当前位置：文档之家 › 2019-2020年中考数学试题分类汇编19.三角函数解直角三角形.docx

2019-2020年中考数学试题分类汇编19.三角函数解直角三角形.docx

  • 格式：docx
  • 大小：397.54 KB
  • 文档页数：22

（2010 哈尔滨）１。

在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝ 35°，AB ＝ 7，则 BC 的长为（）．C7 （ A ） 7sin35°（B ）（C ） 7cos35° （ D ） 7tan35°cos35（ 2010 红河自治州） 13. 计算： 12 +2sin60 ° = 3 3（2010 红河自治州） 17.（本小题满分 9 分）如图 5，一架飞机在空中 P 处探测到某高山山顶 D处的俯角为 60°，此后飞机以 300 米 /秒的速度沿平行于地面 AB 正上方 C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为米）解：延长 CD 交 AB 于 G ，则 CG=12 （千米）依题意： PC=300× 10=3000（米） =3（千米） 在 Rt △ PCD 中：PC=3，∠ P=60° 的方向匀速飞行， 飞行 10 秒到山顶 D 的 12 千米，求这座山的高（精确到0.1 千C P60°DCD=PC · tan ∠ P12 千米=3 ×tan60°= 3 3∴ 12-CD=12- 3 3 ≈ 6.8（千米）AG答：这座山的高约为B6.8 千米 .图 5(2010 遵义市 )(10 分 ) 如图 , 水坝的横断面是梯形 , 背水坡 AB 的坡角∠ BAD=60 , 坡长 AB=20 3m , 为加强水坝强度 , 将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处 , 使新的背水坡的坡角∠ F= 45 , 求 AF 的长度 ( 结果精确到 1 米,参考数据 :2 1.414 ,3 1.732 ).答案： (10 分 ) 解：过Ｂ作 BE ⊥ AD 于 E(22 题图 )在 Rt △ ABE 中 , ∠ BAE=60 ,∴∠ ABE=30∴AE ＝ 1ＡＢ1 20 3 10 322∴BEAB 2AE 220 2230310 3∴在 Rt △ BEF 中 , ∠Ｆ＝ 45 ,∴ EF ＝ BE ＝ 30∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－ 10 3(22 题图 ) ∵ 31.732 ，∴ AF ＝ 12.68 13(2010 台州市 ) 19． 施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜参考数据cos20 ° 0.94， sin20 °0.34 ， sin18 °0.31 ，cos18 ° 0.95坡上垂的两棵水平距离AB=4 米，斜面距离BC=4.25 米，斜坡（ 1）求坡角∠ D 的度数（果精确到1°）；DE=85 米．（ 2）若段斜坡用厚度17cm的方体台来，需要几台?E17cmABD CF解：19．（ 8 分）(1) cos∠D=cos∠ABC=AB=4（第 19 题）0.94，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 BC 4.25分∴∠ D 20°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2）EF =DEsin∠ D=85sin20 °85× 0.34=28.9( 米 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分共需台 28.9×100÷ 17=170．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（玉溪市 2010）17．在玉溪州大河旁的路灯杆上有一个物体，它的抽象几何形如8，若 AB 4, AC 10, ABC 60 ,求B、C两点的距离.AB C8解： A 点作 AD⊥ BC于点 D，⋯⋯⋯⋯ 1 分在 Rt△ ABD中，∵∠ ABC=60°，∴∠ BAD=30° .⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ AB=4,∴ BD=2,∴AD=2 3.⋯⋯⋯⋯ 4 分在 Rt△ ADC中， AC=10，∴CD= AC2AD2= 10012 =222 .⋯⋯⋯⋯ 5 分∴ BC=2+2 22 .⋯⋯⋯⋯ 6 分答： B、 C两点的距离2+222 .⋯⋯⋯⋯ 7 分（2010 年无 ） 23．（本 分8 分）在 西方向的海岸l 上有一1km 的 MN （如），在 西端M 的正西 19．5 km 有一 察站 A ．某 刻 得一艘匀速直 航行的 船位于A 的 北偏西 30°,且与 A 相距 40km 的 B ； 1 小 20 分 ，又 得 船位于A 的北偏60°，且与 A 相距 8 3 km 的 C ．北B（ 1）求 船航行的速度（保留精确 果） ；（ 2）如果 船不改 航向 航行，那么 船能否正好行至MN 靠岸？ 明理由．C答案 解：（ 1）由 意，得∠ BAC=90°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）lA 北东22BM N∴BC40(8 3)16 7 ．