2二元函数极限

二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数z= f (x ,y )同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于有限数值x 0与y 0时，函数z 的变化趋势，即二元函数的极限。

1.二元函数极限的定义定义：设函数z= f (x ,y )在点P 0 (x 0,y 0)的某一去心邻域内有定义，P (x ,y )为该邻域内任意一点，当P (x ,y )以任意方式趋于P 0 (x 0,y 0)时，函数f (x ,y )的值都趋于一个确定的常数A ，则称A 是函数z= f (x ,y )当P (x ,y )趋于P 0 (x 0,y 0)时的极限，记作0lim (,)x x y y f x y A →→=00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=0lim (,)P P f x y A→=或x 、y 趋于x 0 、y 0可看作成点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0) ，又可记作在xOy 平面上，点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。

说明（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。

——这是产生本质差异的根本原因。

0P P →∙00(,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y xo y (,)x y（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。

一元极限与二元极限的区别？一元函数在某点的极限存在的充要不同点而多元函数于P 0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.()f P 必需是点P 在定义域内以任何方式和途径趋确定二重极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n 元函数上去.不存在的方法(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,00lim (,)x x y y f x y →→使处极限不存在.存在,(,)f x y 在点),(000y x P 令点P (x ,y )沿直线y =kx 或者其他方式如：沿抛物线y =kx 2等趋向于点P 0 (x 0,y 0)若极限值与k 有关,则可断言极限不存在;22(,)x y f x y x y =+222200lim (,)lim x x y kx k x f x y x k x →→==+则有21kk =+k 值不同极限不同!例1 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿直线y = k x 趋于点,(,)P x y (0,0)(,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)362(,)x y f x y x y =+36626200lim (,)lim 1x x y kx kx k f x y x k x k →→===++则有k 值不同极限不同!例2 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿曲线y = k x 3趋于(0,0)点,(,)P x y (,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)例3222200sin()lim x y x y x y →→++求220,00u x y x y u =+→→→解：令，有，222200sin()lim x y x y x y →→++故，0sin =lim 1u u u →=说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题例4222222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y x y e →-++求222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)1cos()1cos()1lim lim 00()2()x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→-+-++=⋅=⋅=++解：多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim 00y x f y x →→),(lim 00y x f y x →→不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(lim y x f 0→x 0→=kx y。

二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。

它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。

因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。

一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。

这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。

首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。

如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。

具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。

其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。

反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。

最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。

总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。

因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。

二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。