高中数学 222椭圆的几何性质规范训练 苏教版选修21(1)

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2019/11/21
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3.如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则
25 椭圆的离心率为___5_____.
解析 ∵x－2y＋2＝0，
∴y＝12x＋1，而bc＝12，
即
a2－c2 c2＝12，∴ac22＝54，ac＝2
5
5 .
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4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 3
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题型二 由椭圆的几何性质求方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为12，焦距为 8； 解 由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝ac＝4a＝12，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是6y42 ＋4x82 ＝1.
解析 ∵焦点在 y 轴上，∴0<m<2，
∴a＝ 2，b＝ m，∴c＝ 2－m，
又 e＝ac＝12，∴ 2－2 m＝12，解得 m＝32.
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课堂小结
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先 定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能 确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、 离心率e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
－a≤x≤a, －b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
__A_1_(－__a_,_0_)_，__A_2(_a_,_0_) _，__ B1(0，－b)，B2(0，b)

高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线33y x =的距离是（ ） Ａ．12 Ｂ．32 Ｃ．1 Ｄ．3答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ 4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ）Ａ．15π Ｂ．15π4 Ｃ．3π Ｄ．255π4答案：Ｄ 6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n +的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭， Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭， Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题 7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2150)，，则椭圆的标准方程 是 ． 答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ． 答案：44111．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是 ．答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=， ∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点， OF c ∴=，3AF a ==．233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程． 解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=． ∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆2214x y m +=的焦距等于2，则m 的值为（ ） Ａ．5或3Ｂ．8 Ｃ．5 Ｄ．16答案：A 2．已知点()m n ，在椭圆228324x y +=上，则24m +的取值范围是（ ） Ａ．[423423]-+，Ｂ．[4343]-+， Ｃ．[422422]-+，Ｄ．[4242]-+，答案：A 3．已知椭圆方程221259x y +=，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长度为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．8 Ｄ．32答案：B4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，则线段PP '的中点M 的轨迹是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆Ｃ．直线 Ｄ．以上都有可能答案：B5．在椭圆2214520x y +=上有一点P ，12F F ，是椭圆的左、右焦点，12F PF △为直角三角形，则这样的点P 有（ ）Ａ．2个Ｂ．4个 Ｃ．6个 Ｄ．8个答案：D 6．如右图，M 是椭圆22194x y +=上一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，I 是12MF F △的内心，延长MI 交12F F 于N ，则MINI 等于（ ） Ａ．355 Ｂ．53 Ｃ．55 Ｄ．533答案：A二、填空题7．已知方程222(1)31k x y -+=是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ．答案：2k <-或2k >8．P 是椭圆22143x y +=上的点，12F F ，是两个焦点，则12PF PF 的最大值与最小值之差是 ．答案：19．椭圆222222(0)b x a y a b a b +=>>的左焦点是F A B ，，分别是左顶点和上顶点，若F 到直线AB 的距离是7b ，则椭圆的离心率是 ． 答案：1210．椭圆2244x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF = ．答案：7211．12F F ，为椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点1F 向12F AF ∠的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是 ．答案：224(2)x y x +=≠±12．若焦点在x 轴上的椭圆222145x y b +=上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是 ．答案：31031022b -≤≤且0b ≠ 三、解答题13．设12F F ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点． （1）若椭圆C 上的点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，到12F F ，两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12F F ，两点的距离之和是4，得24a =，即2a =． 又点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，因此22231212b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=， 得23b =，且21c =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=，焦点为12(10)(10)F F -，，，； （2）设椭圆C 上的动点11()K x y ，，线段1F K 的中点()Q x y ，，满足112x x -+=，12y y =， 即121x x =+，12y y =． 因此，22(21)(2)143x y ++=，即2214123y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭为所求的轨迹方程．14．已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2km ，现准备在荒漠上开垦出一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km ，问农艺园的最大面积能达到多少？ 解：由题意，得4CA CB DA DB AB +=+=>，可知平行四边形另两个顶点C D ，在以A B ，为焦点的一个椭圆上（除长轴的两个端点），以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，易知22c =，24a =，所以12c a ==，，则2223b a c =-=． 故椭圆方程为221(2)43x y x +=≠±，易知当C D ，为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为23km 2．15．已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 在第三象限，且12120PF F ∠=，求12tan F PF ∠． 解：（1）由题设，得12122F F PF PF =+，24a ∴=，即2a =．又1c =，3b ∴=．∴椭圆的方程为22143x y +=； （2）设12F PF θ∠=，则2160PF F θ∠=-． 由正弦定理，得1221sin sin120sin(60)F F PF PF θθ==-． 由等比定理，得1212sin sin120sin(60)F F PF PF θθ+=+-． 24sin 3sin(60)2θθ∴=+-． 整理，得5sin 3(1cos )θθ=+．sin 31cos 5θθ∴=+．故3tan25θ=，1232535tan tan311125F PFθ∠===-．。

