数学必修1课标解读一、教育价值1.发展学生掌握数学语言和运用数学语言学习数学、进行交流的能力数学学科一个重要的方面是运用数学语言将数量关系和数学结构表示出来.因此,在这个意义上,学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言,以与用这种形式化语言去表述、解释、解决各种问题.现代数学语言重要组成部分的集合语言,可以简洁、准确地表述数学对象和结构.2.发展学生对变量数学的认识变量之间有一种相互依赖的关系,可以从某一事物的变化信息推知另一事物的变化信息,这种认识事物的思想方法在我们周围、在各学科中随处可见.数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.二、内容要求和具体处理建议〔一〕数学1本模块包括集合、函数的概念与基本初等函数〔I〕〔指数函数、对数函数、幂函数〕.1．1集合1.知识内容的整体定位本模块对集合知识的定位是将其作为一种语言来学习,使学生感受用集合语言表述数学内容的简洁性与准确性.在本部分知识的教学中,应尽量结合学生的生活经验与数学知识,通过列举丰富的实例,使学生逐步理解集合的含义.本部分知识的重点和难点是集合的关系与运算.在例题、习题中应围绕两种重要的集合——数集与点集展开,注意不要过分强调细枝末节的讲解和训练,避免人为地编制一些繁难的偏题,如对集合的"三性〞〔确定性、无序性、互异性〕的讲解和训练.在集合间的关系和运算的教学中,适当使用韦恩〔Venn〕图的方法是重要的,让学生初步体会自然语言、集合语言、图形语言的特点,为以后学习和发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力打下一定的基础.2.课程标准的要求〔1〕集合的含义与表示①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合间的"属于〞关系.②能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.〔2〕集合间的基本关系①理解集合间的包含与相等关系的含义,能识别给定集合的子集.②在具体情境中,了解全集与空集的含义.〔3〕集合的基本运算①理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.③能使用韦恩〔Venn〕图表达集合间的关系与运算,初步体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.课程标准的要求的具体化和深广度分析〔1〕集合的含义与表示错误!初步理解集合的含义,对于给出的一些例子,会判断哪些事物可以组成集合,那些不能组成集合.知道常用数集与其记法.错误!初步了解属于关系和集合相等的意义；结合实际初步了解有限集、无限集的意义.错误!初步掌握集合语言的两种表示法：列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.错误!对于不同的问题,能从自然语言、图形语言或集合语言中去选择较好的表示方法,感受集合语言的意义和作用.对于集合元素的"确定性、互异性、无序性〞,只需通过实例说明,不需要让学生讨论.〔2〕集合间的基本关系错误!结合具体例子,说出集合之间包含关系的意义,并能识别给定集合的子集和真子集.错误!通过实例了解全集、空集的含义.〔补集要放到基本运算中〕〔3〕集合的基本运算错误!能对给出的一些问题和情境说出交集和并集的含义,并会求给定两个集合的交集与并集.错误!能结合实例理解区间的表示法.错误!对于给定的集合A,能说出A的一个子集Ｂ的补集的含义,并能求出相应的补集.错误!对于给定的问题和情境,能使用韦恩〔Venn〕图表达集合的关系与运算,从中体会直观示意图对理解抽象概念的作用.４.教学要求〔１〕《标准》与《大纲》要求的对比与说明《大纲》的要求是：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.比较：对于集合、子集、补集、交集、并集的概念和含义,《大纲》都属于理解层次；但《标准》对属于、包含、相等关系由了解提升为理解层次.使用数学符号要规X,应该依据新的国家标准.〔２〕教学要求错误!对知识系统性、严谨性的要求一定要适度,仅要求学生会使用集合语言,不要求把集合作为论证的基础,也不涉与集合论.在教学的过程中,要能针对具体问题,引导学生恰当地使用自然语言、图形语言、集合语言来表述相应的数学内容.应通过具体的例子说明空集的意义,特别是区分空集与}0{的关系.错误!应注意与义务教育阶段所学知识的联系.注意学生已具有的知识储备,在安排训练时,要把我一定的"度〞,不搞偏题、怪题,认为增加难度.错误!使用数学符号语言要规X,在以后内容的学习中,应尽量使用集合语言.在学习集合的最初阶段,最好先不出现集合的属于、包含等关系符号.等学生对这部分内容比较熟悉以后再使用.错误!在教学时应注意集合之间的关系与运算,要充分利用Venn图以与数轴,从"形〞的角度帮助学生理解概念、进行正确运算.错误!在教学时,应避免用抽象的形式化来讨论集合.例如,让学生区分)}2,1{(和}2,1{两个集合,学生很容易被形式化的符号"〔〕〞,"{ }〞所困扰.关于平面上点的集合在今后解析几何的学习中,可以通过具体问题讨论.5.重、难点分析〔1〕集合的运算是这部分的重点因为对于交集、并集概念的理解与交集、并集的应用,无论是在知识上,还是在方法上,不仅对后面的学习有直接的影响,而且也是对前面所学知识：元素与集合、子集等概念的巩固.