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第2讲 三角变换与解三角形考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×(－63)＝6－326＝2－24.热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0， ∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 的面积最大值为34.思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ， 即sin B sin A ＝2，b a ＝sin Bsin A＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”．故cos C 的最小值为6－24.押题精练1．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论： ①tan Atan B＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析 依题意，tan A ＋B 2＝sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 22cos 2A ＋B2＝sin (A ＋B )1＋cos (A ＋B )＝sin C1＋cos (A ＋B )＝sin C .∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p . (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位 答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4) ＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2) ＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到． 2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( ) A ．－210 B.7210 C ．－210或7210 D ．－7210 答案 A解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，54π)． ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－210. 3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( ) A.13 B.12 C.15 D.14答案 D解析 由正弦定理：c a ＝sin C sin A ＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac 2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14. 4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365B.3365C.1365D.6365或3365 答案 A解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－ 3 答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝⎛⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________.答案 4解析 由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R ， ∴a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22， 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2b a 2－c 2＝b 22，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315 解析 因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315.10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD . 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)． 故索道AC 的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值． 解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38， 所求最大值为－38.。
三角恒等变换与解三角形1．(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【解析】 y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12. ∴T ＝2π2＝π.【答案】 π2．(2014·北京高考)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.【解析】 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，则c ＝2又cos C ＝14，则sin C ＝154，由csin C ＝a sin A 得sin A ＝158. 【答案】 21583．(2014·全国新课标Ⅰ高考)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【解析】 在△AMC 中，∵∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，∴∠AMC ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理：AMsin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC，又△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠CAB ＝45°，BC ＝100， ∴AC ＝1002，∴AM ＝1002sin 45°·sin 60°＝1003，在△AMN 中，MN ⊥AN ， ∠NAM ＝60°，∴MN ＝AM ·sin 60°＝1003×32＝150.【答案】 1504．(2014·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．【解】 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．三角恒等变换及求值①利用两角和与差的三角函数公式进行三角恒等变换及求值是高考必考内容．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与三角函数的图象和性质等知识交汇综合命题．