⋯⋯⋯⋯（ 2 分）∴ 船航行的速度 16 74 12 7 km/ ．⋯⋯（ 3 分）3(2) 能．⋯⋯（ 4 分）作 BD ⊥ l 于 D ， CE ⊥ l 于 E ， 直 BC 交 l 于 F ，Cl DF东AEM NBD=AB · cos ∠ BAD=20，CE=AC ·sin ∠ CAE=4 3 ， AE=AC · cos ∠ CAE=12．∵ BD ⊥ l,CE ⊥ l , ∴∠ BDF=∠ CEF=90°．又∠ BFD=∠ CFE ，∴△ BDF ∽△ CEF ，⋯⋯（ 6 分）∴ DFBD,∴ EF 3220 3 ，∴ EF=8．⋯⋯（ 7 分） EFCEEF4 3∴ AF=AE+EF=20．∵ AM ＜AF ＜ AN ，∴ 船不改 航向 航行，正好能行至MN 靠岸．（2010 年 州） 24. （本 分8 分）如 是某 站 送 物的平面示意 .了提高 送程的安全性，工人 傅欲减小 送 与地面的 角，使其由45°改 30°. 已知原 送 AB4米.（ 1）求新 送 AC 的 度；（ 2）如果需要在 物着地点 C 的左 留出 2 米的通道， 判断距离 B 点 4 米的 物 MNQP是否需要挪走，并 明理由．( 明：⑴⑵的 算 果精确到0.1 米，参考数据：2≈1.41 ， 3 ≈1.73 ， 5 ≈2.24 ， 6≈2.45)第 24答案（本 分8 分）（ 1）如 ，作AD ⊥ BC 于点 D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分Rt △ ABD 中，22 2AD =AB sin45 ° =4 2⋯⋯ 2分在 Rt △ ACD 中，∵∠ ACD =30°∴=2 =42≈5.6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分AC AD即新 送 AC 的 度 5.6 米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 （2） ： 物 MNQP 挪走．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 22解：在 Rt △ ABD 中， BD =AB cos45° =42 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 236在 Rt △ ACD 中， CD =AC cos30 ° =22∴ CB =CD —BD =2 622 2( 62)≈2.1∵PC =PB — CB ≈4— 2.1=1.9 ＜ 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 ∴ 物 MNQP 挪走． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分2010 年 云港） 26．（本 分10 分）如 ，大海中有 A 和 B 两个 ， 量它 之的距离，在海岸PQ 上点 E 得∠ AEP ＝ 74°，∠ BEQ ＝ 30°；在点F 得∠ AFP ＝60°，∠ BFQ ＝ 60°， EF ＝ 1km ．（ 1）判断 ABAE 的数量关系，并 明理由；（ 2）求两个 A 和 B 之 的距离（ 果精确到 0. 1km ）．（参考数据： 3≈ 1. 73，sin74° ≈，cos74°≈ 0. 28， tan74°≈ 3. 49， sin76°≈ 0. 97， cos76°≈ 0. 24）AB答案(1)相等 P EF QBEQ 30 , BFQ 60 E B F 3 0E F ....................................BF2 分又AF P 60BFA 60在 AEF 与△ ABF 中EF BF, AFE AFB , AF AF ...........................................................................5 分AFEAFBAE AB（2）法一：作 AHPQ ，垂足 HAE=xAH=xsin74 ° HE= xcos74 °HF= xcos74 ° +1...............................................................................................7 分Rt AHF 中， AH HF tan 60所以 xsin74 ° =（xcos74° +1 ） tan60°即 0.96x=(0.28x+1) × 1.73所以 x 3.6即 AB 3.6km答: 两个 A 与 B 之的距离 3.6km..........................................................10 分法二：设 AF 与 BE的交点为 G，在 Rt△ EGF中，因为 EF=1,所以 EG=32在 Rt△ AEG中AEG 76 , AE EG cos7630.24 3.6 2答: 两个 A 与 B 之的距离 3.6km（2010 宁波市） 15．如，某河道要建造一座公路，要求面离地面高度AC 3 米，引的坡角∠ ABC15°，引的水平距离BC 的是 _______11.2_________米（精确到 0. 1米）．201B C第154cos30 °．17．