高考高中数学方差PPT
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高中数学离散型随机变量的期望及方差课件
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
(2)∵该同学的得分 η， η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5， ∴得分 η 的期望为 Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 ＝11×130－5＝935， 方[思差维D拓η＝展D] (11(1ξ－)当5求)＝随11机2×变D量ξ＝ξ的12期1×望1与90＝方1差291时0.，可首先分析 ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算 量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方 差．
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28， 解得np＝ ＝80， .2. 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
离散型随机）
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴ab＝ ＝2－2 或ab＝ ＝－ 4 2 即为所求．
《方差》PPT课件3
17．(9分)已知点C是线段AB上的点，点D是AB延长线上的点， 且AD∶BD＝AC∶CB，已知AB＝6 cm，AC＝3.6 cm，求AD， BD的长．
17.BD＝12 cm，知△ABC三边a，b，c满 足(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，且a＋b＋c＝24 cm. (1)求a，b，c的值； (2)判断△ABC的形状．
1 均数为7.8，方差为 60 .如果李刚再跳两次，成绩分别为7.7，
7.9.则李刚这8次跳远成绩的方差___变__小___ 填“变大”、“不变”或“变小”)． 10．已知一组数据x1，x2，…xn的方差是s2，则新的一组数据ax1＋ 1，ax2＋1，…axn＋1(a为常数，a≠0)的方差是___a_2s_2___ (用含a，s2的代数式表示)．
23.3 方 差
23．3 方 差
1．设有n个数据x1，x2，…xn，各数据与它们的平均数的差的 平方的平均数叫做方差，记作_s_2__．方差公式为
__s_2＝__1n_[_(_x_1－__x_)_2＋__(_x_2－__x_)_2＋__…__＋__(_x_n－__x_)_2]___．
2．方差越大，数据的波动越___大_____；方差越小，数据的波 动越____小____．
三、解答题(共44分) 14．(8分)A，B两地的实际距离AB＝250 m，画在图上的距离是 A′B′＝5 cm，求图上距离与实际距离之比．
1 5 000
15．(8分)已知线段a＝8 cm，b＝18 cm，求a，b的比例中项． 12 cm
16．(9 分)已知x2＝y3＝4z，求2xx＋＋yy＋－zz的值． 设 x＝2k，y＝3k，z＝4k(k≠0)，原式＝22·2kk＋＋33kk＋－44kk＝93kk＝3
方差PPT课件
47 72
10
28 72
9 72
1.2.
由于s2甲＜s2乙，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙 的成绩更稳定些.
感悟新知
知1－讲
1. 定义：设n个数据x1， x2， …，xn的平均数为 x,
2
各个数据与平均数偏差的平方分别是 x1 x ,
2
2
x2 x , , xn x . 偏差平方的平均数叫
波动大小的关系.
感悟新知
知1－练
2 对于一组数据－1，－1，4，2，下列结论不正确 的是( ) A．平均数是1 B．众数是－1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5
感悟新知
知1－练
3 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2， 若s2＝0，则( ) A． x ＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0 C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
感悟新知
知2－练
解：经计算知，甲、乙两个品牌手表日走时误差的平均数均为0.
两组数据的方差分别为
s甲2
1 50
22
5
12
11
02
17
12
13
22
4
1.2.
s乙2
1 50
32
2
22
6
12
11
02
14
12
8+22
6+32
3
2.24.