②该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题． 2．三角函数与平面向量的结合①向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现，成为了高考的主流趋势．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力．一般以向量为工具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等．②多以解答题的形式出现，难度中档． 3．正、余弦定理及应用①该类问题是解三角形的主要考查类型，常以三角形中的边长、角度、面积为知识载体，融平面向量、三角恒等变换等知识于其中，考查正弦(余弦)定理的应用，预计将会成为今后高考题的一个热点．②多以解答题形式出现，有时也在选择、填空题中出现．可单独命题，也可在知识交汇处命制题目，重在体现三角函数知识的工具性，突出考查学生的运算能力，属中档题.三角恒等变换及求值【例1】 (2014·江苏高考)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 【解】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55 ＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.【规律感悟】 三角函数恒等变换“六策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦；(5)公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等；角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称．[创新预测]1．(1)(2014·全国新课标Ⅰ高考)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】 tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α 又∵－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2.∴α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.【答案】 B(2)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1【解析】 借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解．4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin 60°＋20°－sin 60°－20°cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin 50°＋30°＋sin 50°－30°cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 C三角函数与平面向量的结合【例2】 (2014·山东高考)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【解】 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π， k ∈Z .【规律感悟】 向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性，考查三角恒等变换及三角函数的性质等问题．解这类问题的基本思路是将向量转化为代数运算，常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．本题对向量的考查主要体现在向量的工具性．解决这类问题的基本思路就是先通过向量的基本运算，脱去向量的“外衣”，将问题转化为三角函数式的化简求值等问题．[创新预测]2．(2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1.所以f (x )的最大值为32.正、余弦定理及应用【例3】 (1)(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( ) A ．－19 B.13C ．1 D.72(2)(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mzC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m(3)(2014·北京高考)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】 (1)2sin 2 B －sin 2 A sin 2 A ＝2b 2－a 2a 2＝2·(b a )2－1＝2×94－1＝72. (2)由题意知AB ＝60sin 75°，∠C ＝30°，∠BAC ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝BC sin 45°，BC ＝602sin 75°∴BC ＝120(3－1)，故选C.(3)【解】 ①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. ②在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.【答案】 (1)D (2)C (3)①3314②7【规律感悟】 1.在解三角形时，正、余弦定理可解决的几类问题： (1)正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角； ②已知两边及一边的对角，求其他边或角． (2)余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角求第三边和其他两角； ②已知三边，求各角．2．应用解三角形知识解决实际问题的步骤：①读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；②图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；④验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[创新预测]3．(1)(2014·全国新课标Ⅱ高考)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【解析】 ∵S △ABC ＝12a ·c sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴b ＝1，∴△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B ＝3π4时，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝5，∴b ＝5，故选B.【答案】 B(2)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系． ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故选B.【答案】 B[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点(1)忽视角的范围：既要关注条件中角的范围还应考虑到隐含条件． (2)忽视对解的检验：已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理时，应注意对解进行检验(大边对大角)．答题指导(1)看到三角形内角，想到三角形内角和定理．(2)看到有边又有角的等式，想到利用正、余弦定理进行边角之间的互化． (3)看到求某个角，想到求该角的某种三角函数值． 方法规律1．(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α.(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ；(sin θ＋cos θ)2＋(sinθ－cos θ)2＝2的关系，进行变形转化．(3)“1”的代换法：利用1＝sin 2θ＋cos 2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝tan π4. 2．(1)减元法：利用A ＋B ＋C ＝π及诱导公式可得到以下公式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos Csin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2. (2)边角互化法：利用正、余弦定理进行边角之间的转化．正、余弦定理的合理运用运算的合理性是提高运算能力的核心，运算错误往往是由运算不合理带来的．在运算中由于选择和运用的概念、公式、定理不同，运算往往简繁各异．学会运算并不困难，困难的是怎样进行灵活、简捷的运算，使运算不会走入误区．【典例】 (2014·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．【解】 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得：sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c .又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.【规律感悟】 本题考查正弦定理和余弦定理，在化简方程中应用了三角恒等变换公式，三角形的内角和定理．在化简方程时考查了对式子的变形能力，整个求解过程中考查运算求解能力、推理论证能力和分析问题、解决问题的能力．一、选择题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【解析】 利用两角和的正切公式求解．∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.【答案】 A2．(创新题)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－1【解析】 利用向量垂直及倍角公式求解．∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.【答案】 C 3．发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是关于时间t 的函数：I A ＝I sin ωt ，I B ＝I sin(ωt ＋2π3)，I C ＝I sin(ωt ＋φ)，且I A ＋I B ＋I C ＝0,0≤φ＜2π，则φ等于( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3【解析】 由I A ＋I B ＋I C＝I sin ωt ＋I sin(ωt ＋23π)＋I sin(ωt ＋φ)＝I sin(ωt ＋π3)＋I sin(ωt ＋φ)＝0，得sin(ωt ＋φ)＝－sin(ωt ＋π3)＝sin(ωt ＋43π)．故φ＝43π.【答案】 C4．(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34C.34D.43【解析】 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 【答案】 C5．(2013·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【解析】 根据正弦定理与和角公式求解．由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，又因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B ＝π6. 【答案】 A二、填空题6．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【解析】 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，∴b ＝32c ， 又b －c ＝14a ，∴a ＝4(b －c )，∴a ＝2c . cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c 2＝－14. 【答案】 －147．(2014·东北三城联考)若cos(α＋π6)－sin α＝335，则sin(α＋5π6)＝________. 【解析】 ∵cos(α＋π6)－sin α＝335， ∴cos αcos π6－sin αsin π6－sin α＝335， ∴32cos α－32sin α＝335，∴cos(α＋π3)＝35. ∴sin(α＋5π6)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋5π6＝cos(α＋π3)＝35. 【答案】 358．(2014·山东潍坊3月模拟)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是____________米．【解析】 在三角形BCD 中，可得CD ＝10，∠BCD ＝105°，∠BDC ＝45°，由正弦定理可得BC sin 45°＝10sin 30°⇒BC ＝102，在直角三角形ABC 中可得AB ＝102tan 60°＝10 6. 【答案】 10 6三、解答题9．(2014·河北石家庄质检)如图，A ，B 是海平面上的两个小岛，为测量A ，B 两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD 航行，在t 1时刻航行到C 处，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，1小时后，测量船到达D 处，测得∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 两小岛间的距离．(注：A ，B ，C ，D 四点共面)【解】 由已知得CD ＝15，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，在△ACD 中，15sin 30°＝AD sin 120°， ∴AD ＝15 3.∵∠BDC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，在△BCD 中，15sin 60°＝BD sin 45°， ∴BD ＝5 6.在△ABD 中，∠ADB ＝45°， AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB＝32＋62－2×153×56cos 45°＝515，故两小岛间的距离为515海里．10．(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B 2＋4sin A sin B ＝2＋ 2. (1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．【解】 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c＝10.。
