间接控制 x2 的目的.
• 显然,由于状态之间的关联性以及状态对系
统特性的不同影响作用,所以可控性是十分
重要的.
(2)可观性
• 可观性指的是,从系统的输出中能否观测到
系统的内部信息,或者说能否量测到状态信息的一种特性,这无论对于了解系统的运行情形还是取得状态信息用作控制都是完全必要的.
• 可控性判据定理二(对角形) • 线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征

现代控制导论第三章线性系统的可控性与可观性2011(1)

第三章线性系统的可控性与可观性 (1)
1
本章内容
________________________________________________________
一、可控与可观测的概念及意义二、线性系统的可控性三、线性系统的可观性四、可控与可观规范型及对偶原理五、线性系统的规范分解六、传递函数的实现
21
证明：
x(0)= [ x 1 (0) x(t f ) = e
A(t f -t 0 )
x 2 (0)
x n (0) ] → x(t f )=0求 u(t)
T
t f A(t f -t 0 ) x(t 0 ) + ∫ e Bu(τ)dτ t0
t 0 = 0,x(t f ) = 0 t f -Aτ x(0) = - ∫ e Bu(τ)dτ 0
25
例图示电路，判断系统能控性条件
L iL
R1 R2

u
R3
uC R 4
解选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：
R3 R4 ⎞ R3 ⎞ 1 ⎛ R1R2 1 ⎛ R1 1 + − x1 = − ⎜ ⎟ x1 + ⎜ ⎟ x2 + u L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L 1 ⎛ R2 1⎛ 1 1 ⎞ R4 ⎞ − − x2 = ⎜ ⎟ x1 − ⎜ ⎟ x2 C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
28
例.设线性定常系统的状态方程为： ⎡1 2 -1⎤ ⎡0⎤ x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析该系统的能控性。 ⎡1 2 -1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −1⎤ 解： AB = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

现代控制工程-第四章线性系统的可控性和可观性

关于可控性定义的说明：
（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态P ，那么相平面上的P点是可控状态。假如 1, P 2 ,, P n 可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入 u(t ) ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该 x P 系统称为状态完全可控。
解：利用递推法
k 0
x(1) Gx(0) hu(0)
1 1 1 1 0 1 0 1 0u (0) 1 0u (0) 1 0 2 1 0 1 1 1 2 1
Ax Bu ，如果存在一个对于给定的线性定常系统 x 分段连续的输入 u(t ) ，能在有限时间间隔内 [t 0 , t f ] ，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
“输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
卡尔曼
4.2 线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
Ax Bu ，如果存在一个分对于线性定常系统 x 段连续的输入 u(t ) ，能在有限时间间隔内 [t 0 , t f ] ，使得系统从某一初始状态 x(t 0 ) 转移到指定的任一终端状态 x(t f ) ，则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系关于定理4 .3的小结：