感悟新知
知2－练
由于 s乙2 ＞s甲2，所以从日走时误差方差的角度看，甲品牌优于
89 30 59
1 课堂探究点
两位数加、减整十数
2 课时流程
探索 新知
课堂 小结
当堂 检测
方差ppt优秀课件
03
方差的实例分析
实际生活中方差的例子
金融投资
方差用于衡量投资组合的风险， 通过计算投资组合中各资产的波 动率及其相互关联程度，评估投
资组合的整体风险。
统计学
在统计学中，方差用于描述数据分 散程度，即数据点与平均值的偏离 程度。
机器学习
在机器学习中，方差用于衡量模型 预测结果的波动性，帮助了解模型 是否稳定。
风险评估
方差可以反映数据的离散程度，进而评估决策可 能带来的不确定性或风险。
风险应对
根据方差分析结果，制定相应的风险应对策略， 如分散投资、增加备选方案等。
方差在投资组合优化中的应用
资产配置
通过分析不同资产的收益率和方差，投资者可以合理配置资产， 以实现风险和收益的平衡。
组合优化
利用方差和相关系数矩阵，投资者可以构建有效的投资组合，降低 整体风险。
THANKS
方差越小，数据点越集中；方差越大，数据点越分散。
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小的情况，计算 每个数据点与均值之差的平方， 然后求和。
加权方差
适用于数据量较大且数据之间差 异较大的情况，计算每个数据点 与均值之差的平方，然后乘以相 应的权重，再求和。
方差的意义与作用
方差可以反映数据的离散程度 ，帮助我们了解数据的分布情 况。
方差ppt优秀课件
目录 Contents
• 方差的概念与定义 • 方差的性质与特点 • 方差的实例分析 • 方差与其他统计量的比较 • 方差在决策中的应用 • 总结与展望
01
方差的概念与定义
方差的定义
方差是用来度量数据分散程度的统计量，计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2$，其中$N$为 数据个数，$x_i$为每个数据点，$mu$为数据均值。
方差和标准差-PPT课件
P 1 0.3 2 0.7
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
方差ppt正式完整版
• 3a3 -3 ，…，3an -3的平均数为 --3---，方差为--2-7-。
• （5）甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做 了5次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其中 甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成绩如 下：2.20 m，2.30 m，2.30 m，2.40 m，
2.30 m，那么甲、乙的成绩比较( B )
x b 的平均数为
, 方差为 S2
_
a x (2)数据ax1、ax2、…、axn的平均数为
,
方差为 a2S2
(3)数据ax1±b、ax2±b、…、axn±b
的平均数为 a
x b
,
方差为
a2S2
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为x，方差为y, 则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为 x+3， 方差为 y . ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 x-3 ， 方差为 y .
若数据x1、x2、…、xn平均数为 ,方差为S2，则
重点 计算样本数据方差，并用方差分析问题 ∴甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
D．平均数和方差都改变
难点 用方差来比较分析问题
复习回忆
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答: 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫 做这组数据的极差，极差反映的是这组数据 的变化范围或变化幅度．
• C．平均数改变，方差不变 • D．平均数和方差都改变
达标检测
• (1)有5个数1，4，a, 5,2的平均数是a，则这个
• 5个数的方差是_2____.
• (2)绝对值小于 所有整数的方差是_4_____.
• （5）甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做 了5次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其中 甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成绩如 下：2.20 m，2.30 m，2.30 m，2.40 m，
2.30 m，那么甲、乙的成绩比较( B )
x b 的平均数为
, 方差为 S2
_
a x (2)数据ax1、ax2、…、axn的平均数为
,
方差为 a2S2
(3)数据ax1±b、ax2±b、…、axn±b
的平均数为 a
x b
,
方差为
a2S2
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为x，方差为y, 则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为 x+3， 方差为 y . ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 x-3 ， 方差为 y .
若数据x1、x2、…、xn平均数为 ,方差为S2，则
重点 计算样本数据方差，并用方差分析问题 ∴甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
D．平均数和方差都改变
难点 用方差来比较分析问题
复习回忆
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答: 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫 做这组数据的极差，极差反映的是这组数据 的变化范围或变化幅度．
• C．平均数改变，方差不变 • D．平均数和方差都改变
达标检测
• (1)有5个数1，4，a, 5,2的平均数是a，则这个
• 5个数的方差是_2____.
• (2)绝对值小于 所有整数的方差是_4_____.
