高考数学二轮复习 专题三 第2讲 三角变换与解三角形配套课件 理

考点一三角变换与求值［冲关锦囊］1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l) sin(ad^)=sinacos 〃土cosasin".(2) cos(a±f)=cosacos^+sinasin^.tana+tan^=tan(a±0)( 1 +tanatan^)(3)tan(a±^)= 1 +tanatan^*、 sin2ot 1—⑷甌一l+cos2< sin2a * (3)tan2«=2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (l)sin2a=2sinacosa.2tana1 —tan 2a*3.三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换.特别是T的代换，如l=cos2^+sin2^=tan450 等.(2)项的分拆与角的配凑•如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x配凑角：a=(a +旳一伤〃=弓^+cos2x)+cos2x= 1 +cos2x；2十(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次•(4)化弦沏)法.将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切).(5)引入辅助角.osin0+0cos0=£+Psin(0+0),这里辅助角p 所在的象限由b的符号确定，卩的值由⑶10=0确定.2 ) 5 ［考题剖析］【例1】（2013•广东卷）已知函数幷）=边cos}—令XER.的值; 兀(1)來 3(2)若COS0=；, 6E y, 2兀，求#0—52 )解析：(l)£]#cos . ..一3mi3 12丿(3TI(2)Tcos0=” 9&[亍2珂，I ------- r 4sin0=-*l—cos 0=—§，( \ ( \■. 71 r- . 71：•\/ 0-： =\5cos 3-7 =^2 u丿■ /71cos0cos¥+sin0sin¥ = 一gTt7解析:• • 2兀. 1(1) .卩=10兀=一，..(0—7.' 丿 co 5(2) 由⑴得兀0=2cos $+£ ,\ .711 2 •・- 4• •snia=§，cosa=§・:丁 5/_乎 =2cos#=月，・：cos#=召，sin#=j|. .J |5兀 ,7[ 6• /5a 十可=2cos (Z +Q =—2sina=—§・3丿 y3 5? 5"/. cos(a +#)=cosacos#—sinasin^=^Xpy—^|.考点二利用正、余弦定理解三角形［冲关锦囊］1.解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A、〃和c,由A+B+C=兀求C,由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知0、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A + B + C=7l求另1角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知0和A,应先用正弦定理求由A+B+C=TI求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.2.求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围;②角的某一三角函数值.3.面积公式：(1)S=^X 底X 咼.(2)5=2^sinC=尹csinA=尹csinB.(3)S=^(R为外接圆的半径).(4)Sp(o+0+c)•论为内切圆的半径)［考题剖析］【例2】(2013-1庆卷)在△仙C中，内角A, B, C的对边分别为°, b, c,且a2=b2+c2+\［3bc.⑴求A;(2)设°=筋，S为MBC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值.解析:丄人升、rra/A b^+c—a —占be J3(1)由余弦定理得cosA=—庞一=2bc =_*5兀又因0＜人＜兀，所以(2)由⑴得sinA=*,又由正弦定理及0=审得r 1, . . 1・osinC=3sinBsiiiC，asinBS分inAp•而因此，5+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(5-C). 所以，当B=C,即B=^2^=[2时,S+3cosBcosC 取最大值3.［对点训练］2. (2013-湖北卷)在MBC中，角A, B, C对应的边分别是a, b, c,已知cos2A—3cos(B+C)=1.⑴求角A的大小；(2)若△ABC的面积S=5书，b-5,求sin^sinC的值.3書： (l s COS2A —3COS(B+OUL 壶 2COS2A+3COSA —2H09君(2C0SA —1 )(COSA +2H 0 7 COSAH+渕 COSAH ——2(n{>a)y因涉OAAAm淳丘AJL.(2)由S=*0csinA=》?cX ：= :bc=5迟,得bc=20, 又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=25+16—20=21f 故a=y]21.又由正弦定理得• » •门b e be . 220 3 5sinBsinC=-sinA--sinA=7sin-A=^X?=-考点三解三角形与实际应用问题［冲关锦囊］应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步⑴分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解岀的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.［考题剖析］【例3】 处下山至C 处有两种路径，一种是从A 沿直线步行到&另一种是先从人沿索道乘缆车到氏然后从B 沿直线步行到C.（2013•江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点人现有甲、乙两位游客从人处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到在B处停留lmin后，再从〃匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速n 度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量，cosA=厉,cosC 3_5，⑴求索道的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析:12⑴在厶ABC中，因为cosA=yj,3 5 4cosC=§,所以sinA=jj, sinC=§・从而sin5=sin[7i—(A+C)]=sin(A+C) =siiiAcosC+cosAsinC=^X 中+X *碁由正弦定理就=而’ 得人B=#£xsinC二罟°X*=1 040(m).65所以索道仙的长为1 040 m.(2)假设乙出发/分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+50/)m,乙距离力处130/m,所以由余弦定理得10d2— (100 + 50/)2 + (130/)2 — 2 X 130(X(100 + 50/) X —= 200(37/-70 汁50),因0W'W罟，即0WfW8,35故当尸币(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理釜=爲/AAC 1 260 5 得 BC=^XsinA=-^-Xjj=500(m).65乙从〃岀发时，甲已走T 50X(2+8 + l)=550(m), 还需走710 m 才能到达C.范围内.设乙步行的速度为v m/min, 由题意得一3W500 710v 50解得 1250 7F 14,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在 1 250 625肓，14(单位:m/min)［对点训练］3.如图，A, B是海面上位于东西方向相距5(3+问海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°, B点北偏西60。

