云南师范大学附属中学2021高考数学(文)适应性月考卷(四)(解析版)

西南名校联盟高考适应性月考卷文科数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}|0,1,2,3B x =，则()R C A B =I （ ） A. {}2,3 B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U2. 复数z 满足()12z i i ⋅-=，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a （尺），则n a 与n 的关系为（ ）A. 12n n a =B. 112n n a =-C. 1n a n=D. 11n a n=-4. 若关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A. []0,4 B. ()0,4 C. [)4,0-D. []4,0-5. 已知命题p ：0x ∀≥，1xe ≥或sin 1x ≤，则p ∀为（ ）A. 0x ∃<，1xe <且sin 1x > B. 0x ∃<，1xe ≥或sin 1x ≤C. 0x ∃≥，1xe <或sin 1x > D. 0x ∃≥，1xe <且sin 1x >6. 两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）A.16 B.14 C. 13D. 127. 定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.23B.C.D.568. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）A.B. C. 3D. 9. 如图是函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象，则34f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. -2B.C. 2D.10. 已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A. 1B.C.1D.1l. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ） A. (),2-∞- B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U12. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”，如图，若2AC CB =，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）A.1081B.2081C.49D.89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知狄利克雷函数()1,0,R x QD x x C Q∈⎧=⎨∈⎩，则()()D D x =______.14. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊂，m β⊂.给出下列三个论断：①l m ⊥；②l β⊥；③αβ⊥.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.（用论断序号和推出符号“⇒”作答）15. 双曲线S ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以线段12F F 为直径的圆与S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则S 的离心率为______. 16. 已知数列{}n a满足112n a +=+134a =，则2020a =______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形ABC，56A π=，D 在边BC 上，6CAD π∠=，2BD DC =，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求a ，b ，c .18. 2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图.注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.附注：参考数据：71492.01 iiy ==∑，70.29y=，712131.99 i iit y ==∑165.15≈.参考公式：相关系数()()ni it t y y r--=∑回归方程$$y a bt=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑$，$a y bt=-$.19. 如图，楔形几何体EF ABCD-由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE⊥侧面ABCD，90AED∠=︒，楔面BCF是边长为2的正三角形，点F在侧面ABCD的射影是矩形ABCD的中心O，点M在CD上，且CM DM=.（1）证明：BF ⊥平面AMF ； （2）求楔形几何体EF ABCD -的体积. 20. 已知函数()1sin ln 12f x x x x =+--，()'f x 为()f x 的导数. （1）证明：()f x 在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在12x x ≠，使()()12f x f x =，证明：124x x <.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为()1F .（1）求C 的标准方程；（2）若动点M 为C 外一点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的方程；（3）设C 的另一个焦点为2F ，自直线l ：7x =上任意一点P 引（2）所求轨迹D 的一条切线，切点为Q ，求证：2PQ PF =.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是曲线段C ：2x t y t=⎧⎨=-⎩（t 是参数，1122t -≤≤）的左、右端点，P 是C 上异于A ，B 的动点，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）建立适当的极坐标系，写出点Q 轨迹的极坐标方程； （2）求PA PQ ⋅的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知()()()2f x x x a a R =--∈，若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U . （1）求a ；（2）关于x 的方程()f x b =的方程有三个相异实根1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的取值范围.云南师大附中2020届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：BDAAD 6-10：CACBC11-12：BB【解析】1. (){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I ，故选B.2. ()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，故选D. 3. {}n a 是一个首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，故选A. 4. 当0a =时，不等式为10≥，恒成立，满足题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤，或0a ≠时，()f x 有最小值，且最小值大于或等于0，即0102a f >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得04a <≤.综上，实数a 的取值范围是[]0,4，故选A.5. 全称命题的否定为特称命题，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，故选D.6. 红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为2163=，故选C. 7. 如图，从6cos 5tan 02x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭中解出sin x 的值为23，即为所求线段12P P 的长，故选A.8. 多面体的直观图如图所示，111AE A E ==，111112AD AA EE A D DD DC ======，11CE D E ==，1CD =13CE =，最长棱为1CE ，其长为3，故选C.9. 根据图象，可得()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以332sin 424f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10. 法一：将A ，C 视为定点，OA OC ⊥，O 视为以AC 为直径的圆上的动点，AC 的中点为M ，当BO过圆心M ，且O 在BM 的延长线上时，OB 1，故选C.法二：设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =，令d B O ==，则212d d ≤+，得1d ≤，故选C.1l. 设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >，故选B.12. 设2BC r =，则4AC r =，6AB r =，建立如图所示的坐标系，()0,0C ，()12,0O r -，(),0O r -，()2,0O r ，设()3,O a t -，()4,O b v ，则()()22222r a r a t +--=，得t =所以(3O a -，由圆O与圆3O3r a=-，解得23a r=.同理()()222r b r b v+--=，得v=O与圆4O3r b=-，解得23b r=，于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.()()222211123222223rr r rSππππ⎛⎫⋅-⋅--⋅⋅ ⎪⎝=⎭阴影2109rπ=，所以22102099812SrrSππ==阴影大半圆，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1 14. ②⇒①③15. 2 16.24+【解析】13. ()0D x=或1，()()1D Dx=.14. ②⇒①③.15. tan60ba=︒=2223c aa-=，224ca=，所以2cea==.16.由题意，112na≤≤，22111122n n n na a a a++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭221114n n n na a a a++⇒-+=--①，于是22221114n n n na a a a++++-+-=-②，②-①得()()2210n n n na a a a++-+-=，因为134a=，所以210n na a++-≠，所以2n na a+=，所以数列{}n a是周期数列，周期为2，所以202021224a a==+=.