出三角形模型．真题感悟1． (2021浙·江 )α∈R ， sin α＋2cos α＝ 10，那么 tan 2α等于 ()24 3 3 4 A. 3 B.4 C ．－4 D ．－3答案C10解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝2 ，∴sin2α·cos α＋ 25α＋ 4sin 4cos α＝2. 用降幂公式化简得： 4sin 2α＝－ 3cos 2α，∴tan 2 α＝ sin 2α3＝－ .应选 C.cos 2α 42．(2021·苏江 ) 假设△ ABC 的内角满足 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，那么 cos C 的最小值是________． 答案 6－ 24解析 由 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，结合正弦定理得a ＋ 2b ＝2c.由余弦定理得 cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 22aba 2＋b 2－a ＋2b23a 2＋ 1b2－ 2ab＝2ab 4＝4 2 22ab2 32 1 2 － 2ab4 a b≥22 ＝6－ 2，2ab4故6－2≤ cos C<1，且 3a 2＝ 2b 2时取“＝〞． 46－ 2故 cos C 的最小值为.4押题精练1．在△ ABC 中， tanA ＋B＝ sin C ，给出以下四个结论：2① tan A＝ 1；② 1<sin A ＋ sin B ≤ 2；③ sin 2A ＋ cos 2B ＝ 1；④ cos 2 A ＋ cos 2B ＝ sin 2C. tan B其中一定正确的选项是()A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案Dsin A＋ B2sinA＋ B A＋ B22 cos2解析依题意， tan A＋B＝A＋ B ＝2A＋B2cos22cos2＝sin A＋ B＝sin C＝ sin C.1＋ cos A＋B1＋ cos A＋ B∵s in C≠ 0，∴1＋ cos(A＋B)＝ 1， cos(A＋ B)＝ 0.π∵0< A＋B<π，∴A＋ B＝，即△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形．2对于①，由tan A＝ 1，得 tan A＝ tan B，即 A＝B，不一定成立，故① 不正确；tan Bππ对于②，∵A＋ B＝，∴ sin A＋ sin B＝ sin A＋ cos A＝2sin( A＋ )，24∴1<sin A＋ sin B≤2，故②正确；π2A＋sin2A＝2sin2A，对于③，∵A＋ B＝，∴ sin2A＋ cos2B＝sin2其值不确定，故③ 不正确；π22222对于④，∵A＋ B＝，∴ cos A＋ cos B＝ cos A＋ sin A＝1＝ sin C，故④正确． 22．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b， c，q＝ (2a,1)，p＝ (2b－ c， cos C)，且q∥ p.(1)求 sin A 的值；(2) 求三角函数式－ 2cos 2C＋ 1 的取值X围．1＋ tan C解(1) ∵q＝ (2a,1)，p＝(2b－ c， cos C) 且q∥p，∴ 2b－ c＝ 2acos C，由正弦定理得 2sin Acos C＝ 2sin B－ sin C，又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，∴1sin C＝ cos Asin C.21π∵sin C≠ 0，∴cos A＝，又∵ 0<A<π，∴ A＝，23∴sin A＝32.22(2) 原式＝－ 2cos 2C＋1＝1－ 2 cos C－sin C＝ 1－ 2cos2 C＋ 2sin Ccos C＝ sin 2C－ cos 2C＝1＋ tan C sin C1＋cos C π2sin(2C－4) ，2ππ 13∵ 0< C<3π， ∴ －4<2C －4<12π，2π∴－2 <sin(2 C －4)≤ 1，π∴－ 1< 2sin(2 C －4)≤2，－ 2cos 2C 即三角函数式＋ 1 的取值X 围为 (－ 1，2]．1＋ tan C(推荐时间： 60 分钟 )一、选择题1．(2021浙·江 )为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 ()ππA ．向右平移4个单位B ．向左平移4个单位C ．向右平移 π个单位D ．向左平移π个单位1212答案 C解析因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝π2sin(3x ＋)4＝ 2sin[3( x ＋π2cos 3x ＝π12)] ，又 y ＝2sin(3x ＋2)π y ＝ 2cos 3x的图象向右平移π ＝ 2sin[3( x ＋ )]，所以应由个单位得到．612π π)2． α∈ ( ，π)， sin(α＋ )＝3，那么 cos α等于 (24527 2 A ．－10B. 102 7 27 2C ．－10或 10D ．－10答案A解析 ∵ α∈ π π3π，5 π)．( ，α)． ∴ α＋ ∈(24 4 4π 3 ∵ s in( α＋4)＝5，π4∴cos(α＋4)＝－5，π π π π 4× 2 32 ＝－ 2∴cos α＝ cos(α＋ )cos＋sin( α＋ )sin( )＝－5 ＋ ×210. 44442 5sin C2 25)3．在△ ABC 中，假设＝ 3， b － a＝ ac ，那么 cos B 的值为 (sin A211 A. 3 B.211 C.5D.4答案 D解析由正弦定理：c ＝sin C＝ 3，a sin A222 c 2－5acc 5 35 1由余弦定理： cos B ＝ a＋c － b212ac＝2ac ＝ × － ＝ －＝ .2 a 4 2444．(2021陕·西 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设 bcos C ＋ ccos B ＝asinA ，那么△ ABC 的形状为 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案B解析2，即 sin(B2由 bcos C ＋ ccos B ＝ asin A ，得 sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝ sin A ＋C)＝ sin A ，所以 sin A ＝ 1，由 0<A<π，得 πA ＝ ，所以△ ABC 为直角三角形．