（ 2010 年金） (本 6 分 ) 算： 327解：原式 1＋3 3－2 3 ⋯⋯⋯⋯ 5 分（三式化1个2分， 2个4分， 3个 5分）1＋ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分19．（ 2010 年金） (本 6 分 )在一个阳光明媚、清徐来的周末，小明和小一起到郊外放筝他把筝放B A后，将两个 筝的引 一端都固定在地面上的C (如 ). 已知 筝 A 的引 （ 段AC ） 20m ， 筝 B 的引 （ 段BC ） 24m ，在 C 得 筝A 的仰角60°，筝 B 的仰角45°.（ 1） 通 算，比 筝A 与 筝B 离地面更高？（ 2）求 筝 A 与 筝 B 的水平距离 .(精确到 0.01 m ；参考数据： sin45 ≈°0.707,cos45 ≈°0.707, tan45 =1,sin60°°≈ 0.866,cos60 °=0.5,tan60°≈ 1.732）解：（ 1）分A ，B 作地面的垂 ，垂足分D ，E ．在 Rt △ ADC 中， ∵AC 20，∠ ACD60°，∴AD 20×sin 60 °10 3 ≈17.32m在 Rt △ BEC 中， ∵BC 24，∠ BEC45°，∴BE 24×sin 45° 12 2 ≈16.97 m∵ 17.32>16.97∴ 筝 A 比 筝 B 离地面更高． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 2）在 Rt △ ADC 中， ∵AC 20，∠ ACD60°，∴DC20×cos 60° 10 m在 Rt △ BEC 中，∵BC 24，∠ BEC 45°，∴ EC BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈ 16.97－ 10 6.97m即 筝 A 与 筝 B 的水平距离6.97m ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分17．（ 2010 年 沙） 算：213 tan 30 0(2010)解：原式＝133 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分231 6 分 ＝⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2解：∵在 Rt △ ADB 中，∠ BDA ＝45°， AB ＝ 3 ∴ DA ＝ 3 ⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt △ ADC 中，∠ CDA ＝ 60°∴ tan60° =CA∴CA= 3 3⋯⋯⋯⋯ 4 分AD∴ BC=CA － BA=( 3 3 －3)米答：路况 示牌BC 的高度是 ( 3 3 － 3)米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2010 年湖南郴州市） 1． 算 2 sin45 °的 果等于 ()(A)2(B)1(C)2 (D) 122 答案 D（2010骣1- 1年湖南郴州市） 17． 算： ?÷+ 8+1- 2 - 2sin 60鞍tan60 .?÷?÷桫2答案 17. 解：原式＝ 2+2 2 +1 - 2′ 3′ 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2=2 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分14．（ 2010 湖北省咸宁市） 如 ，已知直 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ∥ l 4，相 两条平行直 的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个 点分 在四条直Al 1上， sin．αl 2BA D5l 3 答案：C5l 4（第 14 题）５．（ 2010 年 化市）在Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， sinA= 4， cosB 的 等于（）53 4 3 5A ．B.C.D.5545答案： B114．（ 2010 年 化市）在Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， sinA=2， ∠ A= ．答案： 3010. （ 2010年 宁市 ) 在一次夏令 活 中，小霞同学从 地A 点出 ，要到距离 A 点1000 m 的 C 地去，先沿北偏 70 方向到达 B 地，然后再沿北偏西 20 方向走了 500 m到达目的地 C , 此 小霞在 地A 的A . 北偏 20 方向上B . 北偏 30 方向上C. 北偏东 40 方向上D. 北偏西 30方向上答案： C16．（ 2010 年济宁市 ) 计算：8 4sin 45 (3) 042 16．解：原式2 24 145215．（ 2010 年济宁市 ) 如图，是一张宽 m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点 M （点 M 在长边CD 上）出发沿虚线 MN 射向边 BC ，然后反弹到 AB边 AB 上的 P 点. 如果 MC n ， CMN .那么 P 点与 B 点的距离为 .·N答案： m n tanD ·CtanM(第 15题)北京 13. 计算：1120100 | 43 | tan60 。