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解：如图，2sinsin 32sin sin 6ABD ACD c S BD c BAD S DC b CAD b ππ∆∆∠==⇒=∠2==，①1151sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆====联立①，②，解得b =c =在ABC ∆中，由余弦定理，得22252cos 682266a b c bc A π=+-=+-=，所以a =18. 解：（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i tty y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元.19.（1）证明：如图，连接MO 交AB 于N ，连接FN ，MB . 则N 是AB 的中点，2AD NM BC ===.因为FO ⊥平面ABCD ，所以平面FMN ⊥平面ABCD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，所以平面//ADE 平面FMN ， 根据题意，四边形ABFE 和DCFE 是全等的直角梯形， 三角形ADE 和NMF 是全等的等腰直角三角形，所以NF MF ==1OF =，在直角三角形BFN 中，NB ==所以AB =2AF =，MB =于是222AF BF AB +=，222MF BF MB +=，所以BF AF ⊥，BF MF ⊥. 因为,AF MF ⊂平面AMF ，AF MF F =I ， 所以BF ⊥平面AMF .（2）解：据（1）可知，楔形几何体EF ABCD -由直三棱柱ADE NMF -和四棱锥F BCMN -组成，直三棱柱ADE NMF -的体积为ADE NMF ADE V S AN -∆=⋅12==四棱锥F BCMN -的体积为13F BCMN BCMN V S FO -=⋅12133=⨯=，所以楔形几何体EF ABCD -的体积为3ADE NMF F BCMN V V --+=. 20. 证明：（1）()11'cos 12f x x x =+-， 当2x ≥时，1102x <≤，11112x -<-≤-，()11111cos 1cos cos 102222x x x x +-≤-=-≤，“=”不能同时取到，所以()'0f x <；当02x <<时，()211''sin 02f x x x =--<，所以()'f x 在()0,2上递减， 因为()1'1cos102f =>，()11'2cos 2022f =-<，所以在定义域()0,+∞存在唯一0x ，使()0'0f x =且()01,2x ∈；当00x x <<时，()'0f x >；当0x x >时，()'0f x <，所以0x 是()f x 在定义域()0,+∞上的唯一极值点且是极大值点.（2）存在12x x ≠，使()()12f x f x =，即11122211sin ln 1sin ln 122x x x x x x +--=+--， 得()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-. 设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，()g x 在()0,+∞上递增， 不妨设120x x >>，则()()12g x g x >，即1122sin sin x x x x ->-，1212sin sin x x x x ->-， 所以()()()()1212121211sin sin 22x x x x x x x x ---<---12ln ln x x =-，得12122ln ln x x x x -<-，121212ln ln 2x x x x x x -+<<-2<，124x x <. 21.（1）解：设()2220a b c c -=>，由题设，得c =4c a =，所以4a =，29b =， 所以C 的标准方程为221169x y +=. （2）解：设(),M m n ，切点分别为1P ，2P ，当4m ≠±时，设切线方程为()y n k x m -=-，联立方程，得()221169y n k x m x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得()()()22216932161440k x k n km x n km ++-+--=，① 关于x 的方程①的判别式()()()222221324169161440k n km k n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦， 化简，得()22216290m k mnk n -++-=，②关于k 的方程②的判别式()()2222244169m n m n ∆=---()224916144m n =+-，因为M 在椭圆221169x y +=外，所以221169m n +>，即229161440m n +->，所以20∆>， 关于k 的方程②有两个实根1k ，2k 分别是切线1MP ，2MP 的斜率.因为12MP MP ⊥，所以121k k =-，即229116n m-=--，化简为2225m n +=. 当4m =±时，可得3n =±，满足2225m n +=，所以M 的轨迹方程为2225x y +=.（3）证明：如图，)2F ，设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，2202022256812577y PQ OP Q y O ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝=⎭-， 2222200817PF y y =+=+⎝， 所以222PQ PF =，即2PQ PF =.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）如图，曲线段C 即为抛物线上一段21122y x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭， 端点11,24A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11,24B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在A 处的切线斜率为1212⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为QA QB ⊥，所以Q 的轨迹是以线段AB 为直径的圆弧（不含端点），以线段AB 的中点10,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为极点，射线MB 为极轴，建立极坐标系， 则Q 点轨迹的极坐标方程为1022πρθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（2）设直线PM 与以10,4M ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆交于两点E ，F ， 则12ME MF ==, 由相交弦定理，得PA PQ PE PF ⋅=⋅()()214ME PM MF PMPM =+⋅-=-2222211114444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 当0t =，即()0,0P 时，PA PQ ⋅最大，最大值为316。

数学参考答案·第1页（共8页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B B D A B【解析】1．4(12i)(12i)41441z z -=+--=+-= ，故12i 4z z z z ==-- ，故选B ．2．杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选C ． 3．223(1)(3)0x x x x --=+-≤∵，{10123}A =-，，，，∴，由x A -∈知道，x 可以取3-，2101--，，，，又101A A A -∈∈∈，，，故知{32}B =--，，故选C ．4．由题意知205μσ==，，故1()10.6827(15)()22P X P X P X μσμσμσ--<<+-=-==≤≤ 0.1587≈，故选B ． 5．πππππcos cos 66336f x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意知π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π12x =轴对称，则ππππ()1236k k ωω+-=∈Z ，即412()k k ω=-∈Z ，又因为0ω>，故当0k =时，ω有最小值4，故选B ．6．一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5．综上2112446422610C C C C 66244C C 154515P ++==⨯= ，故选D ． 7．设两个正四棱锥分别为P ABCD -和Q ABCD -，P ABCD -和Q ABCD -的高分别为1h 和2h ，外接球半径为r ，则由题意知道211232h h h h r =⎧⎨+=⎩，，故12322r r h h ==，．设PQ 与平面ABCD数学参考答案·第2页（共8页）交点为1O ，球心为O ，故12r OO =，故1AO ===，故12AB r ==．设AB 的中点为E ，则4PE ===，同理可得4QE r =，故1442142142PABQAB AB PE S PE S QE AB QE ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯△△，故选A ． 8．构造函数π()sin 02f x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，，则()1cos 0f x x '=-≥，故函数()y f x =在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故1(0)011f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 1111>，又313111>，故a b <．构造函数()ln 1g x x x =+-，则1()1g x x'=-，易知函数()y g x =在1x =处取得最大值(1)0g =，故10011g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1010ln 101111+-<，即11011ln ln ln1.1111110<-==，由前面知11sin 1111<，故a c <．构造函数3()ln(1)3x h x x x =+-+，则22219(3)9(1)()1(3)(1)(3)x x h x x x x x +-+'=-==++++ 2(3)(1)(3)x x x x -++，故知函数()y h x =在(03)，上单调递减，故(0.1)(0)0h h <=，即0.33ln1.1 3.131<=，故c b <，综上，故选B ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 12 答案BD AC ACD BCD【解析】 9．2(123)a b k +=+ ，，由(2)a b a +⊥ 知道(2)0a b a += ，即1(23)0k k ++=，解得12k =- 或1k =-，故选BD ．