教学中应从定义出发,从语言叙述,式子表达,与文氏图去理解；可以从具体例子入手,从初中的数学知识,如图形的分类、数的种类去理解.在求两个集合的并集时,应注意集合中元素的互异性.补集既是集合的一种运算,又是集合之间的一种关系.补集的思想在今后的解题中常常用到.〔2〕集合的包含关系和属于关系是这部分的难点但是它不是这部分的重点,所以不需要在这部分作过多的讨论.例如,不要可以去区分元素a和由单元素组成的集合}{a.在这里只需要学生对于常用的集合会判断它们之间是否存在包含关系,特别是要知道自然数集、有理数集、实数集三者之间的包含关系.1.2函数的概念与基本初等函数Ⅰ〔指数函数、对数函数、幂函数〕1.知识内容的整体定位函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解,体会函数与方程的有机联系.2.课程标准的要求〔1〕函数的概念与性质错误!通过丰富实例,进一步体会函数是描绘变量相互依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.错误!在实际情境中,能根据不同需要选择恰当的方法〔如图象法、列表法、解析法〕表示函数.错误!通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.错误!通过已学习过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性与最大〔小〕值与其几何意义；结合具体函数,了解奇偶性的含义.错误!会运用函数图象理解和研究函数的性质.〔2〕基本初等函数〔Ⅰ〕〔1〕指数函数① 通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景.② 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算性质.③ 理解指数函数的概念和意义,能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性和特殊点.④ 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 〔2〕对数函数① 理解对数的概念与运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发展历史与在简化运算中的作用.② 通过具体实例,了解对数函数模型的实际背景.体会对数函数是一类重要的函数模型.③ 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性和特殊点.④ 知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数 <0a >,1a ≠ >. 〔3〕幂函数① 通过具体实例,了解幂函数的概念.② 结合函数12231,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象,了解幂函数的变化情况.本部分知识是在建立一般函数概念、性质的基础上给出的几种具体函数模型.在指数幂的教学中,要注意控制分数指数幂运算的难度.要在回顾初中学习的整数指数幂的概念与运算性质的基础上,结合实例逐步引入有理指数幂与运算性质,以与实数指数幂的意义与运算性质,体会"用有理数逼近无理数〞的思想.有条件的学校可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受"逼近〞的过程.在指数函数、对数函数的教学中,通过使学生经历由具体的实例抽象出指数函数、对数函数概念的过程,逐步体会指数函数和对数函数是一类与现实生活紧密相联的重要函数模型,强调它们的实际背景和应用价值.教学中可以让学生使用计算器或计算机画出函数的图象,探索并理解指数函数、对数函数的单调性和特殊点,逐步加深数形结合思想、分类与整合思想的理解.《课程标准》降低了对反函数的要求,只要求知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =<0a >,1a ≠ >互为反函数,不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数.此外,对于对数函数内容的要求也有所降低,教学中应注意减少人为的过于技巧化的训练〔如对数运算等〕.〔3〕函数的应用〔1〕结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性与根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.〔2〕根据具体的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.〔3〕收集社会生活中普遍使用的函数模型〔指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等〕的实例,了解函数模型的广泛应用.〔4〕利用计算工具,比较指数函数、对数函数以与幂函数的增长差异,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.〔5〕根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流.3.课程标准的要求具体化和深广度分析〔1〕函数的一般概念应通过大量的实例了解函数,特别是通过具体的情景了解生活中处处都存在函数关系,例如,邮局、车站等情景.