合集下载

(完整版)2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】,推荐文档

(完整版)2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】,推荐文档

解直角三角形一、选择题1. （2018•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）　A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．2. （2018•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）　A．9m B．6m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（ ）　A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．　4．二、填空题1. （2018•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为　2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）　．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S△ABC=AC•BD=×（2+）×2=2+；当∠C为钝角时，如图2，过点B 作BD⊥AC，交AC 延长线于点D ，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S △ABC =AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．2. （2018•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a ，AC=b ，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是　sin35°=或b≥a　．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a ，再以B 为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C 为圆心b 为半径交AB 于点A ，然后连接AC 即可，①当AC⊥BC 时，②当b≥a 时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC⊥BC 时，即sin35°=②当b≥a 时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．3．（2018•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

2019中考数学高频考点剖析专题19平面几何之直角三角形问题—解析卷.doc

2019中考数学高频考点剖析专题19平面几何之直角三角形问题—解析卷.doc

备考2019中考数学高频考点剖析专题十九平面几何之直角三角形问题考点扫描☆聚焦中考直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体來看，难度系数低，以选择填空为主。

关于解直角三角形主要是解析题。

解析题主要以计算为主。

结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方血进行直角三角形问题的探讨：（1）直角三角形的性质；（2）勾股定理；（3）解直角三角形.考点剖析☆典型例题頑（2018・玉林）如图，在四边形ABCD中，ZB二ZD二90° , ZA=60° , AB二4,则AD的取值范围是2<AD<8・【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.在RtAABE 中，VZE=30° , AB=4,AAE=2AB=8,在RtAABF 中，AF二寺AB二2,AAD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.例2| （2018・盐城）如图，在直角△ABC 中，ZC 二90° , AC 二6, BC 二8, P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使AAPQ 是等腰三角形且Z\BPQ 是直角三角形，则AQ 二 芈或孕. 【分析】分两种情形分别求解:①如图1屮，当AQ 二PQ, ZQPB=90°时，②当AQ 二PQ, ZPQB=90° 时；【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ, ZQPB 二90°时,设AQ 二PQ 二x,・.・PQ 〃AC,AABPQ^ABCA,.BQ_PQ・ 10-x = x10 ~_6,・15 rAAQ~. 4②当 AQ 二PQ, ZPQB=90° 时，设 AQ 二PQ 二y.VABQP^ABCA,• PQ.BQ•• A L BC '■ y,10-y飞8 例3| （2018・黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则 蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20 cm （杯壁厚度不计）.・・x 二 图1 图?蚂蚁月【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知“ B的长度即为所求.:【解答】解：如图连接A' B,则A' B 即为最短距离，A' B=A/A^D^+BD^A/162+1 2 2=20 (cm).故答案为20.^H| （2018*杭州）如图，在中，ZACB=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，八D长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD.（1）若ZA=28° ,求ZACD的度数.（2）设BC=a, AC二b.①线段AD的长是方程x2+2ax・b2=0的一个根吗？说明理由.②若AD=EC,求学的值.B【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ZB,根据等腰三角形的性质求出ZBCD,计算即可；（2）①根据勾股定理求岀AD,利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可.【解答】解：（1） V ZACB=90° , ZA=28° ,.\ZB=62° ,VBD=BC,・・・ZBCD二ZBDC二59° ,・・・ZACD二90° - ZBCD二31°；（2）①由勾股定理得，A B R AC J BC S/ai2 + b2,AD=Va2 + b2 - a，解方程x2+2ax - b~0 得，x^~2a± V4a2+4b2^ 土需盯予-a,2・・・线段AD的长是方程x2+2ax - b2=0的一个根；② VAD=AE,AAE=EC=4，2 由勾股定理得，a2+b2=（寺b+a）2, 整理得，竿导.b 4巫（2018-遵义）如图，吊车在水平地血上吊起货物时，吊绳BC与地血保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。

2019年全国各地中考数学分类汇编：解直角三角形(含解析)

2019年全国各地中考数学分类汇编：解直角三角形(含解析)

数学精品复习资料解直角三角形一.选择题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．2. （2016·重庆市A卷·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE 中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．3. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．4. （2016·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．二.填空题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABC D外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=CE= a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．2. （2016·湖北荆州·3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′===4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．故答案为：58．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．三.解答题1. （2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3. （2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （2016·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD 可得关于AB 的方程，解方程可得．【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB （结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x 表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（2016·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．7．（2016·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（2016·四川内江）(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

2019-2020年中考数学分类 解直角三角形

2019-2020年中考数学分类 解直角三角形

（第7题图）C2019-2020年中考数学分类 解直角三角形（福州市）Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ）A.cos sin a A b B +B.sin sin a A b B +C.sin sin a b A B +D.cos sin a bA B+（贵阳市）如图，ABC ∆中，90=∠C ，3=AC ，30=∠B ，点P 在BC 边上的动点，则AP 长不．可能．．是 （A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7（昆明市）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin∠CAD=（ ） A 、14B 、13CD 答案：A（兰州市）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''则tan B '的值为 A. 12 B. 13C. 14（荆门市）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B的值是（ ▲ ）C.7D.14（绵阳市）周末，身高都为 1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角 为45，小丽站在B 处（A 、B 与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角 为30．她们又测出A 、B 两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10 cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（ ）．A ．36.21米B ．37.71米C ．40.98米 D ．42.48米BA（连云港）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝_ ▲．（连云港）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）【答案】解：（1）相等由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．∴BQ＝PQ（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．在Rt△APQ中，AQ＝PQcos∠AQP ＝12000.75＝1600（m）．又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，∴Rt△AQB中，AB＝AQ2＋BQ2＝16002＋12002＝2000（m）．答：A，B间的距离是2000 m．【考点】等腰三角形的判定，用三角函数解直角三角形，勾股定理。