棱台的结构特征

高中数学知识点：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；
要点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．。

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征参考答案知识点1．空间几何体(1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等．()(2)五棱锥只有五条棱．()解析：(1)根据四棱锥的结构特征可知，(1)错误．(2)五棱锥有十条棱，其中五条侧棱，(2)错误．答案：(1)×(2)×2．下列几何体中是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C．观察图形可知，①③⑤是棱柱，其他的几何体不是棱柱．3．下列命题正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台解析：选C．由棱柱的定义可知，A，B不正确，C正确，而根据棱台的定义可知，D不正确．4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形的几何体是________．解析：由棱柱的定义和其分类可知该几何体是五棱柱．答案：五棱柱几何体的概念理解与应用(1)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱相交于一点(2)下列说法中正确的是()A．有一个面是平行四边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥[解析](1)根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形．(2)根据棱柱的结构特征可知，A，B不符合，所以A，B错误；C不符合棱台的结构特征，所以错误；D满足棱锥的定义，正确．[答案](1)B(2)D1．下列三个命题中，正确的有()①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④五棱台的各侧棱的延长线可能无法交于一点．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A．①错误．底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面．②错误．如图所示的几何体各面均为三角形，但不是棱锥．③错误．因为不能保证侧棱相交于同一点．④错误．棱台的侧棱延长后一定相交于同一点．几何体的结构特征如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？[解]根据棱柱的几何特征可知：剩下的几何体为五棱柱ABFEA′-DCGHD′，截去的几何体为三棱柱EFB′-HGC′.(3)棱柱、棱锥、棱台之间的关系：棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，它们的关系如图所示：2．下面的多面体是棱台的有________个．解析：由棱台的定义和结构特征可知三个几何体都不是棱台．答案：0下图中能围成正方体的是________．(填序号)[解析]根据展开图的特点和正方体的结构特征，能围成正方体的是①②③.[答案]①②③3．如图是三个几何体的平面展开图，则原几何体应为：(1)________________；(2)________________； (3)________________．解析：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台． 答案：(1)五棱柱 (2)五棱锥 (3)三棱台如图(1)所示，在侧棱长为23的正棱锥V -ABC (底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面△AEF ，求截面△AEF 周长的最小值．[解] 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图(2)所示， 线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值． 取AA 1的中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，可求AD ＝3，则AA 1＝6.A 组训练1．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( ) A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．一定不是棱柱、棱锥解析：选D ．两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，这样的多面体有可能是棱台，不可能为棱柱、棱锥． 2．(2014·聊城高一检测)下列说法正确的是( ) A ．棱锥的侧面不一定是三角形 B ．棱锥的各侧棱长一定相等C ．棱台的各侧棱的延长线交于一点D ．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台 解析：选C ．由棱台的结构特征可知棱台的侧棱的延长线交于一点． 3．如图，下列能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 解析：选C ．因为三棱台的上、下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A 1B 1C 1∽△ABC ，所以A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC.4．如图，判断下列四个长方体，哪一个是由所给平面展开图围成的几何体( )解析：选D．根据所给平面展开图及涂色的对应关系，可知D是由所给平面图形围成的．5. 下列叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A．根据棱台、棱锥的定义和结构特征可知①②③都不正确．6．一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱有________条棱，有________条侧棱，有________个顶点．解析：根据棱柱的定义可知，三棱柱为面数最少的棱柱，其中有5个面，9条棱，3条侧棱，6个顶点．答案：593 67. 如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是______c m.解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别是1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：138．(2014·临沂高一检测)如图，在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．①矩形②不是矩形的平行四边形③每个面都是等边三角形的四面体解析：在正方体中任意选择4个顶点，可以是矩形，例如ABC1D1.可以是每个面都是等边三角形的四面体例如A1C1DB．答案：①③9．试用两个平面将如图所示的三棱台分成三个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′-ABC，B-A′B′C′，A′-BCC′(答案不唯一)．10. 如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？解：依题意，长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．展开后，A，C1两点间的距离分别为：（3＋4）2＋52＝74(cm)，（5＋3）2＋42＝45(cm)，（5＋4）2＋32＝310(cm)，三者比较得74 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．B组训练1．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱的对角线共有()A．20条B．15条C ．12条D ．10条解析：选D ．正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D ．2．一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 解析：因为棱柱有12个顶点，故该棱柱为六棱柱，每条侧棱长为60÷6＝10(cm)． 答案：103．已知三棱台ABC -A 1B 1C 1的上、下底面均为等边三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱分为1∶2两部分，求截面的面积． 解：如图所示．延长A 1A ，B 1B ，C 1C 交于点S ，设截面为A 2B 2C 2.由题意知A 2A ∶A 1A 2＝1∶2，SASA 1＝AB A 1B 1＝12，所以SA SA 2＝34.因为AB ＝3，所以A 2B 2＝4，所以S △A 2B 2C 2＝12×32×16＝4 3. 4．如图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②，③，④，⑤的木块．(1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图②，③，④，⑤的木块(2)F 之间的关系； (3)看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确． 解：(1)通过观察各几何体(2)由特殊到一般，(3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2，与(2)中归纳的数量关系式“V ＋F －E ＝2”相符．。

棱台的结构特征
棱台是一种几何体，由一个上底面和一个下底面组成，中间有若干个
侧面连接两个底面。

其结构特征主要包括以下几个方面：
1. 底面形状：棱台的上底面和下底面可以是任意多边形，如三角形、
四边形、五边形等。

不同的底面形状会影响到棱台的稳定性和美观度。

2. 侧面数量：棱台的侧面数量取决于其底面的边数。

例如，一个三角
形作为上下底面的棱台只有三个侧面，而一个六边形作为上下底面的
棱台则有六个侧面。

3. 侧棱长度：棱台的侧棱长度可以相等也可以不等，这取决于设计者
的要求。

如果所有侧棱长度相等，则该棱台称为正棱台；否则称为斜
棱台。

4. 顶点高度：顶点高度是指从上底面到顶点的垂直距离。

不同顶点高
度会导致不同大小和比例的侧面。

5. 对称性：如果上下底面相等并且对称，则该棱台具有轴对称性。

具
有轴对称性的棱台可以看作是由两个相同的三角形或多边形沿着它们
的公共边旋转而成。

6. 稳定性：棱台的稳定性取决于其底面和侧面的形状以及侧面与底面
的夹角。

如果侧面与底面夹角小于90度，则棱台更稳定；否则，棱台容易倾斜或倒塌。

总之，棱台具有多样化的结构特征，不同的设计要求会导致不同形状、大小和比例的棱台。

理解这些结构特征对于设计和制造高质量的棱台
至关重要。