在此前提下得出函数的定义,使学生理解函数的实质,了解映射与函数概念的区别.〔2〕函数的表示法、分段函数要求学生会根据不同的需要和具体情况,恰当选择图像法、列表法、解析法等方法表示函数,特别要强点的是在实际问题中,函数常常是通过图像法和列表法表示的.在日常生活中,分段函数是一种常见的函数模型,应通过实例认识分段函数,并会初步应用.〔3〕函数的图像运用函数图像理解和研究函数的性质,是学生会画一次函数、二次函数等一些简单函数的图像,会借助函数图像理解和研究函数的性质.〔4〕函数的单调性、最值与其几何意义通过已学过的函数,特别是二次函数,理解函数的单调性求最大〔小〕值,并理解其几何意义.〔5〕函数的奇偶性应结合具体函数,让学生了解奇偶性的含义.了解偶函数的图像特点、奇函数图像的特点.〔6〕"了解函数的零点与方程根的联系〞用函数的观点看待方程,是一种重要的数学思想,把方程看作函数的局部性质.这种思想可以帮助我们发现求解方程的多种方法.二分法是其中一种方法,将来还会学到切线法、割线法等多种求解方法.方程0y=的零点,用图像表是就是函数)f(xfy=与f的根是函数)(x(=)xx轴交点的横坐标.可在复习"二次函数与x轴的交点〞与"一元二次方程的根〞的联系与区别的基础上,引入"函数的零点与方程根的联系〞.〔7〕为什么要介绍"二分法〞？"二分法〞简便而又应用广泛,很多方程都可以用"二分法〞求近似解,这就为后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具,同时又是一种有比较广泛应用的方法,例如,在优选法的学习中也会用到二分法；此外,它还是体现函数思想的一个良好载体.算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法,将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学,"二分法〞是数学必修3中算法教学的一个准备,它所涉与的主要是函数知识,其理论依据是"闭区间上连续函数的介值定理〞.再次,"二分法〞朴素而又寓意深刻,体现了数学逼近的过程,二分法虽然简单,但包含了许多以后在算法以与其他地方运用和推广的朴素的思想,可以让学生感受"整体⇒局部〞、"定性⇒定量〞、"精确⇒近似〞、"计算⇒技术〞、"技法⇒算法〞这些数学思想发展的过程,具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值.利用二分法求方程的近似解时,首先要确定一个存在解的区间〔要用到此区间的两端点〕,为此,有时需要初步了解函数的性质和形态；其次需要有迭代,即循环运算的过程,具体表现在不断"二分〞,即缩小存在区间；最后需要有一个运算结束的标志,即当可解区间的长度满足一定的精确度要求〔两端点的近似值相同〕,运算终止."二分法〞的特点在于思想方法简单,所需的数学知识较少,算法流程比较简洁.〔8〕如何认识指数和对数？我们可以从两个方面认识指数,一个是运算,另一个是函数.指数具有特殊的运算规律,满足一下运算法则：这些法则对于我们认识指数函数的性质非常重要,在讨论有关指数问题时,这些运算法则也发挥了重要的作用.对数是由指数来定义的,对数的运算性质是从指数运算性质推导出来的.另一方面,指数函数是一种重要的函数,它反映现实世界中一类事物变化规律的重要数学模型.对数函数是由指数函数确定的,它们互为反函数.〔9〕如何认识"比较指数函数、对数函数以与幂函数增长差异〞的要求？具体的学习目标是：初步了解指数函数、对数函数以与幂函数增长差异,特别是了解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.我们只要求"初步〞了解,是因为它涉与了当自变量趋于无穷时的状态,无论在数值计算还是在图像的绘制上都有一定的理解困难,在数学上它涉与的是高阶无穷大.例如,1〕储蓄中的"单利〞与"复利〞.这是生活中常见的实际问题,目前,银行普遍使用的是"单利〞,而"复利〞可以理解为"利滚利〞或"到期自动转存〞."单利〞就是幂函数增长,"复利〞就是指数函数增长.2〕人口增长模型,是让学生体会"指数爆炸〞的增长速度,从而理解我国执行的基本国策——计划生育政策的社会意义.〔10〕如何认识"了解函数模型的观法应用〞？具体的学习目标：1〕要能识别现实中存在着的函数关系,体会函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；2〕能针对实际问题,建立一些简单的函数模型,特别是用我们熟知的二次函数、指数函数等建立函数模型；3〕学会利用数学建模的思想,应用函数模型解决一些简单的实际问题. 例如：1〕细胞分裂计数模型〔指数函数〕；2〕〔单程单次〕出租车的付费函数模型〔分段函数〕；3〕考古活动中的14C 〔碳14〕测年法.4〕象高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量Ｖ与水深h 的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是说明：函数是多形态的,除了解析式外,还可以使用图像或列表来表示函数. 〔11〕如何处理"实习作业的要求〞？具体的学习目标是：1〕了解函数概念的形成、发展和应用；2〕结合函数概念的形成、发展和应用的过程,寻求数学进步的历史轨迹,了解人类从数学的角度认识客观世界的过程,了解人类社会发展与数学发展的相互作用,激发对数学创新原动力的认识,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,发展求知、##、勇于探索的情感和态度.