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⎡ ⎢
e ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡4 ⎢⎣0
0⎤ − 5⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣2⎥⎦u
y = [0
−
6]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
ax&1 = 4x1 + u cx&2 = −5x2 + 2u y y = −6x2
u 可以控制 x1、x2 ，系统完全可控！
y 无法反映 x1，系统不完全可观！
u
=
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
f1 f2
⎤ ⎥ ⎦
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪
x&2
⎨
tc ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
+
1 m1
u1
⎪ ⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u2
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0⎤
2
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、
e 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， ca tcy 奠定了现代控制理论的基础。
例：已知系统的动态方程：
tc 系统可控、不可观测！
3
例：已知桥式电路
L iL
选取 x1 = iL , x2 = uC
eR C R
y = x2 = uC
au
R
uC R
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0
c 则 x2(t) ≡ 0, t ≥ t0
u 只能控制 x1，不能控制 x2 x2 不可控！
y y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化 x1 不可观测！ tc 系统不可控、不可观测！
返回
一、线性连续系统的可控性定义
返回
x&(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t), t ∈Tt
状状态态可可控控
e 给定初始时刻 t0 和一个非零初始状态 x(t0 ) = x0 a 如果存在有限时刻 t1 > t0和一个容许控制u(t), t ∈[t0, t1] c使状态由x0 转移到 x(t1) = 0 ,则称x0在 t0 时刻是可控的。
e Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests a A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量 c tcy αTA = λαT, αTB = 0 ⇒ α ≡ 0
13
cae 特殊形式判据 (1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵
x& = Λx + Bu
tcy x& = Jx+Bu 返回
A 的两重特征值有两个独立的特征向量
tcy [ ] 秩判据 rank B AB A2B L An-1B = dim(A)= n
前页
e 求系统的
可控性矩阵
a及其秩
⎡ x&1 ⎤ ⎡1
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0
3 2 1
2⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 2
0⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
1
3⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣−1
1⎤
1
⎥ ⎥
−1⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
cA = [ 1 3 2; 0 2 0; 0 1 3 ];
e∫ ¾容许控制 u(t) ⇒
( ) t
2
t0 ui t dt < ∞
t,
t0
∈
T t
a x2
cx(t0)= x0 y t0
tc x1
x(t1) = 0
t1
t
¾ x(t0 ) ≠ 0 ⇒ x(t1 ) = 0 状态可控
返回
¾ x(t0 ) = 0 ⇒ x(t1) ≠ 0 状态可达
ex2
ax(t0)≠ 0
cA
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
系统可控！
⎢
y ⎣
2
0 −2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
⎡0 0 1 0⎤
tc [ ] rank B
AB
A2B
A3B
= ⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0⎥⎥ 2⎥
=
4
⎢⎣0 2 0 0⎥⎦
10
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
− x1
)
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪x&2
⎨ ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
−
1 m1
u
tc ⎪
⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u
u= f
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎤
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
0 0
系统可控！
⎢⎣ 0
−5 0 0
1 −5 −5
0 −1 −5
1 0 −2
0⎥⎥ 1⎥
=
4
⎥
0⎥⎦
⎡s −1 0 0 0 1⎤
y 或者 rank[sI − A B]= rank⎢⎢0 s ⎢0 0
1 s
0 −1
1 0
0⎥⎥ 1⎥
=4
tc 系统可控！
⎢⎣0 0 − 5 s − 2 0⎥⎦
PBH 特征向量判据
前页
x1(t ), x&1(t) f (t)
e m1 k
x2 (t), x&2 (t)
m2
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
选取
x
=
⎢ ⎢
x2
⎢ ⎢
x3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎣x4 ⎦
=
⎢ ⎢
x&1
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
x2 x&2
⎥ ⎥ ⎦
ca ⎩⎨⎧mm21&&xx&&12
= =
k (x2
f−
− x1
k (x2
)− f
⎢
y ⎣
2
0
−2
0⎥⎦
⎢ ⎣
2
⎥ ⎦
⎡ 0 −1 0 3 ⎤
tc [ ] rank b
Ab
A2b
A3b
= ⎢⎢−1 ⎢0
0 2
3 0
0
⎥ ⎥
−6⎥
=
2
⎢ ⎣
2
0 −6
0
⎥ ⎦
11
PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests
系统 x&(t) = Ax(t)+ Bu(t) 完全可控 ⇔
系系统统可可控控
y 如果所有非零状态在 t0 时刻都是可控的,则称系统 tc 在 t0 时刻是完全可控的；如果系统在所有时刻都是可
控的,则称系统一致可控。
5
u(t )
x0 ⇒ x(t1 ) = 0 x0 在 t0 时刻可控
所有非零状态
ae x(t0)= x0
系统在 t0 时刻完全可控 x2
c y 0
(1) A 为对角阵
e ⎡λ1 0 L 0 ⎤
a Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L M
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢
c⎣
0
0
L
λn
⎥ ⎦
x& = Λx + Bu
tcy ¾¾BB矩矩阵阵的的行行不不全全为为零零
14
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
⎤ ⎡0⎤
λ2
⎥ ⎦
x
+
⎢⎣b2
⎥u ⎦
x&1 = λ1x1 x&2 = λ2 x2 + b2u
⎢⎣0 0 5 0⎥⎦ ⎢⎣− 2 0⎥⎦
a 解: PBH 秩判据 n = dim(A) = 4
前页
cA的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5, λ4 = − 5
⎡0 −1 0 0 0 1⎤
y rank[0I − A
B]
=
rank
⎢⎢0 ⎢0
0 0
1 0
0 1 0⎥⎥ = 4
−1 0 1⎥
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣
2
0
−2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
返回
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。

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