・、填空题X X 1X V1. 若椭圆应+?= 1的离心率&=§，则&的值为2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在/轴上，长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是 _____________・3. 己知椭圆的焦点在/轴上，长、短半轴之和为10,焦距为4书，则该椭圆的标准方程为4. 设椭圆的两个焦点分別为斤、F2,过尺作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P •若\F\F2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ________ •5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为 _________ .2 2 2 26. 已知两椭圆合+彳=1与古+#7=1⑼，则它们有相同的 ____________________ •2 27. ____________________________________________________________________ 若尽用是椭圆C ：专+寸=1的焦点，则在Q 上满足/竹丄处的点/啲个数为 ___________________2 28. 若椭圆宇+$=1（曰>方>0）焦距的一半为c,直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则该椭圆的离心率为 ________ ・9. 已知点（/〃，刀）在椭圆8/+3/=24±,则2/〃+4的取值范围是 ______________ . 10. 一条线段的长等于10,两端点力、〃分别在“轴和y 轴上滑动，点〃在线段力〃上且AM = 4MB ,则点於的轨迹方程是 _____________2 211. F （C,O ）是椭圆4 + 4 = l （d > b > 0）的一个焦点，尸与椭圆上点的距离的最大值为/〃,0 lrI rB 是圆F ：卜二+卄4 （尸为圆心）上-动点，线段初的垂直平分线交〃F 于点P,则动点"的轨迹方程为椭圆的几何性质m 4- n最小值为"则椭圆上与点尸距离为丁的点坐标是 _______________12.已知 --,02二、解答题13.如图，椭圆花+寸=1的左、右焦点分别为幷、用，一条直线/经过幷与椭圆交于力、〃两点.⑴求△/!阴的周长；(2)若直线/的倾斜角为45°,求△/!处的面枳.w 6X V14.如图，点畀、〃分别是椭圆—=1长轴的左、右顶点，点厂是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA丄PF.(1)求Q点坐标；⑵设対是椭圆长轴肋上的一点，〃到直线〃的距离等于MB,求椭圆上的点到点肘的距离〃的最小值.2 215.已知半椭圆二+ ¥ = 1()70)和半圆x2 + y2=/72(y<0)组成曲线C ,其中少a2 2a>b>0；如图，半椭圆^- +2_ = i(y>0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴I T crC 点P是半圆x2 + y2=b2(y<0)±异于A、B的任意一点,当点P位于点M(*A A 时，AAGP的面积最大。

2.2.2 椭圆的几何性质双基达标限时15分钟1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________． 解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案 142．在△ABC 中，|AB|＝|BC|，cos B ＝－718，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________．解析 设|AB|＝|BC|＝1，又cos B ＝－718，则|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cos B ＝259， 所以|AC|＝53，则2a ＝1＋53＝83，2c ＝1，e ＝2c 2a ＝38.答案 383．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则OP>c 恒成立， 由椭圆性质知OP≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e<1，∴0<e<22. 答案 (0，22) 4．设0<k<9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k ＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的________．(填“长轴长、短轴长、离心率、焦距”中的一个)解析 由0<k<9，知0<9－k<25－k ，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1焦点在y 轴上，焦距为8.而椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，焦距也为8. 答案 焦距5．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为__________．解析 由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由已知得a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案 x 24＋y 23＝16．在椭圆y 29＋x 24＝1上找一点P ，使它到点A(1，0)的距离最短，并求出这个距离．解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)且－2≤x 0≤2， 则|AP|＝（x 0－1）2＋y 02＝x 02－2x 0＋1＋y 02， ∵点P(x 0，y 0)在椭圆y 29＋x 24＝1上，∴y 02＝9－94x 02代入得|AP|＝－54x 02－2x 0＋10 ＝－54⎝⎛⎭⎫x 0＋452＋545， ∵x 0∈，∴当x 0＝2时，|AP|min ＝1，此时点P 的坐标是(2，0)．综合提高 限时30分钟7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，椭圆的离心率为35，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．解析 由椭圆定义知△ABF 2的周长为4a ，又c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20. 答案 208．已知椭圆x 216＋y 2m 2＝1 (m>0)，若直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m ＝________.解析 M ⎝⎛⎭⎫c ，22c ，c ＝16－m 2， ∴16－m 216＋12（16－m 2）m 2＝1，解得m ＝2 2.答案 2 29．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2，0)、(0，1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.答案25510．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A(－a ，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________． 解析 法一如图所示，过点F 1作F 1P ⊥AB ，交AB 于P ，AB ＝a 2＋b 2，AF 1 ＝a －c ， F 1P ＝b7，由△AF 1B 面积公式得 a 2＋b 2·b7＝(a －c)·b.又∵b 2＝a 2－c 2，∴整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0.∴8×⎝⎛⎭⎫c a 2－14×c a＋5＝0，即8e 2－14e ＋5＝0. ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．法二 由题意得，直线AB 的方程是：bx －ay ＋ab ＝0. 则点F 1到直线AB 的距离为：d ＝|－bc ＋ab|a 2＋b 2＝b|a －c|a 2＋b 2＝b 7整理得：5a 2－14ac ＋8c 2＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0，∴e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 1211．在椭圆上存在一点P ，它与椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率e 的取值范围．解 如图，设P(x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，A(a ，0)，则由OP ⊥PA ，得 x 02＋y 02－ax 0＝0，又因为x 02a 2＋y 02b 2＝1，消去y 02，得a 2－b 2a 2x 02－ax 0＋b 2＝0，解得x 0＝a(舍去)或x 0＝ab 2a 2－b2，因为0<x 0<a ，所以0<ab 2a 2－b 2<a ，即a 2>2b 2＝2(a 2－c 2)，所以a 2<2c 2，e 2＝c 2a 2>12，所以22<e<1. 12．已知点P(3，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解 方法一 (1)令F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2 ＝－1，则43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5.所以椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P(3，4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又a>c ，所以a 2＝5舍去． 故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.方法二 因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以|OP|＝12|F 1F 2|＝c.又|OP|＝32＋42＝5，所以c ＝5.所以椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1(以下同方法一)．(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.13．(创新拓展)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)法一 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.法二 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，且有：⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t|94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉，所以符合题意的直线l 不存在．。