《方差与标准差》课件
方差的意义
01
方差是衡量数据分散程度的重要指标，可以用 于比较不同数据集的离散程度。
02
方差在统计学中有着广泛的应用，如回归分析 、假设检验等。
03
通过对方差的分析，可以了解数据的波动情况 ，为决策提供依据。
02
标准差的概念
标准差的定义
01
标准差是用来衡量一组数据离散 程度的统计量，其计算方法为各 数据与平均数之差的平方的平均 数再取平方根。
方差与标准差的联系
方差和标准差都是衡量数据离散程度的统计量，它们之间存 在密切的联系。具体来说，标准差是方差的平方根，因此方 差和标准差的值会随着数据的波动而变化，但方向是一致的 。
当我们比较不同数据集的离散程度时，可以使用方差或标准 差来进行比较。由于标准差具有单位，因此在比较不同数据 集时，使用标准差更为直观和方便。
05
方差与标准差的实例分析
方差实例分析
1 2
3
方差实例1
一组学生的考试成绩，通过计算方差，可以了解成绩的离散 程度，即学生的成绩分布情况。
方差实例2
股票价格的波动，通过计算股票价格的方差，可以了解价格 的波动情况，从而评估投资风险。
方差实例3
体育比赛中的射击或者投篮成绩，通过计算方差，可以了解 运动员的技术稳定程度。
方差的大小表示数据点与平均值之间的离散程度，方差越大，数据点越离散；方 差越小，数据点越集中。
方差的计算方法
01
计算每个数据点与平均值的差值，即(x_i - μ) 。
03
将所有差值的平方相加，即Σ[(x_i - μ)^2]。
02
将每个差值平方，即(x_i - μ)^2。
04
将总和除以数据的数量减一，即Σ[(x_i - μ)^2] / (n1)，得到方差。
高一数学必修三课件第章方差与标准差
极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。
方差课件 ppt
02
方差的计算公式为：方差 = Σ[(xi - μ)^2] / N，其中xi是每个数值 ，μ是平均数，N是数值个数。
方差与标准差的关系
标准差是方差的平方根，用于表示数 值的相对波动程度。标准差越大，数 值的波动或分散程度越大。
标准差的计算公式为：标准差 = √(方 差)。
方差与变异系数的关系
变异系数是标准差与平均数的比值， 用于消除平均数水平不同对比较两组 数据离散程度的影响。
好。
方差用于比较不同数据集的离散 程度。通过比较不同数据集的方 差值，可以判断它们的数据分布
是否相似或相近。
方差用于决策分析。在统计学中 ，方差用于估计样本误差和置信 区间，帮助决策者做出更准确的
预测和决策。
方差与其他统计量的关系
方差与平均值的关系
方差的大小与平均值的偏离程度有关，方差越大，说明数据点与 平均值的偏离程度越大。
市场波动性
02
通过分析市场数据的方差，可以了解市场的波动性，从而制定
相应的投资策略。
资本资产定价模型（CAPM）
03
在CAPM中，方差用于计算资产的预期收益率，以确定其风险
水平。
05
方差与其他统计量的关系
方差与平均数的关系
01
方差是衡量一组数值与其平均数 离散程度的指标。方差越大，数 值分布越分散，与平均数的差异 越大。
02
方差的值越小，数据点 越集中；方差的值越大 ，数据点越分散。
03
方差具有对称性，即对 于任意常数c，有 Var(cX)=c^2*Va 于任意两个随机变量X和 Y，有 Var(X+Y)=Var(X)+Var( Y)。
方差的作用
方差用于衡量数据的稳定性。数 据点的离散程度越小，稳定性越
方差的计算公式为：方差 = Σ[(xi - μ)^2] / N，其中xi是每个数值 ，μ是平均数，N是数值个数。
方差与标准差的关系
标准差是方差的平方根，用于表示数 值的相对波动程度。标准差越大，数 值的波动或分散程度越大。
标准差的计算公式为：标准差 = √(方 差)。
方差与变异系数的关系
变异系数是标准差与平均数的比值， 用于消除平均数水平不同对比较两组 数据离散程度的影响。
好。
方差用于比较不同数据集的离散 程度。通过比较不同数据集的方 差值，可以判断它们的数据分布
是否相似或相近。
方差用于决策分析。在统计学中 ，方差用于估计样本误差和置信 区间，帮助决策者做出更准确的
预测和决策。
方差与其他统计量的关系
方差与平均值的关系
方差的大小与平均值的偏离程度有关，方差越大，说明数据点与 平均值的偏离程度越大。
市场波动性
02
通过分析市场数据的方差，可以了解市场的波动性，从而制定
相应的投资策略。
资本资产定价模型（CAPM）
03
在CAPM中，方差用于计算资产的预期收益率，以确定其风险
水平。
05
方差与其他统计量的关系
方差与平均数的关系
01
方差是衡量一组数值与其平均数 离散程度的指标。方差越大，数 值分布越分散，与平均数的差异 越大。
02
方差的值越小，数据点 越集中；方差的值越大 ，数据点越分散。
03
方差具有对称性，即对 于任意常数c，有 Var(cX)=c^2*Va 于任意两个随机变量X和 Y，有 Var(X+Y)=Var(X)+Var( Y)。
方差的作用
方差用于衡量数据的稳定性。数 据点的离散程度越小，稳定性越
高中数学教学课件：方差、性质及其应用
k!
k 0,1,2, EX .