学生可以通过资料的收集,选取其中的一个侧面,或结合数学史上的一个事件,或围绕函数某一个性质,完成这一实习作业.《标准》不要求学生做到面面俱到,而要求学生通过探究、归纳、整理、收集等工作,进一步体会函数在数学以与实际生活中的作用和地位.4.教学要求〔1〕《标准》与《大纲》要求的对比与说明1〔Ａ〕 〔Ｂ〕 〔Ｃ〕 〔Ｄ〕标准》与《大纲》要求的对比与说明2《标准》在"函数概念与基本初等函数Ⅰ〞中特意增加"函数与方程〞这个单元,体现以下意图：错误!加强知识之间的联系高中数学是以模块形式呈现的,而数学各分支有其自身的体系,各分支之间又有有机的联系.因此,沟通各模块之间的联系,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学分支自身的体系,对于学生学习数学、认识数学的整体性就显得尤为重要."函数与方程〞这个单元体现了函数知识与方程、不等式、算法等内容的横向联系,也为今后通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础.错误!加强数形结合、函数与方程等思想方法的教学数形结合、函数与方程等思想方法是数学和数学学习中的重要思想方法,对于理解数学、对于数学的思考和学习都十分重要.而"函数与方程〞这个单元可以使学生充分体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法是学习数形结合、函数与方程等思想方法很好的载体.错误!加强与信息技术的整合《标准》通过增加"函数与方程〞这个单元,体现了现代信息技术与数学课程的有机整合,使得现代信息技术的应用成为数学课程的一个重要组成部分.在本节内容的教学中,信息技术在绘制图像、数据计算、方程的近似求解等方面体现出极大的优势,丰富了数学教学的手段,呈现了以往教学难以呈现的课程内容.标准》与《大纲》要求的对比与说明3与原《大纲》相比,新《标准》加强了函数模型背景和应用的要求,这不仅是高中课程目标的要求,也是反应数学产生、发展的过程,从而使学生更好的认识数学的、认识数学价值的需要,另一方面,这种学习过程也符合学生的认知规律.〔2〕教学要求函数1〕基本要求在本部分知识的教学中,函数的概念是核心内容.教学中应通过回顾初中函数的定义,结合具体实例,逐步探索高中函数的概念,感受与初中所学函数内容之间的衔接和再次学习函数的必要性,体会初、高中函数概念的区别与联系.通过具体实例的剖析,使学生逐步体会函数是两个数集之间一种特殊的对应关系.通过从学生已掌握的具体函数入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念.再通过后期对指数函数、对数函数、幂函数等具体函数的研究,加深学生对函数概念的理解.像函数这样的核心概念,需要多次接触、反复体会,逐步加深理解,才能真正掌握,并加以灵活运用.在教学中要重视图形在数学学习中的作用,从几何〔函数图形〕的角度帮助学生理解函数概念和性质,体会数形结合思想的初步应用.在本部分知识中,函数的单调性、最大〔小〕值、奇偶性是教学难点,教学中应把握它们的几何特征,通过对图形的直观观察,初步得到代数形式的描述性定义,结合数、形的特征分析,进一步得到上述性质的严格定义.逐步加深学生对函数性质的理解,体会数形结合思想的初步应用.在教学中应强调对函数概念本质的理解,削弱对定义域、值域和判断是否为同一函数等问题的技巧训练,避免人为地编制一些偏难题目,目的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和实质.2〕对某些具体内容的教学要求错误!函数的一般概念原教学大纲是先讲映射,再用映射刻画函数；而新课标要求通过丰富的实例,引领学生感知函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型,并在此基础上用集合和对应的语言来刻画函数,从而使函数概念更直观,更易接受.了解映射的概念,知道函数是一种特殊的映射.此处的难点是关于"对应〞的理解,建议结合实例予以阐述,以加强直观印象与理解.关于定义域和值域,只要求会求一些简单的具体函数的定义域和值域.在教学中,我们强调通过具体函数来理解函数的一般概念,通过具体函数来理解研究函数的方法和函数的性质,而不去一般的讨论抽象函数.在教学中,我们特别要求注意让具体的函数模型〔例如,线性函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数、简单幂函数等〕在学生的头脑中生根,这些函数模型是我们思考函数问题的基础.错误!函数的表示法、分段函数此内容与原大纲要求一致,教学时只要求达到了解和简单应用的水平.错误!函数的图像函数的图像是函数的又一种表示形式.鉴于多数学生的认知特点,新课标特别强调遵循从特殊到一般的认知规律组织教学.教师要善于运用图形直观帮助学生完善认知体系,特别要注意培养学生运用图形帮助思考的习惯,从而为解析几何的学习做好铺垫.画函数图像在认识函数、研究函数性质的过程中具有不可替代的作用.在教学中,应帮助学生养成绘制函数图像的习惯,这是学好函数的重要方法.错误!函数的单调性、最值与其几何意义《标准》注重运用图形理解函数的单调性,最大〔小〕值与其几何意义,从而使学生认知有关概念时更明晰、更牢固.使学生会用配方法求二次函数的最值.。