10．如图1，11C D AB ∥∵，而AB ⊂平面ABP ，故11C D ∥平面ABP ，故A 正确；显然1B C 与BP 不垂直，故1B C ⊥平面ABP 不可能成立，故B 错误；易知AB ⊥平面11BCC B ，故有平面11BCC B ⊥平面ABP ，故C 正确；直线1AA 与平面ABP 所成角即为直线1BB 与平面ABP 的数学参考答案·第3页（共8页）所成角，取BC 的中点Q ，易知1B Q BP ⊥，故由C 选项知1B Q ⊥平面ABP ，故1B BP ∠即为直线1BB 与平面ABP 的所成角，设正方体棱长为a，则1cos sin 52aB BP CBP ∠=∠==，故D 错误．综上，故选AC ． 11．由题意知道cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，故A 选项显然正确；对于B选项，4π2cos 134π2sin 3x y ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故B 错误；对于C选项，20y --=化为极坐标方程为cos sin 20θρθ--=，化简得πcos 16ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，故直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=．综上，故选ACD ．12．如图2所示，由题意知12122221212222AF AF a F F c AF AF F F -==⎧⎪==⎨⎪+=⎩，，解得1211AF AF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，，故知A 不正确，在12Rt AF F △中，由等面积法知121211||||||||22A AF AF F F y =，解得||A y =，代入双曲线方程得225123A A y x =+=，又因为点A 在双曲右支上，故A x =，故B 正确；由图知121213tan 2AF AF k AF F AF =∠===，1132AB AF k k +=-=-，由对称性可知，若点A 在第四象限，则32AB k +=，故C 正确；1ABF △的内切圆半径11122111()()22r AF AB BF AF AF BF BF =+-=++-1112)12=+-=-，故D 正确．综上，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2数学参考答案·第4页（共8页）【解析】13．63662661C ()C 2r rr r r r x x x --⎛⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎝，故当4r =时取得常数项，故常数项为1516．14．若12π3AO B ∠=，设圆心1O 到直线AB 的距离为d，则d ==．两圆方程相减得直线AB 的方程：22260x y r ++-=，故圆心1(11)O ，到直线AB 的距离为22d ===，解得r =或r =15．()sin 33sin sin(2)3sin sin 2cos cos 2sin 3sin f x x x x x x x x x x x =+=++=++=2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin 6sin x x x x x x x -+-+=-+，令sin t x =，则[11]t ∈-，，则只需求函数3()46g t t t =-+在[11]t ∈-，上的值域即可．22()1266(21)g t t t '=-+=--，故知函数()g t在12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在22⎛ ⎝⎭，上单调递增，12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．故极小值为2g ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，极大值为2g ⎫=⎪⎪⎝⎭，又(1)2g -=-，(1)2g =．故()g t 在[11]t ∈-，上的值域为[-，即函数()f x的值域为[-． 16．考虑(1)f ，显然可以有四种结果，记其可以满足的结果数为1a ，则14a =，记{1}f n B → ：，，中满足{11}i n ∀∈- ，，，都有|(1)()|2f i f i +-≥的函数个数为(2)n a n ≥．考虑2a ，当(1)1f =和(1)4f =时，(2)f 的选取都各有两个；当(1)2f =和(1)3f =时，(2)f 只有唯一的选择(2)4f =和(2)1f =，故222216a =⨯+⨯=．以此类推，当()1f i =和()4f i =时，(1)f i +的选取都各有两个；当()2f i =和()3f i =时，(1)f i +只有唯一的选择(1)4f i +=和(1)1f i +=，设i a 个函数中满足()1f i =和()4f i =的函数个数有m 个，满足()2f i =和()3f i =的函数个数有n 个，则12i a m n +=+．对于这2m 个函数，其中有一半会使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，另一半使得(1)2f i +=和(1)3f i +=；而那n 个函数，必然使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，故知212()32i i i a m n m m n a a ++=++=+=+．由递推公式可得345671016264268a a a a a =====，，，，．故满足条件的函数f 的个数为68．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1142n n n a a ++=-∵，112122n n n n a a ++=- ∴，1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴，数学参考答案·第5页（共8页）又1122a -=∵，故12nn a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． 112222n n n n a --== ，则42n n n a =+．…………………………………………………（5分） （2）由题意可得：122n n n n a b =-=，{}n c 是以4为首项，3为公差的等差数列， 则43(1)31n c n n =+-=+．故214272(32)2(31)2n n n T n n -=+++-++ ①，23124272(32)2(31)2n n n T n n +=+++-++ ②，①−②得231183(2222)(31)2n n n n T n -+-=+++++-+231123(22222)(31)2n n n n -+=++++++-+112(12)23(31)2(23)2412n n n n n ++-=+-+=--- ， 1(32)24n n T n +=-+ ∴．………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：连接AM ，DM ，32BM MC =∵，5BC =，3BM AB ==∴， 又AD BC ∥∵，ABMD ∴为菱形，AM BD ⊥∴，又PA ⊥∵平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又PA AM A = ∵，BD ⊥∴平面PAM ，BD PM ⊥∴．……………………………（5分）（2）解：在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，故AB AC ⊥，又PA ⊥∵底面ABCD ，建系如图3．则(040)C ，，，(004)P ，，，(022)N ，，，(044)PC =- ，，，在底面ABCD 中，令AC MD E = ，由ADE CME △∽△得9612555DE EM AE ===， 则612912005555M D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， (300)MD =- ，，∴，92255ND ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，， 设平面MND 的一个法向量为()n x y z = ，，，图3数学参考答案·第6页（共8页） 则有30922055x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，，得(051)n = ，，， 设PC 与平面MND 所成角为θ，则sin |cos |PC n θ=〈〉== ，，即为所求．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD △中，由余弦定理可得：2222cos 31211BD AB AD AB AD BAD =+-∠=+-= ， 1BD AD ==，π6ABD BAD ∠=∠=∴，故π3ADC ∠=， 在Rt ACD △中，12π1cos 32AD CD ===， 故3BC BD CD =+=．……………………………………………………………………（5分） （2）设AB x =，则2AC x =，1πsin 42241πsin 26ACD ABD AC AD S CD x BD S x AB AD ==== △△ ， 设BD y =，则45CD y BC y ==，，在Rt ACD △中，由勾股定理222AC AD CD +=，即224116x y +=，在ABC △中，由余弦定理得2222π2cos3BC AB AC AB AC =+- ， 即222225(2)27y x x x x x =++= ，联立解得22512x =，故212πsin 23224ABC S AB AC x === △ ．………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）X 可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X 不可能为3．） 4411(4)A 24P X ===，2444C 1(2)A 4P X ===，1444C 21(1)A 3P X === ， 1113(0)124438P X ==---=．数学参考答案·第7页（共8页）故分布列为3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………（8分）（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分．若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为2110.001724576⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的．……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）由(4)P m -，是C 上一点知：162pm =，故8m p=． 由抛物线定义可知：8||522p pPF m p =+=+=， 化解得210160p p -+=，解得2p =或8p =， 又因为P 位于F 的上方，故82pp >，故2p =， 故抛物线方程为24x y =．