2 5． tan β＝4， sin(α＋ β)＝5，其中α， β∈ (0，π)，那么 sin α的值为 ()3 136333 A. 65B.651363 33C.65D.65或65答案 A解析依题意得 sin β＝ 4 ， cos β＝ 3 .注意到 sin( α＋ β)＝ 5π55 13<sin β，因此有 α＋ β>(否那么，假设α2 π π＋β≤ ，那么有 0<β<α＋ β≤，0<sin β<sin( α＋ β)，这与“ sin(α＋ β)<sin β〞矛盾 ) ，那么 cos(α＋ β)2 21263＝－ 13， sin α＝ sin[( α＋ β)－ β]＝ sin(α＋β)cos β－ cos(α＋β)sin β＝65.6．△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且 tan B ＝2－ 3→ →2 22， BC ·BA ＝1，a －b ＋c 2那么 tan B 等于 ()3A. 2B. 3－ 1 C ． 2 D ．2－ 3答案D解析→→→→由题意得， BC ·BA ＝ |BC| |BA|cos · B＝ a ccos B ＝1，即 cos B ＝1，22ac由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝ 1 ? a 2＋c 2－b 2＝1，2ac 2ac2－ 3所以 tan B ＝a 2－b 2＋c 2＝2－ 3，应选 D.二、填空题7． tanα＋ππ2sin 2α＋sin 2α4 ＝1，且－<α<0，那么π ＝ ________.22cos α－4答案 － 25 5解析由 tan α＋ π ＝ tan α＋ 1 11 4 ＝2， 得 tan α＝－ .1－ tan α 3又－π，可得 sin α＝－ 10<α<0 10 .2 2sin 2α＋ sin 2α 2sin αsin α＋ cos α故cos α－π ＝242 sin α＋ cos α＝22sin α＝－255.8．在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、b 、 c ， a 2－ c 2＝ 2b ，且 sin Acos C＝ 3cos Asin C ，那么 b ＝ ________.答案 4解析由 sin Acos C ＝ 3cos Asin C 得：aa 2＋b 2－c 2b 2＋c 2－ a 2 c，2R ·＝ 3··2ab2bc2R222＝ 22222b 2∴a＋ b － c3(b＋ c－ a )， a － c ＝，2a 2－ c 2＝ 2b解方程组：2 ，∴b ＝ 4.a 2－ c 2＝b2πππ9． 0<α<<β<π， cos(β－ )＝1， sin(α＋ β)＝4，那么 cos(α＋)＝________.24354答案 8 2－ 315π解析因为 0< α<2<β<π，所以 π π 3π π 3π<β－ < 4 ， <α＋ β< .4 4 2 2π所以 sin( β－4)>0， cos(α＋ β)<0.π1，sin( α＋ β)＝ 4，因为 cos(β－)＝435π 2 2 3 .所以 sin( β－)＝， cos(α＋β)＝－54 3π π所以 cos(α＋ )＝ cos[(α＋ β)－ (β－ )]44π π＝cos(α＋ β)cos(β－ ) ＋sin( α＋ β)sin( β－ )443 14 22 82－3＝－5×3＋5×3＝15 .10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚 B 处看索道 AC ，发现X 角∠ ABC ＝ 120 °；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC ，发现X 角∠ ADC ＝ 150 °；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处，那么索道 AC 的长为 ________米．答案 400 13解析如题图，在△ABD 中， BD ＝ 400 米，∠ABD ＝ 120°.因为∠ ADC ＝ 150°，所以 ∠ ADB＝ 30°.所以∠ DAB ＝ 180°－ 120°－30°＝ 30°.由正弦定理，可得BD＝ADsin ∠ DAB sin ∠ABD.所以 400＝ AD ，得 AD ＝ 400 3(米)．sin 30 °sin 120 °在△ ADC 中， DC ＝ 800 米，∠ ADC ＝ 150°，由余弦定理，可得AC 2＝ AD 2＋ CD 2－ 2× AD × CD × cos ∠ADC＝ (400 3)2＋ 8002－2× 400 3× 800× cos 150 °＝ 4002×13，解得 AC ＝ 400 13(米 )．故索道 AC 的长为 400 13米．三、解答题11． (2021·徽安 )设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是a ， b ， c ，且 b ＝ 3， c ＝1， A＝ 2B.(1) 求 a 的值；π(2) 求 sin A ＋4的值．解 (1) 因为 A ＝2B ，所以 sin A ＝ sin 2B ＝2sin Bcos B.a 2＋ c 2－b 2由正、余弦定理得a ＝ 2b ·.2ac因为 b ＝ 3， c ＝ 1，所以 a 2＝ 12， a ＝ 23.b 2＋c 2－ a 29＋ 1－ 121(2) 由余弦定理得 cos A ＝2bc＝6＝－ .3由于 0<A<π，所以 sin A ＝2＝1 ＝2 21－ cos A 1－ 3 .9故 sin A ＋π ＝ sin Acosπ π2＋ － 1 × 2＝ 4－ 2 .4＋ cos Asin＝2 2×3644 3 22π12．函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6)＋ 1(ω>0)的最小正周期是 π.(1) 求 f(x)的单调递增区间；π 3π(2) 求 f(x)在 [8，8 ]上的最大值和最小值．π解(1)f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6 )＋ 1 ＝23sin ωxcos ωx － 2cos 2ωx ＋ 1π＝3sin 2ωx － cos 2ωx ＝ 2sin(2ωx －6)．2π最小正周期是2ω＝π，所以， ω＝ 1，π从而 f( x)＝ 2sin(2x －6)．ππ π令－＋ 2k π≤2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z .262解得－ ππ6＋ k π≤x ≤ 3＋ k π，k ∈Z .ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[ －＋ k π，＋k π](k ∈Z )．63π 3ππ π 7π(2) 当 x ∈ [8，8 ]时， 2x －6∈ [12，12] ，π 6－ 2，2]，f(x)＝ 2sin(2 x －6)∈ [2π 3π6－ 2所以 f( x)在 [，2，2.88 ]上的最大值和最小值分别为13．角 A 、 B 、 C 是△ ABC 的三个内角，假设向量A － B5，m ＝(1－cos(A ＋B)，cos2)，n ＝ (8A － B9cos 2 )，且m ·n ＝ 8.(1) 求 tan Atan B 的值；absin C2的最大值．(2)求22a ＋b － c解552A－ B (1)m·n＝－ cos(A＋ B)＋ cos2 889199＝8－8cos Acos B＋8sin Asin B＝8，∴c os Acos B＝ 9sin Asin B 得 tan Atan B＝1 . 9tan A＋ tan B993 (2)tan(A＋ B)＝＝ (tan A＋tan B)≥ ·2tan Atan B＝ .1－ tan Atan B8841(∵ tan Atan B＝9>0 ，∴A， B 均是锐角，即其正切值均为正)absin C2＝sin C1222cos C ＝ tan Ca ＋b －c2＝－13，tan(A＋ B)≤ －283所求最大值为－.。
