第一章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
奥赛专题训练（第1讲）函数，（第2讲）不等式（1981-2008真题部分）1、（1981年⑹）在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≤2-x 这三个不等式确定，N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1确定，t 的取值范围是0≤t ≤1 ，设M 和N 的公共面积是函数f (t )，则f (t )为 A ．－t 2+t +12 B ．－2t 2+2t C .1－12t 2 D . 12(t －2)22、（1982年（3））如果，212313515235log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x y z ===那么A ．z x y <<B ．x y z <<C ．y z x <<D ．z y x << 3、（1982年⑹）已知x 1，x 2是方程 x 2－(k －2)x +(k 2+3k +5)=0(k 为实数)的两个实数根，x 12+x 22的最大值是 A ．19 B ．18 C ．559D ．不存在4、（1982年⑻）当a ，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：(a +1a )(b +1b )， 乙：(ab+1ab)2， 丙：(a+b 2+2a+b )2中值最大的一个是A ．必定是甲B ．必定是乙C ．必定是丙D ．一般并不确定，而与a 、b 的取值有关5、（1983年⑵）x=1log 1213+1log 1513的值是属于区间A ．(－2，－1)B ．(1，2)C ．(－3，－2)D ．(2，3)6、（1983年⑷）已知M={(x ，y )|y ≥x 2}，N={(x ，y )|x 2+(y －a )2≤1}．那么，使M ∩N=N 成立的充要条件是 A ．a ≥114 B ．a=114C ．a ≥1D ．0<a <17、（1983年⑸）已知函数f (x )=ax 2－c ，满足 －4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5．那么，f (3)应满足 A ．7≤f (3)≤26 B ．－4≤f (3)≤15 C ．－1≤f (3)≤20 D ．－283≤f (3)≤3538、（1983年⑹）设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P=ab +cd ，Q=ma +nc ·b m +dn，那么 A ．P ≥Q B ．P ≤QC ．P <QD ．P 、Q 的大小关系不确定，而与m ，n 的大小有关． 9、（1984年⑷）方程sin x=lg x 的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．大于310、（1984年⑸） 若a >0，a ≠1，F (x )是一个奇函数，则 G (x )=F (x )∙(1a x －1+12)是A ．奇函数B ．偶函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．奇偶性与a 的具体数值有关11、（1984年5）．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 21x 2+x 22x 3+…+x 2n －1x n +x 2n x 1≥x 1+x 2+…+x n ．12、（1986年⑹）边长为a 、b 、c 的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a +b +c ，t=1a +1b +1c，则s 与t 的大小关系是 A ．s >t B ．s=t C ．s <t D ．不确定13、（1986年⑶）设f (x )=4x 4x +2，那么和式f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值等于 ；14、（1989年3）．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 15、（1989年1）．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ． 16、（1990年2）．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1|17、（1990年4）．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于218、（1990年1）、设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n的最小值是 ．19、（1990年3）、设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是 ． 20、（1991年4）．设函数y=f (x )对于一切实数x 满足 f (3+x )=f (3－x )且方程f (x )=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．021、（1991年五）．已知0<a <1，x 2+y=0，求证： log a (a x +a y)≤log a 2+18．22、（1992年6）．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10+x )=f (10-x )， f (20-x )=-f (20+x )，则f (x )是(A )偶函数，又是周期函数 (B )偶函数，但不是周期函数 (C )奇函数，又是周期函数 (D )奇函数，但不是周期函数 23、（1992年6）、函数f (x )= x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值是_____． 24、（1993年2）已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是 (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 25、（1995年4）．已知方程|x －2n |=k x (n ∈N*)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1 (C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是26、（1995年3）．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．27、（1996年5）．如果在区间[1,2]上函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x2在同一点取相同的最小值，那么f (x )在该区间上的最大值是( )(A ) 4+11232+34 (B ) 4－5232+34 (C ) 1－1232+34 (D )以上答案都不对 28、（1996年1）、集合{x |－1≤log 1x 10<－12，x ∈N*}的真子集的个数是 ．29、（1997年1）.设x ，y为实数，且满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .30、（1998年2）.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø31、（1998年1）. 若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 32、（1999年3）．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y -，则(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤033、（2000年1）．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁RB 是(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅34、（2000年2）．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．35、（2001年1）.已知a 为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定36、（2001年 11）．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________． 37、（2002年1）函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)38、（2002年3）函数f(x)=221xx x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 39、（2002年10）已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1 若g(x)=f(x)+1x ，则g(2002)= 。
