函数值域的求法大全

2 x 函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知f(x)= ------- (x € R,且x 工一1) , g(x)= x2 3+ 2( x € R).1 H-x(1)求f(2), g(2)的值；⑵求f[g(3)]的值.1 1 1解⑴•' f(x)=疋f⑵=1H2 = 3.又•/ g(x) = x2+ 2 ,••• g(2) = 22+ 2 = 6.⑵•/ g(3) = 32+ 2 = 11 ,1 1二f[g(3)]=f(11)= 1 +11=百反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义, 析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意别•x + 1跟踪训练4已知函数f(x)=二.(1)求f(2)；⑵求f[f(1)].x + 1 2 + 1(1)一f(x)=兀，f(2)=卫21 +12 2 3+1⑵f(1)=苗=3，f[f(1)]=f(3)=厂+ 235.已知函数f(x) = x2+ x —1.(1)求f(2), fg)；⑵若f(x) = 5，求x的值. 解(1)f(2) = 22+ 2 —1 = 5 ,然后将变量代入解f[g(x)]与g[f(x)]的区2x1 + x —x 29 9(2) T f(x) = x + x —1 = 5 ,二x + x —6 =0 ,x = 2，或x =—3.⑶4.函数f(x)对任意自然数x 满足f(x + 1) = f(x) + 1 , f(0) = 1，贝U f(5) = _________ 答案6解析f(1) = f(0) + 1 = 1 + 1 = 2 , f(2) = f(1) + 1 = 3,f(3) = f(2) + 1 = 4 , f(4) = f(3) + 1 = 5 , f(5) = f(4) + 1 = 6.、值域是函数y=f(x)中y的取值范围常用的求值域的方法:(1 )直接法(3)函数单调性法(5)换元法(包括三角换元)(7)分离常数法(9)复合函数法(2)图象法(数形结合) (4)配方法(6 )反函数法(逆求法) (8 )判别式法(10 )不等式法(11 )平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R ；k y —(k 0)反比例函数x 的定义域为｛x|x 0｝，值域为｛y|y 0｝；2二次函数f(x) ax bx c(a 0)的定义域为R，当a>0时，值域为｛y|y2 2(4ac b ) . (4ac b )y |y4a};当a<0时，值域为{ 4a }.例1 求下列函数的值域2① y=3x+2(-1 x 1) ② f (x) -(1x3)3x1③y x -(记住图像)x解：①••• -1x1 ,••• -3 3x 3 ,函数y x -的图像为:x二次函数在区间上的值域 （最值）:例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:①yx 2 4x 1 ；②； y x 2 4x 1,x [3,4]③yx 24x1, x [0,1]；④y 2x 4x 1, x [0,5]；解：•• • 2 y x 4x 1 (x 2)2 3, •顶点为（2,-3），顶点横坐标为2 ①T 抛物线的开口向上，函数的定义域 R ,• x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是 {y|y -3 }. ② •••顶点横坐标2 [3,4], 当 x=3 时，y= -2 ; x=4 时，y=1 ;二在[3,4]上，y min =-2 , y max = 1 ；值域为[-2 , 1]. ③ T 顶点横坐标 2[0,1]，当x=0时，y=1 ; x=1时，y=-2,• •在[0,1]上，y min =-2 , y max = 1 ；值域为[-2 , 1].••在[0,1]上，y min =-3 , y max =6 ；值域为[-3 , 6].注：对于二次函数 f （x ） ax 2 bx c （a 0）, ⑴若定义域为R 时，① 当a>0时，则当x —时，其最小值y 丽(4ac 八)；2a4ay312 111 f-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x-1/-2\/ -3 wlx④T 顶点横坐标2[0,5]，当 x=0 时，y=1 ; x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,••• -1 3x+2 5，即-1 y 5，•值域是[-1 , 5]②略当 x>0 ,• yl = G.xxx )2当x<0时，y(x V )= - G X ；2•值域是（2] [2 , + ）.（此法也称为配方法）②当a<0时，则当X —时，其最大值y max(4ac b)；2a " 4a⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若X o [a,b],则f(X o)是函数的最小值(a>0 )时或最大值(a<0 )时,再比较f(a), f(b)的大小决定函数的最大(小)值②若x o [a,b],则[a,b]是在f (x)的单调区间内，只需比较f(a), f (b)的大小即可决定函数的最大(小)值•注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+-、2 3x的值域解：由算术平方根的性质，知.2 3x > o,故3+ ..2 3x > 3。

・••函数的值域为3, .22、求函数y x 2x 5 , x 0,5的值域x 1时,y min 4解：对称轴x 1 0,5 X 5时，y max 20值域为4,201单调性法例3 求函数y=4x —■-1 3x (x < 1/3)的值域。