【金版学案】2015届高考数学二轮复习 第二讲 三角变换与解三角形一、选择题1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin x 1－2 cos x 的图象的一条对称轴是( )A.π2B.π4C ．πD ．0 答案：B2．在△ABC 中，若sin2A ＋sin2B ＜sin2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定解析：先由正弦定理将角关系化为边的关系得：a 2＋b 2＜c 2，再由余弦定理可求得角C 的余弦值为负，所以角C 为钝角．故选A.答案：A3．(2013·浙江卷)已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：先判断由f(x)是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f(x)是奇函数．若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k∈Z)，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f(x)＝Acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－Asin (ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．答案：B4．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于( )A.153 B ．－53C.53 D ．－53解析：∵sin 2A ＝23，∴2sin Acos A ＝23，即sin A 、cos A 同号．∴A 为锐角，∴sin A＋cos A ＝（sin A ＋cos A ）2＝1＋sin 2A ＝1＋23＝53＝153. 答案：A5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：先由条件等式sin α＋cos αsin α－cos α＝12，左边分子分母同除以cos α，得tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，又由于tan 2α＝2tan α1－tan2 α＝34.故选B. 答案：B6．C 是曲线y ＝1－x2(x≤0)上一点，CD 垂直于y 轴，D 是垂足，点A 坐标是(－1，0)．设∠CAO＝θ(其中O 表示原点)，将AC ＋CD 表示成关于θ的函数f(θ)，则f (θ)＝( )A ．2cos θ－cos 2θB ．cos θ＋sin θC ．2cos θ(1＋cos θ)D ．2sin θ＋cos θ－ 2解析：依题意，画出图形．△CAO 是等腰三角形，∴∠DCO＝∠COA＝π－2θ. 在Rt △COD 中，CD ＝CO·cos ∠DCO ＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ， 过O 作OH⊥AC 于点H ，则 CA ＝2AH ＝2OAcos θ＝2cos θ.∴f(θ)＝AC ＋CD ＝2cos θ－cos 2θ.故选A. 答案：A二、填空题7. (2014·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．解析：依题意，由正弦定理知1sinπ6＝3sin B ，所以sin B ＝32，由于0＜B ＜π，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x ，0≤x ≤π2，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.答案：2三、解答题9．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos (β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．解析：(1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2 cos α2＝2sin α2cos α2sin2 α2＋cos2 α2＝2tan α21＋tan2 α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.(2)∵0＜α＜π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.⎝ ⎛⎭⎪⎫或求cos β＝－22，得β＝34π10. (2014·安徽卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．分析：根据三角形面积公式可以求出sin A ＝223，利用sin2A ＋cos2A ＝1可以解出cosA ＝±13，对cos A 进行分类讨论，通过余弦定理即可求出a 的值．解析：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223.∵sin2A ＋cos2A ＝1， ∴cos A ＝±1－sin2A ＝±1－89＝±13.当cos A ＝13时，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，所以a ＝2 2.当cos A ＝－13时，由余弦定理得，a2＋b2－2bccos A ＝9＋1＋2×3×1×13＝12，所以a＝2 3.11. (2014·江西卷)已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解析：(1)因为函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(a ＋2cos2x )·cos(－2x ＋θ)＝－(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)，因为x ∈R ，所以cos(－2x ＋θ)＝－cos(2x ＋θ)，cos 2xcos θ＝0，cos θ＝0.又θ∈(0，π)，所以θ＝π2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2＝0，a ＝－1. 因此a ＝－1，θ＝π2.(2)由(1)得：f(x)＝(－1＋2cos2x)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x(－sin 2x)＝ －12sin 4x ，所以由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，得－12sin α＝－25，sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋sin π3cos α＝4－3310.。