………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知(44)P -，，(01)F ，，显然，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点22121244x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，故121244x x k x x +==-，， 若PF 平分角APB ∠，则12||||||||||||x PA AF PB BF x ==，故221222||||x PA PB x =， 即22211212222222(4)44(4)44x x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，即421211142222228321683216x x x x x x x x -++=-++， 即2222222222221212112122221211218328321616x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-++ ，数学参考答案·第8页（共8页）将124x x =-代入化简得22221131323132x x x x -=-，即21212131()()32()0x x x x x x +---=，因为12x x ≠，故2131()32x x +=，即31432k ⨯=，得831k =， 故直线l 的方程为8131y x =+．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分12分）（1）证明：当2a ≥时，22()ln 3ln 23f x x x ax x x x x x =-+-+≤， 欲证()1f x ≤，只需证2ln 231x x x x -+≤，0x >∵，只需证1ln 23x x x-+≤，即证：1ln 230x x x -+-≤，令1()ln 23g x x x x =-+-，则22221121(21)(1)()2x x x x g x x x x x -+++-'=-+==-， 故知函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 故max ()(1)0g x g ==，故()0g x ≤，即1ln 23x x x -+≤，得证．………………………（5分）（2）解：ln 4()1ln 2322x f x x ax x a x +⎛⎫'=+-+=-⎪⎝⎭． 令ln 4()2x h x x +=，则22122(ln 4)62ln ()44x x x x h x x x -+--'==， 故知()h x 在3(0e )-，上单调递增，在3(e )-+∞，上单调递减，故33maxe ()(e )2h x h -==，①若3e 2a ≥，则()0f x '<恒成立，则()f x 在(0)+∞，上单调递减，无最大值；②若3e 02a <≤．0lim ()lim ()0x x h x h x →→+∞=-∞=，， 则()f x '在(0)+∞，上有两个零点，设为12x x ，，且12x x <．显然312e x x -<<， 故当1(0)x x ∈，时，1()()h x h x a <=，故()0f x '<，函数()f x 此时单调递减． 同理可知函数()f x 在12()x x ，上单调递增，在2()x +∞，上单调递减． 又0lim ()0x f x →=，故()f x 有最大值等价于2()0f x ≥， 故有2222222ln 402ln 30x a x x x ax x +⎧-=⎪⎨⎪-+⎩，≥，化简得222ln 02x x x +≥，解得22e x -≥， 又2()a h x =，且()h x 在2(e )-+∞，上单调递减， 故22(e )e a h -=≤，故20e a <≤；③若0a ≤，当e x ≥时，2()34f x x ax x x -+≥≥，()f x 显然无最大值，综上，20e a <≤．………………………………………………………………………（12分）。

云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔四〕理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的外表积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，那么图1中阴影局部所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}|12x x <≤2．i 为虚数单位，那么复数133ii-+的虚部是 A ．1- B ．1 C ．i D ． i -3．命题“所有实数的平方都是正数〞的否认为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数4．(0,0)a b t a b +=>>，t 为常数，且ab 的最大值为2，那么t ＝A ．2B ．4C ．22D ．255．甲、乙两名运发动在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运发动这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运发动这项测试成绩的标准差，那么有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =>C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =<6．假设二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，那么正整数n 的最小值为A ．3B ．5C ．7D ．107．定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，那么曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．1y x =+B ．32y x =-C ． 21y x =-D ．23y x =-+8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩那么22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19．如图1给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >10．一几何体的三视图如图4，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②11．定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，假设方程()(0)f x m m =>，在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，那么1234x x x x +++＝A ．－12B ．－8C ．－4D ．412．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．假设||,||,||OA AB OB 成等差数列，那么双曲线离心率e 的大小为A ．2B ．2C ．2D ．2第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．如果随机变量2~(1,)N ξσ-，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，那么(1)P ξ≥＝ ．14．在直角坐标系xOy 中，有一定点(2,1)A ，假设线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，那么该抛物线的准线方程是 ．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)n =-的直线〔点法式〕方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =--的平面〔点法式〕方程为 ．16．数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，那么15S ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值12分〕函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔2〕设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =()9f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．18．〔本小题总分值12分〕班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．〔1〕求该班学生每天在家学习时间的平均值；〔2〕假设学生每天在家学习时间为18时至23时，甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．19．〔本小题总分值12分〕如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点． 〔1〕求证：平面1BEC ⊥平面11ACC A ；〔2〕假设12A A AB =，求二面角1E BC C --的大小． 20．〔本小题总分值12分〕函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a > 〔1〕求a 与b 满足的关系式；〔2〕求函数()f x 的单调区间．21．〔本小题总分值12分〕椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ． 〔1〕假设22e =，求椭圆的方程； 〔2〕设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，假设3k ≥e 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．作答时请写清题号．ABCEB 1A 1C 122．〔本小题总分值10分〕【选修4－1：几何选讲】如图7，圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连PB 交圆O 于点D ，假设MC BC =．〔1〕求证：△APM ∽△ABP ；〔2〕求证：四边形PMCD 是平行四边形．23．〔本小题总分值10分〕【选修4－4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．24．〔本小题总分值10分〕【选修4－5：不等式选讲】 函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--． 〔1〕当2a =时，求函数()f x 的最小值；〔2〕当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔四〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕三、解答题〔共70分. 