函数性态的研究共34页

y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
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Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C

若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a , b) 内有唯一极值点 x0 ， 则 f ( x0 ) 为极大值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最大值；
f ( x0 ) 为极小值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最小值．
例 7 建造一个具有已知容积 V 的无底有盖的圆柱形煤气柜．
EXE. 求函数 y sinx cosx 在 [0, 2 ] 上的极值．
三、最值
(1) 最值存在： 若 f C[a , b] ，则在 [a, b] 上 f 取得最大值和最小值．
（充分非必要）
(2) 何处取得最值：
极值点处 可能最值 端点处
(3)
驻点 f 不存在的点 （应是f 的连续点）
补充作业 (1)
ae 2 x cos x, x 0, 可导，求 a, b ． f ( x ) sin(bx ) x, x 0 x
x 3e tx x (2) 求 f ( x ) tlim 的间断点，并指出类型． tx e sin x
(3)
x 1 , L( x ) ln x 1,
如何判定：
驻点 极值点处 f 不存在的点 （应是f 的连续点） 可能最值 端点处
(3) 如何判定： 若 f ( x) C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值，
最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
p p x (1 x ) 1 ， 0 x 1． p 1
例 9 讨论方程 x ke x （k 为正常数）有几个根．

驻点
可能最值
极值点处 端点处
f 不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定：
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f
不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定： 若 f (x)C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值， 最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f (x)C[a, b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
(6)
f
二阶连续可导， y sin
f ( x2 ) ，
求d2y ．
dx 2
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f (x0 ) f (n1)(x0 ) 0 ，且 f (n)( x0 ) 0 ．则
10 n为奇数时，点 x0 为非极值点； 20 n为偶数时，
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)lnx y xlnx ylny , x, y0且 x y ；
2
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1 ，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
补充作业 (1)
ae2x cos x, x 0,