设f(x)=4x,g(x)= — 1 3x ,(x w 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x- . 1 3x在定义域为x w 1/3上也为增函数，而且y w f(1⑶+g(1⑶=4/3, 因此，所求的函数值域为{y|y w4/3 }。

小结：禾U用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+x的值域。

（答案：｛y|y > 3｝）2换元法例4求函数y x 2.1 x的值域解:设J x t, 2则y t 2t 1 (t 0)对称轴t10,，且开口向下当t 1时，y max 2值域为,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。

这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。

它的应用广泛。

练习：求函数y= •. x 1 x的值域。

（答案：｛y|y <-求1 sin xcosx的值域; sin x cosx原函数的值域为卜分3/4 }例5 （三角换元法）求函数y.1 x2的值域解: x cos 0,y cos sin cos sin •- 2 sin( )41, .2小结：（1）若题目中含有1，则可设a sin , —2,0(2)若题目中含有 1 则可设 a cos , b sin ，其中(3)若题目中含有 1 x2则可设X cos ，其中(4) 若题目中含有 1 x2则可设X tan ，其中（5 ）若题目中含有x y r (x Qy 0r 0 , 2贝U可设x rcos ,yL ■ 2 rsi n°,23平方法例5 (选)求函数y , x 3 ■, 5 x的值域解：函数定义域为：x 3,5y2(x 3) (5 x) 2、.. x28x 15由x 3,5 ,得x28x 15 0,1 y22,4 原函数值域为,2 ,2 4分离常数法的值域，可得值域yy 1例7 求y x 3x 1的值域4,x 1解法一：（图象法）可化为y 2 2x,1x3 如图,4,x 3求函数y小结: 已知分式函数axcx(c 0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为ad bccx d （ad be），用复合函数法来练习求函数求值域。

2x 1竺」的值域4x 6求函数3x厂的值域求函数xy= 的值域;x.2 1(y €(-1 ,1))1观察得值域y解法二：（不等式法） (x 3) (x 1) 4 (x 1) 4 |x 1 |x 1 4 x 1同样可得值域4练习：y x例8 求函数y 解：（换元法） 例9求函数y 解：（换元法） x 1的值域 9x 3x 2 设3x t ，则 y t 2 t 值域为 x 2 2x 1,(x2 , 对称轴 2,8 的值域 0,1 ）的值域 3原函数可化为1,3 时，y min 2 ； t 3 时，y max 8令t x 2 2x (x 1)2 t13 (t 1)由指数函数的单调性知, 原函数的值域为 例10 求函数 2x (x0) 的值域解：（图象法） 如图, 值域为 0,1（换元法） 设3x3x 1 1 3x 11 3x例13 函数2x_ x 2 1解法一：（逆求法）原函数的值域为0,1的值域 x 2 = °原函数的值域为 1,11) y 1时不成立 2)y 1 时， 00 4(y 1)( y 1) 01 y 11 y 1综合1 )、2)值域{y | 1 y 1}原函数的值域为{y | 1 y 1}2解法一：（判别式法）化为2yx 4yx （3y 5）1）y 0时，不成立 2) y 0时， 0得(4y) 8y(3y 5)0 0 y 50 y 5综合1 )、2)值域{y | 0 y 5}25解法二：(复合函数法)令2x 2 4x 3 t ，贝U y -2t 2(x 1)1 1解法二：2（换元法）设x 1 t ，贝y2 t 10 Z 21 y 1原函数值域即得t2解法三：（判别式法）原函数可化为(y 1)x 2 0 x y 1 0解法四：（三角换元法）x R 设 x tan2'2，则1 tan2 1 tan 2cos2 2 cos2 1 , 1例14求函数y久Pl 的值域2所以，值域{y|0 y 5}例15 函数y x - 1的值域xX) 2) X 0 时,小结：ax2bx c已知分式函数y dx2 ex f （a d 0），如果在其自然定义域内可米用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为解法一：（判别式法）原式可化为x2(i y)x0 （1 原函数值域为y)24,13,解法二：（不等式法）0时,综合1）2）知，原函数值域为3,例16 （选）求函数y X22X（X 1）的值域解法一：（判别式法）2原式可化为X(2 y)x（2 y）24（2y 2舍去原函数值域为2 ,y) 0当且仅当0时取等号，故值域为 2 ,例17 （选）求函数y x22x 2x 1x 2）的值域解：（换元法）令x 1t ，则原函数可化为3)出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函 数y x — （x 0）的单调性去解。