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕1cos 21π()2sin 21226x f x x x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 那么()f x 的最小正周期是2ππ2T ==. ………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，那么πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，∴022πC <<，∴ππ11π2<666C -<-，∴ππ262C -=，∴3C π=， ∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① 由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………………〔12分〕18．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕平均学习时间为20102103541.8()50⨯⨯+⨯+⨯=1+小时. ……………〔6分〕 〔Ⅱ〕设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x ，y )|18≤x ≤21，18≤y ≤20}，面积S Ω = 2×3=6.事件A 表示“22时甲、乙都在学习〞，所构成的区域为A ={(x ，y )|20≤x ≤21，19≤y ≤20}，面积为111A S =⨯=， 这是一个几何概型，所以P (A )A S S Ω==16. …………………………………………〔12分〕19．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图3，∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴1,AA ABC ⊥平面 ∴1BE AA ⊥.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴,BE AC ⊥ ∴11BE ACC A ⊥平面. 又∵1BE BEC ⊂平面，∴平面111BEC ACC A ⊥平面. …………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕 解：如图4，作1CF EC F ⊥于，1FG BC ⊥于G ，连CG . ∵平面111BEC ACC A ⊥平面， ∴1CF BEC ⊥平面，∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影. ∴根据三垂线定理得，1CG BC ⊥， ∴∠CGF 是二面角1E BC C --的平面角，图3图4设AB a =，∵1A A AB =，那么1A A =. 在1Rt ECC △中，11EC CC CF EC ⋅==. 在1Rt BCC △中，11BC CC CG BC ⋅==, 在Rt CFG △中，∵sin CF CGF CG ∠==, ∴45CGF ∠=︒.∴二面角1E BC C --的大小是45°. …………………………………………………〔12分〕20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2()1a bf x x x '=--，由(1)0f '= 得1b a =-. ………………………〔4分〕〔Ⅱ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由〔Ⅰ〕可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x-------'=--==． 令()0f x '=，那么11x =，21x a =-. 3a >时，11a ->，所以单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ………〔12分〕 21. 〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由e =，c =2，得a =，b =2 , 所求椭圆方程为22184x y +=. ………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕设00(,)A x y ，那么00(,)B x y --，故00+222x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫-⎪⎝⎭，. ① 由题意，得0OM ON =.化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………〔8分〕② 设00(,)A x y ，那么002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩. 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理， 得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,e <故离心率的取值范围是12⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4—1：几何证明选讲】证明：〔Ⅰ〕∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点， ∴22,MN PN NA NB ==⋅ ∴,PN NANB PN= 又∵,PNA BNP ∠=∠ ∴PNA △∽BNP △， ∴,APN PBN ∠=∠ 即,APM PBA ∠=∠ ∵,MC BC = ∴,MAC BAC ∠=∠ ∴,MAP PAB ∠=∠∴APM △∽ABP △． …………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕∵ACD PBN ∠=∠，∴ACD PBN APN ∠=∠=∠，即PCD CPM ∠=∠，∴//PM CD ，∵APM △∽ABP △，∴PM A BPA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴PMA MCP ∠=∠，∴PMA BPA MCP ∠=∠=∠，即,MCP DPC ∠=∠∴//,MC PD∴四边形PMCD 是平行四边形． ……………………………………………………〔10分〕23．〔本小题总分值10分〕【选修4—4：坐标系与参数方程】解：因为直线l 的极坐标方程为=()3θρπ∈R ，所以直线l 的普通方程为y =，① ………………………………………………〔3分〕又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为212y x =([2,2])x ∈-，② …………………………〔6分〕联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩ 或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故P 点的直角坐标为(0，0). ………………………………………………………〔10分〕24．〔本小题总分值10分〕【选修4—5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕函数的定义域满足：150x x a -+-->， 即15x x a -+->，设()15g x x x=-+-，那么()15g x x x=-+-=26,5, 4,15, 62,1,x xxx x-⎧⎪<<⎨⎪-⎩≥≤g (x)min= 4，f (x)min= log2 (4−2)=1. ………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，()15g x x x=-+-的最小值为4.150x x a-+-->，∴a<4，∴a的取值范围是(−∞，4). ………………………………………………〔10分〕。

2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,5,6U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}2,5,6B ．{}2,4,5,6C ．φD ．{}1,2,3,6【答案】A【分析】根据补集定义计算．【详解】因为全集{12356}U =，，，，，{13}A =，，所以根据补集的定义得{}256UA =，，，故选：A.2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【分析】根据复数的四则运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z 即可. 【详解】∵(1)2i z i +=∴()()()222122222111112i i i i i i z i i i i i --+=====+++-- ∴1z i =- 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题. 3．设两组数据分别为129,,,x x x 和238,,,x x x ，且123489x x x x x x <<<<<，则这两组数据相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．极差C ．方差D ．平均数【答案】A【分析】根据统计中的数字特征中位数，极差，方差，平均数进行判断，【详解】原始中位数为5x ，去掉1x ，9x 后剩余2348x x x x <<<<…，中位数仍为5x ，A 正确； 原始平均数1234891()9x x x x x x x =++++++…，后来平均数23481()7x x x x x '=++++…，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，D 不正确；22222911[()()()]9s x x x x x x =-+-++- (22222381)[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'…，由②易知，C 不正确；原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，B 不正确， 故选：A.4．设函数()()311log 2,13,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，求()()325log 15f f -+=（ ）A ．16B ．8C ．15D ．9【答案】D【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；33log 151log 53(log 15)335f -===3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若F 到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A ．22184x y -=B ．22144x y -=C ．22188x y -=D ．22148x y -=【答案】B【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率e =可解得a ，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点2b ==，又2c e ====2a =，所以双曲线的方程为：22144x y -=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6．垂直于直线2y x =-且与圆221x y +=相切于第三象限的直线方程是（ ）A ．10x y +-=B ．0x y +=C ．0x y +-=D ．