则 E( X 2 ) E[ X ( X 1) X ] E[ X ( X 1)] E( X )
从而有
k (k 1) k e
k 0
k!
2e
k2
k 2
(k 2)!
2e
e
2 ,
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2布
设随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，其密度为
f
(
x
)
b
1
a
,
a x b,
0,
其他.
EX a b . 2
则
E( X 2 ) x2 f ( x)dx b x2 dx a2 ab b2 ,
aba
3
从而有
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
参数为 3 的泊松分布,且X 与Y 相互独立, 求
D(2X 3Y ).
解： 因为
DX np(1 p) 100 0.2 (1 0.2) 16,
DY 3,
于是，由方差的性质，有
D(2X 3Y ) 4D( X ) 9D(Y ) 4 16 9 3 91.
例2 设活塞的直径（以cm计）X ~ N 22.40, 0.032 ，汽缸的直径 Y ~ N 22.50, 0.042 , X ,Y 相互独立，任取一只活塞和一只汽缸，求
概率论与数理统计
主讲教师：
第一节 数学期望
第4章 随机变量的数字特征
第二节 方差 第三节 协方差及相关系数
第四节 矩、协方差矩阵
第二节 方 差
1.方差的定义 （1）定义
设X 为随机变量，若 E[( X EX )2 ] 存在，则称 E[( X EX )2 ]为随机变量X 的方差。记为
k 0,1,2, EX .
则 E( X 2 ) E[ X ( X 1) X ] E[ X ( X 1)] E( X )
从而有
k (k 1) k e
k 0
k!
2e
k2
k 2
(k 2)!
2e
e
2 ,
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2布
设随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，其密度为
f
(
x
)
b
1
a
,
a x b,
0,
其他.
EX a b . 2
则
E( X 2 ) x2 f ( x)dx b x2 dx a2 ab b2 ,
aba
3
从而有
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
参数为 3 的泊松分布,且X 与Y 相互独立, 求
D(2X 3Y ).
解： 因为
DX np(1 p) 100 0.2 (1 0.2) 16,
DY 3,
于是，由方差的性质，有
D(2X 3Y ) 4D( X ) 9D(Y ) 4 16 9 3 91.
例2 设活塞的直径（以cm计）X ~ N 22.40, 0.032 ，汽缸的直径 Y ~ N 22.50, 0.042 , X ,Y 相互独立，任取一只活塞和一只汽缸，求
概率论与数理统计
主讲教师：
第一节 数学期望
第4章 随机变量的数字特征
第二节 方差 第三节 协方差及相关系数
第四节 矩、协方差矩阵
第二节 方 差
1.方差的定义 （1）定义
设X 为随机变量，若 E[( X EX )2 ] 存在，则称 E[( X EX )2 ]为随机变量X 的方差。记为
高三数学 方差1 ppt
D,60,3/4
已知隋机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 x
P
0.2
p
0.3
且Eξ =1.1,则Dξ =( A, 0.49
A)
B, 0.48
C, 0.98
D, 0.24
5．设一次试验成功的概率为p，进 行100次独立重复试验，当p=
1 2
时，成功次数的标准差的值最大， 其最大值为 5
Dξ=npq≤
.
1 时 2
E 1 0.5 0 0.3 1 0.2 0.3
2．已知ξ的分布列为
则Dξ等于（ B ） （A）0.7 （B）0.61 （C）－0.3 （D）0
D (1 0.3)2 0.5 (0 0.3) 2 0.3 (1 0.3) 2 0.2 0.61
n
n
n
p
i 1
n
i
E ( E )
2
2
方差的性质:
(1)D(k)=0 (2)D(kξ
2 )=k Dξ
(3)D(ξ+k)=Dξ
2 (4)D(kξ+a)=k Dξ
(1)E(ξ-Dξ)=(
A,0 C,2Eξ A,0
A ) B,Dξ
D 无法计算 B ) B,Dξ
(2)D(ξ-Dξ)=(
C,2Eξ
ξ
P
1 a 1 0.3
2 0.1 2 b
η
P
(1)求出 a,b 的值. (2)分别计算期望和方差,并以此 分析两人的技术情况.