专题二 第二讲一、选择题1．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3[答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 3．(文)在△ABC 中，已知b ·cos C ＋c ·cos B ＝3a ·cos B ，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则cos B 的值为( )A.13 B ．－13C.223 D ．－223[答案] A[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， ∴sin A ＝3sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝13.(理)(2013·东北三省四市联考)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－23B.22C.12 D ．－12[答案] B[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B.4．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [答案] A[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.故选A.[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．(2014·哈三中二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a 2－c 2＝2b ，tan A tan C＝3，则b 等于( )A ．3B ．4C ．6D ．7[答案] B[解析] ∵tan Atan B ＝3，∴sin A cos C ＝3sin C cos A ，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝4sin C cos A ，∴b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＝2(a 2－c 2)＝4b ，∵b >0，∴b ＝4.6．(文)函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称[答案] B[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．(理)给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π； ④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．二、填空题7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝15 3.8．(文)(2014·新课标Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)·cos φ＋cos(x ＋φ)·sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)·sin φ ＝sin x ≤1. ∴最大值为1.(理)(2014·天津理，12)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [答案] －14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ， 又∵b －c ＝14a ，∴b ＝34a ，c ＝12a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a 22×34a ×12a＝－14.9．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． [答案] π6[解析] 由已知可得(AB →－3AC →)·CB →＝0，AB →·CB →＝3AC →·CB →，由数量积公式可得ac cos B ＝3ab cos(π－C )＝－3ab cos C ，可化为c cos B ＝－3b cos C ，由正弦定理可得sin C cos B ＝－3sin B cos C ，化简得sin A ＝－2sin B cos C ，可得cos C <0，角C 为钝角，角A 为锐角，又sin A ＝sin(C －B )－sin(C ＋B )，即有sin A ＝12sin(C －B )≤12，综上，0<A ≤π6，A 的最大值为π6.三、解答题10．(文)(2014·山东文，17)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． [解析] (1)∵cos A ＝63.0<A <π.∴sin A ＝33. 又B ＝A ＋π2.∴sin B ＝sin(A ＋π2)＝cos A ＝63.又a ＝3.∴由正弦定理得． a sin A ＝b sin B 即333＝b 63∴b ＝3 2.(2)∵cos B ＝cos(A ＋π2)＝－sin A ＝－33，∴在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×(－33)＋63×63＝13∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.(理)(2013·陕西理，16)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．[解析] f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π(2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.一、选择题11．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴AC ＝5， 由正弦定理，AC sin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝31010.12．(文)(2014·东北三省三校二模)已知方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos2α＝2αsin 2αC ．sin2β＝－2βsin 2βD ．cos2β＝－2βsin 2β[答案] C[解析] 令y ＝|cos x |，y ＝kx ，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<π2，π2<β<π，检验可知，选C.