10x y ++=【答案】B【分析】由垂直设所求方程为(0)y x m m =-+<，0m <保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数m ．【详解】设所求方程为(0)y x m m =-+<，圆心到直线的距离为1r ==，∵0m <，∴m = 故选：B ．7．已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A ．3 B ．12C ．13D ．23【答案】B【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→=- ，则4a b b →→→=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→+= ，即240b b λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=. 故选： B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8．在ABC 中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（） A B ．12C ．13D 【答案】A【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan A =故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．32252++B ．13C ．2512++D ．12252++【答案】D【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122PCD S =⨯⨯=△，151522PBCS =⨯⨯=， 121222PAB S ⨯==△，121222PAD S ⨯==△， 则四棱锥P ABCD -1225++故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.10．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos 5αβ+=-，则tan αβ（ ）A ．247-B．C ．211-D ．-2【答案】C【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，.又因为cos()5αβ+=-， 所以sin()αβ+==tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan tan 21tan 2tan()11()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.11．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为2S （O 为坐标原点），则2212S S +的最小值为（ ）A ．10B ．16C ．14D ．12【答案】B【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和22S ，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l 的距离为d =，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故2212S S +的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题. 12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω），2πϕ≤，下述五个结论：①若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点； ③若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ④若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭； ⑤若()f x 的图象关于4x π=对称，4πx =-为它的一个零点，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③④ B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①③④【答案】D【分析】结合正弦函数sin y x =的性质进行判断．作出sin()y x ωϕ=+的大致图象，由[0,2]π上的零点个数判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，然后从最大的ω验证，判断⑤．【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当010x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在010π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确； ④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤， ∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)，得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，关键是掌握正弦函数与性质，掌握五点法作图，利用数形结合思想归纳出结论，解题时可由零点、对称性得周期，由单调性确定周期的范围，由点的坐标确定相位是常用方法．二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2-【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如下，因为2z y x =-可化为2y x z =+， 则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14．已知直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______. 【答案】12-或1 【分析】由12l l ⊥，可建立等式关系，计算即可.【详解】因为直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，且12l l ⊥，所以()()1120a a a +⨯+-=，解得12a =-或1. 故答案为：12-或1. 15．已知函数()()()2112cos 11x x x x a f ee x x --+=-+++--有唯一零点，则a =______.【答案】12【分析】函数式变形后引入2()()cos 2xxg x x a e e x -==++-，此函数是偶函数，也有唯一零点只能是0x =，从而可求得a ． 【详解】因为21(1)()(1)(ee )cos(1)2x xf x x a x ---=-+++--，且2()(e e )cos 2xxg x x a x -=+++-为偶函数，也有唯一零点0x =， 所以(0)0g =，解得12a =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查函数的零点问题，在函数式比较复杂又要确定零点时，可考虑函数的奇偶性，具有奇偶性的函数如果零点唯一，则零点只能是0．那么如果函数本身不具有奇偶性，可考虑能否通过图象变换把它变成具有奇偶性的函数．从而也可确定唯一零点． 16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π3BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________. 【答案】83【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得22143a h +=，所以3(4)2P ABC V h h -=-，利用导数求解体积的最大值. 【详解】如图所示，令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==33DO a =，外接球表面积为16π， 所以半径2r，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2234h ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即22143a h +=， 得223(4)a h =-，所以体积21132334P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333(4)62a h h h ==-，令33())2f h h h =-(0)h >，23()(43)2f h h '=-，()f h 在230⎛ ⎝⎭，上单调递增，在23⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 所以23h =P ABC V -的最大值为2383f =⎝⎭. 故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a S +=+，*n N ∈，在公差不为0的等差数列{}n b 中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =-，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）1(31)(1)2nn n --+. 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥证明{}n a 是等比数列，得到通项公式n a ，利用等比数列的性质求得等差数列{}n b 的公差d ，得通项n b ； （2）分组求和法计算n T ．【详解】（1）∵121n n a S +=+，∴121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得13(2)n n a a n +=≥，又因为23a =，∴213a a =，∴13()N n n a a n +=∈+13n n a -=，.设等差数列{}n b 的公差为d ，∵1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=，∴2n b n =. （2）由（1）知，132n n n n c a b n -=-=-，所以2113332(12)n n T n -=++++-+++ (131)(1)(31)(1)132n n n n n n -=-+=--+-.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，分组求得法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．注意对应的数列特征．18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑，()()()121niii nii x x y y b x x ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-. 1.414≈.【答案】（1）可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系，其关系为负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+，预测 6.2y =. 