分式运算的几种技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法
例1 计算：2
11
a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】22
22(1)(1)(1)(1)11(1)11
1111a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算2221
2324x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21
+x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法
例3计算21-a +12
+a -12-a -21+a
分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12
+a -12-a ）
=44
2-a +142--a =)1)(4(1222--a a
四、 分离整数法
例4 计算
3
x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243
x x x x =11111243x x x x =。。。
五、 逐项通分法
例5 计算：4
43
22x a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。 同类方法练习题：计算
1x 21x 11x 12+-+--1x 81x 484+-+-
六、 裂项相消法
例6 计算：1111...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)a a a a a a a a . 分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111(1)1a a a a ，这样可抵消一些项.
解：原式=11111111()()()...()11223910a a a a a a a a =11
1010(10)a
a a a 七、 整体代入法
例7．已知1x
+1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y +-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y
=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57
练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y
+---的值．
八、 公式变形法
例8．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+
4
1a
解：由已知条件可得a ≠0,∴a+
1a =5 ∴a 4+41a =(a 2+21a
)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x
的值． 九、 设中间参数法
例9．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc
+++ 解：设b c a += a c b += a b c
+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1
若a+b+c ≠0，则k=2
()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc
⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则
=+-y x y x 3__________。 （2）已知6z 5y 4x ==，则z
3z 4y 3x 2+-=_____________。 十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）
例10．已知21
a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87
∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915
练习：已知a+1a
=5．则2421a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题)
例11. 已知abc=1,则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1
c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则
原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13
=1. 说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．