第二讲 三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一 三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等．3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin α2±cos α2)2等． 6．角的合成及三角函数名的统一a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，(tan φ＝ba)．[例1] (2012年高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos (α＋β)的值．[解析] (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f （5α＋53π）＝－65，f （5β－56π）＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos [15（5α＋53π）＋π6]＝－65，2cos [15（5β－56π）＋π6]＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝ 1－sin 2α＝45，sin β＝ 1－cos 2β＝1517.∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.跟踪训练(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．解析：化2α＋π12为2(α＋π6)－π4是关键．∵α为锐角且cos (α＋π6)＝45，∴sin (α＋π6)＝35.∴sin (2α＋π12)＝sin [2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin (α＋π6)cos (α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. 答案：17250类型二 正、余弦定理的应用 1．正弦定理的变式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理的变式a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B (注意整体变形)．3．面积公式S Δ＝12ab sin C ，S Δ＝abc4R(R 为外接圆半径)；S Δ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[例2] (2012年高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，得B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ， 所以a ＝3，c ＝2 3.跟踪训练1．(2012年西安模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 的大小为( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°解析：根据正弦定理得1sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°，故选D. 答案：D2．(2012年济南模拟)在△ABC 中，AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，∴b cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B类型三 解三角形的实际应用1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等． 2．常见的类型：距离、高度、航海问题．[例3] (2012年石家庄模拟)已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314.)[解析] 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB .由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h )解析：如图，测出∠ACE 的度数，测出∠ADE 的度数，测量出HG 的长度，即可计算出建筑物的高度AB .理由如下：设∠ACE ＝α，∠ADE ＝β，HG ＝s .在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin β＝DCsin （α－β）， 所以AC ＝DC sin βsin （α－β）.在直角三角形AEC 中，AE ＝AC sin α＝DC sin β sin αsin （α－β）.所以，建筑物的高AB ＝EB ＋AE ＝h ＋s ·sin β sin αsin （α－β）.析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考江苏卷)在△ABC 中，已知AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur .(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解析】 (1)证明：因为AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知 AC sin B ＝BCsin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B .又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，A ＝π4.【名师点睛】 本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化AC cos A ＝3BC cos B 为角的关系．(2)中注意判断A 为锐角，否则会增解．考情展望高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．名师押题【押题】已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围．【解析】 (1)因为向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B 2)共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B2＝±12，又0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A ) ＝2sin 2A ＋cos (π3－2A )＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A＝1＋sin (2A －π6)，因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin (2A －π6)∈(－12，1)，所以1＋sin (2A －π6)∈(12，2)，故2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围是(12，2)．。