例3．每人在一轮投篮练习中最多可投篮 4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否 则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮 命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际 投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与 方差Dξ（保留3位有效数字）．
已知隋机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 x
P
0.2
p
0.3
且Eξ =1.1,则Dξ =( A, 0.49
A)
B, 0.48
C, 0.98
D, 0.24
5．设一次试验成功的概率为p，进 行100次独立重复试验，当p=
1 2
时，成功次数的标准差的值最大， 其最大值为 5
Dξ=npq≤
.
1 时 2
E 1 0.5 0 0.3 1 0.2 0.3
2．已知ξ的分布列为
则Dξ等于（ B ） （A）0.7 （B）0.61 （C）－0.3 （D）0
D (1 0.3)2 0.5 (0 0.3) 2 0.3 (1 0.3) 2 0.2 0.61
n
n
n
p
i 1
n
i
E ( E )
2
2
方差的性质:
(1)D(k)=0 (2)D(kξ
2 )=k Dξ
(3)D(ξ+k)=Dξ
2 (4)D(kξ+a)=k Dξ
(1)E(ξ-Dξ)=(
A,0 C,2Eξ A,0
A ) B,Dξ
D 无法计算 B ) B,Dξ
(2)D(ξ-Dξ)=(
C,2Eξ
ξ
P
1 a 1 0.3
2 0.1 2 b
η
P
(1)求出 a,b 的值. (2)分别计算期望和方差,并以此 分析两人的技术情况.
例3．每人在一轮投篮练习中最多可投篮 4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否 则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮 命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际 投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与 方差Dξ（保留3位有效数字）．
《方差》教学课件优秀PTT
它的方差为___;
随堂练习
2.在一次芭蕾舞的比赛中,甲,乙两个芭蕾舞
计思算考方 ：差求的数团步据骤方表可差概的括一演为般步了骤是舞什么？剧<<天鹅舞>>,参加表演的女演员的
方差用来衡量一组数据的波动大小.
身高(单位:ｃｍ）分别是: 甲的波动比乙大 B.
方差用来衡量一组数据的波动大小. 如何利用全部数据的离差来反应这组数据的离散程度呢？ 思考：求数据方差的一般步骤是什么？
新知探究
1.甲、乙两个运动员8次百米跑成绩的波动情况是（A ）
A.甲的波动比乙大 B.乙的波动比甲大 C.甲、乙波动一样大 D.无法比较 2.有5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差 如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，0。则这组数据的
方差为_2__c_m__．²
新知探究
计算方差的步骤可概括为 “先平均，后求差，平方后，再平均”.
方差用来衡量一组数据的波动大小.(即这组 数据偏离平均数的大小).
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
例题精讲
例：为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株 苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐? 思考：求数据方差的一般步骤是什么？
S2=x1x2+x2x2+ +xnx2
n
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数 据偏离平均数的大小).方差越大,说明数据的波动 越大,越不稳定.
作业：
课本第138页练习第1,2题
感谢观看
跑训练中，成绩如下表：
想选择一名参加比赛，该如何选择呢？
随堂练习
2.在一次芭蕾舞的比赛中,甲,乙两个芭蕾舞
计思算考方 ：差求的数团步据骤方表可差概的括一演为般步了骤是舞什么？剧<<天鹅舞>>,参加表演的女演员的
方差用来衡量一组数据的波动大小.
身高(单位:ｃｍ）分别是: 甲的波动比乙大 B.
方差用来衡量一组数据的波动大小. 如何利用全部数据的离差来反应这组数据的离散程度呢？ 思考：求数据方差的一般步骤是什么？
新知探究
1.甲、乙两个运动员8次百米跑成绩的波动情况是（A ）
A.甲的波动比乙大 B.乙的波动比甲大 C.甲、乙波动一样大 D.无法比较 2.有5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差 如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，0。则这组数据的
方差为_2__c_m__．²
新知探究
计算方差的步骤可概括为 “先平均，后求差，平方后，再平均”.
方差用来衡量一组数据的波动大小.(即这组 数据偏离平均数的大小).
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
例题精讲
例：为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株 苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐? 思考：求数据方差的一般步骤是什么？
S2=x1x2+x2x2+ +xnx2
n
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数 据偏离平均数的大小).方差越大,说明数据的波动 越大,越不稳定.