【分析】（1）根据表格中的数据，分别求得,x y ，结合公式，求得r 的值，即可得到结论；（2）由（1）知，根据公式求得ˆ0.56b=-，进而求得ˆa ，得出回归直线的方程，代入12x =，即可得到预测值.【详解】（1）由题意，可得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(nii ii x x y y r y y =--===≈--∑∑.由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系. 由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 则ˆˆ9(0.56)712.92ay bx =-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+， 当12x =时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. 【点睛】求解回归直线方程的基本步骤：（1）依据一般数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； （2）计算211,,()(),()nnii i i i x y x x y y x x ==---∑∑的值；（3）计算回归系数ˆˆ,ab ；（4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+. 19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 为棱BC 的中点，求点C 到平面PAM 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）49331. 【分析】（1）由正三角形性质得PO AC ⊥，由勾股定理逆定理证PO OB ⊥，从而得线面垂直；（2）利用体积法P AMC C PAM V V --=可求得点C 到平面PAM 的距离．【详解】（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =.如图，连接OB ，因为22AB BC AC ==，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==， 由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知PO ⊥平面ABC .（2）如图所示，因为点M 为棱BC 的中点，所以在ABM 中，AM =，又PO ⊥平面ABC ，在POM 中，OM =PM =PAM △中，由余弦定理得，cosPMA ∠=，则sinPMA ∠=，所以12PAM S ==△设点C 到平面P AM 的距离为d ，由P AMC C PAM V V --=，得11141323d ⨯⨯⨯⨯=，所以31d =，所以点C 到平面P AM 【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离．立体几何中求点到平面距离的方法：（1）作出点到平面的垂线，求出垂线段的长； （2）在三棱锥中用体积法计算；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解．P 到平面ABC 的距离，设n 是平面ABC的一个法向量，则P 到平面ABC 的距离等于PA n n⋅（A 点可以是平面ABC 内的任意一点）．20．已知函数()()22ln f x x ax a x =-+-，其中a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =函数图象在点()()22f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2a -，求a 的值.【答案】（1）322ln 2y x =--；（2）223e a e -=-. 【分析】（1）求出导数计算出切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，根据()0f x '=的两根的大小分类讨论确定()'f x 正负，得()f x 的单调性，从而得最大值，由最大值等于2a -可得结论． 【详解】（1）当0a =时，22ln ()(0)f x x x x =->，2()2f x x x'=-，(2)413f '=-=，()422ln 2f =-，切线方程为322ln 2y x =--.（2）22(1)1222(2)()2a x x a x ax a f x x a x x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥--+-⎝⎭⎣⎦'=-+==， ①当112a-≤，即4a ≤时，若1≥x ，()0f x '≥恒成立，∴()f x 在[1]e ，上递增， ∴2max()()22f x f e e ae a a ==-+-=-22(4]3e a e -⇒=∈-∞-，合题意；②当112a e <-<，即422a e <<+时，当112a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≤，()f x 单调递减， 当12a x e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≥，()f x 单调递增，max ()f x 在(1)f 处或(e)f 处取到，又(1)12f a a =-=-时，1(422)a e =-∉+，且2()22f e e ae a a =-+-=-22(422)3e a e e -⇒=∉+-，；③当12ae -≥，即22a e +≥时，当[1]x e ∈，，()0f x '≤，()f x 单调递减， max ()(1)f x f =，又(1)12f a a =-=-时，1(22)a e =-∉++∞，. ∴综上，223e a e -=-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求切线方程比较方便：只要求得导数后代入点的横坐标求得切线斜率，由点斜式写出切线方程化简即可．用导数求最值，需求出导数，利用导数的正负确定的单调性，得函数的极值、最值．这里需要按()0f x '=的大小讨论．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且抛物线24y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）与圆222x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ON μμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程； （2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为12，∴12c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）∵直线:l y kx t =+与圆222x y +=相切，∴原点到直线l的距离为d r ===()2221t k =+，∴22t ≥.设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，∴()121226243ty y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+，∴0202843643kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ=设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=， ∴四边形OMPN的面积1222MON S S MN d MN μμ==⋅⋅=△=====令()2222111143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵2433k +≥，∴()1132f k ≤<，∴2S ≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），在以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程. 【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为221416x y +=；（2）2cos sin 40ρθρθ+-= 【分析】（1）分π2α=和π2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程. 【详解】（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=.由ρ=2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，即221416x y +=.（2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α，所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=， 则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23．设函数()213f x x x =++-的最小值为m ，且()f t m =. （1）求m 及t 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足1a b c m +++=.≤.【答案】（1）1,4t m =-=；（2）证明见解析.【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，求得在1t =-时取得最小值得解. （2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，，，则函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，所以在1t =-时取得最小值，()14f m -==.（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=≤1a b c ===时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.。