(理)(2014·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[答案] C[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法． 解法1：当2α－β＝π2时，β＝2α－π2，所以1＋sin (2α－π2)cos (2α－π2)＝1－cos2αsin2α＝2·sin 2αsin2α＝tan α.解法2：∵tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)，∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.13．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象左移π6得到函数f (x )的图象[答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3)＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D.14．(文)函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由题意得f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin[(x ＋π3)－π2]＝sin(x ＋π3)－a cos(x ＋π3)，若x ＝π2是函数f (x )的图象的一条对称轴，则由对称轴的意义可得f (π2)＝cos π3＋a sin π3＝1＋a 2，解得a ＝3.(理)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x >y D ．x ≥y[答案] C[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B ) ＝cos(π－C )＝－cos C ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos C >0， ∴y －x <0，∴y <x .15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数；③y ＝f (x )g (x )是以π为周期的周期函数；④对于∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使f (x 1)>g (x 2)． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，∴将f (x )的图象向右平移π2个单位，可以得到g (x )的图象，故①为真命题；又y ＝f (x )·g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x 为偶函数，故②为真命题；y ＝f (x )g (x )＝sin (x ＋π4)sin (x －π4)＝sin (x ＋π4)－cos (x ＋π4)＝－tan(x ＋π4)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x 1＝5π4，则f (x 1)＝2sin(5π4＋π4)＝－2，∵∀x 2∈R 都有g (x 2)≥－2，∴不存在x 2∈R ，使f (5π4)>g (x 2)，故选C.二、填空题16．(文)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝________. [答案] π6[解析] 由正弦定理知c 2＝3ab ＋b 2， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3ab2ab＝a －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(理)(2014·福建理，12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2， S ＝12×23×2＝2 3. 三、解答题17．(文)(2013·浙江文，18)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．[解析] (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 b 2＋c 2－bc ＝36，即(b ＋c )2－3bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以 bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.(理)(2013·北京理，15)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A ，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223，在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.18．(文)(2014·唐山市一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b sin A ＝7a .(1)求sin B 的值；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos A －cos C 的值．[解析] (1)由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74. (2)由已知得2b ＝a ＋c ，由正弦定理以及(1)得，sin A ＋sin C ＝72.① 设cos A －cos C ＝x ，②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝74＋x 2.③ 又由条件知a ＜b ＜c ，∴A ＜B ＜C ，所以0°＜B ＜90°，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－34，且x >0. 代入③式得x 2＝74. 因此cos A －cos C ＝72. (理)已知△ABC 中，a ，b, c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2＋b 2<c 2，且sin(2C －π2) ＝12. (1)求角C 的大小；(2)求 a ＋b c的取值范围． [解析] (1)∵a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0， ∴π2<C <π，故π<2C <2π， 由sin(2C －π2)＝12，得cos2C ＝－12， ∴2C ＝4π3，即C ＝2π3； (2)a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin (π3－A )sin 2π3＝12sin A ＋32cos A 32＝23sin(A ＋π3)， 由C ＝2π3，知0<A <π3，故π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin(A ＋π3)≤1， ∴23·32<a ＋b c ≤23，即1<a ＋b c ≤233.。