作业：
课本第138页练习第1,2题
感谢观看
跑训练中，成绩如下表：
想选择一名参加比赛，该如何选择呢？
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随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
5
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
10
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0 D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
1
探究:
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X 1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , E X 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
2
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X 1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
1
1
P6
;6
1 6
1 6
1 6
1 6
从而 E X 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 .5
666666
D X(13.5)21(23.5)21(33.5)21(43.5)21
6
6
6
6
(53.5)21(63.5)212.92
11
（三）、练习
1 .已知~ B n ,p ,E 8 ,D 1 .6，则 n , p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞
奎屯
EX=2 ; DX=1.98
3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中
任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个
零
件
直
到
取
得
正
品
为
止
．新疆 王新敞 奎屯
求
在
取
得
正
品
之
前
已
取
出
次
品
数的期望与方差．
EX=0.3 ；DX=351/1100
12
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E X 1 1 2 0 0 0 . 4 + 1 4 0 0 0 . 3 + 1 6 0 0 0 . 2 + 1 8 0 0 0 . 1 = 1 4 0 0
D X 1 ( 1 2 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 6 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
Байду номын сангаас
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
3
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差
6
6
X DX1.71 9
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3 0.2 0.1
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i8)2P(X1i) 1.50 , DX2 (i8)2P(X2i) 0.82
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
第二步得 DXnp(1p)
7
3、方差的性质
（1）线性变化 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aXb)a2DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2 EX2(EX)2
注：要求方差则先求均值
8
4、应用举例 （1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1
x2
…
xi
P p1 p2 …
pi
…
xn
…
pn
则 (xi EX)2 描述了 xi (i1,2,...,n)相对于均值 E X
的偏离程度. n
而 DX (xi EX)2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画
i1
了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为
6
2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DXp(1p)
（2）若 X ~B(n, p) ，则 DXnp(1p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k2Cnk pk(1p)nk n(n1)p2 np
k0
n
2np kCnkpk(1p)nk 2 n 2 p 2 k0
n
n p n2p2 Cnkpk(1p)nk 2 2 k0
随机变量 X 的方差.其算术平方根 D X 为随机变量X的标
准差，记为 X
4
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
+ (2 2 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .l= 1 6 0 0 0 0 .
因为 E X 1E X 2,D X 1D X ，2所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
5
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
10
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0 D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
1
探究:
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X 1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , E X 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
2
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X 1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
1
1
P6
;6
1 6
1 6
1 6
1 6
从而 E X 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 .5
666666
D X(13.5)21(23.5)21(33.5)21(43.5)21
6
6
6
6
(53.5)21(63.5)212.92
11
（三）、练习
1 .已知~ B n ,p ,E 8 ,D 1 .6，则 n , p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞
奎屯
EX=2 ; DX=1.98
3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中
任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个
零
件
直
到
取
得
正
品
为
止
．新疆 王新敞 奎屯
求
在
取
得
正
品
之
前
已
取
出
次
品
数的期望与方差．
EX=0.3 ；DX=351/1100
12
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E X 1 1 2 0 0 0 . 4 + 1 4 0 0 0 . 3 + 1 6 0 0 0 . 2 + 1 8 0 0 0 . 1 = 1 4 0 0
D X 1 ( 1 2 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 6 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
Байду номын сангаас
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
3
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差
6
6
X DX1.71 9
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3 0.2 0.1
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i8)2P(X1i) 1.50 , DX2 (i8)2P(X2i) 0.82
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
第二步得 DXnp(1p)
7
3、方差的性质
（1）线性变化 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aXb)a2DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2 EX2(EX)2
注：要求方差则先求均值
8
4、应用举例 （1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1
x2
…
xi
P p1 p2 …
pi
…
xn
…
pn
则 (xi EX)2 描述了 xi (i1,2,...,n)相对于均值 E X
的偏离程度. n
而 DX (xi EX)2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画
i1
了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为
6
2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DXp(1p)
（2）若 X ~B(n, p) ，则 DXnp(1p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k2Cnk pk(1p)nk n(n1)p2 np
k0
n
2np kCnkpk(1p)nk 2 n 2 p 2 k0
n
n p n2p2 Cnkpk(1p)nk 2 2 k0
随机变量 X 的方差.其算术平方根 D X 为随机变量X的标
准差，记为 X
4
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
+ (2 2 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .l= 1 6 0 0 0 0 .
因为 E X 1E X 2,D X 1D X ，2所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．