云南省师范大学附属中学2021届高考数学适应性月考卷（一）文注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}221,(,)1M x y x N x y y x ==+==-+， 则MN=A.{}1B. (0, 1)C. φD. {}(0,1) 2.在复平面内，复数21ii-+ (i 为复数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限 3.函数()27xf x e x =+-的零点所在的区间为A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D. (3,4) 4.已知tan 2α=,则sin(2)2πα+=A.35 B. 45 C. 35- D. 45- 5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是A.731092π B. 891092π C 1621092π. D. 161092π6.双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F(3, 0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1,则双曲线C 的离心率为 2 B.324 C 33D. 37.如图2，在∆ABC 中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点D 是BC 边上靠近B 的三等分点， 则AD =379743438.在正项等比数列{}n a 中, 11a =,前三项的和为7,若存在,m n N *∈使得14m n a a a =,则19m n+的最小值为 A. 23 B. 43 C. 83 D. 1149.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是 A.56 B. 83 C.1 D. 16310.设动直线x=t 与曲线xy e =以及曲线ln y x =分别交于P, Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值, 则下列描述正确的是A. min 2PQ =B.min 32522PQ << C. min 3222PQ <<D. min 3PQ > 11.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A, B 两点，分别过A, B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.∆PAB 的面积S 的最小值为:A.23pB. 22p C. 2p 2212.已知函数2212cos ()2cos 2x xx x e x e f x x -+-+=+，则122019()()()202020202020f f f +++= A.2021 B.2020 C.4038 D.4040二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.设实数x , y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则z =x +y 的最小值为_________14.过原点于曲线ln y x =相切的切线方程为为_____________15.已知P 是直线l : 260x y ++= 上一动点，过点P 作圆C: 22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B.则四边形PACB 面积的最小值为___________。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷（四）数学试卷一、单选题1．在复平面内，复数20242025i i z =+，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知a r ，b r 为单位向量，且a r在b r 上的投影向量为12b r ，则2a b -=r r （ ）A ．5BC ．3D 3．已知函数()()sin 1f x x x =-+，若()()2f a f b +=，则a b +=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2-4．在ABC V 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则cos C =（ ）A ．B ．CD 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，若55S =，15105S =，则20S =（ ） A ．550B ．520C ．450D ．4256．下列不等关系正确的是（ ）A ．1211ln 2sin 22<<B ．sin1cos1tan1<<C D ．234log 3log 4log 5<<7．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象的一条对称轴是2πx =，且()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个根，则ω的最大值是（ ） A ．458B ．418C ．378D ．2988．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P x 1,y 1 是C 上的一点，12PF F V 的内切圆圆心为Q x 2,y 2 ，当12x =时，2x =C 的离心率为（ ）A B 1 C D ．2二、多选题9．云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点，更是一件艺术品，它表达了人们对生活的热爱，可以让人们在繁忙的都市生活中，感受春天的味道．因此，三朵玫瑰一个饼，深受人们的喜爱，由于现烤鲜花饼的保质期较短，为了提升品质，能让顾客吃到更新鲜的饼，某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量，如下表：（ ）A ．该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B ．该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个（同一组数据用该组区间中点值为代表）C ．若当天准备550个鲜花饼，则全部售完的概率为23D ．若当天准备450个鲜花饼，则没有全部售完的概率为2510．数列{}n a 满足()*1120n n n n a a a a n +++-=∈N ，11a =，则下列结论正确的是（ ）A ．若13n a nb =，则{}n b 为等比数列B ．若121111n n c n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则{}n c 为等差数列C ．21n a n =- D ．122111121n nn a a a a --++⋅⋅⋅+= 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，24PA AB AD CD ====，AB CD ∥，AB AD ⊥，已知点M 在平面PAD 上运动，点H 在平面ABCD 上运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若点H 到CD 的距离等于其到平面PAB 的距离，则点H 的轨迹为抛物线的一部分B ．若BMA CMD ∠=∠，则点M 的轨迹为圆的一部分C ．若BM 与BD 所成的角为30°，则点M 的轨迹为椭圆的一部分D ．若CM 与平面ABCD 所成的角为30°，则点M 的轨迹为双曲线的一部分三、填空题12．集合15Z N 2A x x *⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A 的真子集个数为个． 13．若曲线()ln 24y x =-+在3x =处的切线也是曲线2y x x a =-+的切线，则a =． 14．在ABC V 中，内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，已知1c =，22sin 1sin Bb a A=-+，且a b ≠，则sin sin B A -的最大值为．四、解答题15．近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展．某新能源汽车公司为了解其对A 型充电桩进行投资后所获得的利润y （单位：百万元）关于投资金额x （单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到10140i i y ==∑，10170i i x ==∑，利润的方差2 3.6y S =，投资金额的方差212x S =，以及样本相关系数0.96r =．(1)根据样本相关系数r 判断利润y 与投资x 的相关性强弱，并求出y 关于x 的经验回归方程（精确到0.01）；(2)为了解使用A 型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随机调查了该地区150名使用A 型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A 型充电桩的使用表示满意，有30名对A 型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A 型充电桩的使用表示满意．将频率视为概率，用样本估计总体．已知该地区一位车主对A 型充电桩的使用表示满意，求这位车主是男性的概率．附：（ⅰ）样本相关系数()()niix x y y r --=∑[]0.75,1r ∈时，相关性较强，当[)0.3,0.75r ∈时，相关性一般；（ⅱ）经验回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； （ⅲ57.47．16．已知{}n a 是正项递增的等比数列，且2664a a =，3520a a +=．数列{}n b 是等差数列，且()212n n b n n C +=++．(1)分别求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (2)设()111nn n n n c a b b +=-+，求数列{}n c 前n 项和n S ． 17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥平面ABCD ．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若14AB AD AA ===，112A B =，120BAD ∠=︒，求平面11A BC 与平面1DBC 夹角的余弦值．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且焦距为4，左顶点为E ，过右焦点2F 的动直线l 交C 于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，6AB =． (1)求C 的方程；(2)若动直线l 与C 的左支交于点A ，右支交于点B ，求12AEF BEF S S △△的取值范围．19．设()y f x =是定义域为D 且图象连续不断的函数，若存在区间[],a b D ⊆和()0,x a b ∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“山峰函数”，0x为“峰点”，[],a b 称为()y f x =的一个“峰值区间”．(1)判断()2cos g x x x =+是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；(2)已知1m >，()()22xh x m x x m =+--是山峰函数，且[]0,1是它的一个峰值区间，求m 的取值范围；(3)设n ∈R ，函数()()()32321244ln 443I x x nx n x x x nx n x ⎡⎤=-+--+--⎣⎦．设函数()y I x =是山峰函数，[],s t 是它的一个峰值区间，并记t s -的最大值为()d n ．若203I ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()213I I ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()312I I ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求()d n 的最小值．（参考数据：3ln 0.42≈）。